Archimede Gara 2º livello 1998

Rapporto uomini/donne note le età medie a una festa

Ad una festa l’età media è 31 anni, l’età media degli uomini è 35 anni e l’età media delle donne è 25 anni. Qual è il rapporto fra il numero degli uomini e quello delle donne?

(A) $\frac{5}{7}$ \quad (B) $\frac{7}{5}$ \quad (C) $\frac{4}{3}$ \quad (D) $\frac{3}{2}$ \quad (E) $2$ .

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Rate of middle-aged men/women at a party

At a party, the average age is 31, the average age of men is 35, and the average age of women is 25. What is the relationship between the number of men and the number of women?

(A) $\frac{5}{7}$ \quad (B) $\frac{7}{5}$ \quad (C) $\frac{4}{3}$ \quad (D) $\frac{3}{2}$ \quad (E) $2$ .

Answer: D src_archimede_1998_2livello__Q01

Forma del dominio definito da somma di valori assoluti

$D$ è il dominio del piano cartesiano costituito dai punti $(x, y)$ tali che

$∣ x ∣ + ∣ y ∣ + ∣ x + y ∣ + ∣ x - y ∣ \leq 3.$

La forma del dominio $D$ è (vedi figura).

(A) Un quadrato con lati paralleli agli assi

(B) Un quadrato ruotato di 45° (rombo)

(C) Un ottagono regolare

(D) Un quadrilatero con lati obliqui

(E) nessuna delle precedenti.

Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Form of domain defined as sum of absolute values

$D$ is the Cartesian plane domain consisting of $(x, y)$ points which:

$∣ x ∣ + ∣ y ∣ + ∣ x + y ∣ + ∣ x - y ∣ \leq 3.$

The shape of the domain $D$ is (see figure).

(A) A square with sides parallel to the axes

(B) A rotating square of 45° (rump)

(C) A regular octagon

(D) A quadrilateral with oblique sides

(E) None of the previous ones.

Answer: C src_archimede_1998_2livello__Q02

Tempo perché il raggio del nastro raddoppi di nuovo

La parte di nastro di un registratore avvolta su una bobina forma una corona circolare. Sapendo che dopo venti minuti di funzionamento il raggio maggiore della corona circolare è raddoppiato, quanto tempo dovrà continuare a funzionare il registratore affinché il raggio maggiore raddoppi nuovamente? Il nastro scorre con velocità costante.

(A) Venti minuti

(B) quaranta minuti

(C) un’ora

(D) un’ora e venti minuti

(E) dipende dal raggio interno della corona circolare.

Topic: Geometria piana Abilita: traduzione del testo Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Time for the tape beam to double again

The ribbon part of a recorder wrapped in a coil forms a circular crown. Knowing that after 20 minutes of operation the radius of the circular crown has doubled, how long will the recorder have to continue to operate for the radius to double again? The tape is flowing at a constant speed.

(A) 20 minutes .

(B) 40 minutes

(C) an hour

(D) One hour and twenty minutes

(E) depends on the inner radius of the circular crown.

Answer: D src_archimede_1998_2livello__Q03

Quantità di liquore in bicchiere conico con ciliegina

In un bicchiere da cocktail di forma conica c’è una ciliegina di forma sferica e del liquore che ricopre esattamente la ciliegina, come in figura. Sapendo che il raggio della ciliegina è 1 cm e che l’altezza del liquore è 6 cm, calcolare la quantità di liquore.

(A) $\frac{2}{3} π$ cm $^{3}$ \quad (B) $π$ cm $^{3}$ \quad (C) $\frac{5}{3} π$ cm $^{3}$ \quad (D) $2 π$ cm $^{3}$ (E) i dati sono insufficienti.

(vedi figura)

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

*Quantities of liquor in conical glass with cherry *

In a cone-shaped cocktail glass there is a spherical cherry and the liquor that exactly covers the cherry, as in the figure. Knowing that the radius of the cherry is 1 cm and the height of the liqueur is 6 cm, calculate the amount of liquor.

(A) $\frac{2}{3} π$ cm $^{3}$ \quad (B) $π$ cm $^{3}$ \quad (C) $\frac{5}{3} π$ cm $^{3}$ \quad (D) $2 π$ cm $^{3}$ (E) The data are insufficient.

(see figure)

Answer: C src_archimede_1998_2livello__Q04

A che ora Massimo si accorge di aver dimenticato il portafoglio

Massimo sa che camminando impiega 24 minuti per andare da casa sua alla stazione, mentre correndo ne impiega 12. Dovendo prendere un treno alle 12:30, parte da casa per tempo alle 12:00 camminando. Durante il tragitto però si accorge di aver dimenticato il portafoglio. Immediatamente torna a casa di corsa, e poi corre in stazione, dove arriva puntuale alle 12:30. A che ora si è reso conto di aver dimenticato il portafoglio?

(A) 12:06 \quad (B) 12:09 \quad (C) 12:12 \quad (D) 12:15 \quad (E) i dati sono insufficienti.

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

What time does Maximo realize he forgot his wallet?

Maximo knows that walking takes 24 minutes to get from his home to the train station, while running takes 12. Taking a train at 12:30, leaving home on time at 12:00 on foot. But on the way, you realize you’ve forgotten your wallet. He immediately runs home, and then runs to the station, where he arrives on time at 12:30. What time did you realize you forgot your wallet?

(A) 12:06 \quad (B) 12:09 \quad (C) 12:12 \quad (D) 12:15 \quad (E) the data are insufficient.

Answer: C src_archimede_1998_2livello__Q05

Affermazione non deducibile su polinomio a valori interi

Il polinomio $a x^{2} + b x + c$ assume valori interi per ogni valore intero della variabile $x$ . Quale delle seguenti affermazioni non può essere dedotta?

(A) $c$ è intero

(B) $a + b + c$ è intero

(C) $a$ , $b$ , $c$ sono interi

(D) se $a$ è intero anche $b$ è intero

(E) $2 a$ è intero.

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.3

Non-deductible claim on polynomial with integer values

The $a x^{2} + b x + c$ polynomial assumes integer values for each integer value of the variable $x$ . Which of the following cannot be deduced?

(A) $c$ is whole

(B) $a + b + c$ is whole

(C) $a$ , $b$ , $c$ are integers

(D) If $a$ is integer $b$ is also integer

(E) $2 a$ is whole.

Answer: C src_archimede_1998_2livello__Q06

Probabilità che tre amici totalizzino stesso punteggio in sei gare

Tre amici partecipano a sei gare; chi vince la prima guadagna un punto, chi vince la seconda due, e così via. Sapendo che ognuno dei tre ha vinto due gare, qual è la probabilità che tutti abbiano ottenuto lo stesso punteggio?

(A) $\frac{1}{3}$ \quad (B) $\frac{1}{6}$ \quad (C) $\frac{1}{9}$ \quad (D) $\frac{1}{12}$ \quad (E) $\frac{1}{15}$ .

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.3

Probability of three friends totaling the same score in six races

Three friends compete in six races; whoever wins the first wins a point, whoever wins the second wins two, and so on. Knowing that each of the three has won two races, what is the probability that they all have the same score?

(A) $\frac{1}{3}$ \quad (B) $\frac{1}{6}$ \quad (C) $\frac{1}{9}$ \quad (D) $\frac{1}{12}$ \quad (E) $\frac{1}{15}$ .

Answer: E src_archimede_1998_2livello__Q07

Valori di k per cui ||x|-1|=k ha tre soluzioni

Per quali valori di $λ$ l’equazione $∣ x ∣ - 1 = λ$ ha esattamente tre soluzioni?

(A) Per ogni $λ \geq 0$ \quad (B) solo per $λ = 0$ \quad (C) per ogni $λ$ tale che $0 \leq λ \leq 1$ (D) solo per $λ = 1$ \quad (E) per nessun valore di $λ$ .

Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.3

for which k has three solutions of k = k *

For which values of $λ$ does the equation $∣ x ∣ - 1 = λ$ have exactly three solutions?

(A) For each $λ \geq 0$ \quad (B) only for $λ = 0$ \quad (C) for each $λ$ such that $0 \leq λ \leq 1$ (D) only for $λ = 1$ \quad (E) for no value of $λ$ .

Answer: D src_archimede_1998_2livello__Q08

Triangoli con vertici sul cubo non su nessuna faccia

Dato un cubo $C$ , quanti sono i triangoli che hanno per vertici tre vertici di $C$ e che non giacciono su nessuna delle facce di $C$ ?

(A) 12 \quad (B) 24 \quad (C) 32 \quad (D) 56 \quad (E) 112.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3

Triangles with vertices on the cube not on any face

Given a cube $C$ , how many triangles have three vertices of $C$ for vertices and do not lie on any of the faces of $C$ ?

(A) 12 \quad (B) 24 \quad (C) 32 \quad (D) 56 \quad (E) 112

Answer: C src_archimede_1998_2livello__Q09

Area del triangolo dei simmetrici rispetto all’area di ABC

Dato un triangolo $A B C$ , siano $A^{'}$ il simmetrico di $A$ rispetto a $B C$ , $B^{'}$ il simmetrico di $B$ rispetto ad $C A$ , $C^{'}$ il simmetrico di $C$ rispetto ad $A B$ . Quanto vale l’area di $A^{'} B^{'} C^{'}$ ?

(A) 3 volte l’area di $A B C$

(B) 4 volte l’area di $A B C$

(C) 5 volte l’area di $A B C$

(D) 6 volte l’area di $A B C$

(E) 7 volte l’area di $A B C$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.3

Area of the triangle of the symmetries with respect to the area of ABC

Given a $A B C$ triangle, be $A^{'}$ the symmetric of $A$ with respect to $B C$ , $B^{'}$ the symmetric of $B$ with respect to $C A$ , $C^{'}$ the symmetric of $C$ with respect to $A B$ . What is the area of $A^{'} B^{'} C^{'}$ ?

(A) 3 times the area of $A B C$

(B) 4 times the area of $A B C$

(C) 5 times the area of $A B C$

(D) 6 times the area of $A B C$

(E) 7 times the area of $A B C$ .

Answer: E src_archimede_1998_2livello__Q10

Per quanti interi x il prodotto di due trinomi è primo

Per quanti valori interi relativi di $x$ il numero $∣ x^{2} + x - 1∣ \cdot ∣ x^{2} - 7 x + 11∣$ è primo?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 4 \quad (D) 8 \quad (E) più di 8.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3

For integers x the product of two trinomials is prime

For how many relative integers of $x$ is the number $∣ x^{2} + x - 1∣ \cdot ∣ x^{2} - 7 x + 11∣$ prime?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 4 \quad (D) 8 \quad (E) more than 8.

Answer: D src_archimede_1998_2livello__Q11

Quale unica affermazione su età e forza è falsa

Una, ed una sola, delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

(A) Andrea è più giovane di Bruno, che è più forte di Carlo

(B) Andrea è più forte di Bruno, che è più giovane di Carlo

(C) Bruno è più vecchio di Andrea

(D) Bruno è più debole di Andrea

(E) Bruno è più vecchio e più debole di Carlo.

Topic: Logica, giochi, strategie Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.3

Any single statement about age and strength is false

One, and only one, of the following statements is false. What kind?

(A) Andrea is younger than Bruno, who is stronger than Carlo.

(B) Andrea is stronger than Bruno, who is younger than Carlo.

(C) Bruno is older than Andrea.

(D) Bruno is weaker than Andrea .

(E) Bruno is older and weaker than Carlo.

Answer: E src_archimede_1998_2livello__Q12

Area della sezione di un prisma a base esagonale

Un prisma retto di altezza $l$ e avente per base un esagono regolare di lato $l$ viene tagliato con un piano passante per due spigoli paralleli appartenenti ciascuno ad una delle due basi, ma non appartenenti alla stessa faccia laterale. L’area della sezione risultante è:

(A) $l^{2}$ \quad (B) $\frac{3}{2} l^{2}$ \quad (C) $2 l^{2}$ \quad (D) $3 l^{2}$ \quad (E) $23 l^{2}$ .

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.3

Area of the section of a hexagonal prism

A straight prism with a height of $l$ and a regular side hexagon $l$ at the base is cut with a passing plane for two parallel beams each belonging to one of the two bases but not belonging to the same side face. The area of the resulting section is:

(A) $l^{2}$ \quad (B) $\frac{3}{2} l^{2}$ \quad (C) $2 l^{2}$ \quad (D) $3 l^{2}$ \quad (E) $23 l^{2}$ .

Answer: D src_archimede_1998_2livello__Q13

Raggio x della circonferenza media tangente con due tangenti comuni

Tre circonferenze $C_{R}$ , $C_{x}$ , $C_{r}$ di raggio rispettivamente uguale a $R$ , $x$ , $r$ , hanno i centri allineati. Si sa che $C_{R}$ e $C_{r}$ sono tangenti esternamente a $C_{x}$ e che le tre circonferenze hanno due tangenti esterne in comune come in figura. Noti $r$ , $R$ , quanto vale $x$ ?

(A) $\frac{R + r}{2}$ \quad (B) $R r$ \quad (C) $R^{2} - r^{2}$ \quad (D) $\frac{1}{1/ r + 1/ R}$ \quad (E) nessuna delle precedenti.

(vedi figura)

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.3

X radius of the tangent mean circumference with two common tangents

Three radii $C_{R}$ , $C_{x}$ , $C_{r}$ , $R$ , $x$ and $r$ , respectively, have the centers aligned. It is known that $C_{R}$ and $C_{r}$ are external tangents to $C_{x}$ and that the three circumferences have two external tangents in common as shown in Figure 1. Note $r$ , $R$ , how much is $x$ ?

(A) $\frac{R + r}{2}$ \quad (B) $R r$ \quad (C) $R^{2} - r^{2}$ \quad (D) $\frac{1}{1/ r + 1/ R}$ \quad (E) none of the above.

(see figure)

Answer: B src_archimede_1998_2livello__Q14

Minimo a+b con 21ab² e 15ab quadrati perfetti

I numeri $a$ , $b$ sono interi positivi. Qual è il minimo valore positivo di $a + b$ affinché $21 a b^{2}$ e $15 ab$ siano entrambi quadrati perfetti?

(A) 16 \quad (B) 26 \quad (C) 36 \quad (D) 46 \quad (E) 56.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.3

Minimum a+b with 21ab2 and 15ab perfect squares

The numbers $a$ , $b$ are positive integers. What is the minimum positive value of $a + b$ so that $21 a b^{2}$ and $15 ab$ are both perfect squares?

(A) 16 \quad (B) 26 \quad (C) 36 \quad (D) 46 \quad

Answer: E src_archimede_1998_2livello__Q15

Dimostrare che il raggio del circoscritto ad ABC è HM

Esercizio dimostrativo.

Dato il triangolo $A B C$ con $C A B = A B C = 90°$ — ovvero con $C \hat{A} B - A \hat{B} C = 90°$ — detti $M$ il punto medio di $A B$ e $H$ il piede dell’altezza relativa ad $A B$ , dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta ad $A B C$ è uguale ad $H M$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4

Show that the radius of the enclosure at ABC is HM*

This is the first step towards the development of a new approach.

Given the $A B C$ triangle with $C A B = A B C = 90°$ or with $C \hat{A} B - A \hat{B} C = 90°$ said $M$ the mean point of $A B$ and $H$ the foot of the height relative to $A B$ , prove that the radius of circumference surrounded by $A B C$ is equal to $H M$ .

src_archimede_1998_2livello__Q16

Determinare insieme X con f(M)=M e convergenza della successione

Esercizio dimostrativo.

Dato un numero intero positivo $M$ la cui scrittura decimale è $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{0}$ (cioè $M$ è uguale a $1 0^{n} a_{n} + \dots + 10 a_{1} + a_{0}$ ) con $0 \leq a_{0}, \dots, a_{n} \leq 9$ , sia $f (M) = a_{n} + 2 a_{n - 1} + 2^{2} a_{n - 2} + \dots + 2^{n} a_{0}$ (si intende che se $M = a_{0}$ , allora $f (M) = a_{0}$ ).

Si determini l’insieme $X$ di tutti gli interi positivi per cui $f (M) = M$ .

Si dimostri che, per ogni intero positivo $M$ , la successione $M, f (M), f (f (M)), f (f (f (M))), \dots$ contiene un elemento di $X$ .

Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: X={1..9,19} Fonte: apri PDF p.5

Determining together X with f(M)=M and convergence of succession

This is the first step towards the development of a new approach.

Given a positive integer $M$ whose decimal writing is $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{0}$ (i.e. $M$ is equal to $1 0^{n} a_{n} + \dots + 10 a_{1} + a_{0}$ ) with $0 \leq a_{0}, \dots, a_{n} \leq 9$ , it is $f (M) = a_{n} + 2 a_{n - 1} + 2^{2} a_{n - 2} + \dots + 2^{n} a_{0}$ (meaning that if $M = a_{0}$ , then $f (M) = a_{0}$ ).

The sum $X$ of all positive integers for which $f (M) = M$ is determined. 2. It is shown that for every positive integer $M$ , the succession $M, f (M), f (f (M)), f (f (f (M))), \dots$ contains an element of $X$ .

Answer: X={1..9,19} src_archimede_1998_2livello__Q17

competition	Archimede Gara 2º livello 1998
year	1998
level	2 livello

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