Archimede Gara 2º livello 2000

Quale spigolo aumentare per massimo incremento di volume

Un parallelepipedo retto ha spigoli di lunghezza $a$, $b$, $c$, con $a<b<c$. Se la lunghezza di uno degli spigoli viene aumentata di una quantità $q$, allora il volume del parallelepipedo aumenta. In quale dei seguenti casi si ha il massimo incremento di volume?

• (A) Quando viene aumentato $a$
• (B) quando viene aumentato $b$
• (C) quando viene aumentato $c$
• (D) l’incremento è lo stesso in ogni caso
• (E) dipende dai particolari valori di $a$, $b$, $c$.

Topic: Geometria solida Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

Which beam to increase for maximum volume increase

A straight parallel piped has lengths of $a$, $b$, $c$, with $a<b<c$. If the length of one of the shoulders is increased by a quantity $q$, then the volume of the paralelepiped increases. In which of the following cases does the volume increase the most?

• (A) When increased $a$
• (B) when $b$ is increased
• (C) when $c$ is increased
• (D) The increase is the same in any case.
• (E) depends on the specific values of $a$, $b$, $c$.

Answer: A src_archimede_2000_2livello__Q01

Area del sottoinsieme definito da cerchio e semipiano

Sia $A$ l’area del sottoinsieme del piano costituito dai punti $(x,y)$ che verificano le due relazioni $x^2+y^2\le 100$, $x+\sqrt{17}y\le 0$. Allora:

• (A) $A<100$
• (B) $100\le A<150$
• (C) $150\le A<200$
• (D) $200\le A<250$
• (E) $A\ge 250$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Area of the subset defined by circle and semiplane

Whether $A$ is the area of the subset of the plan consisting of the $(x,y)$ points verifying the two $x^2+y^2\le 100$ reports, $x+\sqrt{17}y\le 0$. So, what?

• (A) $A<100$
• (B) $100\le A<150$
• (C) $150\le A<200$
• (D) $200\le A<250$
• (E) $A\ge 250$.

Answer: C src_archimede_2000_2livello__Q02

Velocità del treno che attraversa la galleria

Un treno lungo 500 metri attraversa a velocità costante una galleria lunga 3 chilometri. Sapendo che sono passati 50 secondi dal momento in cui l’ultima carrozza del treno è entrata nella galleria a quando il locomotore emerge dall’altra uscita, si può affermare che la velocità del treno è:

• (A) 50 km/h
• (B) 216 km/h
• (C) 252 km/h
• (D) 300 km/h
• (E) nessuna delle precedenti.

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Speed of train crossing the tunnel

A 500-metre-long train crosses a three-kilometer-long tunnel at constant speed. Knowing that 50 seconds have passed since the last train carriage entered the tunnel and the locomotive emerges from the other exit, it can be said that the speed of the train is:

• (A) 50 km/h
• (B) 216 km/h
• (C) 252 km/h
• (D) 300 km/h
• (E) None of the previous ones.

Answer: E src_archimede_2000_2livello__Q03

Carte minime per 50% di pescare almeno un cuori

Qual è il numero minimo di carte che bisogna pescare da un ordinario mazzo di 52 per avere almeno il 50% di probabilità di estrarre una o più carte di cuori?

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 4
• (D) 5
• (E) 6.

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Minimum 50% card for fishing at least one heart

What is the minimum number of cards you need to fish from an ordinary deck of 52 to have at least a 50% chance of extracting one or more card hearts?

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 4
• (D) 5
• (E) 6.

Answer: B src_archimede_2000_2livello__Q04

Ordinamento di X, Y, Z in funzione di a, b

Sono date le tre quantità $X=a+7b$, $Y=2a+5b$, $Z=4a+2b$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali positivi. Allora:

• (A) $X<Y<Z$
• (B) $Z<Y<X$
• (C) $Y<X<Z$
• (D) $Y<Z<X$
• (E) l’ordine di $X$, $Y$, $Z$ dipende dai valori di $a$ e $b$.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Ordering of X, Y, Z by a, b

The three quantities $X=a+7b$, $Y=2a+5b$, $Z=4a+2b$ are given, where $a$ and $b$ are positive real numbers. So, what?

• (A) $X<Y<Z$
• (B) $Z<Y<X$
• (C) $Y<X<Z$
• (D) $Y<Z<X$
• (E) The order of $X$, $Y$, $Z$ depends on the values of $a$ and $b$.

Answer: E src_archimede_2000_2livello__Q05

Quali dati servono per scegliere il percorso più breve

Un fiume è attraversato da due ponti $TS$ e $VM$; le due rive $TV$ e $SM$ sono due archi di circonferenza concentrici; i due ponti $TS$ e $VM$ sono allineati con il centro (vedi figura). Una persona vuole arrivare in $V$ partendo da $T$ scegliendo il percorso più breve tra i due possibili:

(1) seguire il fiume lungo l’arco di circonferenza $TV$ (2) attraversare il ponte $TS$, seguire il fiume lungo l’altra sponda ($SM$) e attraversare il ponte $MV$.

Indichiamo con $\alpha$ l’angolo sotteso dai due archi di circonferenza, con $R$ la lunghezza di $OT$ e con $r$ la lunghezza di $OS$. Su quali dati la persona deve necessariamente avere un’informazione per effettuare la scelta migliore?

• (A) Su $R$, $r$ e $\alpha$
• (B) su $\alpha$ e su $R-r$
• (C) solo su $\alpha$
• (D) solo su $R-r$
• (E) il primo percorso è più breve in ogni caso. (vedi figura)

Topic: Geometria piana Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

What data is needed to choose the shortest route

A river is crossed by two bridges $TS$ and $VM$; the two banks $TV$ and $SM$ are two concentric arc circles; the two bridges $TS$ and $VM$ are aligned with the centre (see figure). A person wants to get to $V$ starting from $T$ by choosing the shortest path between the two possible paths:

(1) follow the river along the arc $TV$ (2) cross the bridge $TS$, follow the river along the other bank ($SM$) and cross the bridge $MV$.

We indicate with $\alpha$ the angle below the two arc radii, with $R$ the length of $OT$ and with $r$ the length of $OS$. What data does a person necessarily need to know in order to make the best choice?

• (A) Su $R$, $r$ e $\alpha$
• (B) su $\alpha$ e su $R-r$
• (C) only on $\alpha$
• (D) only on $R-r$
• (E) The first route is shorter anyway. (see figure)

Answer: C src_archimede_2000_2livello__Q06

Chi è il colpevole dalle dichiarazioni degli imputati

Nel registrare le dichiarazioni dei tre imputati ad un processo, il cancelliere è stato piuttosto trascurato, e dal verbale risulta quanto segue:

• Carlo: «il colpevole è $\dots$ario».
• Dario: «il colpevole è Dario».
• Mario: «il colpevole è $\dots$ario».

Sapendo che il colpevole ha mentito e almeno uno degli innocenti ha detto la verità, che cosa si può concludere?

• (A) Il colpevole è Dario
• (B) non si può determinare il colpevole
• (C) Carlo ha accusato Dario
• (D) Mario ha accusato Dario
• (E) Mario ha accusato Mario.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Who is guilty of the defendant’s statements?

In recording the statements of the three defendants at a trial, the Chancellor was rather neglected, and the minutes show the following:

• The culprit is$\dots$ario. The culprit is Darius. - Mario: The culprit is$\dots$ario.

Knowing that the culprit lied and that at least one of the innocents told the truth, what can we conclude?

• (A) The culprit is Darius .
• (B) The culprit cannot be determined .
• (C) Charles has accused Darius
• (D) Mario accused Darius
• (E) Mario accused Mario.

Answer: D src_archimede_2000_2livello__Q07

Numero biglietti lotteria con 999 cifre 9

In una lotteria viene usata la cifra 9 esattamente 999 volte per numerare i biglietti (numerati dal numero 1 in poi). Quanti biglietti sono stati emessi per la lotteria?

• (A) Meno di 2000
• (B) tra 2001 e 3000
• (C) tra 3001 e 4000
• (D) più di 4001
• (E) non può esistere una siffatta lotteria.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.3

Lottery ticket number with 999 digits 9

In a lottery, the number 9 is used exactly 999 times to number tickets (numbered from number 1 onwards). How many lottery tickets have been issued?

• (A) Less than 2000
• (B) Between 2001 and 3000
• (C) between 3001 and 4000
• (D) More than 4001
• (E) There can be no such lottery.

Answer: E src_archimede_2000_2livello__Q08

Quante terne reali con a²+b²+c²=1 e a³+b³+c³=1

Quante sono le terne $(a,b,c)$ di numeri reali che verificano il seguente sistema? $\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+c^2=1\\ a^3+b^3+c^3=1\end{array}$

• (A) Nessuna
• (B) 1
• (C) 3
• (D) 6
• (E) infinite. Nota: la terna $(2,3,8)$ è differente dalla terna $(3,2,8)$.

Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.3

How many real terns with a2+b2+c2=1 and a3+b3+c3=1

How many $(a,b,c)$ sets of real numbers verify the following system? $\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+c^2=1\\ a^3+b^3+c^3=1\end{array}$

• (A) None of them .
• (B) 1
• (C) 3
• (D) 6
• (E) I’m not going to end it. Note: $(2,3,8)$ is different from $(3,2,8)$.

Answer: C src_archimede_2000_2livello__Q09

Cosa è determinato tra cornice, passepartout e tela

La tela di un dipinto rettangolare è circondata da un passepartout (cioè un riquadro) largo 10 cm. Attorno a quest’ultimo vi è poi una cornice, anch’essa larga 10 cm (il rettangolo bianco rappresenta la tela, la superficie tratteggiata il passepartout, la superficie nera la cornice). Si sa che l’area dell’intero quadro (compresa la cornice) è uguale al doppio della somma di quelle del passepartout e della tela. Si può allora concludere che:

• (A) sono determinate sia l’area della cornice che quelle del passepartout e della tela
• (B) è determinata solo l’area della cornice
• (C) è determinata solo l’area del passepartout
• (D) è determinata solo l’area della tela
• (E) non è determinata nessuna delle grandezze precedenti. (vedi figura)

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.3

What is determined between frame, passpartout and canvas

The canvas of a rectangular painting is surrounded by a 10 cm wide passepartout (i.e. box). Around the latter there is a frame, also 10 cm wide (the white rectangle represents the canvas, the drawn surface the passepartout, the black surface the frame). It is known that the area of the whole frame (including the frame) is twice the sum of the passport and the canvas. It can then be concluded that:

• (A) The area of the frame and the area of the pass and the canvas shall be determined.
• (B) Only the area of the frame is determined.
• (C) only the area of the passports is determined
• (D) Only the area of the canvas is determined.
• (E) None of the previous quantities are determined. (see figure)

Answer: D src_archimede_2000_2livello__Q10

Volume del tetraedro ABPQ in un cubo di lato 12

In un cubo di lato 12, $P$ e $Q$ sono i centri di due facce che hanno in comune lo spigolo $AB$. Qual è il volume del tetraedro che ha per vertici i punti $A$, $B$, $P$, $Q$?

Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 72 Fonte: apri PDF p.3

Volume of the ABPQ tetrahedron in a side cube 12

In a side cube 12, $P$ and $Q$ are the two-sided centers that have in common the slope $AB$. What is the volume of the tetrahedron with the points $A$, $B$, $P$, $Q$ as vertices?

Answer: 72 src_archimede_2000_2livello__Q11

Quanti televisori distinguibili annidati nello schermo

Le dimensioni dello schermo di un televisore sono $60\text{cm}\times 45\text{cm}$. Una telecamera inquadra interamente il televisore, e rimanda l’immagine sullo stesso, per cui dentro questo televisore se ne vede un altro e così via. Il televisore più grande che si vede dentro lo schermo ha un’area uguale a metà dell’area dello schermo. Supponendo che una persona osservi il televisore seduta a una distanza tale da non distinguere immagini di area inferiore a $1{\text{cm}}^2$, quanti televisori vede all’interno dello schermo?

Topic: successioni Metodo: Conteggio combinatorio Area: Algebra e Analisi Risposta: 11 Fonte: apri PDF p.3

How many distinct TVs nest in the screen

The screen size of a television is $60\text{cm}\times 45\text{cm}$. A camera frames the entire TV, and it sends the image back to the TV itself, so inside this TV you see another one and so on. The largest TV you see inside the screen has an area equal to half the screen area. Assuming that a person watches the TV sitting at such a distance that he or she cannot distinguish images of less than $1{\text{cm}}^2$ area, how many TVs does he or she see inside the screen?

Answer: 11 src_archimede_2000_2livello__Q12

Soluzioni reali positive di 32^x = 64^[x]

Per ogni numero reale $x$, indichiamo con $[x]$ la «parte intera di $x$», definita come il più grande intero $\le x$. Così ad esempio abbiamo che $[3/2]=1$, $[\pi ]=3$, $[8]=8$. Determinare quante sono le soluzioni reali positive ($>0$) dell’equazione $3^{2x}=64^{[x]}$.

Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3

Real positive solutions of 32^x = 64^[x]

For each real number $x$, we indicate with $[x]$ the full part of $x$, defined as the largest integer $\le x$. So for example we have that $[3/2]=1$, $[\pi ]=3$, $[8]=8$. Determine how many real positive solutions ($>0$) of the equation $3^{2x}=64^{[x]}$ are.

Answer: 4 src_archimede_2000_2livello__Q13

Progressioni aritmetiche di quattro interi in 1..100

Quante sono le progressioni aritmetiche costituite da quattro numeri interi $a,b,c,d$ con $1\le a<b<c<d\le 100$?

Nota: ricordiamo che $a,b,c,d$ formano una progressione aritmetica se $b-a=c-b=d-c$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1617 Fonte: apri PDF p.3

Arithmetic progressions of four integers in 1.100

What are the arithmetic progressions of four integers $a,b,c,d$ with $1\le a<b<c<d\le 100$?

Note: let us remember that $a,b,c,d$ form an arithmetic progression if $b-a=c-b=d-c$.

Answer: 1617 src_archimede_2000_2livello__Q14

Minimo intero positivo con esattamente 15 divisori

Qual è il più piccolo numero intero positivo che possiede esattamente 15 divisori?

Nota: per divisori di un numero intero positivo si intendono i divisori positivi, includendo 1 e il numero stesso. Per esempio, il numero 6 ha esattamente 4 divisori: 1, 2, 3, 6.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 144 Fonte: apri PDF p.3

Minimum positive integer with exactly 15 divisors

What’s the smallest positive integer that has exactly 15 divisors?

Note: positive integer divisors are the positive divisors, including 1 and the number itself. For example, the number 6 has exactly four divisors: 1, 2, 3, 6.

Answer: 144 src_archimede_2000_2livello__Q15

Coppie (m,n) interi positivi con 1/m+1/n-1/mn=2/5

Determinare tutte le coppie ordinate $(m,n)$ di interi positivi che soddisfano l’equazione $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{2}{5}.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (3,10),(4,5),(10,3),(5,4) Fonte: apri PDF p.4

Positive integer pairs (m,n) with 1/m+1/n-1/mn=2/5

Determine all ordered pairs $(m,n)$ of positive integers satisfying the equation $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{2}{5}.$

Answer: (3,10),(4,5),(10,3),(5,4) src_archimede_2000_2livello__Q16

HM∥AC e isoscele

Si scelgano i punti $H$, $K$, $M$ sui lati di un triangolo $ABC$ in modo tale che $AH$ sia un’altezza, $BK$ sia una bisettrice e $CM$ sia una mediana. Si indichi con $D$ l’intersezione tra $AH$ e $BK$, e con $E$ l’intersezione tra $HM$ e $BK$. Sapendo che $KD=2$, $DE=1$, $EB=3$:

(i) si dimostri che $HM$ è parallelo ad $AC$; (ii) si dimostri che $AB=AC$; (iii) si dimostri che $AB=BC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5

HMAC and isoscele

The points $H$, $K$, $M$ on the sides of a triangle $ABC$ are chosen so that $AH$ is a height, $BK$ is a biset and $CM$ is a median. The intersection between $AH$ and $BK$ shall be indicated by $D$ and the intersection between $HM$ and $BK$ shall be indicated by $E$. Knowing that $KD=2$, $DE=1$, $EB=3$:

(i) it is shown that $HM$ is parallel to $AC$; (ii) it is shown that $AB=AC$; (iii) it is shown that $AB=BC$.

src_archimede_2000_2livello__Q17