Archimede 2002 - Gara Nazionale a Squadre (Cesenatico)

raggio del quadrilatero

La piscina del professor Abacus — 25 punti

Nel giardino della villa del Professor Abacus c’è una piscina circolare circondata da quattro vialetti rettilinei che formano un quadrilatero. La piscina tocca ciascuno dei quattro vialetti e inoltre due vialetti opposti sono paralleli, mentre gli altri due hanno la stessa lunghezza. Sapendo che i due paralleli misurano rispettivamente $3132$ e $783$ centimetri, quanti centimetri misura il raggio della piscina?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0783 Fonte: apri PDF p.1

*radius of the quadrilateral *

The pool of Professor Abacus

In the garden of Professor Abacus’ villa there is a circular pool surrounded by four rectangular alleys forming a quadrilateral. The pool touches each of the four alleys and also two opposite alleys are parallel, while the other two are the same length. Knowing that the two parallels measure $3132$ and $783$ centimeters respectively, how many centimeters does the pool radius measure?

Answer: 0783 src_archimede_2002_squadre__Q01

45 punti

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Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0061 Fonte: apri PDF p.1

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Answer: 0061 src_archimede_2002_squadre__Q02

successione di interi

Anna scolara distratta — 55 punti

Durante una noiosa ora di lezione Anna fa il seguente gioco. Scrive su un foglio un intero $a_{0}$ , poi scrive una successione di interi $a_{i}$ ogni volta prendendo come $a_{i + 1}$ o la somma delle cifre del numero precedente o il loro prodotto. Dopo un po’ si accorge che tutti i numeri che ha scritto sono dispari. Quanti sono i numeri $a_{0}$ con meno di dodici cifre per cui in qualsiasi momento Anna si fermi è comunque decida di calcolare $a_{i + 1}$ secondo le regole di sopra troverà sempre e solo numeri dispari?

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0048 Fonte: apri PDF p.1

succession of integers *

Distracted school year 55 points

During a boring class hour, Anna plays the following game. Write an integer $a_{0}$ on a sheet, then write a sequence of integers $a_{i}$ each time taking as $a_{i + 1}$ or the sum of the digits from the previous number or their product. After a while, you realize that all the numbers you wrote are odd. How many $a_{0}$ numbers with less than twelve digits for which at any time Anna stops she is still determined to calculate $a_{i + 1}$ according to the rules above will always find only odd numbers?

Answer: 0048 src_archimede_2002_squadre__Q03

minimo dell’espressione razionale

I compiti di Bernardo — 50 punti

Il prof. di matematica ha dato a Bernardo il seguente compito a casa: Calcolare il minimo assoluto dell’espressione $[2003 + 2002 x + 2001 x^{2} + \dots + 2 x^{2001} + x^{2002}]$ per $x$ reale.

Bernardo non ce la fa ma suo nonno non lo può aiutare perché si trova a Pechino al Congresso dei Matematici… Sapreste dargli una mano?

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1002 Fonte: apri PDF p.1

minimum of the rational expression

The tasks of Bernardo** 50 points

The Professor. He gave Bernardo the following task at home: Calculate the absolute minimum of the expression $[2003 + 2002 x + 2001 x^{2} + \dots + 2 x^{2001} + x^{2002}]$ for real $x$ .

Bernardo can’t do it, but his grandfather can’t help him because he’s in Beijing at the Congress of Mathematicians… Can you give him a hand?

Answer: 1002 src_archimede_2002_squadre__Q04

divisibilita dei numeri di membri

Convegni di matematici — 35 punti

Il Professor Abacus fa parte di un’antichissima società di matematici fondata nell’anno 232. I membri della società chiamano

(a) “accomodante” ogni numero tale che aggiungendogli 1 il risultato sia divisibile per 2, aggiungendogli 2 sia divisibile per 3, aggiungendogli 3 sia divisibile per 4 e aggiungendogli 4 sia divisibile per 5.

(b) “ribelle” ogni numero tale che togliendo 1 il risultato sia divisibile per 2, togliendo 2 sia divisibile per 3, togliendo 3 sia divisibile per 4 e togliendo 4 sia divisibile per 5.

I membri della Società organizzano un convegno in tutti gli anni accomodanti e in tutti gli anni ribelli. Sapendo che il professor Abacus ha oggi 75 anni e si è iscritto all’associazione quando ne aveva 15 calcolate la somma degli anni dei convegni a cui ha partecipato.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3960 Fonte: apri PDF p.1

divisibility of the number of members

Conferences of mathematicians 35 points

Professor Abacus is part of a very ancient society of mathematicians founded in the year 232. The members of the society call

(a) “accommodating” any number such that by adding 1 the result is divisible by 2, by adding 2 is divisible by 3, by adding 3 is divisible by 4 and by adding 4 is divisible by 5.

(b) “rebels” means any number such that by subtracting 1 the result is divisible by 2, by subtracting 2 is divisible by 3, by subtracting 3 is divisible by 4, and by subtracting 4 is divisible by 5.

Members of the Society hold a meeting in all accommodating and rebellious years. Knowing that Professor Abacus is 75 years old today, he joined the association when he was 15 and calculated the sum of the years of the conferences he attended.

Answer: 3960 src_archimede_2002_squadre__Q05

terna pitagorica e superficie

Una strana stazione orbitante — 45 punti

Il figlio del Professor Abacus è un ingegnere aerospaziale. In questi giorni sta progettando un pezzo di una stazione orbitante: l’intelaiatura del pezzo è un parallelepipedo formato da due cubetti che hanno una faccia in comune. Sulla rappresentazione tridimensionale che il suo computer dà del parallelepipedo in un riferimento cartesiano tre vertici di esso hanno coordinate $(3, 6, 2)$ , $(5, 2, 6)$ , $(7, 7, 1)$ . Quanta misura in $m^{3}$ il volume del pezzo sapendo che sugli assi ciascuna unità rappresenta un metro?

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0054 Fonte: apri PDF p.2

*pitagoric furnace and surface *

A strange orbiting station

Professor Abacus’ son is an aerospace engineer. These days he’s designing a piece of an orbiting station: the interlacing of the piece is a parallel piped formed by two cubes that have a face in common. On the three-dimensional representation that your computer gives of the parallel piped in a Cartesian reference three vertices of it have coordinates $(3, 6, 2)$ , $(5, 2, 6)$ , $(7, 7, 1)$ . How much does the volume of the piece measure in $m^{3}$ knowing that on the axes each unit represents one metre?

Answer: 0054 src_archimede_2002_squadre__Q06

probabilita di una giacca blu

Strani incontri sul tram — 40 punti

Il professor Abacus e un suo collega entrano in un tram in cui ci sono 10 persone. Il professor Abacus nota che, tra i passeggeri già presenti, ci sono esattamente 3 persone con i capelli biondi e il suo collega nota che, tra i passeggeri già presenti, ci sono esattamente 3 persone che indossano una giacca blu. Qual è la probabilità che ci sia almeno una persona che indossa una giacca blu? (Calcolare la probabilità in percentuale supponendo che i due eventi “avere capelli biondi” o “indossare una giacca blu” siano indipendenti, e riportare la parte intera del risultato)

Topic: Probabilita e statistica Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0070 Fonte: apri PDF p.2

probability of a blue jacket

Other meetings on the tram

Professor Abacus and a colleague board a tram with 10 people on board. Professor Abacus notes that, among the passengers already present, there are exactly 3 people with blond hair and his colleague notes that, among the passengers already present, there are exactly 3 people wearing a blue jacket. What are the odds that there’s at least one person wearing a blue jacket? (Calculate the probability as a percentage assuming that the two events “having blonde hair” or “wearing a blue jacket” are independent, and report the entire part of the result)

Answer: 0070 src_archimede_2002_squadre__Q07

due rane sui vialetti, numero di salti

I salti delle rane — 20 punti

Nella casa del professor Abacus ci sono due rane. In questo momento esse si trovano in uno dei vialetti attorno alla piscina e stanno cercando di raggiungere una pozza d’acqua. La rana $A$ si trova a 20 centimetri dalla pozza, mentre la $B$ si trova dietro la $A$ a un metro dalla pozza. La $B$ ad ogni salto copre la metà della distanza, al secondo copre un terzo, al terzo copre un quarto e così via. Dopo quanti salti $B$ supera $A$ , sapendo che le rane saltano sempre contemporaneamente?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0005 Fonte: apri PDF p.2

two frogs on the sidewalks, number of jumps

Fraggle jumps 20 points

There are two frogs in Professor Abacus’ house. Right now they’re in one of the alleys around the pool and they’re trying to reach a water well. The frog $A$ is 20 centimetres from the well, while the $B$ is behind the $A$ one metre from the well. The $B$ at each jump covers half the distance, the second covers a third, the third covers a quarter and so on. After how many jumps does $B$ exceed $A$ , knowing that frogs always jump at the same time?

Answer: 0005 src_archimede_2002_squadre__Q08

108 caselle, somma consecutiva

La roulette di casa Abacus — 50 punti

Nella casa del professor Abacus c’è una strana roulette. In questa roulette ci sono in circolo 108 caselle, su ciascuna delle quali è scritto un numero. Comunque si prendano 20 caselle consecutive la somma di numeri scritti in esse è sempre uguale a 1000. C’è inoltre una casella in cui appare il numero 1 e se si numerano le altre in senso orario a partire da essa, nella 19-esima appare il numero 19 e nella 50-esima il numero 50. Quale numero è scritto nella centesima casella?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0130 Fonte: apri PDF p.2

*108 boxes, sum of which *

The house roulette Abacus 50 points

There’s a weird roulette game at Professor Abacus’ house. In this roulette, there are 108 boxes in a circle, each of which has a number written on it. However, if you take 20 consecutive boxes, the sum of the numbers written in them is always equal to 1000. There is also a box in which the number 1 appears and if the others are numbered in a clockwise direction starting from it, the 19th box shows the number 19 and the 50th the number 50. What number is written in the hundredth box?

Answer: 0130 src_archimede_2002_squadre__Q09

massima potenza che divide 2002!

Anna viene punita! — 55 punti

Anna è stata scoperta dal professore mentre durante la lezione invece di seguire faceva il suo strano gioco. Per tanto per punizione le viene assegnato di calcolare quanto fa la metà di 2002 più i $2/4$ di 2002, più $3/8$ di 2002, più $4/16$ di 2002 e così via andando avanti fino a fermarsi a $20/ 2^{20}$ -esimi di 2002. Ma il professore si accorge dopo qualche minuto che i calcoli sembrano troppi e la punizione è troppo pesante. Pertanto dice ad Anna: “Ti risparmierò tutti questi calcoli se saprai dirmi qual è il massimo numero intero che puoi superare continuando a sommare in $n / 2^{n}$ -esimi di 2002”. Sapreste dare un valido suggerimento?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4003 Fonte: apri PDF p.2

maximum power dividing 2002!

Anna is punished! 55 points

Anna was discovered by the professor while she was playing her weird game during class instead of following. Therefore, as a punishment, they are assigned to calculate how much they have in the middle of 2002 plus the $2/4$ of 2002, plus $3/8$ of 2002, plus $4/16$ of 2002 and so on going on until they stop at $20/ 2^{20}$ -exems of 2002. But the professor realizes after a few minutes that the calculations seem too much and the punishment is too heavy. So he says to Anna, “I’ll save you all these calculations if you can tell me what the maximum integer you can get by continuing to add up to $n / 2^{n}$ -hexams of 2002”. Can you give me a good suggestion?

Answer: 4003 src_archimede_2002_squadre__Q10

dividere n sassolini in mucchi

I sassolini di Carla — 40 punti

Nel giardino della villa del Professor Abacus, Carla sta giocando con dei sassolini. In questo momento ha $n$ mucchietti formati da 1 sassolino, poi 2 sassolini. Carla poi sposta che ha poi raggruppato i mucchietti da una parte e un po’ da un’altra in modo tale che il numero dei sassolini che si trovano da una delle due parti è uguale al numero di sassolini che si trovano dall’altra parte; inoltre, se sposta un certo mucchietto da una parte all’altra, quella con più sassolini ne ha esattamente $4/3$ dell’altra. Carla, che pure già abita questa cose è già molto brava in matematica, vuole che le due osservazioni si muovano: fatti con $m > n$ la cosa non si sarebbe potuta verificare. Quanto vale $n$ ?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0027 Fonte: apri PDF p.2

divide n rocks into heaps

The rocks of Carla

In the garden of Professor Abacus’ villa, Carla is playing with rocks. Right now it’s got a bunch of 1 rock, then 2 rock. Carla then moves that she has then grouped the pebbles from one side and a little from the other so that the number of pebbles found on one side is equal to the number of pebbles found on the other side; moreover, if she moves a certain pebble from one side to the other, the one with more pebbles has exactly $4/3$ of the other. Carla, who already lives in these things and is already very good at math, wants the two observations to move: if you did it with $m > n$ the thing could not have happened. How much is $n$ ?

Answer: 0027 src_archimede_2002_squadre__Q11

triangolo coordinato, punti interi

Il triangolo di Bernardo — 30 punti

Sul suo quaderno quadrettato Bernardo sta per disegnare un triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(1, n)$ e $(n, 1)$ . Qual è il più piccolo $n$ che deve scegliere perché ci siano almeno 2002 punti a coordinate intere interni al triangolo?

Topic: Geometria analitica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0064 Fonte: apri PDF p.2

*coordinated triangle, whole points *

The triangle of Bernardo 30 points

On his square notebook Bernardo is about to draw a triangle of vertices $(0, 0)$ , $(1, n)$ and $(n, 1)$ . What is the smallest $n$ to choose for at least 2002 whole-coordinate * inner * points in the triangle?

Answer: 0064 src_archimede_2002_squadre__Q12

distanza dal centro, somma dei quadrati

La piazza ottagonale — 45 punti

La piazza che si trova davanti alla casa del professor Abacus è un ottagono regolare $A B C D E F G H$ . Sapendo che la distanza tra il centro della piazza e uno qualsiasi dei vertici è 10 metri calcolate le prime quattro cifre del prodotto delle misure (in metri) dei segmenti che congiungono $A$ con tutti gli altri vertici.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1024 Fonte: apri PDF p.3

distance from the centre, sum of squares*

**The octagonal square ** 45 points

The square in front of Professor Abacus’ house is a regular octagon. Knowing that the distance between the centre of the square and any of the vertices is 10 metres, the first four digits of the product of the measurements (in metres) of the segments connecting $A$ with all the other vertices are calculated.

Answer: 1024 src_archimede_2002_squadre__Q13

numero di biglie di ciascun colore

Le biglie di Carla — 65 punti

Questa volta Carla sta giocando con un po’ di biglie colorate. Le ha appena divise in un certo numero di mucchi, che chiameremo $A_{i}$ , tutti contenenti almeno due biglie. Nell’osservarla bearianamente mentre legge il giornale, fissa il mucchietto $A_{i}$ e distrattamente calcola il numero $c_{i}$ di tutte le coppie di biglie che appartengono entrambe ad $A_{i}$ . Si accorge poi che la somma di tutti i $c_{i}$ fa 100 e che la stessa cosa succede considerando le terne e le quaterne. Sapreste dire quante sono le biglie di Carla?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0092 Fonte: apri PDF p.3

number of beads of each colour

The balls of Carla 65 points

This time Carla’s playing with some colorful cards. He just divided them into a number of heaps, which we’ll call $A_{i}$ , all containing at least two balls. By observing it bearingly as he reads the newspaper, he fixes the $A_{i}$ stack and distractively calculates the $c_{i}$ number of all the pairs of balls belonging to both $A_{i}$ . You then notice that the sum of all the $c_{i}$ is 100 and that the same thing happens when you look at the ternes and the quaternes. Can you tell me how many balls Carla has?

Answer: 0092 src_archimede_2002_squadre__Q14

30 punti

La gara a squadre di Matelandia — 30 punti

Il Professor Abacus organizza ogni anno la gara a squadre di Matelandia. Quest’anno ci sono 25 quesiti e una singola squadra può totalizzare in ciascun quesito o 0 o 1 punti. Qual è il numero minimo di squadre che devono partecipare perché ce ne siano necessariamente due a pari merito?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0099 Fonte: apri PDF p.3

This is the total amount of the loan.

The Matelandian team competition

Professor Abacus organizes the Matelandia team competition every year. This year there are 25 questions and a single team can score either 0 or 1 point in each question. What is the minimum number of teams that must participate in order for there to be two teams of equal merit?

Answer: 0099 src_archimede_2002_squadre__Q15

area coltivabile

Col fiato sul collo — 45 punti

Come già sapete il Professor Abacus organizza ogni anno la gara a squadre di Matelandia. Come al solito, anche quest’anno è in pensato ritardo: deve ancora inserire tre problemi per completare la gara. Pertanto, disperato, comincia a cercare in rete dei problemi che possa opportunamente modificare per la gara. Il Professor Abacus stesso ha stimato che per ogni problema che trova solo $1/4$ di probabilità che sia adatto per la gara a squadre. Gli rimane ancora un’ora: supponendo che ci metta dieci minuti a esaminare un problema, che probabilità ha di riuscire a completare il testo della gara in tempo? (Calcolare la probabilità in percentuale assumendo che la probabilità che un certo problema vada bene sia indipendente dalla bontà dei problemi precedenti, e dare nella risposta la parte intera del risultato)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.3

cultivable area

With breath on the neck 45 points

As you already know, Professor Abacus organizes the Matelandia team competition every year. As usual, this year too, he is in a delay: he has yet to enter three problems to complete the race. Therefore, desperate, he begins to search the web for problems that he can modify for the race. Professor Abacus himself has estimated that for every problem he finds only $1/4$ of probability that it is suitable for the team competition. He still has an hour: assuming that it takes ten minutes to examine a problem, what are the chances that he will be able to complete the race text in time? (Calculate the probability as a percentage assuming that the probability of a particular problem going well is independent of the goodness of the previous problems, and give the whole part of the result in the answer)

Answer: 0016 src_archimede_2002_squadre__Q16

70 punti, geometria

Il giardino triangolare — 70 punti

La finestra dello studio del Professor Abacus dà su un giardino a forma di triangolo isoscele $A B C$ il cui angolo al vertice $A$ misura 20 gradi. Il giardino è attraversato da tre vialetti: uno congiunge un punto $D$ di $A B$ con il vertice $C$ , l’altro congiunge un punto $E$ di $A C$ con il terzo che congiunge $D$ con $E$ . Sapendo che $∠ E B A$ e $∠ D C A$ misurano rispettivamente 20 e 30 gradi si determini l’ampiezza di $∠ B E D$ .

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.3

*70 points, geometry *

The triangular garden 70 points

The window of Professor Abacus’s study shows a garden in the shape of an isosceles triangle $A B C$ whose angle at the apex $A$ measures 20 degrees. The garden is crossed by three avenues: one joins a point $D$ of $A B$ with the summit $C$ , the other joins a point $E$ of $A C$ with the third joining $D$ with $E$ . Knowing that $∠ E B A$ and $∠ D C A$ measure 20 and 30 degrees respectively, the width of $∠ B E D$ is determined.

Answer: 0030 src_archimede_2002_squadre__Q17

posizione dei passeggeri

Il professor Abacus in tram — 15 punti

Il professor Abacus in genere prende il tram 32 per andare a lavorare all’Università. Tuttavia stamattina è in ritardo e si trova costretto a prendere il tram 54. “Buffo” – pensa Abacus – “il più piccolo quadrato perfetto che è multiplo di 54 dà il numero civico di casa mia.” Qual è il numero civico dell’edificio in cui abita il professore?

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0324 Fonte: apri PDF p.3

position of the passengers

Professor Abacus in the tram

Professor Abacus usually takes the tram 32 to go to work at the university. However, this morning he’s late and has to take the 54 tram. “Buffo” thinks Abacus “the smallest perfect square that is multiple of 54 gives the civic number of my house”. What is the civic number of the building where the professor lives?

Answer: 0324 src_archimede_2002_squadre__Q18

area dello stemma

Stemmi molto geometrici — 70 punti

Lo stemma dell’università di Matelandia è costituito di 2 cerchi tangenti internamente in un punto $P$ . Un membro si è divertito a tracciare sullo stemma della porta del rettorato una corda $A B$ del cerchio più grande tangente al cerchio più piccolo e a tracciare le due linee che congiungono $A$ e $B$ con $P$ . Chiamiamo $D$ ed $E$ le intersezioni, rispettivamente, di $A P$ e $B P$ col cerchio più piccolo. Sapendo che $A B = 196$ , $P D = 17$ e $P E = 11$ calcolare $A C$ .

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0119 Fonte: apri PDF p.3

area of the coat of arms*

**Very geometric lines ** 70 points

The coat of arms of the University of Matelandia consists of two inner tangent circles in a point $P$ . One member enjoyed drawing a string $A B$ from the larger circle tangent to the smaller circle on the rectory door badge and drawing the two lines joining $A$ and $B$ with $P$ . We call $D$ and $E$ the intersections of $A P$ and $B P$ with the smallest circle, respectively. Knowing that $A B = 196$ , $P D = 17$ and $P E = 11$ calculate $A C$ .

Answer: 0119 src_archimede_2002_squadre__Q19

65 punti, geometria solida

Abacus scultore — 65 punti

Il Professor Abacus nel tempo libero si diletta nella scultura astratta. Da un cubo di legno di lato 20 centimetri ricava una scultura che è data dall’unione di due tetraedri. Il primo ha come vertici due vertici del cubo che stanno su una stessa faccia e due vertici che stanno sulla diagonale del cubo; il secondo è ottenuto ruotando il primo di 90 gradi attorno al centro del cubo. Quale è il volume della scultura in $cm^{3}$ ?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4000 Fonte: apri PDF p.3

*65 points, solid geometry *

Abacus sculptor 65 points

In his spare time, Professor Abacus enjoys abstract sculpture. From a 20-centimeter-long wooden cube he draws a sculpture that is given by the union of two tetrahedra. The first has as vertices two vertices of the cube that are on the same face and two vertices that are on the diagonal of the cube; the second is obtained by rotating the first 90 degrees around the center of the cube. What is the volume of the sculpture in $cm^{3}$ ?

Answer: 4000 src_archimede_2002_squadre__Q20

conteggio combinatorio

I misteri della democrazia — 50 punti

Il Professor Abacus è un candidato per diventare presidente della Società dei Matematici. La commissione che elegge il presidente è composta di nove persone e sceglie tra i tre candidati presentati nel seguente modo: ogni elettore scrive il nome dei tre candidati in ordine di preferenza assegnando 3 punti al primo, 2 al secondo e 1 al terzo. Successivamente si sommano i punti ottenuti da ogni candidato e si stila la graduatoria finale. Alla fine delle elezioni ogni candidato ha ricevuto un punteggio diverso e purtroppo il professor Abacus è arrivato terzo. Come se non bastasse osserva mestamente che se l’elezione fosse avvenuta al solito modo (cioè se ogni elettore avesse assegnato solo un punto al candidato preferito) la graduatoria sarebbe stata esattamente il contrario! Scrivete il prodotto dei punteggi che hanno ricevuto i tre candidati.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5814 Fonte: apri PDF p.3

combination count

The mysteries of democracy 50 points

Professor Abacus is a candidate for president of the Society of Mathematicians. The committee electing the President shall be composed of nine members and shall select from among the three candidates as follows: each elector shall write the names of the three candidates in the order of preference by awarding 3 points to the first, 2 to the second and 1 to the third. The points earned by each candidate are then added and the final ranking is drawn up. At the end of the election, each candidate received a different score and unfortunately Professor Abacus came third. As if it were not enough to observe that if the election had taken place in the usual way (i.e. if each voter had only awarded one point to the preferred candidate) the ranking would have been exactly the opposite! Write down the product of the scores received by the three candidates.

Answer: 5814 src_archimede_2002_squadre__Q21

combinazioni della cassaforte

La cassaforte di Abacus — 65 punti

Il professor Abacus tiene i propri soldi in una cassaforte con una combinazione di 4 cifre. Sfortunatamente non si ricorda più la combinazione, ma ricorda che:

non ci sono zeri;

c’erano un 6 e un 8 da qualche parte;

la differenza tra due numeri consecutivi non è mai divisibile per 3.

Quante combinazioni restano da provare al professore?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0284 Fonte: apri PDF p.3

*combinations of safe *

The Abacus safe** 65 points

Professor Abacus keeps his money in a safe with a four-digit combination. Unfortunately, you don’t remember the combination anymore, but remember that:

there are no zeros; - there was a 6 and an 8 somewhere; - the difference between two consecutive numbers is never divisible by 3.

How many combinations do you have left to try on the professor?

Answer: 0284 src_archimede_2002_squadre__Q22

geometria del triangolo

Il triangolo di Anna — 60 punti

Anna ha appena disegnato un triangolo usando il suo righello e ha fatto in modo che ciascun lato fosse un numero dispari di centimetri. Quanti triangoli del genere può disegnare se si considera che il suo righello non permette di misurare più di 35 centimetri? (NB: Due triangoli vengono considerati diversi solo se non sono congruenti)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0615 Fonte: apri PDF p.3

triangle geometry

**Anna’s triangle ** 60 points

Anna just drew a triangle using her reel and made each side an odd number of centimeters. How many triangles of this kind can he draw, considering that his rectangle does not allow for measurements of more than six inches [35 cm]? (NB: Two triangles are considered different only if they are not congruent)

Answer: 0615 src_archimede_2002_squadre__Q23

conteggio dei pezzi

Bernardo e il meccano — 20 punti

Bernardo sta giocando col suo meccano. Può costruire due cubi di lato $a$ e $b$ con $a < b$ . Poi smonta i due cubi e mettendo insieme i vari lati dei precedenti costruisce un cubo più grande, di lato $c = a + b$ . Il volume del nuovo cubo eccede di $450 cm^{3}$ la somma dei volumi degli altri 2. Infine Bernardo smonta di nuovo ciò che ha costruito e monta un parallelepipedo rettangolare i cui lati misurano $a$ , $b$ e $c$ . Quanto misura (in $cm^{3}$ ) il volume del parallelepipedo?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1500 Fonte: apri PDF p.3

piece count

This is the first time that the European Parliament has voted in favour of the amendments.

Bernardo’s playing with his mechanic. It can construct two side cubes $a$ and $b$ with $a < b$ . Then it disassembles the two cubes and by putting together the various sides of the previous one it builds a larger cube, side $c = a + b$ . The volume of the new cube exceeds by $450 cm^{3}$ the sum of the volumes of the other 2. Finally, Bernardo dismantles again what he has built and assembles a rectangular parallel piped whose sides measure $a$ , $b$ and $c$ . How much does the volume of the parallel piped measure (in $cm^{3}$ )?

Answer: 1500 src_archimede_2002_squadre__Q24

configurazioni dei trenini

Carla e i trenini — 35 punti

Carla sta giocando con dei trenini elettrici. In questo momento sta maneggiando 5 binari di lunghezza diversa. Prendendo tutte le possibili coppie di binari e sommando le lunghezze degli elementi di ciascuna coppia si ottengono i numeri 183, 186, 187, 190, 191, 192, 193, 194, 196 e 200. Qual è la lunghezza del binario più corto?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0091 Fonte: apri PDF p.3

train configurations

Carl and trains 35 points

Carla’s playing with electric trains. He’s currently handling five tracks of different lengths. Taking all possible pairs of tracks and adding the lengths of the elements of each pair gives the numbers 183, 186, 187, 190, 191, 192, 193, 194, 196 and 200. What’s the length of the shortest track?

Answer: 0091 src_archimede_2002_squadre__Q25

Raccolta Gare di Matematica

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Archimede 2002 - Gara Nazionale a Squadre (Cesenatico)

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