Raggio del cerchio circoscritto a tre cerchi tangenti
Vi sono tre circonferenze tangenti esternamente a due a due. Esse hanno raggio uguale rispettivamente a 1, 2, 3. Il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo che ha per vertici i tre centri delle circonferenze è allora uguale a
- (A) 2
- (B) 2,5
- (C) 3
- (D) π
- (E) non è possibile determinarlo.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Ray of the circle surrounded by three tangent circles
There are three outer tangent circumferences of two to two. They have a radius equal to 1, 2, 3 respectively. The radius of the circumference surrounding the triangle having three centers of circumference as vertices is then equal to
- (A) 2
- (B) 2,5
- (C) 3
- (D) π
- (E) There’s no way to tell.
Answer: B src_archimede_1998_triennio__Q03
Confronto fra due numeri con esponenti irrazionali
Si considerino i due numeri x = √ 3 √ 2√ 2 e y = √ 2 √ 3√ 3 . Si ha che
- (A) x = y
- (B) x > y
- (C) x < y
- (D) x2 −y2 > 1
- (E) x e y non si possono confrontare.
Topic: Algebra, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Comparison between two numbers with irrational exponents
Consider the two numbers x = √ 3 √ 2 √ 2 and y = √ 2 √ 3 √ 3 . You have that
- (A) x = y
- (B) x > y
- (C) x < y
- (D) x2 −y2 > 1
- (E) x and y cannot be compared.
Answer: B src_archimede_1998_triennio__Q04
Valore di n con n lati e 4n diagonali
Un poligono regolare ha n lati e 4n diagonali. Quanto vale n?
- (A) 8
- (B) 9
- (C) 10
- (D) 11
- (E) 12.
Topic: Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
*Value of n with n sides and 4n diagonal *
A regular polygon has n sides and 4 n diagonals. How much is n?
- (A) 8
- (B) 9
- (C) 10
- (D) 11
- (E) 12.
Answer: D src_archimede_1998_triennio__Q05
Quale affermazione e sicuramente vera fra tre relazioni
Sappiamo che una sola delle tre seguenti relazioni è vera: x = 5, x > 5, x ≤5. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?
- (A) x = 5
- (B) x ̸= 5
- (C) x > 5
- (D) x < 5
- (E) x ≥5.
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Which statement is certainly true among three reports
We know that only one of the following three relationships is true: x = 5, x > 5, x ≤5. Which of the following is certainly true?
- (A) x = 5
- (B) x ̸= 5
- (C) x > 5
- (D) x < 5
- (E) x ≥5.
Answer: B src_archimede_1998_triennio__Q06
Area intersezione di due cerchi passanti per i centri
Due cerchi complanari di raggio 1 sono disposti in modo tale che la circonferenza di ognuno passa per il centro dell’altro. Qual è l’area dell’intersezione dei due cerchi?
- (A) √ 3 2
- (B) √ 3 + π 2
- (C) π 2
- (D) √ 3
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Area of intersection of two circles passing through the centres
Two planar circles of radius 1 are arranged in such a way that the circumference of each circle passes through the centre of the other. What is the area of the intersection of the two circles?
- (A) √ 3 2
- (B) √ 3 + π 2
- (C) π 2
- (D) √ 3
- (E) None of the previous ones.
Answer: E src_archimede_1998_triennio__Q07
Probabilita che i primi tre estratti siano crescenti
I numeri 1, 2, 3 e 4 vengono estratti da un’urna in un ordine qualsiasi. Qual è la probabilità che i primi 3 numeri estratti siano in ordine crescente?
- (A) 1 3
- (B) 1 4
- (C) 1 6
- (D) 1 8
- (E) 1 12.
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Probability of growth of the first three extracts
Numbers 1, 2, 3 and 4 are extracted from a single day in any order. What is the probability that the first three numbers extracted are in increasing order?
- (A) 1 3
- (B) 1 4
- (C) 1 6
- (D) 1 8
- (E) 1 12.
Answer: C src_archimede_1998_triennio__Q08
Angolo BCD dato angolo iscritto e diametro
Supponiamo che, nel cerchio in figura, l’angolo sia di 35°. Sia CD il diametro passante per C, quanto vale ?
- (A) 35°
- (B) 45°
- (C) 50°
- (D) 55°
- (E) nessuna delle precedenti. C A B b O D
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
BCD angle given the inscribed angle and diameter
Suppose, in the circle in the figure, the angle is 35°. Whether CD is the diameter passing through C, how much is ?
- (A) 35°
- (B) 45°
- (C) 50°
- (D) 55°
- (E) None of the previous ones. C A B b O D
Answer: D src_archimede_1998_triennio__Q10
Negazione di tutti i numeri perfetti sono pari
Qual è la negazione di “tutti i numeri perfetti sono pari”? (Non è necessario sapere cos’è un numero perfetto.)
- (A) Tutti i numeri perfetti sono dispari
- (B) c’è almeno un numero perfetto dispari
- (C) c’è almeno un numero pari che non è perfetto
- (D) nessun numero dispari è perfetto
- (E) nessun numero pari è perfetto.
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Negation of all perfect numbers is equal
What is the negation of all perfect numbers are equal? (You don’t have to know what a perfect number is.)
- (A) All perfect numbers are odd.
- (B) There’s at least one odd perfect number.
- (C) There is at least one even number that is not perfect.
- (D) No odd number is perfect.
- (E) No number is perfect.
Answer: B src_archimede_1998_triennio__Q11
Massima variazione del volume di un parallelepipedo
Segando un pezzo di legno a forma di parallelepipedo rettangolo si vuole estrarre un altro parellelepipedo di dimensioni 3 cm × 4 cm × 5 cm facendo tre tagli paralleli alle facce. Lavorando con la sega si può solo garantire che le dimensioni reali si discosteranno di al più 1 mm da quelle desiderate. Quanto si può discostare, al più, il volume del parallelepipedo costruito da quello del parallelepipedo desiderato?
- (A) Circa 0,5 cm3
- (B) circa 1,2 cm3
- (C) circa 2 cm3
- (D) circa 2,4 cm3
- (E) circa 4,8 cm3.
Topic: Geometria solida Abilita: Stima e approssimazione Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Maximum change in the volume of a parallel piped
By sewing a piece of wood in the shape of a rectangular parallel-piped, another 3 cm × 4 cm × 5 cm diameter parallel-piped pair is extracted by making three parallel cuts to the faces. Working with the saw can only ensure that the actual dimensions will differ by no more than 1 mm from those desired. How far can the volume of the parallel piped constructed from that of the desired parallel piped be diverted at most?
- (A) Approximately 0,5 cm3
- (B) about 1.2 cm3
- (C) about 2 cm3
- (D) about 2.4 cm3
- (E) about four and a half inches.
Answer: E src_archimede_1998_triennio__Q12
Probabilita somma di tre dadi minore o uguale a 5
Qual è la probabilità che lanciando tre volte un dado la somma dei valori ottenuti sia minore o uguale a 5?
- (A) Meno del 3%
- (B) tra 3% e 5%
- (C) tra 5% e 7%
- (D) tra 7% e 9%
- (E) più del 9%.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Probability sum of three dice less than or equal to 5
What is the probability that by throwing a dice three times the sum of the values obtained is less than or equal to 5?
- (A) Less than 3%
- (B) between 3% and 5%
- (C) between 5% and 7%
- (D) between 7% and 9%
- (E) more than 9%.
Answer: B src_archimede_1998_triennio__Q13
Quale affermazione e sicuramente falsa dato xy<x
Siano x e y numeri reali tali che xy < x. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa?
- (A) x2y > x2
- (B) y ≥1
- (C) xy2 > xy + 3
- (D) xy2 = xy
- (E) x2 + y2 ≤4(y −1).
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Which statement is definitely false given xy<x
Let x and y be real numbers such that xy < x. Which of the following claims is definitely false?
- (A) x2y > x2
- (B) y ≥1
- (C) xy2 > xy + 3
- (D) xy2 = xy
- (E) x2 + y2 ≤4(y −1).
Answer: E src_archimede_1998_triennio__Q15
Quanti anni compie Barbara dato il numero di tagli
Antonio e Barbara compiono gli anni lo stesso giorno. Antonio compie 7 anni e, sistemando opportunamente le candeline, con tre tagli rettilinei può dividere la sua torta di compleanno in modo che ogni parte contenga esattamente una candelina (vedi figura a fianco). Barbara riesce a fare la stessa operazione con la sua torta facendo 4 tagli rettilinei, ma sa che il prossimo anno 4 tagli non basteranno più, comunque siano disposte le candeline. Quanti anni compie Barbara?
- (A) 9
- (B) 10
- (C) 11
- (D) 14
- (E) 16.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
How old is Barbara given the number of cuts*
Antonio and Barbara are coming of age on the same day. Antonio turns 7 and, by correctly arranging the candlesticks, with three straight cuts he can divide his birthday cake so that each part contains exactly one candlestick (see figure next to it). Barbara manages to do the same operation with her cake by making four straight cuts, but she knows that next year four cuts won’t be enough, no matter what the candles are. How old is Barbara?
- (A) 9
- (B) 10
- (C) 11
- (D) 14
- (E) 16. b b b b b b b
Answer: C src_archimede_1998_triennio__Q16
Quale triangolo del baricentro ha area massima
Sia G il baricentro del triangolo ABC. Sapendo che AB < AC < BC, quale fra i triangoli GAB, GAC, GBC ha area massima?
- (A) GAB
- (B) GAC
- (C) GBC
- (D) hanno tutti la stessa area
- (E) dipende dalle lunghezze dei lati di ABC.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Which triangle of the center of the beam has maximum area
Let G be the center of the ABC triangle. Knowing that AB < AC < BC, which of the triangles GAB, GAC, GBC has maximum area?
- (A) GAB
- (B) GAC
- (C) GBC
- (D) They all have the same area.
- (E) depends on the lengths of the sides of the ABC.
Answer: D src_archimede_1998_triennio__Q17
Piu piccolo intero di cinque cifre divisibile per 3 e 13
Qual è il più piccolo intero di cinque cifre divisibile per 3 e per 13?
- (A) 10011
- (B) 10020
- (C) 10036
- (D) 10062
- (E) nessuno dei precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Little five-digit integer divisible by 3 and 13
What’s the smallest integer of five digits divisible by 3 and 13?
- (A) 10011
- (B) 10020
- (C) 10036
- (D) 10062
- (E) None of the above.
Answer: E src_archimede_1998_triennio__Q18
Eta di Sara dalla somma delle cifre delle eta
Due matematici, Andrea e Sara, si incontrano una sera. Andrea dice “la somma delle cifre della mia età è uguale alla somma delle cifre della tua età”, e Sara risponde “ma il prossimo anno la mia somma sarà il quadruplo della tua”, al che Andrea ribatte “sì, ma fra due anni le nostre somme saranno nuovamente uguali”. Tenuto conto che nessuno dei due ha ancora raggiunto i 100 anni, quanti anni ha Sara?
- (A) Meno di 20
- (B) tra 21 e 30
- (C) tra 31 e 40
- (D) più di 40
- (E) non si può stabilire univocamente.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
*Sara’s age from the sum of the age figures *
Two mathematicians, Andrea and Sara, meet one evening. Andrea says the sum of the numbers of my age is equal to the sum of the numbers of your age, and Sarah answers but next year my sum will be four times your, to which Andrea replies yes, but in two years our sums will be equal again. Considering that neither of them has yet reached their 100th birthday, how old is Sara?
- (A) Less than 20
- (B) between 21 and 30
- (C) between 31 and 40
- (D) more than 40
- (E) It is not possible to establish it uniquely.
Answer: C src_archimede_1998_triennio__Q20
Volume di una piramide dal suo sviluppo
La figura a fianco è lo sviluppo di una piramide retta avente come base un triangolo equilatero di lato 1 e come facce laterali tre triangoli rettangoli isosceli uguali. Il volume della piramide è
- (A) 1 24
- (B) √ 2 24
- (C) √ 3 24
- (D) 1 12
- (E) √ 5 24 .
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Volume of a pyramid since its development
The figure next to it is the development of a straight pyramid having as its base an equilateral triangle of side 1 and as its side faces three equal isosceles rectangles. The volume of the pyramid is
- (A) 1 24
- (B) √ 2 24
- (C) √ 3 24
- (D) 1 12
- (E) √ 5 24 .
Answer: B src_archimede_1998_triennio__Q21
Quale espressione e la meta di 4 alla 1998
Quale fra le seguenti espressioni rappresenta la metà di 41998?
- (A) 21998
- (B) 41997
- (C) 2999
- (D) 4999
- (E) 23995.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
What is the expression and goal of 4 at 1998
Which of the following is the half of 1998?
- (A) 21998
- (B) 41997
- (C) 2999
- (D) 4999
- (E) 23995.
Answer: E src_archimede_1998_triennio__Q23
Quale numero non divide 100 fattoriale
Quale dei seguenti numeri NON divide 100! (ricordiamo che 100! = 100 · 99 98 · · 3 · 2 · 1)?
- (A) 1968
- (B) 1988
- (C) 1998
- (D) 2008
- (E) 2048.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Which number does not divide 100 by factor
Which of the following numbers does NOT divide 100? (Remember that 100! = 100 · 99 · 98 · · 3 · 2 · 1)?
- (A) 1968
- (B) 1988
- (C) 1998
- (D) 2008
- (E) 2048.
Answer: D src_archimede_1998_triennio__Q25