Viaggi uguali per due autocarri a trasportare la sabbia
Un mucchio di sabbia può essere trasportato in 4 viaggi caricando al massimo un autocarro o, in alternativa, in 12 viaggi caricandone al massimo un altro più piccolo. Se possiamo utilizzare a pieno carico entrambi gli autocarri, e vogliamo che entrambi compiano lo stesso numero di viaggi, quanti viaggi dovrà fare ciascun autocarro per il trasporto di tutta la sabbia?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) i dati sono insufficienti.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Equal journeys for two sand-carrying lorries
A pile of sand can be transported in 4 journeys by loading up to one bus or, alternatively, in 12 journeys by loading up to another smaller one. If we can use both trucks at full load, and we want both to make the same number of trips, how many trips will each truck have to make to carry all the sand?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) The data is insufficient.
Answer: C src_archimede_2001_2livello__Q01
Minimo n di giri per misurare il circuito con errore <30 m
Si vuole misurare la lunghezza di un circuito automobilistico usando un’auto che ha il contachilometri inizialmente azzerato e che misura solo i chilometri e non le centinaia di metri. Qual è il minimo n tale che, guardando solamente quanto segna il contachilometri alla fine dell’n-esimo giro, il pilota possa conoscere la lunghezza del circuito con un errore inferiore a 30 metri?
- (A) 0 < n ≤10
- (B) 10 < n ≤20
- (C) 20 < n ≤30
- (D) 30 < n ≤40
- (E) 40 < n ≤50.
Topic: Algebra Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minimum n turns to measure the circuit by error <30 m
You want to measure the length of an automobile circuit using a car that has the initially zero meter and that only measures kilometers and not hundreds of meters. What is the minimum such that, by looking only at how much the meter marks at the end of the eighth lap, the rider can know the length of the circuit with an error of less than 30 metres?
- (A) 0 < n ≤10
- (B) 10 < n ≤20
- (C) 20 < n ≤30
- (D) 30 < n ≤40
- (E) 40 < n ≤50.
Answer: B src_archimede_2001_2livello__Q02
Area della regione grigia nel triangolo rettangolo isoscele
Nel triangolo rettangolo isoscele disegnato a fianco, ogni lato è stato diviso in cinque parti uguali. Determinare l’area della regione evidenziata in grigio sapendo che ciascun cateto è lungo 50 cm.
- (A) 9 cm2
- (B) 50 cm2
- (C) 90 cm2
- (D) 18 √ 26 cm2
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Area of the grey region in the triangle isosceles rectangle
In the side-drawn isosceles rectangle, each side was divided into five equal parts. Determine the area of the region highlighted in gray with the knowledge that each catheter is 50 cm long.
- (A) 9 cm2
- (B) 50 cm2
- (C) 90 cm2
- (D) 18 √ 26 cm2
- (E) None of the previous ones.
Answer: C src_archimede_2001_2livello__Q03
Rapporto aree tra esagono P3 e P1 inscritti
Sia P1 un esagono regolare. Sia P2 il nuovo esagono ottenuto congiungendo i punti medi dei lati consecutivi di P1. Allo stesso modo si proceda a partire da P2 ottenendo un nuovo esagono P3. Quanto vale il rapporto tra l’area di P3 e quella di P1?
- (A) 1 4
- (B) 7 16
- (C) 9 16
- (D) 3 4
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Ratio of areas between hexagons P3 and P1 inscribed
Let P1 be a regular hexagon. P2 is the new hexagon obtained by joining the midpoints of the consecutive sides of P1. In the same way, a new hexagon P3 is obtained by starting from P2. What is the ratio of the area of P3 to that of P1?
- (A) 1 4
- (B) 7 16
- (C) 9 16
- (D) 3 4
- (E) None of the previous ones.
Answer: C src_archimede_2001_2livello__Q04
Identificare i nomi dei tre ragazzi dalle affermazioni
Tre ragazzi dicono, rispettivamente: “I nostri nomi sono Andrea, Bruno, Carlo”; “I nostri nomi sono Andrea, Carlo, Daniele”; “I nostri nomi sono Bruno, Daniele, Enrico”. Sapendo che ciascuno di loro ha detto un nome sbagliato e due giusti, come si chiamano i tre?
- (A) Andrea, Carlo, Enrico
- (B) Andrea, Bruno, Daniele
- (C) Bruno, Daniele, Enrico
- (D) Bruno, Carlo, Daniele
- (E) i dati sono insufficienti per rispondere.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Identify the names of the three boys from the statements
Three boys say, respectively: Our names are Andrea, Bruno, Carlo; Our names are Andrea, Carlo, Daniel; Our names are Bruno, Daniel, Enrico. Knowing that each of them said one wrong name and two right ones, what are the names of the three?
- (A) Andrew, Charles and Henry
- (B) Andrea, Bruno and Daniel
- (C) I’m not going to lie to you.
- (D) Bruno, Carlo and Daniel
- (E) The data is insufficient to answer.
Answer: E src_archimede_2001_2livello__Q05
Somma A+B+C+D con AC×BC=DDD
Se A, B, C, D rappresentano cifre distinte e, impiegando l’usuale scrittura decimale, si ha AC × BC = DDD, quanto vale la somma A + B + C + D?
- (A) 9
- (B) 13
- (C) 18
- (D) 19
- (E) 21.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
This is the sum of A+B+C+D with AC×BC=DDD*
If A, B, C, D are distinct digits and, using the usual decimal writing, you have AC × BC = DDD, what is the sum A + B + C + D?
- (A) 9
- (B) 13
- (C) 18
- (D) 19
- (E) 21.
Answer: E src_archimede_2001_2livello__Q06
Luogo dei punti con distanza da B doppia di quella da A
Siano A e B due punti nello spazio. L’insieme dei punti dello spazio la cui distanza da B è doppia di quella da A è
- (A) un piano
- (B) una circonferenza
- (C) una superficie sferica
- (D) la superficie laterale di un cono
- (E) la superficie laterale di un cilindro.
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Location of points with distance from B twice that from A
A and B are two points in space. The sum of the points in space whose distance from B is twice that from A is
- (A) A plan
- (B) a circumference
- (C) a spherical surface
- (D) the lateral surface of a cone
- (E) the lateral surface of a cylinder.
Answer: C src_archimede_2001_2livello__Q07
Probabilità che Lorenzo sia sano dato il test positivo
In un paese l’uno per cento della popolazione è affetto da una certa malattia. Il test per sapere se si è contagiati sbaglia nell’uno per cento dei casi. Lorenzo si sottopone al test e risulta malato. Qual è la probabilità che egli sia sano?
- (A) 99 10000
- (B) 1 100
- (C) 99 5000
- (D) 1 2
- (E) 99 100.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Probability that Lorenzo is healthy given the positive test*
In one country, one percent of the population suffers from a disease. The test to find out if you’re infected is wrong in 1 percent of cases. Lorenzo is tested and found to be ill. What are the odds that he’s healthy?
- (A) 99 10000
- (B) 1 100
- (C) 99 5000
- (D) 1 2
- (E) 99 100.
Answer: D src_archimede_2001_2livello__Q08
Condizione sufficiente perché x^y > y^x
Siano x, y numeri reali positivi. Quale delle seguenti condizioni è sufficiente per garantire che xy > yx?
- (A) 1 < x < y
- (B) 1 < y < x
- (C) x < 1 < y
- (D) x < y < 1
- (E) y < x < 1.
Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Sufficient condition because x^y > y^x
They’re x, y are positive real numbers. Which of the following conditions is sufficient to ensure that xy > yx?
- (A) 1 < x < y
- (B) 1 < y < x
- (C) x < 1 < y
- (D) x < y < 1
- (E) y < x < 1.
Answer: E src_archimede_2001_2livello__Q09
Probabilità di estrarre pallina bianca alla seconda estrazione
Una scatola contiene 3 palline bianche e 2 palline nere. Marco estrae una pallina e la rimette nella scatola aggiungendo un’altra pallina dello stesso colore. A questo punto egli estrae una nuova pallina dalla scatola. Qual è la probabilità che quest’ultima sia bianca?
- (A) 1 2
- (B) 7 12
- (C) 3 5
- (D) 2 3
- (E) nessuna delle precedenti. Problemi a risposta numerica – 8 punti
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Probability of white ball extraction at second extraction
One box contains three white balls and two black balls. Mark extracts a ball and puts it back in the box by adding another ball of the same color. At this point he extracts a new ball from the box. What is the probability that the latter is white?
- (A) 1 2
- (B) 7 12
- (C) 3 5
- (D) 2 3
- (E) None of the previous ones. Problems with a numerical answer 8 points
Answer: C src_archimede_2001_2livello__Q10
Rapporto volume tetraedro regolare e tetraedro ABPQ
In un tetraedro regolare di vertici A, B, C, D, indichiamo con P e Q i centri delle due facce che hanno in comune lo spigolo AB. Qual è il rapporto tra il volume del tetraedro iniziale e quello del tetraedro che ha per vertici i punti A, B, P e Q?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.3
Rate of volume of regular tetrahedron and ABPQ tetrahedron
In a regular tetrahedron of vertices A, B, C, D, we use P and Q to indicate the centers of the two faces that have the AB joint. What is the ratio of the volume of the initial tetrahedron to that of the tetrahedron whose vertices are points A, B, P and Q?
Answer: 9 src_archimede_2001_2livello__Q11
Minimo n>200 somma di 5, 6 e 7 interi consecutivi
Sia n il più piccolo intero positivo > 200 che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi e di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 315 Fonte: apri PDF p.3
Minimum n>200 sum of 5, 6 and 7 consecutive integers
Both the smallest positive integer > 200 that can be written as either the sum of 5 consecutive integers or as the sum of 6 consecutive integers and 7 consecutive integers. How much is n?
Answer: 315 src_archimede_2001_2livello__Q12
Area del triangolo BEF con due equilateri esterni al quadrato
Si consideri un quadrato ABCD di lato 16 metri. Su due lati consecutivi AB e BC si costruiscano, esternamente rispetto al quadrato, i due triangoli equilateri ABE e BCF. Quanto vale l’area del triangolo BEF espressa in metri quadri?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 64 Fonte: apri PDF p.3
Area of the BEF triangle with two outer equilaters to the square
Consider an ABCD square of 16 meters side. On two consecutive sides AB and BC, the two equilateral triangles ABE and BCF are constructed externally relative to the square. What is the area of the BEF triangle expressed in square metres?
Answer: 64 src_archimede_2001_2livello__Q13
Lanci minimi di un dado per somma ≥48 con prob >50%
Qual è il minimo numero di lanci di un dado a 6 facce che si devono effettuare per avere una probabilità superiore al 50% che la somma di tutti i punteggi ottenuti sia maggiore od uguale a 48?
Topic: Probabilita e statistica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 14 Fonte: apri PDF p.3
Minimum slings of a dice per sum ≥48 with prob >50%
What is the minimum number of throws of a 6-sided dice to be made to have a probability greater than 50% that the sum of all scores obtained is greater than or equal to 48?
Answer: 14 src_archimede_2001_2livello__Q14
Somma algebrica dei coefficienti di un polinomio
Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio (x21 + 4x2 −3)2001 −(x21 + 4x2 + 3)667 + x21 + 4x2?
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.3
Algebraic sum of the coefficients of a polynomial
What is the algebraic sum of the coefficients of the polynomial (x21 + 4x2 −3)2001 −(x21 + 4x2 + 3)667 + x21 + 4x2?
Answer: 5 src_archimede_2001_2livello__Q15
Dimostrare che il triangolo HMK è equilatero (angolo 60°)
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABC un triangolo tale che l’angolo d ACB = 60°. Sia M il punto medio del lato AB e siano H e K i piedi delle altezze che partono da B e da A rispettivamente. Dimostrare che il triangolo HMK è equilatero.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4
*Demonstrate that the HMK triangle is equilateral (angle 60°) *
Whether ABC is a triangle such that the angle of ACB = 60°. Both M the midpoint of the side AB and H and K are the feet of heights starting from B and A respectively. Prove that the HMK triangle is equilateral.
src_archimede_2001_2livello__Q16
Tutte le soluzioni intere di a³+b³=91
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Determinare tutte le soluzioni (a, b), con a, b interi relativi, dell’equazione a3 + b3 = 91.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (6,-5),(-5,6),(3,4),(4,3) Fonte: apri PDF p.5
All whole solutions of a3+b3=91
Demonstratory Exercise Determine all solutions (a, b) with a, b integers relative to the equation a3 + b3 = 91.
Answer: (6,-5),(-5,6),(3,4),(4,3) src_archimede_2001_2livello__Q17