Archimede 2001 - Gara Nazionale Individuale (Cesenatico)

trovare i due lati mancanti

Un esagono equiangolo ha quattro lati consecutivi lunghi nell’ordine $5$, $3$, $6$ e $7$. Determinare le lunghezze degli altri due lati.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: f=8, e=1 Fonte: apri PDF p.1

find the missing two sides

An equilateral hexagon has four consecutive sides of length in the order $5$, $3$, $6$ and $7$. Determine the lengths of the other two sides.

Answer: f=8, e=1 src_archimede_2001_individuale__Q01

quante squadre partecipano

In un torneo di pallacanestro ogni squadra affronta esattamente due volte tutte le altre squadre partecipanti. Il torneo viene vinto da una squadra sola in testa alla classifica con $26$ punti, mentre esattamente due squadre arrivano ultime con $20$ punti. Quante squadre hanno partecipato al torneo?

(Ricordiamo che nella pallacanestro si assegnano $2$ punti alla squadra vincente e $0$ a quella sconfitta, mentre non è possibile che una partita finisca in parità.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12 Fonte: apri PDF p.1

how many teams participate

In a basketball tournament, each team faces all the other participating teams exactly twice. The tournament is won by a single team leading the standings with $26$ points, while exactly two teams finish last with $20$ points. How many teams participated in the tournament?

(Remember that in basketball $2$ points are awarded to the winning team and $0$ to the losing team, while it is not possible for a match to end in a draw.)

Answer: 12 src_archimede_2001_individuale__Q02

soluzioni intere positive

Si consideri l’equazione

$x^{2001}=y^x.$

(a) Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di soluzioni in cui $x$ è un numero primo e $y$ è un intero positivo.

(b) Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di soluzioni in cui $x$ e $y$ sono interi positivi.

(Si ricordi che $2001=3\cdot 23\cdot 29$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8 coppie; con x primo: (3,3^667),(23,23^87),(29,29^69) Fonte: apri PDF p.1

positive whole solutions

Consider the equation

$x^{2001}=y^x.$

(a) Determine all $(x,y)$ pairs of solutions in which $x$ is a prime number and $y$ is a positive integer.

(b) Determine all solutions pairs $(x,y)$ in which $x$ and $y$ are positive integers.

(Remember that$2001=3\cdot 23\cdot 29$.)

Answer: 8 coppie; con x primo: (3,3^667),(23,23^87),(29,29^69) src_archimede_2001_individuale__Q03

somma a cinque cifre e zeri finali del mcm

Chiamiamo numeri monotoni gli interi positivi tali che:

• si scrivono usando almeno due cifre;
• nessuna cifra è zero;
• le cifre compaiono in ordine strettamente crescente o strettamente decrescente.

(Ad esempio $127$ e $9742$ sono numeri monotoni, mentre $172$, $1224$ e $7320$ non lo sono.)

(a) Calcolare la somma di tutti i numeri monotoni di cinque cifre.

(b) Determinare con quanti zeri termina il minimo comune multiplo di tutti i numeri monotoni (senza vincoli sul numero di cifre).

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: somma=13999860; mcm termina con 3 zeri Fonte: apri PDF p.1

sum of five digits and final zeros of the mcm

Let’s call it monotonous numbers, positive integers such that: - are written using at least two digits; - no digits are zero; - the digits appear in strictly increasing or strictly decreasing order.

(For example, $127$ and $9742$ are monotonous numbers, while $172$, $1224$ and $7320$ are not.)

(a) Calculate the sum of all five-digit monotonous numbers.

(b) Determine how many zeros the common minimum multiple of all monotonous numbers ends with (without restrictions on the number of digits).

Answer: somma=13999860; mcm termina con 3 zeri src_archimede_2001_individuale__Q04

dimostrare AT=SB

Sia $ABC$ un triangolo e sia $\omega$ la circonferenza inscritta in $ABC$. La circonferenza $\omega$ è tangente al lato $AB$ nel punto $T$. Sia $D$ il punto di $\omega$ diametralmente opposto a $T$, e sia $S$ il punto di intersezione della retta passante per $C$ e $D$ con il lato $AB$. Dimostrare che $AT=SB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

to show AT=SB

If $ABC$ is a triangle and $\omega$ is the circumference inscribed in $ABC$. The circumference $\omega$ is tangent to the side $AB$ in $T$. either $D$ the point of $\omega$ diametrically opposite to $T$, or $S$ the point of intersection of the passing straight line for $C$ and $D$ with the side $AB$. Show that $AT=SB$.

src_archimede_2001_individuale__Q05

configurazioni per accenderle tutte

Un pannello contiene $100$ lampadine, disposte in modo da formare un quadrato di $10$ righe e $10$ colonne. Alcune di esse sono accese, le altre sono spente. L’impianto elettrico è tale che quando si preme il pulsante corrispondente a una qualunque delle lampadine, cambiano di stato (cioè, si accendono o si spengono) tutte le lampadine che si trovano sulla sua colonna e tutte quelle che si trovano sulla sua riga (compresa la lampadina corrispondente all’interruttore premuto).

(a) Partendo da quali configurazioni, operando opportunamente, è possibile fare in modo che alla fine tutte le lampadine risultino accese?

(b) Qual è la risposta alla domanda precedente se le lampadine sono $81$, disposte in modo da formare un pannello di $9$ righe e $9$ colonne?

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: parita, monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10x10: da qualsiasi configurazione; 9x9: condizione di parita per righe/colonne Fonte: apri PDF p.1

• settings to turn them all on*

A panel contains $100$ lamps arranged to form a square of $10$ rows and $10$ columns. Some of them are on, some of them are off. The electrical system is such that when pressing the button corresponding to any of the lamps, all the lamps on its column and all those on its line (including the lamp corresponding to the pressed switch) change status (i.e. they turn on or off).

(a) From what configurations, if appropriate, can all lamps be turned on?

(b) What is the answer to the previous question if the lamps are $81$, arranged to form a panel of $9$ rows and $9$ columns?

Answer: 10x10: da qualsiasi configurazione; 9x9: condizione di parita per righe/colonne src_archimede_2001_individuale__Q06