Quanti interi hanno media 6 e somma 18
Dei numeri interi hanno media 6 e somma 18. Quanti sono gli interi?
- (A) 3
- (B) 6
- (C) 12
- (D) 108
- (E) non si può determinare.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Integer numbers have mean 6 and sum 18
The whole numbers have a mean of 6 and a sum of 18. How many integers are there?
- (A) 3
- (B) 6
- (C) 12
- (D) 108
- (E) It’s impossible to determine.
src_archimede_2001_triennio__Q01
Numero di frazioni ridotte a/b in dato intervallo
Se a e b sono due interi con 1 ≤b ≤3 allora il numero delle frazioni (ridotte ai minimi termini) della forma a b tali che 1 ≤a b ≤2 è
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 8
- (E) infinito.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Number of reduced fractions a/b in a given range
If a and b are two integers with 1 ≤b ≤3 then the number of fractions (reduced to minimum terms) of form a b such that 1 ≤a b ≤2 is
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 8
- (E) It’s going to be endless.
src_archimede_2001_triennio__Q02
Affermazione vera su allievi con difetti alla vista
In una scuola il 40% degli allievi ha difetti alla vista, tra questi il 70% usano solo gli occhiali e il 30% solo le lenti a contatto. Sapendo che in tutto vi sono 42 paia occhiali, quale fra queste affermazioni è vera?
- (A) 90 allievi hanno difetti alla vista
- (B) 60 allievi vedono bene
- (C) la scuola ha 200 allievi
- (D) 20 allievi hanno le lenti a contatto
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
True claim on pupils with visual impairments
In one school, 40 percent of pupils are visually impaired, of which 70 percent only wear glasses and 30 percent only use contact lenses. Knowing that there are 42 pairs of glasses in total, which of these statements is true?
- (A) 90 students with visual impairments
- (B) 60 pupils see well
- (C) The school has 200 students.
- (D) 20 students have contact lenses
- (E) None of the previous ones.
src_archimede_2001_triennio__Q03
Valori di alpha per soluzione unica del sistema
Per quali valori reali di α esiste una ed un’unica coppia di numeri reali (x, y) che è soluzione del sistema a fianco?
- (A) α = 0
- (B) α = 3
- (C) α > 0
- (D) α = √ 3
- (E) α ̸= 0. ( x2 + y2 = α x = 3y
Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.1
Alpha values for a single system solution
For which real values of α is there a single pair of real numbers (x, y) that is a solution of the next system?
- (A) α = 0
- (B) α = 3
- (C) α > 0
- (D) α = √ 3
- (E) α ̸= 0. ( x2 + y2 = α x = 3y
src_archimede_2001_triennio__Q06
Importo borse di studio ai ragazzi dati i vincoli
Diciannove studenti devono ricevere borse di studio per un totale di 20 000 Euro. L’ammontare di ciascuna borsa è espressa da un numero intero di Euro. Tutti i ragazzi riceveranno lo stesso ammontare e così le ragazze. Ma ogni ragazza riceverà 600 Euro più dei ragazzi. Quanto ricevono a testa i ragazzi?
- (A) 600
- (B) 800
- (C) 1400
- (D) 1600
- (E) solo le ragazze ricevono una borsa.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Scholarship amount for the children given the constraints
Nineteen students are required to receive a total of EUR 20 000 in scholarships. The amount of each purse is expressed as an integer in Euros. All the boys will get the same amount and so will the girls. But each girl will get 600 euros more than the boys. How much do the kids get?
- (A) 600
- (B) 800
- (C) 1400
- (D) 1600
- (E) Only the girls get a purse.
src_archimede_2001_triennio__Q07
Probabilita somme parziali di lanci non divisibili per 7
Un dado perfettamente equilibrato viene lanciato 3 volte. Qual è la probabilità che n´e il punteggio del primo lancio, n´e la somma dei punteggi del primo e del secondo lancio, n´e la somma dei punteggi dei primi tre lanci sia divisibile per 7?
- (A) 1 3
- (B) 1 2
- (C) 25 36
- (D) 3 4
- (E) 5 6.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Probability of partial sums of launches not divisible by 7
A perfectly balanced dice is thrown three times. What is the probability that n is the score of the first pitch, n is the sum of the scores of the first and second pitches, n is the sum of the scores of the first three pitches divisible by 7?
- (A) 1 3
- (B) 1 2
- (C) 25 36
- (D) 3 4
- (E) 5 6.
src_archimede_2001_triennio__Q08
Minima distanza percorso con riflessioni su due fiumi
Nel Far West due fiumi rettilinei scorrono parallelamente alla distanza di 10 km. Lo stregone di un villaggio indiano, che si trova nella sua capanna, deve raccogliere un’ampolla d’acqua da ciascuno dei due fiumi e portare le ampolle al villaggio per la cerimonia della preghiera a Manitù. Qual è la minima distanza del percorso che deve compiere, sapendo che la capanna e il villaggio sono equidistanti dai due fiumi e distano fra loro 48 km?
- (A) 48
- (B) 52
- (C) 53
- (D) 58
- (E) √ 482 + 102.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
Minimum distance traveled with reflections on two rivers
In the Far West, two straight rivers run parallel at a distance of 10 km. The sorcerer of an Indian village, who is in his hut, must collect a water bottle from each of the two rivers and bring the bottles to the village for the prayer ceremony in Manitu. What is the minimum distance of the route he must complete, knowing that the hut and the village are equidistant from the two rivers and 48 km apart?
- (A) 48
- (B) 52
- (C) 53
- (D) 58
- (E) √ 482 + 102.
src_archimede_2001_triennio__Q09
Colpevole e complice dalle deposizioni del furto
Per il furto in casa de Ricchis i sospetti si sono ristretti a 4 persone: Aldo, bruno e senza occhiali, Baldo, bruno e con gli occhiali, Carlo, biondo e con gli occhiali, e Dario, biondo e senza occhiali. La polizia ha accertato che il furto è stato commesso da una sola persona, che si è avvalsa di un unico complice. I sospetti si sono ristretti a 4 persone; le loro deposizioni sono le seguenti. Aldo: “Il colpevole è bruno e porta gli occhiali”. Baldo: “Il colpevole è biondo e non porta gli occhiali”. Carlo: “Il colpevole porta gli occhiali e il suo complice è Aldo”. Dario: “Il colpevole è bruno e il suo complice è Carlo”. Si sa che le due affermazioni del colpevole sono false, mentre una sola affermazione del complice è falsa. Gli altri hanno detto la verità. Chi sono il colpevole e il suo complice?
- (A) Aldo e Carlo
- (B) Baldo e Carlo
- (C) Baldo e Dario
- (D) Aldo e Dario
- (E) non è possibile dedurlo.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Guilty and complicit in the theft
For the robbery at Ricchis’ house, the suspects narrowed to 4 people: Aldo, brown and without glasses, Baldo, brown and with glasses, Charles, blonde and with glasses, and Darius, blonde and without glasses. Police have determined that the theft was committed by one person, who used only one accomplice. The suspects were limited to four people, and their testimonies are as follows. Aldo: The culprit is brown and wears glasses. Baldo: The culprit is blonde and doesn’t wear glasses. Charles: The culprit wears glasses and his accomplice is Aldo. Dario: The culprit is brown and his accomplice is Charles. It is known that the two allegations of the offender are false, while only one of the accomplice’s allegations is false. The others told the truth. Who’s the culprit and his accomplice?
- (A) Aldo and Charles
- (B) Bald and Charles
- (C) Bald and Darius
- (D) Aldo and Darius
- (E) There’s no way to deduce that.
src_archimede_2001_triennio__Q10
Quale affermazione vera su polinomio a coefficienti 0/1
Sia P(x) un polinomio i cui coefficienti sono o 0 o 1. Dire quale delle seguenti affermazioni è vera.
- (A) P(2) non può valere 51
- (B) P(3) non può valere 37
- (C) P(3) non può valere 92
- (D) P(4) non può valere 20
- (E) P(5) non può valere 150.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Which statement is true on a polynomial with coefficients 0/1
Either P(x) is a polynomial whose coefficients are either 0 or 1. To say which of the following is true.
- (A) P(2) may not be 51
- (B) P(3) may not be valid 37
- (C) P(3) may not be used 92
- (D) P(4) may not be worth 20
- (E) P(5) cannot be worth 150.
src_archimede_2001_triennio__Q11
Interi uguali al triplo della somma delle loro cifre
Quanti numeri interi positivi sono uguali al triplo della somma delle loro cifre?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 4
- (E) infiniti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Inteers equal to three times the sum of their digits
How many positive integers are equal to three times the sum of their digits?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 4
- (E) infinite.
src_archimede_2001_triennio__Q12
Calcolare CD dati OB e due angoli in figura
Nella figura a fianco, calcolare CD sapendo che OB = 1, = 45°, = 15°. A B C b O D
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
*Calculate OB data CD and two angles in Figure *
In the figure below, calculate the CD knowing that OB = 1, = 45°, = 15°. A B C b O D
src_archimede_2001_triennio__Q13
Quale somma di numeri dispari e sicuramente errata
Ieri Pierino si è dilettato a fare la somma dei numeri dispari da 1 fino ad un certo valore. Quali delle seguenti somme è sicuramente errata?
- (A) 625
- (B) 1225
- (C) 2025
- (D) 3025
- (E) 4525.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
*Which sum of odd and definitely wrong numbers *
Yesterday, Pierino delighted himself in summing odd numbers from 1 to a certain value. Which of the following sums is definitely wrong?
- (A) 625
- (B) 1225
- (C) 2025
- (D) 3025
- (E) 4525.
src_archimede_2001_triennio__Q14
Condizione su x per disuguaglianza radice di x < 3x
Un numero positivo x soddisfa la disuguaglianza √x < 3x se e solo se:
- (A) x > 1 9
- (B) x > 3
- (C) x > 9
- (D) x < 1 9
- (E) x < 9.
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Condition on x for root inequality of x < 3x
A positive number x satisfies the inequality √x < 3x if and only if:
- (A) x > 1 9
- (B) x > 3
- (C) x > 9
- (D) x < 1 9
- (E) x < 9.
src_archimede_2001_triennio__Q15
Angolo BAC dato CEB e bisettrici in figura
Nella figura a fianco, = e = . Sapendo che = y, allora l’angolo è uguale a
- (A) 90°−y
- (B) 90°−y 2
- (C) 2y
- (D) 180°−2y
- (E) y.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
*BAC angle given by CEB and beamers in Figure *
In the figure below, = and = . Knowing that = y, then the angle is equal to
- (A) 90°−y
- (B) 90°−y 2
- (C) 2y
- (D) 180°−2y
- (E) y.
src_archimede_2001_triennio__Q16
Numero abitanti isola da somma risposte furfanti
In un’isola di cavalieri e di furfanti, questi ultimi sono in numero doppio rispetto ai cavalieri. A ciascun abitante dell’isola viene chiesto quanti sono i cavalieri. Mentre ogni cavaliere fornisce la risposta esatta, il primo furfante fornisce il numero esatto aumentato di 1, il secondo furfante il numero esatto aumentato di 2, e così progressivamente. Sapendo che la somma di tutte le risposte è 1140, quanti sono gli abitanti dell’isola?
- (A) 30
- (B) 45
- (C) 60
- (D) 90
- (E) 99.
Topic: Logica, giochi, strategie, Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Number of inhabitants island by total fraudulent responses
On an island of knights and thieves, the latter are twice as numerous as the knights. Each inhabitant of the island is asked how many knights there are. While each rider gives the exact answer, the first rider gives the exact number increased by 1, the second rider the exact number increased by 2, and so on gradually. Knowing that the sum of all the answers is 1140, how many people live on the island?
- (A) 30
- (B) 45
- (C) 60
- (D) 90
- (E) 99.
src_archimede_2001_triennio__Q18
Area triangolo equilatero dato perimetro parallelogramma
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (2,3.4641);
\coordinate (F) at (2,0);
\coordinate (D) at (1,1.7321);
\coordinate (E) at (3,1.7321);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (D)--(F)--(E);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[below] at (F) {$F$};
\node[left] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Sapendo che il perimetro del parallelogramma FECD è 4, l’area del triangolo equilatero ABC risulta uguale a:
- (A) 8
- (B) √ 3
- (C) 4
- (D) 6
- (E) 2 √ 3.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Equilateral triangle area given parallelogram perimeter
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (2,3.4641);
\coordinate (F) at (2,0);
\coordinate (D) at (1,1.7321);
\coordinate (E) at (3,1.7321);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (D)--(F)--(E);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[below] at (F) {$F$};
\node[left] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Since the perimeter of the FECD parallelogram is 4, the area of the ABC equilateral triangle is equal to:
- (A) 8
- (B) √ 3
- (C) 4
- (D) 6
- (E) 2 √ 3.
src_archimede_2001_triennio__Q19
Numero iniziale dopo 2000 iterazioni raddoppia e meno 1
Un numero viene prima raddoppiato e poi diminuito di un’unità. Applicando questo procedimento 2000 volte di seguito si perviene al risultato 22001 + 1. Qual è il numero di partenza?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 5.
Topic: successioni, Algebra Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Initial number after 2000 iterations doubles and minus 1
A number is first doubled and then decreased by a unit. Applying this procedure 2000 times below results in 22001 + 1. What’s the departure number?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 5.
src_archimede_2001_triennio__Q21
Minimo mele divisibili tra 3, 4 e a meta dopo -2
Tre amici si stanno dividendo in parti uguali un cesto di mele e si accorgono di poterlo fare senza tagliare le mele. Arriva un quarto amico e decidono di rifare la divisione, sempre in parti uguali e riescono nuovamente a farla senza tagliare le mele. Uno dei 4 va a casa e lungo la strada mangia 2 mele. Arrivato a casa si accorge di poter dividere le mele rimaste a metà con la propria ragazza senza tagliarle. Quante potevano essere al minimo le mele originarie?
- (A) 12
- (B) 16
- (C) 24
- (D) 36
- (E) 50.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Minimum apples divisible by 3, 4 and 1/2 after -2
Three friends are dividing an apple basket into equal parts and they realize they can do it without cutting the apples. A fourth friend arrives and they decide to divide again, always in equal parts and they manage to do it again without cutting the apples. One of the four goes home and eats two apples along the way. When he gets home, he realizes that he can split the remaining apples in half with his girlfriend without cutting them. How many original apples could there be at least?
- (A) 12
- (B) 16
- (C) 24
- (D) 36
- (E) 50.
src_archimede_2001_triennio__Q22
Ordinamento di p, q, r con radici quadrate
I numeri p = 7 − √ 47, q = 5 − √ 23 e r = 2 − √ 2, verificano:
- (A) r < q < p
- (B) r < p < q
- (C) p < q < r
- (D) q < p < r
- (E) q < r < p.
Topic: Disuguaglianze, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Ordering of p, q, r with square roots
The numbers p = 7 − √ 47, q = 5 − √ 23 and r = 2 − √ 2 are as follows:
- (A) r < q < p
- (B) r < p < q
- (C) p < q < r
- (D) q < p < r
- (E) q < r < p.
src_archimede_2001_triennio__Q23
Rapporto velocita primo e terzo ciclista dato sorpasso
Tre ciclisti partono da Cesenatico lungo la strada per Cortona. Il primo parte un’ora prima degli altri due, che partono assieme. Ciascuno dei ciclisti tiene una velocità costante. Dopo un certo tempo il terzo ciclista raggiunge il primo e due ore più tardi anche il secondo lo raggiunge. Il rapporto fra le velocità del secondo e del terzo ciclista è 2 3. Quanto vale il rapporto fra la velocità del primo e quella del terzo?
- (A) 1 4
- (B) 1 3
- (C) 2 5
- (D) 1 2
- (E) 2 3.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Fast ratio of first and third cyclists overtaken
Three cyclists leave Cesenatico on the road to Cortona. The first one leaves an hour before the other two, who leave together. Each of the cyclists keeps a constant speed. After some time the third rider reaches the first and two hours later the second also reaches him. The ratio of the second and third rider’s speeds is 2 3. What’s the ratio of the speed of the first and the speed of the third?
- (A) 1 4
- (B) 1 3
- (C) 2 5
- (D) 1 2
- (E) 2 3.
src_archimede_2001_triennio__Q24
Massimo del minimo tra 2x, x+1, 10-2x
Per ogni numero reale x, sia m(x) il minimo tra i numeri 2x, x + 1, 10 −2x. Il massimo valore di m(x) è:
- (A) 0
- (B) 2
- (C) 4
- (D) 6
- (E) 8.
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Minimum maximum between 2x, x+1, 10-2x
For every real number x, be m(x) the least among the numbers 2x, x + 1, 10 −2x. The maximum value of m(x) is:
- (A) 0
- (B) 2
- (C) 4
- (D) 6
- (E) 8.