Archimede 2001 - Gara Nazionale a Squadre (Cesenatico)

cerchi e quadrati inscritti, raggio oltre 2001

La confederazione IMO (15 punti)

La confederazione IMO è una pacifica civiltà aliena che si trova nella Galassia Asip. La galassia è formata da $n$ gruppi di stelle, ciascuno dei quali forma un cerchio. Il cerchio più piccolo (chiamato $I_{1}$ ) ha raggio 1 Imoparsec. Se ad esso si circoscrive un quadrato e a questo si circoscrive un cerchio si trova la seconda cintura di stelle ( $I_{2}$ ). In maniera analoga a partire da $I_{2}$ si ottiene $I_{3}$ , e poi $I_{4}$ , $I_{5}$ , $\dots$ L’ultima cintura è l’unica che ha un raggio più grande di 2001 Imoparsec. Quante sono in tutto le cinture?

Topic: Geometria piana Metodo: Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0023 Fonte: apri PDF p.1

inscribed circles and squares, radius over 2001

This appropriation is intended to cover expenditure relating to the implementation of the programme.

The IMO Confederation is a peaceful alien civilization located in the Asip Galaxy. The galaxy is made up of $n$ groups of stars, each of which forms a circle. The smallest circle (called $I_{1}$ ) has a radius of 1 Imoparsec. If a square is circled around it and a circle is circled around it, the second star belt ( $I_{2}$ ) is found. Similarly starting from $I_{2}$ you get $I_{3}$ , and then $I_{4}$ , $I_{5}$ , $\dots$ The last belt is the only one with a greater radius than 2001 Imoparsec. How many are in all the belts?

Answer: 0023 src_archimede_2001_squadre__Q01

Posizione del pianeta (24,25) nella numerazione a coppie

Toponomastica (20 punti)

I pianeti della confederazione vengono identificati da una coppia di numeri naturali. La capitale (il pianeta d’origine della civiltà) è $(0, 0)$ e il primo pianeta colonizzato viene identificato con la coppia $(1, 0)$ , il secondo da $(0, 1)$ , il terzo da $(2, 0)$ , il quarto da $(1, 1)$ e così via. Che posizione occupa il pianeta $(24, 25)$ nella storia dei pianeti colonizzati dagli Imo?

NB: Più formalmente, $(a, b)$ viene prima di $(c, d)$ se e solo se: $a + b < c + d oppure a + b = c + d e a < c .$

Topic: Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1250 Fonte: apri PDF p.1

The position of the planet (24.25) in paired numbering

This is the total number of points for each of the following categories:

The confederation’s planets are identified by a pair of natural numbers. The capital (the planet of origin of civilization) is $(0, 0)$ and the first colonized planet is identified by the pair $(1, 0)$ , the second by $(0, 1)$ , the third by $(2, 0)$ , the fourth by $(1, 1)$ and so on. What position does the planet $(24, 25)$ occupy in the history of the Imo-colonized planets?

NB: More formally, $(a, b)$ comes before $(c, d)$ if and only if: $a + b < c + d oppure a + b = c + d e a < c .$

Answer: 1250 src_archimede_2001_squadre__Q02

numero minimo membri

Esploratori maldestri (10 punti)

Cinque navi spaziali Imesi stanno tornando a casa dopo un viaggio d’esplorazione nella nostra galassia e una di esse ha appena subito un guasto irreparabile. L’equipaggio di questa nave viene trasferito sulle altre quattro e quando queste navi riprendono il loro viaggio ciascuna ha lo stesso numero di persone a bordo. Il capitano della nave guasta si accorge che se la sua ciurma fosse stata meno numerosa non sarebbe stato possibile distribuirla tra le navi in modo da ottenere lo stesso risultato. Visto che all’inizio del viaggio le quattro navi sane contenevano 109, 49, 267 e 278 imesi, quanti sono i membri dell’equipaggio della nave guasta?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0409 Fonte: apri PDF p.1

minimum number of members

Wretched explorers (10 points)

Five Imesi spacecraft are returning home from a voyage of exploration in our galaxy and one of them has just suffered irreparable damage. The crew of this ship is transferred to the other four and when these ships resume their journey each has the same number of people on board. The captain of the ship failing realizes that if his crew had been less numerous it would not have been possible to distribute it among the ships in order to obtain the same result. Since at the start of the voyage the four healthy ships contained 109, 49, 267, and 278 imes, how many crew members were on the wrecked ship?

Answer: 0409 src_archimede_2001_squadre__Q03

perimetro massimo intero

Montecitorio (60 punti)

Il parlamento della confederazione ha come base un triangolo di cui un angolo è doppio dell’altro. Tutti i lati del triangolo hanno lunghezza intera e uno misura 55 imometri. Quanto può essere lungo, al massimo, il perimetro dell’edificio?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 1540 Fonte: apri PDF p.1

*full maximum perimeter *

This is the total amount of the contribution from the Union budget to the programme.

The confederation’s parliament is based on a triangle whose angle is twice that of the other. All sides of the triangle have a full length and a measure of 55 mm. How long can the perimeter of the building be, at most?

Answer: 1540 src_archimede_2001_squadre__Q04

misura DC

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (5,0);
  \coordinate (C) at (0,6);
  \coordinate (D) at (2,3.6);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw (A)--(D);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above left] at (C) {$C$};
  \node[right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Il parco (40 punti)

Nel parco davanti al parlamento c’è un’aiuola a forma di triangolo rettangolo tagliata in due parti dalla strada che porta all’ingresso del Senato (vedi figura). I lati dell’aiuola, il tratto di strada $A D$ e i lati $B D$ e $D C$ hanno lunghezza intera e $B C$ misura 40 imometri. Quanti imometri misura $D C$ (scrivere 0 se i dati sono insufficienti a risolvere il problema)? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0020 Fonte: apri PDF p.1

The measurement shall be carried out in accordance with the following conditions:

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (5,0);
  \coordinate (C) at (0,6);
  \coordinate (D) at (2,3.6);
  \draw (A)--(B)--(C)--cycle;
  \draw (A)--(D);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above left] at (C) {$C$};
  \node[right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

The park** (40 points)

In the park in front of the Parliament there is a rectangular triangle-shaped awning cut in two by the road leading to the entrance to the Senate (see figure). The sides of the hood, the road section $A D$ and the sides $B D$ and $D C$ are of full length and $B C$ measures 40 mm. How many imometers measure $D C$ (write 0 if the data is insufficient to solve the problem)? (see figure)

Answer: 0020 src_archimede_2001_squadre__Q05

cruciverba di numeri primi e prodotti

Strane leggi (65 punti)

Uno dei provvedimenti più contestati del Senato imese è una legge che proibisce la pubblicazione di crucivèrba. Alcune associazioni studentesche hanno lanciato per protesta il crucinumero sul mensile «Contestazione».

Il crucinumero ha una griglia $3 \times 4$ con le seguenti definizioni:

Orizzontali

(1) La risposta esatta a questo gioco.

(2) È un numero primo, uguale al prodotto di più primi consecutivi meno 1 (esempio $5 \times 7 \times 11 - 1$ , anche se questo non è un numero primo).

(3) Prodotto di tre numeri consecutivi (esempio $4 \times 5 \times 6$ ).

(4) È un numero primo.

Verticali

(1) Somma di due cubi (di numeri naturali, naturalmente).

(2) Numero palindromo di 4 cifre potenza di un primo (un numero palindromo è un numero che non cambia se lo si legge da destra a sinistra).

(3) È un numero primo.

(4) 5 verticale al quadrato.

(NB: La risposta a una qualsiasi delle definizioni può anche essere un numero minore di 1000. Se una delle risposte dovesse essere, ad esempio, 13 nella tabella si inserisca 0013.)

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7100 Fonte: apri PDF p.1

crossword of prime numbers and products

Other readings**(65 points)

One of the most controversial provisions of the Senate this month is a law banning the publication of crosswords. Some student associations have launched the monthly “Contestation” cross number in protest.

The cross-sectional number shall have a grid $3 \times 4$ with the following definitions:

The value of the underlying assets shall be the sum of all the assets of the institution.

(1) The exact answer to this game.

(2) It is a prime, equal to the product of more consecutive primes minus 1 (e.g. $5 \times 7 \times 11 - 1$ , even if this is not a prime).

(3) Product of three consecutive numbers (e.g. $4 \times 5 \times 6$ ).

(4) It is a prime number.

The manufacturer shall provide the manufacturer with the following information:

(1) Sum of two cubes (of natural numbers, of course).

(2) 4-digit palindrome number power of a prime (a palindrome number is a number that does not change if read from right to left).

(3) It is a prime number.

(4) 5 vertically to the square.

(NB: The answer to any of the definitions can also be a number less than 1000. If one of the answers should be, for example, 13 in the table, enter 0013.)

Answer: 7100 src_archimede_2001_squadre__Q06

in quanti modi

Abbonamenti (45 punti)

Per abbonarsi a «Contestazione» bisogna pagare 50 Scudi all’Associazione Liberi Studenti Imesi. Nella confederazione si possono trovare banconote di ogni valore da 1 a 100 Scudi. In quanti modi un Imese può pagare l’abbonamento a «Contestazione» usando tre banconote diverse tra loro?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0184 Fonte: apri PDF p.2

in how many ways*

This is the total number of subscriptions.

To subscribe to Contest you must pay 50 shields to the Imesi Free Students Association. In the confederation you can find banknotes of any value from 1 to 100 shields. How many ways can an Imese pay for the subscription to Contest using three different banknotes?

Answer: 0184 src_archimede_2001_squadre__Q07

cifre decimali dopo 2001 mosse

Giochi … 1 2 3 (25 punti)

I periodici imesi sono ricchi di rubriche su solitari e passatempi. Eccone uno. Si parte con tre punti su una circonferenza; una mossa consiste nel tracciare le bisettrici del triangolo individuato dai tre punti e considerare i punti che tali bisettrici intercettano sulla circonferenza. Xam inizia a giocare con dei punti che sulla circonferenza individuano archi di lunghezza 1, 2 e 3. Xam si ferma dopo 2001 mosse. Quante cifre dopo la virgola ha il prodotto delle lunghezze dei 3 archi individuati dagli ultimi punti segnati?

Topic: Geometria piana Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Geometria Risposta: 4001 Fonte: apri PDF p.2

decimal digits after 2001 moves

I mean, games… 1 2 3** (25 points)

The newspapers are full of articles on loneliness and hobbies. Here’s one of them. Starting with three points on a circumference; one move consists of tracing the beams of the triangle detected by the three points and considering the points that those beams intercept on the circumference. Xam begins to play with points that on the circumference identify arcs of length 1, 2 and 3. Xam stops after the 2001 move. How many digits after the comma is the product of the lengths of the three arcs identified by the last points marked?

Answer: 4001 src_archimede_2001_squadre__Q08

unioni e divisioni, numero massimo di mucchi

… e passatempi (30 punti)

Eccone un altro. Si parte con un certo numero di mucchi di pietre e sono consentite le seguenti operazioni: se ne possono unire due e se ne può dividere uno in due mucchi uguali (se il numero delle pietre è pari). Supponendo che Obob parta con 3 mucchi fatti rispettivamente di 441, 1437 e 327 pietre qual è il numero massimo di mucchi a cui può arrivare?

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita, monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0735 Fonte: apri PDF p.2

units and divisions, maximum number of heaps

… and hobbies (30 points)

Here’s another one. The following operations are permitted: two can be joined and one can be divided into two equal piles (if the number of stones is equal). Assuming Obob leaves with 3 piles made of 441, 1437 and 327 stones, respectively, what is the maximum number of piles he can reach?

Answer: 0735 src_archimede_2001_squadre__Q09

massimo termine noto

Antiche civiltà (60 punti)

Uno dei più importanti problemi dell’archeologia Imese è la decifratura dei numeri della civiltà Qwghlm, della quale si conosce piuttosto bene la scrittura. È dato per scontato che i Qwghlmiani usassero un sistema in base 11, avendo 11 tentacoli. Un brillante archeologo ha appena trovato una pagina di un vecchio quaderno di matematica con su scritto:

«Usando il metodo di ‘Rtenio’ (NdR: un noto matematico Qwghlmiano) si conclude che le radici del polinomio $α x^{2} - β x + α + β - γ = 0$ sono tutte intere»

Le lettere greche rappresentano due diverse cifre Qwghlmiane ignote. Calcolare il massimo valore che può assumere il termine noto.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3024 Fonte: apri PDF p.2

maximum known term

Ancient civilizations (60 points)

One of the most important problems of Imese archaeology is the deciphering of the numbers of the Qwghlm civilization, whose writing is quite well known. It is assumed that the Qwghlmians used a base 11 system, having 11 tentacles. A brilliant archaeologist just found a page in an old math book that said:

Using the method of ‘Rtenio’ (NdR: a well-known Qwghlmian mathematician) it is concluded that the roots of the $α x^{2} - β x + α + β - γ = 0$ polynomial are all integers

The Greek letters represent two different unknown Qwghlmian figures. Calculate the maximum value that the known term can assume.

Answer: 3024 src_archimede_2001_squadre__Q10

raggio minimo cono

Architettura (20 punti)

La tipica casa imese è formata da tre camere quadrate di lato lungo 10 imometri collegate da un vano a forma triangolare, in modo che ogni lato di questo vano coincida con un lato di una delle camere. Il tetto è un cono circolare retto. Qual è il raggio minimo che la base del tetto deve avere affinché tutta la casa sia coperta? (Nella risposta indicate solo la parte intera del numero trovato)

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0013 Fonte: apri PDF p.2

minimum cone radius

This is the total amount of the contribution from the Union to the programme.

The typical imesis house is made up of three square chambers of 10 mm side length connected by a triangular-shaped compartment, so that each side of this compartment coincides with one side of one of the chambers. The roof is a straight circular cone. What is the minimum radius that the base of the roof must have to cover the entire house? (Only the full part of the number found is indicated in the answer)

Answer: 0013 src_archimede_2001_squadre__Q11

segmento minore

Arredamento (40 punti)

Gli orologi a muro in uso nella confederazione hanno tutti la forma di un rettangolo avente l’angolo tra le diagonali di $45°$ . Il lato maggiore è parallelo al suolo, mentre il lato minore misura 1221 imopollici. Nella capitale si fanno 20 ore al giorno; in questo momento è l’una un quarto e la lancetta individua un punto che divide in due segmenti il lato maggiore del rettangolo. Qual è la lunghezza del minore dei due segmenti?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0865 Fonte: apri PDF p.3

minor segment

Furniture ** (40 points)

The wall clocks in use in the Confederation are all in the shape of a rectangle having the angle between the $45°$ diagonals. The upper side is parallel to the ground, while the lower side measures 1221 impolite. In the capital it is 20 hours a day; at this moment it is one quarter and the bidding indicates a point that divides the main side of the rectangle into two segments. What is the length of the lesser of the two segments?

Answer: 0865 src_archimede_2001_squadre__Q12

numero minimo per fare 2001

Civiltà alternative (30 punti)

Un altro antico popolo esistito prima della nascita della confederazione rappresentava ogni numero mediante una sequenza di due simboli: $\circ$ e $△$ . Il simbolo $\circ$ in fondo a una sequenza significava aggiungere un’unità, mentre il simbolo $△$ significava moltiplicare per 7. Ad esempio, la sequenza $\circ \circ \circ △ \circ$ rappresentava il numero 29. Qual è il numero minimo di simboli necessari per rappresentare il numero 2001?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0024 Fonte: apri PDF p.3

minimum number to make 2001

The following is the list of countries in the world which have been granted the right to vote:

Another ancient people that existed before the birth of the confederation represented each number by a sequence of two symbols: $\circ$ and $△$ . The $\circ$ symbol at the end of a sequence meant adding a unit, while the $△$ symbol meant multiplying by 7. For example, the sequence $\circ \circ \circ △ \circ$ represented the number 29. What is the minimum number of symbols needed to represent the number 2001?

Answer: 0024 src_archimede_2001_squadre__Q13

Anni bisestili con somma cifre 7 tra 0 e 5000

Calendari (30 punti)

Nel calendario imese gli anni bisestili sono quelli corrispondenti a numeri la cui somma delle cifre è 7 (ad esempio l’anno 1060 è bisestile). Quanti anni bisestili ci sono stati tra l’anno zero e l’anno 5000?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0110 Fonte: apri PDF p.3

Bisexual years with a sum of 7 digits between 0 and 5000

The following table shows the number of calendar days: ** Calendars** (30 points)

In the IMES calendar, even-numbered years are those corresponding to numbers whose sum of digits is 7 (for example, the year 1060 is even-numbered). How many leap years have there been between year zero and year 5000?

Answer: 0110 src_archimede_2001_squadre__Q14

area massima base

Casabianca (30 punti)

Il presidente della confederazione Ocram Ifrof vuole farsi una piscina nel giardino della sua villa. Poiché non ama le figure geometriche troppo complicate decide che la sua piscina avrà forma rettangolare, così come è rettangolare il suo giardino. Inoltre vorrebbe mettere intorno alla vasca un vialetto costituito da tre tratti dritti in modo da formare un triangolo. Considerando trascurabile la larghezza del vialetto, quale sarà al più l’area base della piscina (in $im^{2}$ ) se il giardino si estende per $3500 im^{2}$ ?

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0875 Fonte: apri PDF p.3

maximum base area

This is the total amount of the contribution from the Union to the programme.

Confederation president Ocram Ifrof wants to have a pool in his villa garden. Because he doesn’t like too complicated geometric figures, he decides that his pool will be rectangular, just like his garden is rectangular. In addition, he would like to place a three-lane straight avenue around the basin to form a triangle. Considering the width of the alley is negligible, what will be the base area of the pool (in $im^{2}$ ) at most if the garden extends for $3500 im^{2}$ ?

Answer: 0875 src_archimede_2001_squadre__Q15

probabilita di max 4 punti consecutivi

Rivalità sportive (55 punti)

Due fratelli Imesi in orbita attorno alla Terra hanno appena assistito in Imo-visione al quinto set della partita di pallavolo Italia-Jugoslavia, che si è concluso con il punteggio di 15-12 a favore della Jugoslavia. Il Pescato, dopo 5 punti consecutivi di Sartoretti piomba sulla propria rete e urla, rimontando, chi tifa per l’Italia: è Ardna, che tifa per l’Italia. «Ti sbagli», dice Ardna, «l’Italia non ha mai conquistato più di 4 punti consecutivi». Olean guarda le statistiche, vede che in tutto il set ci sono stati 8 cambi palla e si mette a calcolare la probabilità che lui abbia ragione (calcolando il numero di tutti i possibili andamenti del punteggio, quelli che gli darebbero ragione e ricavando la percentuale trascurando le cifre decimali). Che percentuale troverà Olean?

NB: Una squadra fa punto anche quando ottiene il cambio palla.

Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0081 Fonte: apri PDF p.3

probability of up to 4 consecutive points

Sports competence (55 points)

Two brothers stationed in orbit around the Earth just watched the fifth set of the Italy-Yugoslavia volleyball game in Imo-Vision, which ended with a score of 15-12 for Yugoslavia. The Pescato, after 5 consecutive points from Sartoretti leads on its net and screams, saying back, who tiffs for Italy: it is Ardna, who tiffs for Italy. You’re wrong, says Ardna, Italy has never scored more than 4 points in a row. Olean looks at the statistics, sees that throughout the set there have been 8 ball changes and he starts to calculate the probability that he is right (calculating the number of all possible moves of the score, those that would give him right and getting the percentage by ignoring the decimal digits). What percentage will Olean find?

NB: A team scores even when they get the ball.

Answer: 0081 src_archimede_2001_squadre__Q16

rapporto tra le aree

Patrimoni (30 punti)

Di ritorno dal loro viaggio Ardna ed Olean ereditano da uno zio un campo di forma quadrata il cui lato è lungo 100 imometri. Nel testamento si dice che la divisione del campo deve essere fatta tracciando una retta che taglia due lati opposti in modo che la differenza dei perimetri delle due parti sia 120 imometri. Qual è il rapporto tra l’area della parte più estesa e l’area di quella meno estesa?

Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.3

relationship between areas

This is the total amount of the loan.

When Ardna and Olean returned from their trip, they inherited a square field from an uncle whose side is 100 feet long. The will says that the division of the field must be done by drawing a line that cuts two opposite sides so that the difference in the perimeter of the two sides is 120 immeters. What is the relationship between the area of the largest part and the area of the smallest?

Answer: 0004 src_archimede_2001_squadre__Q17

dimensione campo di Innaig

Solidarietà imese (10 punti)

Olean e Ardna, dopo aver ereditato il loro campo da 10000 imotavole $^{2}$ decidono di ararlo dividendo il lavoro a metà. Prevedono di impiegare 8 ore di tempo ciascuno lavorando entrambi. Poiché vorrebbero impiegare meno tempo, chiedono aiuto a Innaig, anch’egli proprietario di un appezzamento da arare, che lavora alla loro stessa velocità ed è disposto ad aiutarli purché l’aiuto venga esattamente ricambiato da entrambi. Così facendo, ognuno di loro lavora 6 ore per arare tutti i campi. Quante imotavole $^{2}$ è grande il campo di Innaig?

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 1250 Fonte: apri PDF p.3

Innaig field size

This is the total amount of the loan amount.

Olean and Ardna, having inherited their field from 10000 immovable $^{2}$ decide to plough it by dividing the work in half. They’re going to take eight hours each to work both. Wanting to take less time, they ask for help from Innaig, also the owner of a plough, who works at their own pace and is willing to help them if the help is exactly returned by both. In doing so, each of them works six hours to plough all the fields. How large is the Innaig field?

Answer: 1250 src_archimede_2001_squadre__Q18

costo dell’auto

Prestiti fra amici (10 punti)

Ammac e Olomam desidererebbero acquistare un’imoauto, dividendo a metà la spesa, ma attualmente essi posseggono solo i $3/4$ della cifra necessaria. Il generoso Ollimac presta ad entrambi, a tasso zero, la quantità di scudi che serve a ciascuno di essi per completare la loro quota; in particolare presta 2 milioni di scudi a Olomam. Ammac impegna per l’acquisto 10 milioni di scudi (tutti i suoi averi!), oltre alla cifra prestatagli da Ollimac. Quanti milioni di scudi costa l’auto?

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 0032 Fonte: apri PDF p.4

cost of the car

Loans between friends** (10 points)

Ammac and Olomam would like to buy a limousine, splitting the cost in half, but currently they only have the $3/4$ of the required amount. The generous Ollimac lends to both of them, at zero rate, the amount of shields they each need to complete their share; in particular, he lends 2 million shields to Olomam. Ammac pledges to buy 10 million shields (all his assets!), plus the amount he borrows from Ollimac. How many million shields does the car cost?

Answer: 0032 src_archimede_2001_squadre__Q19

ultime 4 cifre

Ancora archeologia (45 punti)

Grazie anche al vostro aiuto il sistema di numerazione della civiltà Qwghlm è stato finalmente decifrato. Ora potete apprezzare un altro problema trovato da alcuni valenti archeologi e tradotto nel nostro sistema decimale:

«Quali sono le ultime quattro cifre del coefficiente più grande (in valore assoluto) del polinomio $(x - 1) (x - 2) (x - 4) (x - 8) (x - 16) (x - 32) (x - 64)? »$

Topic: Algebra Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1536 Fonte: apri PDF p.4

*last 4 digits *

This is a list of the countries of Central and Eastern Europe.

Thanks also to your help the Qwghlm civilization numbering system has finally been deciphered. Now you can appreciate another problem found by some good archaeologists and translated into our decimal system:

What are the last four digits of the greatest coefficient (in absolute value) of the $(x - 1) (x - 2) (x - 4) (x - 8) (x - 16) (x - 32) (x - 64)? »$ polynomial

Answer: 1536 src_archimede_2001_squadre__Q20

conto quintuplicato in 20 anni, ultime 4 cifre dopo 40020

Banche generose (25 punti)

L’economia Imese è soggetta a una forte svalutazione e quindi i tassi di interesse sono molti alti. In particolare con gli attuali tassi delle BCI dopo 20 anni l’ammontare di un conto di un conto corrente viene quintuplicato. Supponendo che oggi Ocnarf depositi uno scudo e che i tassi rimangano sempre gli stessi, quali saranno le ultime 4 cifre dell’estratto conto che gli eredi di Ocnarf potranno leggere tra 40020 anni?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3125 Fonte: apri PDF p.4

count fivefold in 20 years, the last 4 digits after 40020

Generous banks (25 points)

The Imese economy is subject to a strong devaluation and therefore interest rates are very high. In particular, at current rates of the BCIs after 20 years, the amount of a current account account is multiplied by five. Assuming that Ocnarf deposits a shield today and the rates remain the same, what will be the last four digits of the statement that Ocnarf’s heirs will be able to read in 40020 years?

Answer: 3125 src_archimede_2001_squadre__Q21

quanti sono

Algebristi imesi (45 punti)

Nei libri di testo della confederazione vengono detti «onesti» quei polinomi i cui coefficienti sono numeri interi tali che la somma dei loro quadrati sia minore o uguale al grado del polinomio. Quanti sono i polinomi onesti (di una variabile) di grado minore o uguale a cinque?

(NB: I polinomi costanti nonnulli hanno grado 0 e il polinomio 0 per convenzione ha grado $- \infty$ ; pertanto quest’ultimo non è un polinomio onesto.)

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0646 Fonte: apri PDF p.4

*how many are *

The following table shows the results of the calculations:

In the textbooks of the confederation, polynomials whose coefficients are integers such that the sum of their squares is less than or equal to the degree of the polynomial are called onesti. How many honest polynomials (of a variable) of degree less than or equal to five?

(NB: Non-zero constant polynomials have degree 0 and the polynomial 0 per convention has degree $- \infty$ ; therefore the latter is not an honest polynomial.)

Answer: 0646 src_archimede_2001_squadre__Q22

minimo a

Aritmetica imese (15 punti)

Nelle scuole elementari imesi vengono insegnate cinque operazioni. La quinta, che indicheremo con $⋄$ , è chiamata somma imese, ed è definita sulle frazioni nel modo seguente: $\frac{a}{b} ⋄ \frac{c}{d} = \frac{a c}{a d + b c}$ Calcolate il più piccolo intero positivo $a$ per cui esistono interi nonnulli $b$ , $c$ e $d$ tali che la somma imese di $a / b$ e $c / d$ coincida con la loro somma ordinaria. Rispondete 0 se la somma imese non coincide mai con quella ordinaria quando $a$ è un intero positivo.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.4

*minimum to *

The following table shows the calculation of the average monthly earnings:

Five operations are taught in primary schools. The fifth, which we will indicate with $⋄$ , is called the sum of imes, and is defined on fractions as follows: $\frac{a}{b} ⋄ \frac{c}{d} = \frac{a c}{a d + b c}$ Calculate the smallest positive integer $a$ for which there are non-zero integers $b$ , $c$ and $d$ such that the sum of imes of $a / b$ and $c / d$ coincides with their ordinary sum. You answer 0 if the sum of the months never coincides with the ordinary when $a$ is a positive integer.

Answer: 0000 src_archimede_2001_squadre__Q23

quante

Scolari imesi (15 punti)

A uno scolaro imese è stato assegnato il seguente esercizio. Deve trovare tutte le coppie ordinate di numeri naturali $(m, n)$ in modo che sia $m$ che $n$ siano divisori di 385 e tali che $m$ è divisore di $n$ . Potete dargli una mano dicendogli quante sono le coppie?

(NB: $1$ e $k$ vengono considerati divisori di $k$ .)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0027 Fonte: apri PDF p.4

when *

**Schools placed ** (15 points)

A monthly pupil was assigned the following year. It must find all ordered pairs of natural numbers $(m, n)$ so that both $m$ and $n$ are divisors of 385 and $m$ is divisor of $n$ . Can you give him a hand by telling him how many pairs there are?

(NB: $1$ and $k$ are considered $k$ divisors.)

Answer: 0027 src_archimede_2001_squadre__Q24

raggio terza

Arte imese (25 punti)

Vicino al palazzo del parlamento c’è una piazza con tre fontane circolari. Due di esse hanno raggio 52 imometri, sono tangenti esternamente e tangenti a un viale alberato. La terza è tangente esternamente alle prime due ed al viale. Quanti imometri è lungo il suo raggio?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0013 Fonte: apri PDF p.4

*third radius *

The amount of the loan shall be calculated as follows:

There is a square next to the parliament building with three circular fountains. Two of them have a radius of 52 mm, are tangent externally and tangent to a tree-lined avenue. The third is tangent externally to the first two and the avenue. How many imometers is its radius?

Answer: 0013 src_archimede_2001_squadre__Q25

Raccolta Gare di Matematica

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Archimede 2001 - Gara Nazionale a Squadre (Cesenatico)

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