Archimede 2002 - Gara del Pubblico (Cesenatico)

raggio del quadrilatero

La piscina del professor Abacus (25 punti)

Nel giardino della villa del Professor Abacus c’è una piscina circolare circondata da quattro vialetti rettilinei che formano un quadrilatero. La piscina tocca ciascuno dei quattro vialetti e inoltre due vialetti opposti sono paralleli, mentre gli altri due hanno la stessa lunghezza. Sapendo che i due paralleli misurano rispettivamente 800 e 200 centimetri, quanti centimetri misura il raggio della piscina?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0200 Fonte: apri PDF p.1

*radius of the quadrilateral *

The swimming pool of Professor Abacus

In the garden of Professor Abacus’ villa there is a circular pool surrounded by four rectangular alleys forming a quadrilateral. The pool touches each of the four alleys and also two opposite alleys are parallel, while the other two are the same length. Knowing that the two parallels measure 800 and 200 centimeters respectively, how many centimeters does the pool radius measure?

Answer: 0200 src_archimede_2002_pubblico__Q01

40 punti

Nipotini giocherelloni (40 punti)

I tre nipoti del Professor Abacus (Anna, Bernardo e Carla) giocano al seguente gioco: in un’urna ci sono tre fogliettini con su scritto i tre nomi dei bambini. Si estrae un fogliettino, si annota quale nome è stato estratto e si rimette il fogliettino nell’urna, ripetendo l’operazione finché un nome non viene estratto due volte. A questo punto il giocatore in questione viene eliminato e proseguono gli altri due mettendo solo due foglietti nell’urna. Quando il nome di uno dei due rimasti è stato estratto due volte (contando anche le estrazioni già effettuate prima) viene proclamato vincitore l’altro. Qual è la probabilità che il gioco termini esattamente dopo 4 estrazioni? (Calcolate la probabilità in percentuale e riportate la parte intera del risultato)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0038 Fonte: apri PDF p.1

The following points shall be inserted:

**Nipotines toy ** (40 points)

Professor Abacus’ three grandchildren (Anna, Bernardo, and Carla) play the following game: In an urn there are three leaflets with the children’s names written on them. You extract a leaflet, write down what name was extracted, and put the leaflet back in the urn, repeating the operation until a name is extracted twice. At this point the player in question is eliminated and the other two continue by placing only two cards in the urn. When the name of one of the two remaining has been extracted twice (including the extractions already made before) the other is declared the winner. What’s the probability that the game ends exactly after 4 extractions? (Calculate the probability as a percentage and report the entire part of the result)

Answer: 0038 src_archimede_2002_pubblico__Q02

successione di interi

Anna scolara distratta (55 punti)

Durante una noiosa ora di lezione Anna fa il seguente gioco. Scrive su un foglio un intero $a_{0}$ , poi scrive una successione di interi $a_{i}$ : ogni volta prendendo come $a_{i + 1}$ o la somma delle cifre del numero precedente o il loro prodotto. Dopo un po’ si accorge che tutti i numeri che ha scritto sono dispari. Quanti sono i numeri $a_{i}$ con meno di sei cifre per cui in qualsiasi momento Anna si fermi e comunque decida di calcolare $a_{i + 1}$ secondo le regole di sopra troverà sempre e solo numeri dispari?

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0039 Fonte: apri PDF p.1

succession of integers *

Distracted school year (55 points)

During a boring class hour, Anna plays the following game. He writes on a sheet an integer $a_{0}$ , then writes a sequence of integers $a_{i}$ : each time taking as $a_{i + 1}$ or the sum of the digits from the previous number or their product. After a while, you realize that all the numbers you wrote are odd. How many $a_{i}$ numbers with less than six digits for which at any time Anna stops and still decides to calculate $a_{i + 1}$ according to the rules above will she always find and only odd numbers?

Answer: 0039 src_archimede_2002_pubblico__Q03

minimo dell’espressione razionale

4 ,

#

;

’ ”!!” . 3 < < .

.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0501 Fonte: apri PDF p.1

minimum of the rational expression

4 ,

#

;

’ ”!!” . 3 < < .

.

Answer: 0501 src_archimede_2002_pubblico__Q04

divisibilita dei numeri di membri

Convegni di matematici (30 punti)

Il Professor Abacus fa parte di un’antichissima società di matematici fondata nell’anno 232. I membri della società chiamano

(a) “accomodante” ogni numero tale che aggiungendogli 1 il risultato sia divisibile per 2, aggiungendogli 2 sia divisibile per 3, aggiungendogli 3 sia divisibile per 4;

(b) “ribelle” ogni numero tale che togliendogli 1 il risultato sia divisibile per 2, togliendogli 2 sia divisibile per 3, togliendogli 3 sia divisibile per 4.

I membri della Società organizzano un convegno in tutti gli anni accomodanti e in tutti gli anni ribelli. Sapendo che il professor Abacus ha oggi 75 anni e ci è iscritto all’associazione quando ne aveva 60 calcolate la somma degli anni dei convegni a cui ha partecipato.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3984 Fonte: apri PDF p.1

divisibility of the number of members

Conferences of mathematicians (30 points)

Professor Abacus is part of a very ancient society of mathematicians founded in the year 232. The members of the society call

(a) ‘compatible’ means any number such that by adding 1 to it the result is divisible by 2, by adding 2 to it is divisible by 3, by adding 3 to it is divisible by 4;

(b) “rebels” means any number such that by taking 1 the result is divisible by 2, taking 2 is divisible by 3, taking 3 is divisible by 4.

Members of the Society hold a meeting in all accommodating and rebellious years. Knowing that Professor Abacus is now 75 years old, he joined the association when he had 60 and calculated the sum of the years of the conferences he attended.

Answer: 3984 src_archimede_2002_pubblico__Q05

terna pitagorica e superficie

Una strana stazione orbitante (45 punti)

Il figlio del Professor Abacus è un ingegnere aerospaziale. In questi giorni sta progettando un pezzo di una stazione orbitante: l’intelaiatura del pezzo è un parallelepipedo formato da due cubetti che hanno una faccia in comune. Sulla rappresentazione tridimensionale che il suo computer dà del parallelepipedo in un riferimento cartesiano tre vertici di esso hanno coordinate $(3, 6, 2)$ , $(5, 2, 6)$ , $(7, 7, 1)$ . Quanto misura in $m^{2}$ la superficie totale del pezzo sapendo che sugli assi ciascuna unità rappresenta un metro?

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0090 Fonte: apri PDF p.2

*pitagoric furnace and surface *

A strange orbiting station

Professor Abacus’ son is an aerospace engineer. These days he’s designing a piece of an orbiting station: the interlacing of the piece is a parallel piped formed by two cubes that have a face in common. On the three-dimensional representation that your computer gives of the parallel piped in a Cartesian reference three vertices of it have coordinates $(3, 6, 2)$ , $(5, 2, 6)$ , $(7, 7, 1)$ . How much does it measure in $m^{2}$ the total area of the piece knowing that on the axes each unit is one metre?

Answer: 0090 src_archimede_2002_pubblico__Q06

probabilita di una giacca blu

Strani incontri sul tram (40 punti)

Il professor Abacus e un suo collega entrano in un tram in cui ci sono 6 persone. Il professor Abacus nota che, tra i passeggeri già presenti, ci sono esattamente 2 persone con i capelli biondi e il suo collega nota che, tra i passeggeri già presenti, ci sono esattamente 2 persone che indossano una giacca blu. Qual è la probabilità che ci sia almeno un biondo che indossa una giacca blu? (Calcolate la probabilità in percentuale supponendo che i due eventi “avere capelli biondi” e “indossare una giacca blu” siano indipendenti, e riportate la parte intera del risultato)

Topic: Probabilita e statistica Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0060 Fonte: apri PDF p.2

probability of a blue jacket

Strange encounters on the tram (40 points)

Professor Abacus and a colleague board a tram with six people on board. Professor Abacus notes that, among the passengers already present, there are exactly 2 people with blond hair and his colleague notes that, among the passengers already present, there are exactly 2 people wearing a blue jacket. What are the odds that there’s at least one blonde wearing a blue jacket? (Calculate the probability as a percentage assuming that the two events “having blonde hair” and “wearing a blue jacket” are independent, and report the entire result)

Answer: 0060 src_archimede_2002_pubblico__Q07

due rane sui vialetti, numero di salti

I salti delle rane (20 punti)

Nel giardino della villa del professor Abacus ci sono due rane. In questo momento esse si trovano in uno dei vialetti vicino alla piscina, procedendo in direzione di raggiungere la rana $B$ dalla rana $A$ . La rana $A$ si trova a 40 centimetri dalla pozza, mentre la rana $B$ si trova dietro la $A$ a un metro dalla pozza. La rana $B$ ad ogni salto copre la metà della distanza che c’è in quel momento tra lei e la pozza d’acqua. La rana $A$ al primo salto copre la metà della distanza, al secondo copre un terzo, al terzo copre un quarto e così via. Dopo quanti salti $B$ supera $A$ , sapendo che le rane saltano sempre contemporaneamente?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.2

two frogs on the sidewalks, number of jumps

Fraggle jumps (20 points)

There are two frogs in the garden of Professor Abacus’ mansion. At this time they are in one of the alleys near the swimming pool, moving towards the frog $B$ from the frog $A$ . The $A$ frog is 40 centimetres from the well, while the $B$ frog is one metre from the well behind the $A$ . The frog $B$ at each jump covers half the distance that is between her and the water well at that moment. The $A$ frog on the first jump covers half the distance, the second one covers a third, the third one covers a quarter and so on. After how many jumps does $B$ exceed $A$ , knowing that frogs always jump at the same time?

Answer: 0004 src_archimede_2002_pubblico__Q08

56 caselle numerate, somma consecutiva

La roulette di casa Abacus (50 punti)

Nella casa del professor Abacus c’è una strana roulette. In questa roulette ci sono in circolo 50 caselle, su ciascuna è scritto un numero intero. Ad ogni modo prendendo 20 caselle consecutive la somma dei numeri scritti in esse è sempre uguale a 500. C’è inoltre una casella in cui appare il numero 1 e si numerano le altre in senso orario a partire da essa, nella 19-esima appare il numero 19 e nella 50-esima il numero 50. Quale numero è scritto nella 56-esima casella?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.2

56 numbered boxes, consecutive sum

The house roulette Abacus** (50 points)

There’s a weird roulette game at Professor Abacus’ house. In this roulette wheel, there are 50 boxes in a circle, each of which has an integer number. However, taking 20 consecutive boxes the sum of the numbers written in them is always equal to 500. There is also a box in which the number 1 appears and the others are numbered in a clockwise fashion from it, in the 19th the number 19 appears and in the 50th the number 50. What number is written in the 56th box?

Answer: 0030 src_archimede_2002_pubblico__Q09

massima potenza che divide 1000!

Anna vince punita! (55 punti)

Anna è stata scoperta dal professore mentre durante la lezione invece di seguire faceva il suo strano gioco. Pertanto per punizione le viene assegnato di calcolare quanto fa la metà di 1000 più 1 due quarti di 1000, più 1 $3/8$ di 1000, più 1 $4/16$ di 1000 e così via andando avanti fino a fermarsi a $20/ 2^{20}$ -esimi di 1000. Ma il professore si accorge dopo qualche minuto che i calcoli sono troppi e la punizione è troppo pesante. Pertanto dice ad Anna: “Ti risparmierò tutti questi calcoli se saprai dirmi qual è il numero intero per cui puoi spaventarti continuando a sommare $n / 2^{n}$ -esimi di 1000”. Sapreste darle un valido suggerimento?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1999 Fonte: apri PDF p.2

Maximum power dividing by 1000!

Anna wins punished!

Anna was discovered by the professor while she was playing her weird game during class instead of following. Therefore, as punishment, they are assigned to calculate what is half of 1000 plus 1 two quarters of 1000, plus 1 $3/8$ of 1000, plus 1 $4/16$ of 1000, and so on going on until they stop at $20/ 2^{20}$ -exams of 1000. But the professor realizes after a few minutes that the calculations are too much and the punishment is too heavy. So he says to Anna, “I’ll save you all these calculations if you can tell me what the whole number is that you can freak out about by continuing to add $n / 2^{n}$ -hems of 1000”. Can you give her a good suggestion?

Answer: 1999 src_archimede_2002_pubblico__Q10

dividere n sassolini in mucchi

I sassolini di Carla (40 punti)

Nel giardino della villa del Professor Abacus, Carla sta giocando con dei sassolini. In questo momento ha $n$ mucchietti, formati da $1, 2, 3, \dots, n$ sassolini. Carla si accorge che può raggruppare un po’ di mucchietti da una parte e un po’ dall’altra in modo tale che il numero dei sassolini che si trovano da una delle due parti è uguale al numero di sassolini che si trovano dall’altra parte, e sposta un certo mucchietto da una parte all’altra, quella con più sassolini ne ha esattamente il doppio dell’altra. Carla, che per essere piccola è già molto brava in matematica, si accorge che se avesse $m$ mucchietti fatti come sopra ma con $m > n$ la cosa non si sarebbe potuta verificare. Quanto vale $n$ ?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0011 Fonte: apri PDF p.2

divide n rocks into heaps

The rocks of Carla (**) (40 points)

In the garden of Professor Abacus’ villa, Carla is playing with rocks. At this time it has $n$ piles, formed by $1, 2, 3, \dots, n$ rocks. Carla realizes that she can group a little bit of pebbles on one side and a little bit on the other so that the number of pebbles on either side is equal to the number of pebbles on the other side, and she moves a certain pebble from one side to the other, the one with more pebbles has exactly twice the number of the other. Carla, who is already very good at math because she is young, realizes that if she had $m$ piles made like above but with $m > n$ this could not have happened. How much is $n$ ?

Answer: 0011 src_archimede_2002_pubblico__Q11

triangolo coordinato, punti interi

Il triangolo di Bernardo (30 punti)

Sul suo quaderno quadrettato Bernardo sta per disegnare un triangolo di coordinate $(0, 0)$ , $(1, n)$ e $(n, 1)$ . Qual è il più piccolo $n$ che deve scegliere perché ci siano almeno 1000 punti a coordinate intere interni al triangolo?

Topic: Geometria analitica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0046 Fonte: apri PDF p.2

*coordinated triangle, whole points *

The three-dimensional geometry of the triangle of Bernardo

On his square notebook Bernardo is about to draw a triangle of coordinates $(0, 0)$ , $(1, n)$ and $(n, 1)$ . Which is the smallest $n$ that you have to choose so that there are at least 1000 points of complete coordinates inside the triangle?

Answer: 0046 src_archimede_2002_pubblico__Q12

distanza dal centro, somma dei quadrati

La piazza ottagonale (45 punti)

La piazza che si trova davanti alla casa del professor Abacus è un ottagono regolare $A B C D E F G H$ . Sapendo che la distanza tra il centro della piazza e uno qualsiasi dei vertici è 4, calcolate le prime quattro cifre del prodotto delle misure (in metri) dei segmenti che congiungono $A$ con tutti gli altri vertici.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 8000 Fonte: apri PDF p.3

distance from the centre, sum of squares*

**The octagonal square ** (45 points)

The square in front of Professor Abacus’ house is a regular octagon. Knowing that the distance between the centre of the square and any of the vertices is 4, calculate the first four digits of the product of the measurements (in meters) of the segments joining $A$ with all the other vertices.

Answer: 8000 src_archimede_2002_pubblico__Q13

numero di biglie di ciascun colore

Le biglie di Carla (60 punti)

Questa volta Carla sta giocando con un po’ di biglie colorate. Le ha appena divise in un certo numero di mucchi, che chiameremo $A_{i}$ , tutti contenenti almeno due biglie. Poi le osserva bonariamente mentre legge il giornale, fissa il mucchietto $A_{i}$ e distrattamente calcola il numero $c_{i}$ di tutte le coppie di biglie che appartengono entrambe ad $A_{i}$ . Si accorge poi che la somma di tutti i $c_{i}$ fa 28 e che la stessa cosa succede considerando le terne. Saprete dire quante sono le biglie di Carla?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.3

number of beads of each colour

The balls of Carla ** (60 points)

This time Carla’s playing with some colorful cards. He just divided them into a number of heaps, which we’ll call $A_{i}$ , all containing at least two balls. Then he looks at them gently as he reads the newspaper, fixes the $A_{i}$ stack and distractively calculates the $c_{i}$ number of all the pairs of balls that both belong to $A_{i}$ . You then notice that the sum of all the $c_{i}$ is 28 and that the same thing happens when you look at the dice. Can you tell me how many balls Carla has?

Answer: 0016 src_archimede_2002_pubblico__Q14

30 punti

La gara del pubblico di Matelandia (30 punti)

Il Professor Abacus organizza ogni anno la gara del pubblico di Matelandia. Quest’anno ci sono 25 quesiti e una singola squadra del pubblico può totalizzare in ciascun quesito 0, 3 o 1, 0 punti. Qual è il numero minimo di squadre del pubblico che devono partecipare perché ce ne siano necessariamente due a pari merito?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0076 Fonte: apri PDF p.3

This is the total amount of the loan.

**Matelandia public tender ** (30 points)

Professor Abacus organizes the Matelandia public competition every year. This year there are 25 questions and a single audience team can score 0, 3 or 0 points in each question. What is the minimum number of teams from the public that must participate in order for there to be two teams of equal merit?

Answer: 0076 src_archimede_2002_pubblico__Q15

area coltivabile

Col fiato sul collo… (40 punti)

Come già sapete il Professor Abacus organizza ogni anno la gara del pubblico di Matelandia. Come al solito, anche quest’anno è in pensato ritardo: deve ancora inserire tre problemi per completare la gara. Pertanto, disperato, comincia a cercare in rete dei problemi che possano opportunamente modificare per la gara. Il Professor Abacus stesso ha stimato che per ogni problema che guarda ha $1/2$ di probabilità che sia adatto per la gara del pubblico. Gli rimane ancora un’ora: supponendo che ci metta quindici minuti a esaminare un problema, che probabilità ha di riuscire a completare il resto della gara in tempo? (Calcolate la probabilità in percentuale assumendo che la probabilità che un certo problema vada bene sia indipendente dalla bontà dei problemi precedenti, e date nella risposta la parte intera del risultato)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0031 Fonte: apri PDF p.3

cultivable area

** With breath on the neck… ** (40 points)

As you already know, Professor Abacus organizes the Matelandia Public Competition every year. As usual, this year too, he is in a delay: he has yet to enter three problems to complete the race. Therefore, desperate, he begins to search the web for problems that can be modified for the race. Professor Abacus himself has estimated that for every problem he looks at he has $1/2$ of probability that it is suitable for the public competition. He still has an hour left. Assuming it takes fifteen minutes to examine a problem, how likely is he to be able to complete the rest of the race on time? (Calculate the probability as a percentage assuming that the probability of a particular problem going well is independent of the goodness of the previous problems, and give the whole part of the result in the answer)

Answer: 0031 src_archimede_2002_pubblico__Q16

70 punti, geometria

Il giardino triangolare (70 punti)

La finestra dello studio del Professor Abacus dà su un giardino a forma di triangolo isoscele $A B C$ il cui angolo al vertice $A$ misura 20 gradi. Il giardino è attraversato da tre vialetti: uno congiunge un punto $D$ di $A B$ con il vertice $C$ , l’altro congiunge un punto $E$ di $A C$ con $B$ e il terzo congiunge $D$ con $E$ . Sapendo che $∠ E B A$ e $∠ D C A$ misurano rispettivamente 20 e 30 gradi si determini l’ampiezza di $∠ E D B$ .

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0130 Fonte: apri PDF p.3

*70 points, geometry *

The triangular garden (70 points)

The window of Professor Abacus’s study shows a garden in the shape of an isosceles triangle $A B C$ whose angle at the apex $A$ measures 20 degrees. The garden is crossed by three avenues: one joins a point $D$ of $A B$ with the summit $C$ , the other joins a point $E$ of $A C$ with $B$ and the third joins $D$ with $E$ . Knowing that $∠ E B A$ and $∠ D C A$ measure 20 and 30 degrees respectively, the width of $∠ E D B$ is determined.

Answer: 0130 src_archimede_2002_pubblico__Q17

posizione dei passeggeri

Il professor Abacus in tram (15 punti)

Il professor Abacus prende il tram 32 per andare a lavorare all’Università. Tuttavia stamattina è in ritardo e si trova costretto a prendere il tram 28. “Buffo” — pensa Abacus — “il più piccolo quadrato perfetto che è multiplo di 28 è il numero civico di casa mia”. Qual è il numero civico dell’edificio in cui abita il professore?

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0196 Fonte: apri PDF p.3

position of the passengers

Professor Abacus in the tram (fifteen points)

Professor Abacus takes the tram 32 to go to work at the university. However, this morning he’s late and he’s forced to take the 28 tram. “Buffo” thinks Abacus “the smallest perfect square that is multiple of 28 is the civic number of my house”. What is the civic number of the building where the professor lives?

Answer: 0196 src_archimede_2002_pubblico__Q18

area dello stemma

Stema scultore (70 punti)

Lo stemma dell’università di Matelandia è costituito di 2 cerchi tangenti internamente in un punto $P$ . Un nonello si è divertito a tracciare sullo stemma della porta del rettorato una corda $A B$ del cerchio più grande tangente nel punto $C$ al cerchio più piccolo ed a tracciare le due linee che congiungono $A$ e $B$ con $P$ . Chiamiamo $D$ ed $E$ le intersezioni, rispettivamente, di $A P$ e $B P$ col cerchio più piccolo. Sapendo che $A B = 84$ , $P D = 11$ e $P E = 10$ calcolare $A C$ .

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0044 Fonte: apri PDF p.3

area of the coat of arms*

Sculpture theme (70 points)

The coat of arms of the University of Matelandia consists of two inner tangent circles in a point $P$ . A nonello enjoyed drawing a string $A B$ from the larger circle tangent at the point $C$ to the smaller circle on the rectory door’s badge and drawing the two lines joining $A$ and $B$ with $P$ . We call $D$ and $E$ the intersections of $A P$ and $B P$ with the smallest circle, respectively. Knowing that $A B = 84$ , $P D = 11$ and $P E = 10$ calculate $A C$ .

Answer: 0044 src_archimede_2002_pubblico__Q19

65 punti, geometria solida

Abacus scultore (65 punti)

Il Professor Abacus ha realizzato una scultura nella scultura astratta. Da un cubo di lato 10 centimetri ricava una scultura che è data dall’unione di due tetraedri. Il primo ha come vertici dei vertici del cubo che stanno su una diagonale $d$ di una faccia e due vertici che stanno sulla diagonale $d^{'}$ della faccia opposta che non è parallela a $d$ . I vertici del secondo tetraedro sono i rimanenti quattro vertici del cubo. Qual è il volume della scultura in $cm^{3}$ ?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0500 Fonte: apri PDF p.4

*65 points, solid geometry *

The following table shows the results of the evaluation:

Professor Abacus has created a sculpture in abstract sculpture. From a side cube 10 centimeters he draws a sculpture that is given by the union of two tetrahedra. The first has as vertices the vertices of the cube that are on a diagonal $d$ of one face and two vertices that are on the diagonal $d^{'}$ of the opposite face that is not parallel to $d$ . The vertices of the second tetrahedron are the remaining four vertices of the cube. What is the volume of the sculpture in $cm^{3}$ ?

Answer: 0500 src_archimede_2002_pubblico__Q20

conteggio combinatorio

I misteri della democrazia (50 punti)

Il Professor Abacus è candidato per diventare presidente della Società dei Matematici. La commissione che elegge il presidente è composta da nove persone e sceglie tra i tre candidati presidenti nel seguente modo: ogni elettore scrive il nome dei tre candidati in ordine di preferenza assegnando 3 punti al primo, 2 al secondo e 1 al terzo. Successivamente si sommano i punti ottenuti da ogni candidato e si stila la graduatoria finale. Alla fine delle elezioni ogni candidato ha ricevuto un punteggio diverso e purtroppo il professor Abacus è arrivato terzo. Come se non bastasse osserva mestamente che se l’elezione fosse avvenuta al solito modo (cioè se ogni elettore avesse assegnato un solo punto al candidato preferito) la graduatoria sarebbe stata esattamente il contrario! Scrivete il punteggio ottenuto dal professor Abacus.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0017 Fonte: apri PDF p.4

combination count

The mysteries of democracy (50 points)

Professor Abacus is a candidate for president of the Society of Mathematicians. The committee electing the President is composed of nine people and chooses from among the three presidential candidates as follows: each voter writes the names of the three candidates in preferential order, assigning 3 points to the first, 2 to the second and 1 to the third. The points earned by each candidate are then added and the final ranking is drawn up. At the end of the election, each candidate received a different score and unfortunately Professor Abacus came third. As if it were not enough to observe that if the election had taken place in the usual way (i.e. if each voter had awarded a single point to the preferred candidate) the ranking would have been exactly the opposite! Write down Professor Abacus’s score.

Answer: 0017 src_archimede_2002_pubblico__Q21

combinazioni della cassaforte

La cassaforte di Abacus (45 punti)

Il professor Abacus tiene i propri soldi in una cassaforte con una combinazione di 3 cifre. Sfortunatamente non si ricorda più la combinazione, ma ricorda che:

non ci sono zeri;

c’erano un 6 e un 8 da qualche parte;

gli altri due numeri consecutivi non è mai divisibile per 3.

Quante combinazioni restano da provare al professore?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0028 Fonte: apri PDF p.4

*combinations of safe *

The following table shows the number of items in the table:

Professor Abacus keeps his money in a safe with a three-digit combination. Unfortunately, you don’t remember the combination anymore, but remember that: - there are no zeros; - there was a 6 and an 8 somewhere; - the other two consecutive numbers are never divisible by 3.

How many combinations do you have left to try on the professor?

Answer: 0028 src_archimede_2002_pubblico__Q22

geometria del triangolo

Il triangolo di Anna (55 punti)

Anna ha appena disegnato un triangolo usando il suo righello e lo ha fatto in modo che ciascun lato fosse un numero dispari di centimetri. Quanti triangoli del genere può disegnare se il suo righello non le permette di misurare più di 15 centimetri? (NB: Due triangoli vengono considerati diversi solo se non sono congruenti)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0070 Fonte: apri PDF p.4

triangle geometry

Anna’s triangle (55 points)

Anna just drew a triangle using her reel and made it so that each side was an odd number of centimeters. How many triangles of this kind can you draw if your reed does not allow you to measure more than 15 centimeters? (NB: Two triangles are considered different only if they are not congruent)

Answer: 0070 src_archimede_2002_pubblico__Q23

conteggio dei pezzi

Bernardo e il meccano (20 punti)

Bernardo sta giocando col meccano. Prima costruisce due cubi di lati che, in centimetri, misurano $a$ e $b$ . Poi smonta i suoi cubi e mettendo insieme i vari lati dei suoi precedenti costruisce un cubo più grande, di lato $c = a + b$ . Il volume del nuovo cubo eccede di $3000 cm^{3}$ la somma dei volumi degli altri 2. Infine Bernardo smonta di nuovo ciò che ha costruito e monta un parallelepipedo rettangolo i cui lati misurano $a$ , $b$ e $c$ . Quanto misura (in $cm^{3}$ ) il volume del parallelepipedo?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1000 Fonte: apri PDF p.4

piece count

This is a list of the official languages of the European Union, including the official languages of the European Union.

Bernardo’s playing with the mechanic. First, he builds two side cubes measuring $a$ and $b$ in centimeters. Then it disassembles its cubes and by putting together the various sides of its predecessors it builds a larger, lateral $c = a + b$ cube. The volume of the new cube exceeds $3000 cm^{3}$ the sum of the volumes of the other 2. Finally Bernardo dismantles again what he has built and assembles a rectangular parallel piped whose sides measure $a$ , $b$ and $c$ . How much does the volume of the parallel piped measure (in $cm^{3}$ )?

Answer: 1000 src_archimede_2002_pubblico__Q24

configurazioni dei trenini

Carla e i trenini (35 punti)

Carla è stata un’appassionata di trenini elettrici. In questo momento sta maneggiando 5 binari di lunghezza diversa. Prendendo via via tutte le possibili coppie di binari e sommando le lunghezze degli elementi di ciascuna coppia si ottengono i numeri 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 54 e 58. Qual è la lunghezza del binario più corto?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0020 Fonte: apri PDF p.4

train configurations

Carl and trains (35 points)

Carla was a fan of electric trains. He’s currently handling five tracks of different lengths. By removing all possible pairs of tracks and adding the lengths of the elements of each pair, the numbers 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 54 and 58 are obtained. What’s the length of the shortest track?

Answer: 0020 src_archimede_2002_pubblico__Q25

Raccolta Gare di Matematica

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Archimede 2002 - Gara del Pubblico (Cesenatico)

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