Giochi di Archimede 2002 - Biennio

Km per ruota con rotazione di ruota di scorta

Un vespista oculato, in un suo viaggio di 900 km, usa anche la ruota di scorta in modo che alla fine le tre ruote subiscano la stessa usura. Quanti km avrà percorso ogni ruota alla fine del viaggio?

• (A) 300
• (B) 450
• (C) 500
• (D) 600
• (E) 750.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1

Km per wheel with spare wheel rotation

An eye-catching spider, on its 900-kilometer journey, also uses the spare wheel so that in the end all three wheels suffer the same wear. How many miles will each wheel have traveled at the end of the journey?

• (A) 300
• (B) 450
• (C) 500
• (D) 600
• (E) 750.

Answer: D src_archimede_2002_biennio__Q01

Quadrato del rapporto somma cifre invertite su somma

Un numero di due cifre viene sommato al numero ottenuto invertendo le sue cifre. Si divide quindi la somma ottenuta per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il risultato. Che numero si ottiene?

• (A) 36
• (B) 49
• (C) 100
• (D) 121
• (E) dipende dalle cifre del numero dato.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1

Squared sum ratio figures reversed on sum

A two-digit number is added to the number obtained by inverting its digits. Divide the sum by the sum of the digits of the given number and square the result. What number do you get?

• (A) 36
• (B) 49
• (C) 100
• (D) 121
• (E) It depends on the numbers of the number given.

Answer: D src_archimede_2002_biennio__Q02

Minimo fogli calendario per il terzo millennio

Massimo vuole risparmiare sui calendari. Allora col computer ha stampato tanti fogli con i numeri dei giorni e di fianco a ciascun numero il giorno della settimana. Ad ogni mese, Massimo sceglie il foglio opportuno e vi appoggia sopra un’etichetta (removibile) con il nome del mese. Quanti fogli deve aver stampato come minimo, se vuole che il calendario possa essere usato per tutto il terzo millennio?

• (A) 12
• (B) 24
• (C) 28
• (D) 30
• (E) 32.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Minimum calendar sheets for the third millennium

Maximo wants to save on calendars. Then he printed a lot of paper with the number of days and next to each number on the day of the week. Each month, Maximo chooses the appropriate sheet and places a label (removable) with the month’s name on it. How many sheets must he have printed at least if he wants the calendar to be used for the entire third millennium?

• (A) 12
• (B) 24
• (C) 28
• (D) 30
• (E) 32.

src_archimede_2002_biennio__Q03

Rapporto perimetro figura ad archi su perimetro quadrato

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \fill[gray!60] (2,0) arc (0:90:2) arc (270:360:2) arc (180:270:2) arc (90:180:2) -- cycle;
  \draw[thick] (0,0) rectangle (4,4);
  \draw[thick] (2,0) arc (0:90:2);
  \draw[thick] (4,2) arc (90:180:2);
  \draw[thick] (2,4) arc (180:270:2);
  \draw[thick] (0,2) arc (270:360:2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Nel quadrato a fianco, gli archi sono tutti dei quarti di circonferenze e hanno, a due a due, gli estremi in comune. Il rapporto fra il perimetro della figura in grigio e il perimetro del quadrato

• (A) è 1 4
• (B) è 1 π
• (C) è π 4
• (D) è 1 2
• (E) non può essere determinato con le informazioni date.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Perimeter report is shown in arcs on square perimeter

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \fill[gray!60] (2,0) arc (0:90:2) arc (270:360:2) arc (180:270:2) arc (90:180:2) -- cycle;
  \draw[thick] (0,0) rectangle (4,4);
  \draw[thick] (2,0) arc (0:90:2);
  \draw[thick] (4,2) arc (90:180:2);
  \draw[thick] (2,4) arc (180:270:2);
  \draw[thick] (0,2) arc (270:360:2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

In the side-square, the arcs are all quarter circles and have, two by two, the extremes in common. The ratio of the perimeter of the grey figure to the perimeter of the square

• (A) è 1 4
• (B) è 1 π
• (C) è π 4
• (D) è 1 2
• (E) cannot be determined by the information given.

src_archimede_2002_biennio__Q04

Diametro seconda ruota dati giri al minuto

Una ruota avente diametro 5 cm è connessa ad un’altra ruota tramite una cinghia di trasmissione. La prima ruota a 1000 giri al minuto. Che diametro dovrà avere la seconda ruota per ruotare a 200 giri al minuto?

• (A) 20 cm
• (B) 25 cm
• (C) 27 cm
• (D) 50 cm
• (E) dipende dalla distanza fra gli assi delle ruote.

Topic: Geometria piana Abilita: traduzione del testo Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Diameter of second wheel data rounds per minute

A wheel with a diameter of 5 cm is connected to another wheel by a transmission strap. The first wheel at 1000 rpm. What diameter will the second wheel have to have to rotate at 200 rounds per minute?

• (A) 20 cm
• (B) 25 cm
• (C) 27 cm
• (D) 50 cm
• (E) depends on the distance between the wheels.

src_archimede_2002_biennio__Q05

Frazione di superficie cubo ombreggiata da archi

Da un vertice A di un cubo si tracciano degli archi di cerchio con centro in A e raggio pari al lato del cubo su ciascuna delle tre facce aventi un vertice in A. Qual è la frazione della superficie del cubo ombreggiata?

• (A) 1 4
• (B) 3 8
• (C) π 8
• (D) π 6
• (E) dipende dal lato del cubo. b A

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Fraction of cubic surface shaded by arcs

From a vertex A of a cube, circle arcs with a center in A and a radius equal to the side of the cube are drawn on each of the three faces having a vertex in A. What is the fraction of the surface of the shaded cube?

• (A) 1 4
• (B) 3 8
• (C) π 8
• (D) π 6
• (E) Depends on the side of the cube. b A

src_archimede_2002_biennio__Q06

Forma logica equivalente su insegnanti e auto di lusso

Quale delle seguenti espressioni è equivalente all’affermazione “Fra tutti gli insegnanti, solo quelli con un coniuge ricco possiedono un’auto di lusso”?

• (A) Se una persona possiede un’auto di lusso, allora essa è insegnante o ha un coniuge ricco.
• (B) Se una persona è insegnante e ha un coniuge ricco, allora essa possiede un’auto di lusso.
• (C) Se una persona è insegnante e possiede un’auto di lusso, allora essa ha un coniuge ricco.
• (D) Se una persona ha un’auto di lusso, allora essa è un insegnante e ha un coniuge ricco.
• (E) Se una persona ha un coniuge ricco, allora essa è un insegnante e possiede un’auto di lusso.

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

equivalent logic form on teachers and luxury cars

Which of the following is equivalent to the statement that only teachers with a wealthy spouse own a luxury car?

• (A) If a person owns a luxury car, then he or she is a teacher or has a wealthy spouse.
• (B) If a person is a teacher and has a wealthy spouse, then he owns a luxury car.
• (C) If a person is a teacher and owns a luxury car, then he has a wealthy spouse.
• (D) If a person has a luxury car, then he is a teacher and he has a rich spouse.
• (E) If a person has a rich spouse, then he is a teacher and owns a luxury car.

src_archimede_2002_biennio__Q07

Dopo quante domeniche le tre amiche corrono insieme

Tre amiche vanno regolarmente al parco a correre: la prima ogni 10 giorni, la seconda ogni 15 e la terza ogni 14 giorni. Una domenica si trovano a correre insieme. Dopo quante domeniche si ritroveranno al parco per la prima volta a correre insieme?

• (A) 22
• (B) 25
• (C) 30
• (D) 70
• (E) mai.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

After how many Sundays the three friends run together

Three friends regularly go to the park to run: the first every 10 days, the second every 15 days, and the third every 14 days. One Sunday, they’re running together. After how many Sundays will they be at the park for the first time running together?

• (A) 22
• (B) 25
• (C) 30
• (D) 70
• (E) I never did.

src_archimede_2002_biennio__Q08

Eta del giocatore espulso data variazione media

In una squadra di calcio vi sono 11 giocatori. L’età media è 22 anni. Durante una partita un giocatore viene espulso; l’età media dei giocatori rimasti diviene allora 21 anni. Che età ha il giocatore che è stato espulso?

• (A) 22 anni
• (B) 23 anni
• (C) 28 anni
• (D) 32 anni
• (E) 33 anni.

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Age of player expelled given average change

There are 11 players on a football team. The average age is 22. During a match a player is expelled; the average age of the remaining players then becomes 21 years. How old is the player who got kicked out?

• (A) 22 years
• (B) 23 years old
• (C) 28 years
• (D) 32 years
• (E) Thirty-three years.

src_archimede_2002_biennio__Q09

Numero strette di mano escludendo connazionali

Ad una competizione internazionale partecipano 600 ragazzi provenienti da 100 nazioni diverse e da ogni nazione provengono 6 ragazzi. Il giorno prima della gara si organizza un rinfresco in un enorme salone a cui partecipano tutti i concorrenti. Ciascuno fa la conoscenza di tutti gli altri (ad eccezione dei suoi connazionali che conosce già) stringendo loro la mano. Quante sono le strette di mano?

• (A) 89100
• (B) 178200
• (C) 179700
• (D) 356400
• (E) 360000.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Number of handshakes excluding compatriots

An international competition involves 600 young people from 100 different nations, with six coming from each nation. The day before the race a refreshment is organized in a huge hall where all the competitors participate. Each one makes the acquaintance of all the others (except his countrymen whom he already knows) by shaking their hand. How many handshakes?

• (A) 89100
• (B) 178200
• (C) 179700
• (D) 356400
• (E) 360000.

src_archimede_2002_biennio__Q10

Angolo QOR da trisezione di angoli supplementari

Un angolo $\widehat{AOB}$ viene trisecato dalle semirette OP, OQ; anche l’angolo $\widehat{BOC}$ (supplementare di $\widehat{AOB}$) viene trisecato dalle semirette OR, OS. Quanto vale l’angolo $\widehat{QOR}$?

• (A) 45°
• (B) 60°
• (C) 90°
• (D) dipende dall’angolo $\widehat{AOB}$
• (E) la costruzione non si può fare.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

QOR angle by trisection of additional angles

An angle $\widehat{AOB}$ is trisected by the semicircular OP, OQ; also the angle $\widehat{BOC}$ (supplementary to $\widehat{AOB}$) is trisected by the semicircular OR, OS. What is the value of the $\widehat{QOR}$ angle?

• (A) 45°
• (B) 60°
• (C) 90°
• (D) depends on the angle $\widehat{AOB}$
• (E) You can’t build it.

src_archimede_2002_biennio__Q11

Quali affermazioni su 3^10 cubo dispari quadrato

Fra le seguenti affermazioni: (i) 310 è un cubo; (ii) 310 è dispari; (iii) 310 è un quadrato; quali sono quelle corrette?

• (A) Solo (i)
• (B) solo (ii)
• (C) solo (iii)
• (D) (ii) e (iii)
• (E) tutte e tre.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

*What are the statements on 3^10 odd cubic squares *

Among the following statements: (i) 310 is a cube; (ii) 310 is odd; (iii) 310 is a square; what are the correct ones?

• (A) Only (i)
• (B) only (ii)
• (C) only (iii)
• (D) (ii) and (iii)
• (E) All three of them.

src_archimede_2002_biennio__Q12

Livello acqua dopo immersione cubo nella vasca

In una vasca a forma di parallelepipedo con base quadrata di lato 40 cm viene immessa dell’acqua fino a raggiungere un livello di 30 cm. Poi viene completamente immerso nella vasca un cubo pieno di lato 20 cm. Qual è ora il livello dell’acqua?

• (A) 32 cm
• (B) 32,5 cm
• (C) 35 cm
• (D) 40 cm
• (E) 50 cm.

Topic: Geometria solida Abilita: traduzione del testo Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Water level after cubic immersion in the tank

In a parallel-piped tub with a 40 cm square side base, water is injected until a level of 30 cm is reached. Then a cube full of 20 centimeters is completely immersed in the tank. What’s the water level now?

• (A) 32 cm
• (B) 32,5 cm
• (C) 35 cm
• (D) 40 cm
• (E) 50 cm.

src_archimede_2002_biennio__Q13

Massima cifra non pagabile con monete da 3 e 11

L’Orue è una valuta che dispone di due sole monete, da 3 e da 11 centesimi. Qual è la massima cifra che non può essere pagata esattamente?

• (A) 16 centesimi
• (B) 19 centesimi
• (C) 20 centesimi
• (D) 32 centesimi
• (E) esistono cifre arbitrariamente grandi che non sono pagabili esattamente.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

*Maximum amount not payable with coins of 3 and 11 *

LOrue is a currency that has only two coins, 3 and 11. What is the maximum amount that cannot be paid exactly?

• (A) 16 cents
• (B) 19 cents
• (C) 20 cents
• (D) 32 cents
• (E) There are arbitrarily large figures that are not exactly payable.

src_archimede_2002_biennio__Q14

Regioni in cui le facce prolungate dividono lo spazio

Immaginando di prolungare tutte le facce di un cubo, in quante regioni viene diviso tutto lo spazio (compreso l’interno del cubo)?

• (A) 9
• (B) 16
• (C) 24
• (D) 27
• (E) 32.

Topic: Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Regions where elongated faces divide space

If we extend all the faces of a cube, how many regions are all the space divided into (including the inside of the cube)?

• (A) 9
• (B) 16
• (C) 24
• (D) 27
• (E) 32.

src_archimede_2002_biennio__Q15

Confronto aree tratteggiate divise da tre linee

Le tre linee tracciate dividono, ciascuna, l’intera figura in due parti di ugual area. Si considerino le aree tratteggiate A e B. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (A) area(A) > area(B)
• (B) area(A) = area(B)
• (C) area(A) < area(B)
• (D) la figura è impossibile
• (E) non si può trarre alcuna conclusione. A B

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Comparison of three-line drawn areas

The three lines drawn divide the whole figure into two equal parts. Areas A and B shall be considered. Which of the following statements is true?

• (A) area(A) > area(B)
• (B) area(A) = area(B)
• (C) area(A) < area(B)
• (D) The figure is impossible.
• (E) There is no conclusion to be drawn. A B

src_archimede_2002_biennio__Q16

Modi di equilibrare 16 g con pesi da 1, 3, 9

Alberto ha a disposizione un gran numero di pesi da 1, 3 e 9 grammi. Volendo usarli per equilibrare una catenella da 16 grammi ponendoli solo su uno dei due piatti di una bilancia a bracci uguali, in quanti modi diversi può scegliere i pesi?

• (A) 1
• (B) 3
• (C) 7
• (D) 9
• (E) 16.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Ways to balance 16 g with weights of 1, 3, 9*

Alberto has a large number of 1, 3 and 9 gram weights. If you want to use them to balance a 16-gram chain by placing them only on one of the two plates of an equal-armed scale, how many different ways can you choose the weights?

• (A) 1
• (B) 3
• (C) 7
• (D) 9
• (E) 16.

src_archimede_2002_biennio__Q17

Scalino pericolante che blocca il canguro saltatore

Un canguro sale una scala di 500 gradini in questo modo: prima salta sul 3° scalino, poi indietro di 1, poi su di 5, indietro di 3, avanti di 7, giù di 5 e così via. Purtroppo uno scalino è pericolante e se il canguro vi saltasse sopra cadrebbe a terra. Il canguro riuscirà a salire fino in cima se lo scalino pericolante è:

• (A) il 200°
• (B) il 201°
• (C) il 202°
• (D) il 203°
• (E) il canguro cadrà comunque.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Dangerous ladder that blocks the jumping kangaroo

A kangaroo climbs a 500-step ladder like this: first jumps on the3° ladder, then backwards by 1, then backwards by 5, backwards by 3, forward by 7, down by 5, and so on. Unfortunately, a ladder is dangerous and if the kangaroo jumped over it, it would fall to the ground. The kangaroo will climb to the top if the dangerous ladder is:

• (A) il 200°
• (B) il 201°
• (C) il 202°
• (D) il 203°
• (E) The kangaroo will fall anyway.

src_archimede_2002_biennio__Q18

Quanti sviluppi si richiudono in scatole chiuse

Quanti degli sviluppi disegnati sotto possono essere richiusi (effettuando le piegature lungo le linee segnate) in modo da ottenere delle scatole chiuse?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 4
• (E) 5.

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

How many developments are closed in closed boxes

How many of the developments outlined below can be closed (by bending along the marked lines) to obtain closed boxes?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 4
• (E) 5.

src_archimede_2002_biennio__Q19

Peso escluso per equilibrio con cinque dei sei pesi

Si hanno a disposizione sei pesi da 2, 3, 5, 7, 9, 10 ettogrammi. Cinque di essi vengono posti sui due piatti di una bilancia in modo che essa si trovi in equilibrio. Qual è il peso escluso?

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 5
• (D) 10
• (E) non si può determinare.

Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Weight excluded by balance with five of the six weights

Six weights of 2, 3, 5, 7, 9, 10 hectograms are available. Five of these are placed on the two plates of a scale so that it is in balance. What’s the excluded weight?

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 5
• (D) 10
• (E) It’s impossible to determine.

src_archimede_2002_biennio__Q20