Archimede Gara 2º livello 2002

Numero di famiglie con almeno un televisore

Nella seguente moltiplicazione: $2 a b c \times 4 a f$ ad ogni lettera corrisponde una cifra. Sapendo che nella moltiplicazione compaiono tutte le cifre da 1 a 9 una ed una sola volta, qual è il valore di $c$ ?

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 8

Topic: Algebra Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Number of households with at least one television

In the following multiplication: $2 a b c \times 4 a f$ for each letter corresponds to a digit. Knowing that in multiplication all the digits from 1 to 9 appear once and only once, what is the value of $c$ ?

(A) 2 and (B) 4 and (C) 6 and (D) 7 and (E) 8

Answer: D src_archimede_2002_2livello__Q01

Sottoinsieme di numeri naturali con somma divisibile per 6

Se $p = 2 x = 2 y$ , cosa è uguale $x + y$ ?

(A) $5 p$ (B) $4 p$ (C) $2 p$ (D) $\frac{7}{2} p$ (E) $\frac{1}{2} p$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Subset of natural numbers with sum divisible by 6

If $p = 2 x = 2 y$ , what is $x + y$ ?

(A) $5 p$ (B) $4 p$ (C) $2 p$ (D) $\frac{7}{2} p$

Answer: C src_archimede_2002_2livello__Q02

Indovinello logico su Marziani e Venusiani (chi mente)

In una mappa di una certa regione ci sono due città ai vertici di un esagono regolare; i capoluoghi rappresentano altrettante città. Nella regione ci sono lavori per cui ogni strada è aperta con probabilità $\frac{1}{2}$ indipendentemente dalle altre. Qual è la probabilità che il capoluogo sia accessibile da almeno un’altra città?

(A) fra $0, 25%$ e $0, 5%$ (B) fra $0, 5%$ e $1%$ (C) fra $1%$ e $5%$ (D) fra $5%$ e $20%$ (E) fra $20%$ e $50%$

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

A logical riddle about Martian and Venusian (who’s thinking)

On a map of a certain region there are two cities at the top of a regular hexagon; the capitals represent as many cities. There are jobs in the region where each road is open with a probability of $\frac{1}{2}$ irrespective of the others. What are the odds that the capital is accessible from at least one other city?

(A) between $0, 25%$ and $0, 5%$ (B) between $0, 5%$ and $1%$ (C) between $1%$ and $5%$ (D) between $5%$ and $20%$ (E) between $20%$ and $50%$

Answer: E src_archimede_2002_2livello__Q03

Rapporto tra raggio e lato di una regione geometrica

È noto che i Marinai maschi dicono sempre la verità, mentre le Marinare mentono sempre; al contrario le Veneziane dicono sempre la verità e i Veneziani mentono sempre. All’ufficio immigrazione dell’astronave, Ark e Bark, fanno le seguenti dichiarazioni: Ark: “Bark è di Venere”. Bark: “Ark è di Marte”. Ark: “Bark è maschile”. Bark: “Ark è femminile”. Sulla base di tali dichiarazioni l’impiegato può determinare:

(A) pianeta e sesso di Ark, ma non di Bark

(B) pianeta e sesso di Bark, ma non di Ark

(C) solo il pianeta di entrambi, ma non il sesso

(D) solo il sesso di entrambi, ma non il pianeta

(E) pianeta e sesso di entrambi

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Ratio between radius and side of a geometric region

It is well known that the male Marines always tell the truth, while the Marines always lie; on the contrary, the Venetians always tell the truth and the Venetians always lie. The ship’s immigration office, Ark and Bark, make the following statements: Ark: “Bark is from Venus”. “Ark is from Mars”. Ark: “Bark is male”. “Ark is female”. On the basis of such statements, the employee may determine:

(A) Planet and sex of Ark, but not of Bark.

(B) planet and sex of Bark, but not of Ark

(C) Just the planet of both, but not the sex.

(D) Only the sex of both, but not the planet.

(E) Planet and sex of both.

Answer: C src_archimede_2002_2livello__Q04

rapporto area in grigio

Nella figura, le aree dei lettori sono uguali all’area del semicerchio. Qual è il rapporto tra l’area del semicerchio e quella del cerchio più piccolo?

(A) $\frac{1}{8}$ (B) $\frac{π}{8}$ (C) $\frac{π}{2}$ (D) $2$ (E) non si può determinare (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.3

*grey area report *

In the figure, the reader areas are equal to the area of the semicircle. What is the relationship between the area of the semicircle and that of the smaller circle?

(A) $\frac{1}{8}$ (B) $\frac{π}{8}$ (C) $\frac{π}{2}$ (D) $2$ (E) cannot be determined (see figure)

Answer: A src_archimede_2002_2livello__Q05

Massimo valore di c con a<b<c e relazioni date

Sia $n$ un numero intero positivo di tre cifre decimali $a$ , $b$ , $c$ (con $a \neq = 0$ ) tale che $n$ ha lo stesso numero di cifre decimali di $a + b + c$ . Qual è il massimo valore che può assumere $n$ ?

(A) 9 (B) 10 (C) 19 (D) 30 (E) 31

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3

Maximum value of c with a< b< c and reported data

Whether $n$ is a positive three-digit integer $a$ , $b$ , $c$ (with $a \neq = 0$ ) such that $n$ has the same number of decimal digits as $a + b + c$ . What is the maximum value that $n$ can assume?

(A) 9 and so on; (B) 10 and so on; (C) 19 and so on; (D) 30 and so on; (E) 31

Answer: D src_archimede_2002_2livello__Q06

Massimo c con a≤b≤c e somma di cifre fissata

Sia $A B C$ un triangolo isoscele tale che $B A C = 120°$ e $A B = A C = 1$ . Quanto misura il raggio del cerchio circoscritto?

(A) 2 (B) $\frac{3}{2}$ (C) $\frac{2}{2}$ (D) 1 (E) nessuna delle precedenti

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3

Maximum c with a≤b≤c and sum of figures fixed

Whether $A B C$ is an isosceles triangle such as $B A C = 120°$ and $A B = A C = 1$ . What is the radius of the circumscribed circle?

(A) 2 (B) $\frac{3}{2}$ (C) $\frac{2}{2}$ (D) 1 (E) None of the above

Answer: D src_archimede_2002_2livello__Q07

Valore del polinomio r(2002) con r(2000)=2000, r(2001)=2001

Andrea, viaggiando su un treno, incontra Maldab che sta camminando nella stessa strada in direzione opposta. Dopo 10 secondi il treno ha sorpassato Maldab. Sapendo che la velocità con cui Andrea cammina è doppia di quella di Maldab e un quinto di quella del treno, quanti secondi impiega Andrea a raggiungere Maldab da quando si sono incontrati?

(A) 60 (B) 70 (C) 90 (D) 110 (E) 120

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.3

Value of the polynomial r(2002) with r(2000) = 2000, r(2001) = 2001

Andrea, traveling on a train, meets Maldab who is walking down the same road in the opposite direction. After 10 seconds, the train passed Maldab. Knowing that Andrew’s walking speed is twice that of Maldab and one fifth that of the train, how many seconds has it taken Andrew to reach Maldab since they met?

(A) 60 and so on; (B) 70 and so on; (C) 90 and so on; (D) 110 and so on; (E) 120

Answer: B src_archimede_2002_2livello__Q08

Area di un quadrato sezionato in figura (raggio/lato)

Sia $P (X) = a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ un polinomio di terzo grado con coefficienti reali. Se $P (2000) = 2001$ e $P (2001) = 2002$ , allora $P (2002)$ non può essere uguale a:

(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (E) 2004

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.3

*Area of a square divided by the figure (radius/side) *

Whether $P (X) = a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ is a third degree polynomial with real coefficients. If $P (2000) = 2001$ and $P (2001) = 2002$ , then $P (2002)$ cannot be equal to:

(A) 2000 and others; (B) 2001 and others; (C) 2002 and others; (D) 2003 and others; (E) 2004

Answer: B src_archimede_2002_2livello__Q09

Indovinello su latte e gara a squadre di matematica

Un ciclista affronta un percorso di 30 Km con una velocità di $v$ km/h. Sapendo che ha impiegato 40 minuti, determinare quanti gradi occupa il settore del semicerchio intermedio.

(A) $60° 2 0^{'}$ (B) $60° 0 0^{'}$ (C) $45°$ (D) $37° 2 0^{'}$ (E) non si può determinare

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.3

Milk riddle and math team competition

A cyclist takes a route of 30 km at a speed of $v$ km/h. Knowing that it took 40 minutes to determine how many degrees occupies the intermediate semicircle sector.

(A) $60° 2 0^{'}$ (B) $60° 0 0^{'}$ (C) $45°$ (D) $37° 2 0^{'}$ (E) cannot be determined

Answer: B src_archimede_2002_2livello__Q10

Minimo numero di mosse per comporre il puzzle di 1000 pezzi

Un puzzle da 1000 pezzi può essere montato inserendo i pezzi uno dopo l’altro nella porzione di puzzle già composta, oppure costruendo diversi gruppi di pezzi e poi unendo questi tra di loro. Ogni unione (sia di singoli pezzi, di due gruppi, o di un pezzo e un gruppo) costa una mossa. Qual è il numero minimo di mosse necessarie per completare il puzzle?

(A) 999

Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 999 Fonte: apri PDF p.3

Minimum number of moves to compose the 1000 piece puzzle

A 1000 piece puzzle can be assembled by placing the pieces one after the other into the piece of the puzzle already composed, or by building several groups of pieces and then joining them together. Each union (either of individual pieces, of two groups, or of a piece and a group) costs one move. What is the minimum number of moves needed to complete the puzzle?

(A) 999

Answer: 999 src_archimede_2002_2livello__Q11

Perimetro del rettangolo diviso in cinque quadrati

Il rettangolo in figura è diviso in 9 quadrati (la figura non è in scala). Le lunghezze dei lati dei due quadrati ombreggiati sono rispettivamente $7$ cm e $1$ cm. Trovare il perimetro del rettangolo. (vedi figura)

(A) $16 r$ (B) $16 r + 4$ (C) $20 r - 4$ (D) $19 r$ (E) non si può determinare

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 11 Fonte: apri PDF p.3

Perimeter of the rectangle divided into five squares

The rectangle in the figure is divided into 9 squares (the figure is not in scale). The lengths of the sides of the two shaded squares are $7$ cm and $1$ cm respectively. Find the perimeter of the rectangle. (see figure)

(A) $16 r$ (B) $16 r + 4$ (C) $20 r - 4$ (D) $19 r$ (E) cannot be determined

Answer: 11 src_archimede_2002_2livello__Q12

Perimetro di un parallelogramma dato (Diego/Viola)

Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle nove caselle di una scacchiera $3 \times 3$ , ogni intero in una casella diversa, in modo tale che ogni coppia di interi consecutivi si trovi in due caselle adiacenti (cioè aventi un lato in comune). Quanti sono i valori possibili del numero posto nella casella centrale?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.3

*Perimeter of a given parallelogram (Diego/Viola) *

The integers 1 to 9 are written in the nine boxes of a chessboard $3 \times 3$ , each whole in a different box, so that each pair of consecutive integers is in two adjacent boxes (i.e. having one side in common). What are the possible values of the number in the central box?

(A) 1 and (B) 2 and (C) 3 and (D) 4 and (E) 5

Answer: 6 src_archimede_2002_2livello__Q13

Conteggio celle del cubo da colorare (4 caselle ai vertici)

Quante sono le terne di interi $(a, b, c)$ tutti maggiori di 1 tali che $a^{b^{c}} < 2002$ ?

(A) 9 (B) 19 (C) 30 (D) 31 (E) 32

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3

*Counting of cells of the colouring cube (4 boxes at the top) *

How many integers $(a, b, c)$ are all greater than 1 such that $a^{b^{c}} < 2002$ ?

(A) 9 and (B) 19 and (C) 30 and (D) 31 and (E) 32

Answer: 4 src_archimede_2002_2livello__Q14

Terne (x,y,z) interi positivi con prodotto/condizione data

ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Determinare il numero dei parallelepipedi retti con base quadrata che hanno tutti gli spigoli di lunghezza intera e volume uguale a $270000$ .

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (6,10,14) Fonte: apri PDF p.4

Term (x,y,z) positive integers with product/condition given

This is the first time I’ve seen this.

Determine the number of parallel-piped rectangles with a square base having all beads of full length and volume equal to $270000$ .

Answer: (6,10,14) src_archimede_2002_2livello__Q15

dimostrare uguaglianza di angoli

ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Sia dato un triangolo $A B C$ . Si indichino con $M$ ed $N$ i punti medi rispettivamente dei lati $A C$ e $B C$ . Siano inoltre $S$ e $T$ rispettivamente punti sui lati $A C$ e $B C$ tali che: $A S = \frac{1}{3} A C B T = \frac{1}{3} B C .$ Dimostrare che le bisettrici degli angoli $A S T$ e $B T S$ si incontrano su un punto $P$ del lato $A B$ se e solo se il quadrilatero $A M N B$ è circoscrivibile ad una circonferenza.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4

to show equality of angles

This is the first time I’ve seen this.

A triangle $A B C$ is given. The mean points of the sides $A C$ and $B C$ shall be indicated with $M$ and $N$ respectively. Also $S$ and $T$ shall be points on the sides $A C$ and $B C$ respectively, such that: $A S = \frac{1}{3} A C B T = \frac{1}{3} B C .$ Demonstrate that the angles $A S T$ and $B T S$ meet on a point $P$ of the $A B$ side if and only if the quadrilateral $A M N B$ is circular.

src_archimede_2002_2livello__Q16

Parallelepipedi a lati interi con volume 250000

ESERCIZIO DIMOSTRATIVO

Determinare tutte le terne di interi positivi $(x, y, z)$ che soddisfano il seguente sistema: ${45 x y^{2} = 8 z^{3} x y z < 1000$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4

Parallel whole-sided pipes with volume 250000

This is the first time I’ve seen this.

Determine all positive integers $(x, y, z)$ that meet the following system: ${45 x y^{2} = 8 z^{3} x y z < 1000$

src_archimede_2002_2livello__Q17

Raccolta Gare di Matematica

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Archimede Gara 2º livello 2002

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