Quale tra le potenze date e maggiore dell’unita
Quale fra i seguenti numeri è superiore all’unità?
- (A) 3 4 3 4
- (B) (1, 1)−1,1
- (C) 1 √ 2 −1 √ 2
- (D) ( √ 2 −1) √ 2−1
- (E) (2 − √ 3)2− √
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Which of the given powers is greater than the unit
Which of the following is greater than the unit?
- (A) 3 4 3 4
- (B) (1, 1)−1,1
- (C) 1 √ 2 −1 √ 2
- (D) ( √ 2 −1) √ 2−1
- (E) (2 − √ 3)2− √
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q02
Tra quanti anni l’eta padre eguaglia somma eta figli
Un padre ha 46 anni e la somma delle età dei suoi tre figli è 22. Entro quanti anni l’età del padre sarà uguale alla somma delle età dei figli?
- (A) 6
- (B) 8
- (C) 10
- (D) 12
- (E) mai.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Between the ages of the father and the sum of the children
A father is 46 years old and the sum of the ages of his three children is 22. By how many years will the father’s age be equal to the sum of the children’s ages?
- (A) 6
- (B) 8
- (C) 10
- (D) 12
- (E) I never did.
Answer: D src_archimede_2000_triennio__Q04
Angolo in B dato angolo tra bisettrici in P
Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di e e si intersecano in P. Sapendo che = 140°, quanto misura l’angolo in B?
- (A) 90°
- (B) 100°
- (C) 110°
- (D) 120°
- (E) 130°.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Angle in B given the angle between blades in P
In the triangle ABC the semicircles AN and CM are the bisettes of and and intersect in P. Knowing that = 140°, what is the angle in B?
- (A) 90°
- (B) 100°
- (C) 110°
- (D) 120°
- (E) 130°.
Answer: B src_archimede_2000_triennio__Q05
Quanti numeri con cifre consecutive sono primi
Si considerino i numeri naturali n di tre cifre che verificano la seguente proprietà: le cifre di n sono tre numeri consecutivi in ordine qualsiasi (esempio 645). Quanti fra questi numeri sono primi?
- (A) Nessuno
- (B) 1
- (C) 2
- (D) più di 2, ma meno di 10
- (E) più di 10.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How many numbers with consecutive digits are prime
Consider the three-digit natural numbers n which have the following property: the digits of n are three consecutive numbers in any order (example 645). How many of these numbers are prime?
- (A) No one .
- (B) 1
- (C) 2
- (D) more than 2 but less than 10
- (E) more than 10.
Answer: A src_archimede_2000_triennio__Q06
Valore di x per triangolo di area massima lati 4,5,x
Fra tutti i triangoli i cui lati misurano 4, 5, x, quello di area massima avrà x pari a
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 4,5
- (D) √ 20
- (E) √ 41.
Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Value of x per triangle with a maximum side area of 4,5,x
Of all triangles whose sides measure 4, 5, x, that of maximum area will have x equal to
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 4,5
- (D) √ 20
- (E) √ 41.
Answer: E src_archimede_2000_triennio__Q07
Lunghezza tela tessuta e disfatta nel 1999
Una novella Penelope ha tessuto una tela per tutto il 1999, dal primo all’ultimo giorno. Ogni mattina ha tessuto 20 cm di tela e ogni pomeriggio ne ha disfatta un po’, precisamente 20 cm nei giorni pari del mese e 19 cm nei giorni dispari. Quanto era lunga la tela alla fine?
- (A) 140 cm
- (B) 172 cm
- (C) 186 cm
- (D) 200 cm
- (E) 210 cm.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Woven and woven fabrics length in 1999
A new Penelope weaves a canvas for the whole of 1999, from the first to the last day. Every morning she weaves 20 cm of cloth and every afternoon she weaves a little, 20 cm on even days of the month and 19 cm on odd days. How long was the canvas at the end?
- (A) 140 cm
- (B) 172 cm
- (C) 186 cm
- (D) 200 cm
- (E) 210 cm.
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q08
Prodotto abcd da catena di frazioni continue
Sapendo che 1 a = a + 1 b = b + 1 c = c + 1 d = 2 quanto vale il prodotto abcd?
- (A) 5 16
- (B) 1 5
- (C) 3 7
- (D) 9 16
- (E) 5 4.
Topic: Algebra, successioni Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Products of the continuous fraction chain abcd
Knowing that 1 a = a + 1 b = b + 1 c = c + 1 d = 2 how much is the abcd product worth?
- (A) 5 16
- (B) 1 5
- (C) 3 7
- (D) 9 16
- (E) 5 4.
Answer: B src_archimede_2000_triennio__Q10
Punti squadre dopo quattro giornate con vincoli
Marco dice: ‘‘La mia squadra è stata davanti alla tua in classifica per tutte le prime tre giornate, e solo ora alla quarta ci avete raggiunti”. Roberto risponde: “Non ti dimenticare però che alla terza giornata abbiamo pareggiato proprio in casa vostra e che, al contrario di voi, siamo ancora imbattuti”. Quanti punti ha ognuna delle due squadre al termine della quarta giornata? (Si assegnano 3 punti alla squadra che vince, 0 punti a quella che perde, 1 punto a ciascuna squadra in caso di pareggio).
- (A) 7
- (B) 6
- (C) 5
- (D) 4
- (E) i dati sono insufficienti.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Team points after four days with constraints
Mark says, “My team was ahead of you in the standings for the first three days, and only now at the fourth you’ve reached us”. Roberto replies: ‘But don’t forget that on the third day we evened right at your house and that, unlike you, we are still in a draw. How many points does each of the two teams have at the end of day four? (Three points are awarded to the winning team, 0 points to the losing team, 1 point to each team in the event of a draw).
- (A) 7
- (B) 6
- (C) 5
- (D) 4
- (E) The data is insufficient.
Answer: D src_archimede_2000_triennio__Q11
Incidenza materie prime sul prezzo della mascotte
Il prezzo della mascotte delle olimpiadi di matematica è dato dalla somma del prezzo delle materie prime e del prezzo della lavorazione. L’anno scorso la mascotte costava 10 Euro. Quest’anno il costo delle materie prime è raddoppiato,
mentre il costo della lavorazione è aumentato del 10%; di conseguenza quest’anno la mascotte costa 12 Euro. Quanto incide quest’anno il prezzo delle materie prime sul prezzo finale del prodotto?
- (A) Meno di 1 Euro
- (B) tra 1 e 2 Euro
- (C) tra 2 e 3 Euro
- (D) tra 3 e 4 Euro
- (E) più di 4 Euro.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Incidence of raw materials on the price of the mascot
The price of the mascot of the mathematics Olympics is given by the sum of the price of raw materials and the price of processing. Last year, the mascot cost 10 euros. This year the cost of raw materials has doubled.
The cost of processing has risen by 10% and the mascot costs €12 this year. How much does the price of raw materials affect the final price of the product this year?
- (A) Less than EUR 1
- (B) Between 1 and 2 Euro
- (C) between EUR 2 and EUR 3
- (D) between EUR 3 and EUR 4
- (E) more than EUR 4.
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q12
Rapporto aree esagono e poligono stellato interno
Il rapporto fra l’area dell’esagono regolare e quella del poligono stellato rappresentato in figura, che ha tutti i lati giacenti su 6 delle diagonali dell’esagono, è
- (A) 4 3
- (B) 3 2
- (C) 5 3
- (D) 6 5
- (E) 5 4.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Report of exagonal and interstellar polygon areas
The ratio of the area of the regular hexagon to that of the starry polygon shown in the figure, which has all the sides lying on 6 of the hexagons, is
- (A) 4 3
- (B) 3 2
- (C) 5 3
- (D) 6 5
- (E) 5 4.
Answer: B src_archimede_2000_triennio__Q13
Ora di risveglio con differenza di fuso orario
Emanuele ha fatto un lungo viaggio e non riesce a dormire. Dopo essere tornato in Italia, alle 11:11 precise ora italiana egli afferma: “non dormo da 53 ore e 53 minuti”. A che ora si à svegliato l’ultima volta, sapendo che in quel momento si trovava in Corea e ora si trova in Italia (ricordiamo che la differenza di fuso orario fra l’Italia e la Corea è di di 7 ore in avanti)?
- (A) 12:04
- (B) 12:18
- (C) 12:58
- (D) 13:04
- (E) 13:18.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Wake-up time with time zone difference
Emanuele has come a long way and can’t sleep. After returning to Italy at 11:11 a.m. he says: “I haven’t slept in 53 hours and 53 minutes”. What time did you wake up last, knowing that you were in Korea at the time and are now in Italy (remember that the time zone difference between Italy and Korea is 7 hours ahead)?
- (A) 12:04
- (B) 12:18
- (C) 12:58
- (D) 13:04
- (E) 13:18.
Answer: B src_archimede_2000_triennio__Q14
Valore di f(x+1)-f(x) per funzione esponenziale 4^x
Si ha, per ogni x, f(x) = 4x. Allora f(x + 1) −f(x) vale:
- (A) f(x)
- (B) 2f(x)
- (C) 3f(x)
- (D) 4
- (E) 1.
Topic: successioni, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Value of f(x+1)-f(x) by exponential function 4^x
You have, for every x, f (x) = 4x. So f(x + 1) −f(x) is:
- (A) f(x)
- (B) 2f(x)
- (C) 3f(x)
- (D) 4
- (E) 1.
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q15
Diametro cilindro misurato con calibro a becchi corti
Uno studente vuole misurare il diametro di un cilindro usando un calibro Purtroppo lo strumento disponibile ha i becchi troppo corti, e non è possibile fare in modo che essi tocchino contemporaneamente due punti diametralmente opposti della superficie laterale. Lo studente decide allora di utilizzare il metodo mostrato nella figura a fianco, in cui il bordo del regolo è tangente alla superficie laterale del cilindro. Detta a la misura letta sul regolo del calibro e d la distanza fra l’estremità di un becco e il regolo, si ha che il diametro vale a d
- (A) √ a2 + d2
- (B) a+ d2 4a
- (C) a+ 1 2 q a2 + d2 4
- (D) d+ a2 4d
- (E) d+ 1 2 q d2 + a2 4 .
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Cylinder diameter measured with short-muzzle caliber
A student wants to measure the diameter of a cylinder using a caliber. Unfortunately, the tool available has too short beaks, and it’s not possible to make them touch two diametrically opposite points of the side surface at the same time. The student then decides to use the method shown in the figure next to it, in which the edge of the rule is tangent to the cylinder’s side surface. Given the measurement read on the rule of caliber and the distance between the end of a beak and the rule, the diameter shall be
- (A) √ a2 + d2
- (B) a+ d2 4a
- (C) a+ 1 2 q a2 + d2 4
- (D) d+ a2 4d
- (E) d+ 1 2 q d2 + a2 4 .
Answer: D src_archimede_2000_triennio__Q16
Divisori di 2^48-1 compresi tra 60 e 70
Si sa che il numero 248 −1 possiede esattamente due divisori compresi fra 60 e 70. Quali sono?
- (A) 61 e 63
- (B) 61 e 65
- (C) 63 e 65
- (D) 61 e 67
- (E) 63 e 69.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
*Multi-purpose 2^48-1 dividers of a width of 60 to 70 *
We know that the number 248 −1 has exactly two divisors between 60 and 70. What are they?
- (A) 61 e 63
- (B) 61 e 65
- (C) 63 e 65
- (D) 61 e 67
- (E) 63 e 69.
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q17
Calcolare c(a+b) date radici di cubica e prodotto ab
Siano a, b, c le soluzioni dell’equazione x3 −3x2 −18x + 40 = 0. Sapendo che ab = 10, calcolare c(a + b).
- (A) −28
- (B) −18
- (C) 21
- (D) 22
- (E) non si può determinare.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Calculate c(a+b) cubic root dates and product ab
The solutions of the equation x3 −3x2 −18x + 40 = 0 are a, b, c. Knowing that ab = 10, calculate c(a + b).
- (A) −28
- (B) −18
- (C) 21
- (D) 22
- (E) It’s impossible to determine.
Answer: A src_archimede_2000_triennio__Q18
Volume piramide retta a base quadrata spigoli unitari
Una piramide retta a base quadrata ha tutti gli spigoli di lunghezza unitaria. Il suo volume è
- (A) 1 3
- (B) √ 2 6
- (C) √ 3 6
- (D) √ 2 2
- (E) √ 3 3 .
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
*Volume of straight pyramid on a square base units *
A straight pyramid with a square base has all the nodes of a unit length. Its volume is
- (A) 1 3
- (B) √ 2 6
- (C) √ 3 6
- (D) √ 2 2
- (E) √ 3 3 .
Answer: B src_archimede_2000_triennio__Q19
Coppie ordinate di interi con mcm uguale a 2000
Quante sono le coppie ordinate di interi (a, b), con 1 < a < 2000, 1 < b < 2000 tali che il minimo comune multiplo fra a e b è uguale a 2000?
- (A) 14
- (B) 20
- (C) 24
- (D) 40
- (E) 48.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Total ordered pairs with mcm equal to 2000
How many pairs of integers (a, b) with 1 < a < 2000, 1 < b < 2000 are such that the minimum common multiple between a and b is 2000?
- (A) 14
- (B) 20
- (C) 24
- (D) 40
- (E) 48.
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q20
Area dominio definito da disuguaglianza con parte intera
Sia D il dominio del piano cartesiano costituito dai punti (x, y) tali che x −[x] ≤ y −[y], 0 ≤x ≤2, 0 ≤y ≤3 (ricordiamo che [a] indica la parte intera di a ossia il più grande intero minore o uguale ad a). L’area di D è
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 6.
Topic: Geometria analitica Metodo: Conteggio per casi, Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Domain area defined by inequality with whole part
Either D is the domain of the Cartesian plane consisting of the points (x, y) such that x −[x] ≤ y −[y], 0 ≤x ≤2, 0 ≤y ≤3 (remember that [a] indicates the whole part of a i.e. the largest integer less than or equal to a). The area of D is
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 6.
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q21
Probabilita tre lanci dado formino triangolo rettangolo
Un comune dado con le facce numerate da 1 a 6 viene lanciato tre volte e ogni volta si prende un bastoncino di lunghezza pari al risultato del lancio. Qual è la probabilità che i tre bastoncini costituiscano i lati di un triangolo rettangolo?
- (A) 1 6
- (B) 1 36
- (C) 1 216
- (D) 5 18
- (E) 1 72.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Probability of three triangular rectangular dice throws
A common dice with faces numbered 1 to 6 is thrown three times and each time a stick of length equal to the result of the throw is taken. What is the probability that the three rods form the sides of a right triangle?
- (A) 1 6
- (B) 1 36
- (C) 1 216
- (D) 5 18
- (E) 1 72.
Answer: B src_archimede_2000_triennio__Q22
Massimo combinazioni lucchetto 4 cifre con due uguali
Un ladro ha visto Marco legare la propria bicicletta usando un lucchetto con una combinazione di 4 cifre (ciascuna cifra va da 0 a 9). Non è riuscito a vedere la combinazione ma ha scoperto che almeno due cifre consecutive sono uguali. Qual è il numero massimo di combinazioni che il ladro dovrà provare per rubare la bicicletta a Marco?
- (A) 2160
- (B) 2530
- (C) 2710
- (D) 3000
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
*Maximum combination locking four digits with two equal *
A thief saw Mark tie up his bicycle using a 4-digit combination lock (each digit goes from 0 to 9). He couldn’t see the combination, but he found that at least two consecutive digits are the same. What is the maximum number of combinations the thief will have to try to steal Marco’s bike?
- (A) 2160
- (B) 2530
- (C) 2710
- (D) 3000
- (E) None of the previous ones.
Answer: C src_archimede_2000_triennio__Q24