Perimetro di un frutteto rettangolare con 35 alberi
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\foreach \y in {0,1,2,3,4} {
\fill (0,\y) circle (2.2pt);
\fill (1,\y) circle (2.2pt);
\fill (4,\y) circle (2.2pt);
}
\foreach \y in {0,4} { \node at (2.5,\y) {$\cdots$}; }
\node[above left] at (0,4) {$D$};
\node[above right] at (4,4) {$C$};
\node[below left] at (0,0) {$A$};
\node[below right] at (4,0) {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In un frutteto rettangolare c’è un albero ogni 4 metri (come in figura). Sapendo che ci sono 35 alberi, quanto misura il perimetro del rettangolo che ha per vertici i punti in cui ci sono gli alberi A, B, C, D?
- (A) 70
- (B) 80
- (C) 96
- (D) 140
- (E) non si può determinare univocamente.
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Perimeter of a rectangular fruit tree with 35 trees
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\foreach \y in {0,1,2,3,4} {
\fill (0,\y) circle (2.2pt);
\fill (1,\y) circle (2.2pt);
\fill (4,\y) circle (2.2pt);
}
\foreach \y in {0,4} { \node at (2.5,\y) {$\cdots$}; }
\node[above left] at (0,4) {$D$};
\node[above right] at (4,4) {$C$};
\node[below left] at (0,0) {$A$};
\node[below right] at (4,0) {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In a rectangular orchard there is a tree every 4 meters (as shown in the figure). Knowing that there are 35 trees, what is the perimeter of the rectangle that has the points of vertices where there are trees A, B, C, D?
- (A) 70
- (B) 80
- (C) 96
- (D) 140
- (E) It cannot be determined uniquely.
Answer: C src_archimede_1999_triennio__Q01
Quale disuguaglianza e sempre verificata se x>y
Siano x e y due numeri reali tali che x > y. Quali delle seguenti disuguaglianze è sempre verificata?
- (A) x2 > xy
- (B) x2 > y2
- (C) x/y > 1
- (D) x3 > y3
- (E) x4 > y4.
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Which inequality is always found if x>y
Let x and y be two real numbers such that x > y. Which of the following inequalities has always occurred?
- (A) x2 > xy
- (B) x2 > y2
- (C) x/y > 1
- (D) x3 > y3
- (E) x4 > y4.
Answer: D src_archimede_1999_triennio__Q09
Dopo quanti giri il ciclista veloce raggiunge l’altro
Due ciclisti partono contemporaneamente da due punti diametralmente opposti di una pista circolare lunga 400 m. Essi girano nello stesso senso a velocità costante di 35 km/h e 40 km/h rispettivamente. Dopo quanti giri il ciclista più veloce raggiungerà l’altro?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 6
- (E) 8.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
After several laps the fastest rider reaches the other
Two cyclists start simultaneously from two diametrically opposite points on a 400 m circular track. They rotate in the same direction at a constant speed of 35 km/h and 40 km/h respectively. After how many laps will the fastest rider reach the other?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 6
- (E) 8.
Answer: C src_archimede_1999_triennio__Q10
Numero in posizione 1999 fra i non multipli di 2 e 3
Scriviamo in ordine crescente tutti i numeri interi positivi che non sono n´e multipli di 2 n´e multipli di 3. Quale numero si trova in 1999–esima posizione?
- (A) 1999
- (B) 3997
- (C) 5995
- (D) 11989
- (E) nessuno dei precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Number in position 1999 between non-multiples of 2 and 3
Let’s write in increasing order all positive integers that are not n times 2 and multiples of 3. What number is in 1999?
- (A) 1999
- (B) 3997
- (C) 5995
- (D) 11989
- (E) None of the above.
Answer: C src_archimede_1999_triennio__Q11
Rapporto fra aree di triangolo interno e ABC
Sui tre lati AB, BC, CA di un triangolo ABC si considerino rispettivamente tre punti L, M, N tali che AL = 1 2BL, BM = 1 2MC, CN = 1 2NA. Qual è il rapporto fra l’area del triangolo LMN e quella del triangolo ABC?
- (A) 1 4
- (B) 1 3
- (C) 5 12
- (D) 1 2
- (E) dipende dal particolare triangolo considerato.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Ratio between interior triangle areas and ABC
On the three sides AB, BC, CA of an ABC triangle, three points L, M, N such that AL = 1 2BL, BM = 1 2MC, CN = 1 2NA are considered respectively. What is the relationship between the area of the LMN triangle and that of the ABC triangle?
- (A) 1 4
- (B) 1 3
- (C) 5 12
- (D) 1 2
- (E) depends on the particular triangle in question.
Answer: B src_archimede_1999_triennio__Q12
Stima di x = 99 meno 70 radice di 2
Sia x = 99 −70 √ 2. Allora
- (A) x ≤−1 100
- (B) −1 100 < x < 0
- (C) x = 0
- (D) 0 < x < 1 100
- (E) x ≥ 1 100.
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Estimate of x = 99 minus 70 roots of 2
Whether x = 99 −70 √ 2. So, what?
- (A) x ≤−1 100
- (B) −1 100 < x < 0
- (C) x = 0
- (D) 0 < x < 1 100
- (E) x ≥ 1 100.
Answer: D src_archimede_1999_triennio__Q13
Che ore sono data la lancetta sul minuto 23
Un orologio analogico ha perso la lancetta dei minuti, ma funziona ancora correttamente. La lancetta delle ore è in corrispondenza del minuto 23. Sapendo che è pomeriggio, che ore sono?
- (A) Le 15:23
- (B) le 16:23
- (C) le 16:30
- (D) le 16:36
- (E) le 16:40.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
*What time is the bid on the 23rd minute *
An analog clock has lost its minute’s edge, but it’s still working properly. The hour’s clock is on the 23rd minute. Knowing it’s afternoon, what time is it?
- (A) Le 15:23
- (B) le 16:23
- (C) le 16:30
- (D) le 16:36
- (E) le 16:40.
Answer: D src_archimede_1999_triennio__Q14
Cifra delle unita della somma dei primi 25 primi
Sia N la somma dei 25 numeri primi più piccoli. La cifra delle unità di N è uguale a
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 7
- (D) 9
- (E) 0. NOTA. Si ricorda che il numero 1 non è considerato primo e che quindi il numero primo più piccolo è 2.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*Number of units of the sum of the first 25 prime *
Let N be the sum of the 25 smallest prime numbers. The number of units of N is equal to
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 7
- (D) 9
- (E) 0. I’m going to take note. Remember that number 1 is not considered prime and so the smallest prime number is 2.
Answer: E src_archimede_1999_triennio__Q15
Quante radici reali di una equazione esponenziale
Quante radici reali possiede l’equazione 9 −2x = 23−x?
- (A) Due
- (B) più di due, ma un numero finito
- (C) nessuna
- (D) infinite
- (E) una.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
*How many real roots of an exponential equation *
How many real roots does the equation 9 −2x = 23−x have?
- (A) Two
- (B) more than two, but a finite number
- (C) None of them.
- (D) Endless
- (E) One of them.
Answer: A src_archimede_1999_triennio__Q16
Eventualita piu probabile pescando 8 calze
Nel mio cassetto ci sono 8 calze blu e 8 calze nere, alla rinfusa. Pesco al buio 8 calze a caso. Quale tra le seguenti è l’eventualità più probabile?
- (A) Pescare 4 calze di un colore e 4 di un altro
- (B) pescare 5 calze di un colore e 3 di un altro
- (C) pescare 6 calze di un colore e 2 di un altro
- (D) pescare 7 calze di un colore e 1 di un altro
- (E) pescare 8 calze di un colore e 0 di un altro.
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Most likely event by fishing 8 socks
In my drawer, there are eight blue socks and eight black socks. I fish in the dark eight socks at a time. Which of the following is the most likely eventuality?
- (A) Fishing 4 socks of one color and 4 of another
- (B) 5 socks of one colour and 3 of another
- (C) 6 socks of one colour and 2 of another
- (D) 7 socks of one colour and 1 colour of another
- (E) Fishing 8 socks of one color and 0 of another.
Answer: B src_archimede_1999_triennio__Q17
Quale affermazione su poligoni e corretta
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
- (A) Se un quadrilatero ha tutti i lati uguali, allora ha anche tutti gli angoli uguali
- (B) Se un quadrilatero ha tutti gli angoli uguali, allora ha anche tutti i lati uguali
- (C) Se un quadrilatero ha due angoli uguali, allora ha anche due lati uguali
- (D) Esiste un triangolo con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali
- (E) Esiste un pentagono con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali.
Topic: Geometria piana, Logica, giochi, strategie Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Which statement on polygons is correct
Which of the following is correct?
- (A) If a quadrilateral has all the same sides, then it also has all the same angles.
- (B) If a quadrilateral has all the same angles, then it also has all the same sides.
- (C) If a quadrilateral has two equal angles, then it also has two equal sides.
- (D) There’s a triangle with all the same angles, but not all the sides are the same.
- (E) There’s a pentagon with all the same angles, but not all the sides are the same.
Answer: E src_archimede_1999_triennio__Q18
In quanti modi disporre 3 ragazzi e 3 ragazze
In quanti modi si possono disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per una foto di gruppo, sistemando i 3 ragazzi accovacciati e le 3 ragazze in piedi dietro di loro?
- (A) 9
- (B) 24
- (C) 36
- (D) 54
- (E) 81.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
How many ways to have 3 boys and 3 girls
How many ways can you arrange three boys and three girls for a group photo, placing the three boys squatting and the three girls standing behind them?
- (A) 9
- (B) 24
- (C) 36
- (D) 54
- (E) 81.
Answer: C src_archimede_1999_triennio__Q19
Raggio di un cerchio tangente a due lati e passante per A
Un quadrato ABCD è inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Qual è la lunghezza del raggio della circonferenza che passa per A ed è tangente ai lati BC e CD?
- (A) 1 2
- (B) 2( √ 2 −1)
- (C) 3 4
- (D) √ 2
- (E) √ 2 2 .
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Ray of a tangent circle on two sides passing through A
A square ABCD is inscribed in a unit radius circumference. What is the length of the radius of the circumference passing through A and tangent to the sides BC and CD?
- (A) 1 2
- (B) 2( √ 2 −1)
- (C) 3 4
- (D) √ 2
- (E) √ 2 2 .
Answer: B src_archimede_1999_triennio__Q21
Quale numero non e esprimibile come a/b + b/a
Quale dei seguenti numeri non può essere scritto nella forma a b + b a con a e b interi positivi?
- (A) 25 12
- (B) 10 3
- (C) 7 3
- (D) 17 4
- (E) 29 10.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Which number cannot be expressed as a/b + b/a
Which of the following numbers cannot be written in the form a b + b a with a and b positive integers?
- (A) 25 12
- (B) 10 3
- (C) 7 3
- (D) 17 4
- (E) 29 10.
Answer: C src_archimede_1999_triennio__Q22
Cosa dedurre dalle affermazioni di Andrea sui furfanti
Nell’isola dei cavalieri e dei furfanti i cavalieri dicono sempre la verità ed i furfanti mentono sempre. Supponi di incontrarvi Andrea che dice “Bruno afferma che Carlo è un furfante, ma Carlo afferma che Diego è un furfante e Diego afferma che Bruno è un furfante”. Che cosa puoi dedurne?
- (A) Bruno, Carlo e Diego sono tutti furfanti
- (B) Bruno, Carlo e Diego sono tutti cavalieri
- (C) tra Bruno, Carlo e Diego ci sono due furfanti e un cavaliere
- (D) tra Bruno, Carlo e Diego ci sono due cavalieri e un furfante
- (E) Andrea è un furfante.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
What to deduce from Andrea’s claims about thieves
On the island of knights and crooks the knights always tell the truth and the crooks always lie. Suppose you meet Andrea who says Bruno says Carlo is a cunning man, but Carlo says Diego is a cunning man and Diego says Bruno is a cunning man. What can you tell me?
- (A) Bruno, Carlo and Diego are all cunning.
- (B) Bruno, Carlo and Diego are all knights.
- (C) Between Bruno, Carlo and Diego, there are two crooks and a knight.
- (D) Between Bruno, Carlo and Diego, there are two knights and a con man.
- (E) Andrea is a con man.
Answer: E src_archimede_1999_triennio__Q23
Minimo numero di cifre di n con 3 e 5 divisibile per 11
L’intero n > 0 in base dieci si scrive solo con le cifre 3 e 5 ed ha un numero dispari di cifre. Inoltre è divisibile per 11. Qual è il minimo numero di cifre che può avere n?
- (A) 5
- (B) 7
- (C) 11
- (D) 15
- (E) non esiste un tale n.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minimum number of digits of n with 3 and 5 divisible by 11
The whole n > 0 in base ten is written only with the digits 3 and 5 and has an odd number of digits. Plus it’s divisible by 11. What’s the minimum number of digits you can have n?
- (A) 5
- (B) 7
- (C) 11
- (D) 15
- (E) There is no such number.
Answer: B src_archimede_1999_triennio__Q24
Distanza da O per corde una doppia dell’altra
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw (0,0) circle (2);
\draw (1,0) circle (1);
\draw (1,-1.732) -- (1,1.732);
\draw (-2,0) -- (2,0);
\fill (1,0) circle (1.3pt);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\node[below right] at (1,0) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Le circonferenze disegnate a fianco hanno raggio 2 e 1 e sono tangenti internamente nel punto A. A che distanza da O deve essere il punto P affinch´e le corde intercettate dalla perpendicolare in P ad OA siano di lunghezza una il doppio dell’altra?
- (A) 1 6
- (B) 1 3
- (C) 1 2
- (D) 2 3
- (E) 3 4. O b P A
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
*Distance from O by two strings of the other *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw (0,0) circle (2);
\draw (1,0) circle (1);
\draw (1,-1.732) -- (1,1.732);
\draw (-2,0) -- (2,0);
\fill (1,0) circle (1.3pt);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\node[below right] at (1,0) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The circles drawn next to each other have radii 2 and 1 and are tangent internally at point A. How far from O must the point P be so that the strings intercepted by the perpendicular in P at OA are twice the length of the other?
- (A) 1 6
- (B) 1 3
- (C) 1 2
- (D) 2 3
- (E) 3 4. O b P A
Answer: D src_archimede_1999_triennio__Q25