Archimede Gara 2º livello 1999

Quanti posti nei palchi di un teatro da 960

Un teatro ha 960 posti, divisi nelle tre sezioni platea, palchi, galleria. In platea ci sono 370 poltrone, mentre il numero di posti in galleria è inferiore di 290 rispetto a quello dei palchi. Quanti sono i posti nei palchi?

• (A) 150
• (B) 390
• (C) 315
• (D) 140
• (E) nessuna delle precedenti.

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

How many seats on the stages of a theatre from 960

A theatre has 960 seats, divided into three sections: auditorium, stage, gallery. There are 370 seats in the audience, while the number of seats in the gallery is 290 less than on the stages. How many seats are on the stages?

• (A) 150
• (B) 390
• (C) 315
• (D) 140
• (E) None of the previous ones.

Answer: D src_archimede_1999_2livello__Q01

Quante soluzioni reali ha il sistema x²y=150, x³y²=4500

Quante soluzioni reali ha il sistema $\{\begin{array}{l}{x}^{2}y=150\\ x{y}^2=1500\end{array}$

• (A) Nessuna
• (B) una
• (C) più di una, ma meno di cinque
• (D) un numero finito, ma almeno cinque
• (E) infinite.

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

How many real solutions does the system have x2y=150, x3y2=4500

How many real solutions does the $\{\begin{array}{l}{x}^{2}y=150\\ x{y}^2=1500\end{array}$ system have

• (A) None of them .
• (B) One .
• (C) more than one, but less than five
• (D) a finite number, but at least five
• (E) I’m not going to end it.

Answer: B src_archimede_1999_2livello__Q02

Area della regione definita da cerchio e striscia

Determinare l’area della parte di piano definita da $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4y\le 0\\ x^2-4x+3\ge 0\end{array}$

• (A) $\frac{2\pi }{3}-2$
• (B) $\pi -\sqrt{3}$
• (C) $\frac{\pi }{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• (D) $\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}$
• (E) nessuna delle precedenti.

Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Area of the region defined by circle and strip

Determine the area of the plan part defined by $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4y\le 0\\ x^2-4x+3\ge 0\end{array}$

• (A) $\frac{2\pi }{3}-2$
• (B) $\pi -\sqrt{3}$
• (C) $\frac{\pi }{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• (D) $\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}$
• (E) None of the previous ones.

Answer: D src_archimede_1999_2livello__Q03

Rapporto superfici laterali di cilindro e cono uguali

Un cilindro retto $X$ ed un cono retto $Y$ hanno lo stesso raggio di base e la stessa altezza. Allora il rapporto fra le superfici laterali di $X$ e $Y$:

• (A) è sempre uguale al rapporto dei loro volumi
• (B) può essere uguale al rapporto dei loro volumi (dipende dalle altezze)
• (C) è sempre $\frac{2}{3}$ del rapporto dei loro volumi
• (D) è sempre maggiore del rapporto dei loro volumi
• (E) è sempre minore del rapporto dei loro volumi.

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Ratio of cylinder and cone side surfaces equal

A straight cylinder $X$ and a straight cone $Y$ have the same base radius and the same height. Then the ratio between the lateral surfaces of $X$ and $Y$:

• (A) It’s always equal to the ratio of their volumes.
• (B) can be equal to the ratio of their volumes (depending on altitude)
• (C) is always $\frac{2}{3}$ of their volume ratio
• (D) It’s always greater than the ratio of their volumes.
• (E) It’s always less than the ratio of their volumes.

Answer: E src_archimede_1999_2livello__Q04

Identificare il parente nella relazione familiare di Alberto

Una delle seguenti persone è “zio del fratello della figlia della nuora del padre di Alberto”. Si tratta di:

• (A) Alberto stesso
• (B) suo padre
• (C) suo nonno
• (D) suo figlio
• (E) suo suocero.

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

Identify the relative in the family relationship of Alberto

One of the following persons is “the brother-in-law of Alberto’s father’s daughter-in-law’s brother”. This is:

• (A) Albert himself
• (B) his father.
• (C) his grandfather
• (D) his son.
• (E) His father-in-law.

Answer: A src_archimede_1999_2livello__Q05

Area ombreggiata con circonferenze di raggio noto

Determinare l’area della parte ombreggiata, sapendo che la circonferenza più grande ha raggio 1. (vedi figura)

• (A) $(2+\pi )(1+\sqrt{2})$
• (B) $(2+\pi )(2-\sqrt{2})$
• (C) $(1-\pi )(1+\sqrt{2})$
• (D) $(1-\pi )(3-2\sqrt{2})$
• (E) $(\sqrt{2}+\pi )(1+2\sqrt{2})$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Shaded area with known radius circumference

Determine the area of the shaded part, knowing that the largest circumference is radius 1. (see figure)

• (A) $(2+\pi )(1+\sqrt{2})$
• (B) $(2+\pi )(2-\sqrt{2})$
• (C) $(1-\pi )(1+\sqrt{2})$
• (D) $(1-\pi )(3-2\sqrt{2})$
• (E) $(\sqrt{2}+\pi )(1+2\sqrt{2})$.

Answer: D src_archimede_1999_2livello__Q06

Affermazione vera con quantificatori nei razionali

Quale delle seguenti affermazioni è vera nell’insieme dei numeri razionali?

• (A) Per ogni $x$ c’è un $y$ tale che per ogni $z$ si ha $x+y+z=x$
• (B) per ogni $x$ c’è un $y$ tale che per ogni $z$ si ha $x+y+z=z$
• (C) per ogni $x$ c’è un $y$ tale che per ogni $z$ si ha $xyz=x$
• (D) per ogni $x$ c’è un $y$ tale che per ogni $z$ si ha $xyz=z$
• (E) nessuna delle affermazioni precedenti è corretta.

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

True statement with quantifiers in the rationales

Which of the following statements is true in the set of rational numbers?

• (A) For each $x$ there is a $y$ such that for each $z$ there is $x+y+z=x$
• (B) For each $x$ there is a $y$ such that for each $z$ there is $x+y+z=z$
• (C) For each $x$ there is a $y$ such that for each $z$ there is $xyz=x$
• (D) For each $x$ there is a $y$ such that for each $z$ there is $xyz=z$
• (E) None of the above statements are correct.

Answer: B src_archimede_1999_2livello__Q07

Quale numero è divisore di mcm degli interi 1..100

Sia $M$ il minimo comune multiplo di tutti gli interi compresi fra 1 e 100. Quale dei seguenti numeri è un divisore di $M$?

• (A) 1990
• (B) 2000
• (C) 2002
• (D) 2001
• (E) 2020.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

What is the number that is divided by the mcm of the integers 1.100

Be $M$ the common minimum multiple of all integers between 1 and 100. Which of the following numbers is a divisor of $M$?

• (A) 1990
• (B) 2000
• (C) 2002
• (D) 2001
• (E) 2020.

Answer: C src_archimede_1999_2livello__Q08

Soluzioni intere positive di x^x - 2^x - x² = 10

Quante sono le soluzioni intere positive dell’equazione $x^x-2x-x^2=0$?

• (A) Nessuna
• (B) una
• (C) due
• (D) più di due, ma un numero finito
• (E) infinite.

Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

*Positive integer solutions of x^x - 2^x - x2 = 10 *

How many positive integer solutions of the $x^x-2x-x^2=0$ equation are there?

• (A) None of them .
• (B) One .
• (C) two
• (D) more than two, but a finite number
• (E) I’m not going to end it.

Answer: B src_archimede_1999_2livello__Q09

Area di trapezio isoscele con diagonale e angolo dati

In un trapezio isoscele, una diagonale è lunga 22 cm; si sa inoltre che tale diagonale forma con la base maggiore un angolo di $45°$. Quanto vale l’area del trapezio?

• (A) $121{\text{ cm}}^2$
• (B) $242{\text{ cm}}^2$
• (C) $484{\text{ cm}}^2$
• (D) i dati sono insufficienti
• (E) nessuna delle precedenti.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Isosceles trapezoidal area with diagonal and angle data

In an isosceles trapezoid, a diagonal is 22 cm long; it is also known that such a diagonal forms an angle of $45°$ with the major base. How much is the area of the trapezoid?

• (A) $121{\text{ cm}}^2$
• (B) $242{\text{ cm}}^2$
• (C) $484{\text{ cm}}^2$
• (D) The data are insufficient.
• (E) None of the previous ones.

Answer: B src_archimede_1999_2livello__Q10

Disposizione oraria con massima probabilità di evitare l’ultima ora

La professoressa Scappavia insegna matematica in una scuola in cui si fanno 6 ore al giorno di lezione, dal lunedì al venerdì. Il suo orario settimanale prevede 18 ore di insegnamento ed ella, per ragioni personali, gradirebbe non insegnare mai nell’ultima ora di lezione. La commissione che fa l’orario concede però alla professoressa solo di scegliere la suddivisione giornaliera delle sue ore di lavoro, dopodiché il suo orario verrà sorteggiato a caso. Quale delle seguenti disposizioni conviene scegliere alla professoressa per avere la maggior probabilità di non avere mai l’ultima ora di lezione?

• (A) $5\text{-}5\text{-}4\text{-}2\text{-}2$
• (B) $5\text{-}4\text{-}4\text{-}3\text{-}2$
• (C) $4\text{-}4\text{-}4\text{-}4\text{-}2$
• (D) $4\text{-}4\text{-}4\text{-}3\text{-}3$
• (E) sono tutte equivalenti.

Topic: Probabilita e statistica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3

Time setting with maximum likelihood of avoiding the last hour

Professor Scappavia teaches mathematics at a school where classes are given six hours a day, Monday through Friday. Her weekly teaching schedule is 18 hours and she would like to never teach in the last hour of class for personal reasons. However, the timetable committee only allows the professor to choose the daily breakdown of her working hours, after which her time will be randomly drawn. Which of the following arrangements should the professor choose so that she is most likely to never have the last hour of class?

• (A) $5\text{-}5\text{-}4\text{-}2\text{-}2$
• (B) $5\text{-}4\text{-}4\text{-}3\text{-}2$
• (C) $4\text{-}4\text{-}4\text{-}4\text{-}2$
• (D) $4\text{-}4\text{-}4\text{-}3\text{-}3$
• (E) They’re all equivalent.

Answer: D src_archimede_1999_2livello__Q11

Cifra delle unità di somma di torri di potenze di 2

Qual è la cifra delle unità del numero $2^{2^1}+2^{2^2}+2^{2^3}+2^{2^4}+\dots +2^{2^{100}}$?

• (A) 0
• (B) 2
• (C) 4
• (D) 6
• (E) 8.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3

Number of power tower sum units of 2

What is the unit number of the number $2^{2^1}+2^{2^2}+2^{2^3}+2^{2^4}+\dots +2^{2^{100}}$?

• (A) 0
• (B) 2
• (C) 4
• (D) 6
• (E) 8.

Answer: B src_archimede_1999_2livello__Q12

Piazzamenti nello sprint che fanno vincere Cipollini

Ad una gara a punti su pista partecipano nove concorrenti. Ad ogni traguardo intermedio vengono assegnati 9 punti al primo, 8 al secondo, 7 al terzo e così via fino ad assegnare 1 punto all’ultimo. Prima dell’ultimo sprint (in cui il punteggio assegnato vale doppio) la classifica vede al comando Abdujaparov con 7 punti di vantaggio su Boardman e 9 su Cipollini. Gli altri concorrenti hanno un distacco in punti tale da non consentire più loro di aggiudicarsi la gara. Quanti sono i possibili differenti piazzamenti dei tre corridori nell’ultimo sprint che permettono a Cipollini di vincere la gara?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 30 Fonte: apri PDF p.3

Places in the sprint that make Cipollini win

Nine competitors take part in a points race on the track. For each intermediate goal, 9 points are awarded to the first, 8 to the second, 7 to the third and so on until 1 point is awarded to the last. Prior to the last sprint (in which the awarded score is double) the ranking saw Abdujaparov in command with 7 points lead over Boardman and 9 over Cipollini. The other competitors have such a set of points that they can no longer win the competition. How many different possible placements of the three runners in the last sprint allow Cipollini to win the race?

Answer: 30 src_archimede_1999_2livello__Q13

Naturali con 3 cifre in base 10 e 7 in base 2

Quanti sono i numeri naturali che in base 10 si scrivono con 3 cifre e in base 2 si scrivono con 7 cifre?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 28 Fonte: apri PDF p.3

Natural with 3 digits on base 10 and 7 on base 2

How many natural numbers are on base 10 written with three digits and on base 2 written with seven digits?

Answer: 28 src_archimede_1999_2livello__Q14

Giri della ruota a perché il sistema torni iniziale

Quattro ruote $a$, $b$, $c$, $d$ collegate tramite una cinghia e aventi rispettivamente raggi 14, 15, 16 e 18 sono disposte come in figura in modo che il sistema sia libero di ruotare senza che la cinghia possa slittare. Dopo quanti giri della ruota $a$ il sistema torna per la prima volta nella posizione iniziale? (vedi figura)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 360 Fonte: apri PDF p.3

Turn the wheel to restore the system to initial operation

Four wheels $a$, $b$, $c$, $d$ connected by a belt and having beams 14, 15, 16 and 18 respectively shall be arranged as shown in the figure so that the system is free to rotate without the belt slipping. After how many turns of the $a$ wheel does the system return to its initial position for the first time? (see figure)

Answer: 360 src_archimede_1999_2livello__Q15

Quanti pesci ha pescato Andrea (riduzioni del 38%)

ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Andrea torna dalla pesca con una borsa piena di pesci. Giunto a casa, dà al più grande dei suoi due gatti i tre pesci più grossi: così facendo il peso della borsa si riduce del 38%. A questo punto dà all’altro gatto i tre pesci più piccoli: così facendo il peso della borsa si riduce nuovamente del 38% (rispetto però al peso successivo alla nutrizione del primo gatto). Quanti pesci ha pescato Andrea? (Si trascuri il peso della borsa rispetto a quello dei pesci).

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 10 Fonte: apri PDF p.4

*How many fish has Andrea caught (reduction of 38%) *

This is the first time I’ve seen this.

Andrea comes back from fishing with a bag full of fish. When he gets home, he gives the biggest of his two cats the three biggest fishes, thus reducing the weight of the bag by 38 percent. At this point he gives the other cat the three smaller fishes: thus the weight of the bag is reduced again by 38% (compared to the weight after the first cat’s nutrition). How many fish did Andrea catch? (The weight of the bag is neglected compared to that of the fish).

Answer: 10 src_archimede_1999_2livello__Q16

Pentagono inscritto con diagonali parallele ai lati è regolare

ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Dimostrare che un pentagono inscritto in una circonferenza e tale che ogni sua diagonale sia parallela ad un lato, è necessariamente regolare.

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5

Pentagon inscribed with diagonal parallel sides is regular

This is the first time I’ve seen this.

To demonstrate that a pentagon is inscribed in a circumference such that each of its diagonal is parallel to one side, is necessarily regular.

src_archimede_1999_2livello__Q17