Segno (cavaliere/furfante/normale) di un abitante che afferma di essere cavaliere
Quanto fa 0, 032/0, 8?
- (A) 0, 0004
- (B) 0, 004
- (C) 0, 04
- (D) 0, 4
- (E) 400.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
A resident’s sign (knight/knight/normal) claiming to be a knight
What’s 0,032/0, 8?
- (A) 0, 0004
- (B) 0, 004
- (C) 0, 04
- (D) 0, 4
- (E) 400.
Answer: E src_archimede_2003_biennio__Q01
Posizione di un punto interno alle tre circonferenze
Qual è il più grande degli interi positivi n tali che la media aritmetica dei numeri da 1 a n sia < 2003 ? (Nota: la media aritmetica di n numeri è uguale alla loro somma divisa per n.)
- (A) 2002
- (B) 2003
- (C) 4003
- (D) 4004
- (E) 4005.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Position of an internal point at three circumferences
What is the largest positive integer n such that the arithmetic mean of the numbers from 1 to n is < 2003 ? (Note: the arithmetic mean of n numbers is equal to their sum divided by n.)
- (A) 2002
- (B) 2003
- (C) 4003
- (D) 4004
- (E) 4005.
Answer: C src_archimede_2003_biennio__Q02
Lato del quadrato dato il raggio della circonferenza, lunghezza 1
Sia dato un quadrato ABCD di lato unitario e sia P un punto interno ad esso tale che l’angolo A ˆP B misuri 75°. La somma delle aree dei triangoli ABP e CDP è:
- (A) 1
- (B) √ 2 2
- (C) 1 2
- (D) non si può determinare
- (E) nessuna delle precedenti è corretta.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Side of the square given the radius of circumference, length 1
Either given a square ABCD on the unit side and P a point inside it such that the angle A ˆP B measures 75°. The sum of the areas of the ABP and CDP triangles is:
- (A) 1
- (B) √ 2 2
- (C) 1 2
- (D) It cannot be determined
- (E) None of the above is correct.
Answer: A src_archimede_2003_biennio__Q03
Differenza tra numero massimo e minimo di tessere su griglia
Si vogliono colorare le nove caselle di una scacchiera 3 × 3 in modo tale che ogni riga, ogni colonna e ognuna delle due diagonali non contengano più caselle dello stesso colore. Qual è il minimo numero di colori necessario?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 5
- (D) 6
- (E) 7.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Difference between maximum and minimum number of sheets on the grid
You want to color the nine boxes on a chessboard 3 so that every row, every column, and every one of the two diagonals no longer contains boxes of the same color. What is the minimum number of colors required?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 5
- (D) 6
- (E) 7.
Answer: A src_archimede_2003_biennio__Q04
Triangoli su stella a 5 punte con angoli regolari
Un gelataio prepara 20 kg di gelato e lo rivende nel corso della giornata in coni piccoli da 1,20 e di due palline e coni grandi da 1,60 e di tre palline. Da ogni kg di gelato ha ricavato 12 palline; alla fine della giornata, ha incassato in totale 137,60 e. Quanti coni grandi ha venduto?
- (A) 17
- (B) 24
- (C) 32
- (D) 43
- (E) 50.
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Triangles on a 5-pointed star with regular angles
An ice cream maker makes 20 kg of ice cream and sells it throughout the day in small cones of 1.20 and two balls and large cones of 1.60 and three balls. From every pound of ice cream he got 12 balls; at the end of the day, he collected a total of 137.60 e. How many big cones did you sell?
- (A) 17
- (B) 24
- (C) 32
- (D) 43
- (E) 50.
Answer: B src_archimede_2003_biennio__Q05
Area di una regione delimitata in una griglia quadrettata
Un venditore di palloncini ha a disposizione due bombole di elio uguali e dei palloncini piccoli e grandi. Utilizza tutta la prima bombola per gonfiare 80 palloncini piccoli, tutti alla stessa pressione. Considerato che da gonfii palloncini grandi hanno la stessa forma e la stessa pressione dei piccoli, ma una superficie 4 volte più grande, quanti palloncini grandi può riempire con la seconda bombola?
- (A) 10
- (B) 16
- (C) 20
- (D) 24
- (E) 40.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Area of a region bounded in a square grid
A balloon seller has at his disposal two identical helium bubbles and large and small balloons. Use the entire first pump to inflate 80 small balloons, all at the same pressure. Considering that large inflated balloons have the same shape and pressure as small ones, but a surface area four times larger, how many large balloons can you fill with the second balloon?
- (A) 10
- (B) 16
- (C) 20
- (D) 24
- (E) 40.
Answer: B src_archimede_2003_biennio__Q06
Cifra delle decine di una potenza, polinomio in n
Ogni anno, al momento del pagamento delle tasse, l’utente fa una dichiarazione relativa all’anno in corso. Se la dichiarazione è vera, deve pagare le tasse; se è falsa, non le paga. Un giovane matematico, che ritiene il sistema iniquo, trova il modo di bloccarlo, con una delle seguenti dichiarazioni: quale?
- (A) “I pesci vivono in acqua”
- (B) “Io vivo in acqua”
- (C) “I pesci non pagano le tasse”
- (D) “Io non pago le tasse”
- (E) “Io pago le tasse”.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Number of decimal places, polynomial in n
Each year, at the time of payment of taxes, the user makes a declaration for the current year. If the statement is true, you must pay taxes; if it is false, you do not pay taxes. A young mathematician, who believes the system is unfair, finds a way to block it, with one of the following statements: Which?
- (A) Fish live in water
- (B) I live in water.
- (C) Fish do not pay taxes
- (D) I don’t pay the taxes.
- (E) I pay the taxes.
Answer: B src_archimede_2003_biennio__Q07
Numeri di cifre con f(7n)+…; innatazione equivalente
Il numero 1 3 + √ 2 2 + √ 3 3 − √ 2 2 − √ 3 è:
- (A) Intero
- (B) razionale positivo, ma non intero
- (C) razionale negativo, ma non intero
- (D) irrazionale positivo
- (E) irrazionale negativo.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Numbers of digits with f(7n) +…; equivalent innate
The number 1 3 + √ 2 2 + √ 3 3 − √ 2 2 − √ 3 is:
- (A) Whole
- (B) Rational positive, but not total
- (C) Rational negative, but not whole
- (D) the positive irrational
- (E) I’m going to be irrationally negative.
Answer: D src_archimede_2003_biennio__Q08
Numero di pezzi tagliando un nastro con piegature
Un parallelogramma di lati 1 e 2 ha un angolo di 60°. Quanto misura la sua diagonale minore?
- (A) √ 2
- (B) √ 3
- (C) 2 √ 2
- (D) 2 √ 3
- (E) √ 10 2 .
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Number of pieces by cutting a ribbon with folds
A parallelogram of sides 1 and 2 has an angle of 60°. What’s the size of its minor diagonal?
- (A) √ 2
- (B) √ 3
- (C) 2 √ 2
- (D) 2 √ 3
- (E) √ 10 2 .
Answer: B src_archimede_2003_biennio__Q09
Numero minimo per ottenere un valore con cifre, base 10
Il più grande numero primo palindromo con un numero pari di cifre ha
- (A) 2 cifre
- (B) 4 cifre
- (C) 10 cifre
- (D) non esistono numeri con queste proprietà
- (E) esistono numeri grandi a piacere con queste proprietà. Nota: un numero si dice palindromo se può essere letto indifferentemente da sinistra a destra o da destra a sinistra. Per esempio, 141 e 2552 sono palindromi, mentre 1231 non lo è.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Minimum number to obtain a numeric value, base 10
The largest prime palindrome number with an even number of digits has
- (A) 2 digits
- (B) 4 digits
- (C) 10 digits
- (D) There are no numbers with these properties.
- (E) There are large numbers to please with these properties. Note: a number is called a palindrome if it can be read indifferently from left to right or from right to left. For example, 141 and 2552 are palindromes, whereas 1231 is not.
Answer: B src_archimede_2003_biennio__Q10
Trovare F dato un intero positivo e fattori della cifra
Un parallelepipedo a base quadrata è inscritto in una sfera. Se il lato di base è 1 4 dell’altezza, quanto vale il rapporto tra la superficie della sfera e la superficie totale del parallelepipedo?
- (A) π
- (B) π 4
- (C) 2π
- (D) π 2
- (E) dipende dal raggio della sfera.
Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
*Finding F given a positive integer and factors of the figure *
A square-base parallel-piped is inscribed in a sphere. If the base side is 14 in height, what is the ratio of the surface of the sphere to the total surface of the parallel piped?
- (A) π
- (B) π 4
- (C) 2π
- (D) π 2
- (E) It depends on the radius of the sphere.
src_archimede_2003_biennio__Q11
Riempire celle e scommi su una scacchiera, conteggio
Quattro ragazzi vogliono telefonare tutti contemporaneamente alle rispettive ragazze. Ogni cellulare può funzionare su quattro frequenze distinte. Se due cellulari si attivano sulla stessa frequenza la comunicazione cade. Se ogni ragazzo non sa che frequenza scelgono gli altri tre, qual è la probabilità che tutti e quattro riescano a parlare con le loro ragazze?
- (A) 3 32
- (B) 3 64
- (C) 1 256
- (D) 1 16
- (E) 9 128.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3
Filling cells and bets on a chessboard, count
Four guys want to call their girls at the same time. Each cell phone can operate on four different frequencies. If two cell phones are activated at the same frequency, the communication falls. If each boy doesn’t know what frequency the other three choose, what are the odds that all four will be able to talk to their girls?
- (A) 3 32
- (B) 3 64
- (C) 1 256
- (D) 1 16
- (E) 9 128.
src_archimede_2003_biennio__Q12
rapporto volumi pieno/vuoto
Giulio vuole stupire Damiano con le sue capacità divinatorie. Per questo gli fornisce un elenco di alcuni numeri di due cifre e gli dice di sceglierne uno. Giulio chiede a Damiano la somma delle cifre del numero, ed è così sicuro di poterlo indovinare. Al massimo da quanti numeri era composto l’elenco iniziale?
- (A) 9
- (B) 10
- (C) 11
- (D) 17
- (E) 18.
Topic: Geometria solida Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Geometria Risposta: 70% Fonte: apri PDF p.3
full/empty volume report
Julius wants to amaze Damian with his divination skills. So he gives him a list of some two-digit numbers and tells him to choose one. Giulio asks Damiano the sum of the numbers in the number, and he’s so sure he can guess. How many numbers did the initial list consist of?
- (A) 9
- (B) 10
- (C) 11
- (D) 17
- (E) 18.
Answer: 70% src_archimede_2003_biennio__Q13
Quante affermazioni vere nel rettangolo autoreferenziale
In questo rettangolo c’è esattamente una affermazione falsa. In questo rettangolo ci sono esattamente due affermazioni false. In questo rettangolo ci sono esattamente tre affermazioni false. In questo rettangolo ci sono esattamente quattro affermazioni false. Quante affermazioni vere ci sono nel rettangolo?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) 4.
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.10
How many true statements in the self-reference rectangle
In this rectangle there is exactly a false statement. In this rectangle there are exactly two false statements. In this rectangle there are exactly three false statements. In this rectangle there are exactly four false statements. How many true statements are there in the rectangle?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) 4.
src_archimede_2003_biennio__Q14
Quanti n con 8n+50 multiplo di 2n+1
Quanti sono i numeri interi positivi n per i quali 8n + 50 è un multiplo di 2n + 1?
- (A) Nessuno
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 5
- (E) 10.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.11
Quantities n with 8n+50 multiple of 2n+1
How many positive integers are n for which 8n + 50 is a multiple of 2n + 1?
- (A) No one .
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 5
- (E) 10.
src_archimede_2003_biennio__Q15
Quando vale p+(qr)=(p+q)(p+r)
Se p, q, r sono tre numeri reali, p × (q + r) = (p × q) + (p × r) è sempre vero. In quali casi si ha anche p + (q × r) = (p + q) × (p + r)?
- (A) Se e solo se p = q = r = 1 3 oppure p = 0
- (B) se e solo se p = q = r
- (C) mai
- (D) se e solo se p + q + r = 1 oppure p = 0
- (E) se e solo se p = q = r = 0.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
If the value of the input data is less than the value of the input data, the value of the input data shall be less than the input data.
If p, q, r are three real numbers, p × (q + r) = (p × q) + (p × r) is always true. In which cases is p + (q × r) = (p + q) × (p + r)?
- (A) If and only if p = q = r = 1 3 or p = 0
- (B) if and only if p = q = r
- (C) Never
- (D) if and only if p + q + r = 1 or p = 0
- (E) if and only if p = q = r = 0.
src_archimede_2003_biennio__Q16
Somma angoli alle punte di una stella a cinque punte
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\coordinate (A) at (90:2);
\coordinate (B) at (162:2);
\coordinate (C) at (234:2);
\coordinate (D) at (306:2);
\coordinate (E) at (18:2);
\draw (A) -- (C) -- (E) -- (B) -- (D) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}Sia data una stella a cinque punte inscritta in una circonferenza. Quanto vale la somma degli angoli con vertice nelle punte della stella?
- (A) 100°
- (B) 150°
- (C) 180°
- (D) 200°
- (E) i dati a disposizione sono insufficienti.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2
sum of angles at the ends of a five-pointed star
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\coordinate (A) at (90:2);
\coordinate (B) at (162:2);
\coordinate (C) at (234:2);
\coordinate (D) at (306:2);
\coordinate (E) at (18:2);
\draw (A) -- (C) -- (E) -- (B) -- (D) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}Let it be given a five-pointed star inscribed in a circle. How much is the sum of the angles with vertices at the ends of the star?
- (A) 100°
- (B) 150°
- (C) 180°
- (D) 200°
- (E) the data available are insufficient.
src_archimede_2003_biennio__Q17
Triangoli non degeneri con vertici in sei punti dati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill (0,0) circle (3pt);
\fill (1,0) circle (3pt);
\fill (0,1) circle (3pt);
\fill (1,1) circle (3pt);
\fill (0,2) circle (3pt);
\fill (1,2) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}Sono dati 6 punti disposti come nella figura a fianco. Quanti sono i possibili triangoli non degeneri che hanno i vertici in tre dei punti dati?
- (A) 12
- (B) 15
- (C) 16
- (D) 18
- (E) 24.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.2
Non-degenerate triangles with vertices at six data points
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill (0,0) circle (3pt);
\fill (1,0) circle (3pt);
\fill (0,1) circle (3pt);
\fill (1,1) circle (3pt);
\fill (0,2) circle (3pt);
\fill (1,2) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}They are given six points arranged as shown in the figure next to each other. How many possible non-degenerate triangles have their vertices at three of the data points?
- (A) 12
- (B) 15
- (C) 16
- (D) 18
- (E) 24.
src_archimede_2003_biennio__Q18
Distanza finale di Giovanni dopo 186 passi a schema
Giovanni ha bevuto troppo e comincia a camminare in modo strano: – fa 1 passo in avanti; – poi si volta di 90°verso destra e fa 2 passi in avanti; – poi si volta di 90°verso destra e fa 1 passo in avanti; – poi si volta di 90°verso sinistra e fa 1 passo all’indietro; – dopo di che ricomincia da capo. Ogni passo è di 1 metro. Dopo 186 passi cade a terra svenuto. A quanti metri da dove era partito finisce la passeggiata di Giovanni?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) √ 5
- (E) 4.
Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2
John’s final distance after 186 steps to the diagram
John drank too much and began to walk strangely: he took 1 step forward; then he turned to the right and took 2 steps forward; then he turned to the right and took 1 step forward; then he turned to the left and took 1 step backwards; then he started again. Each step is 1 meter. After 186 steps, he falls to the ground unconscious. How many yards from where he left off does John’s walk end?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) √ 5
- (E) 4.
src_archimede_2003_biennio__Q19
Confronto aree grigie con cerchi tangenti su quadrato
Dette a e b le aree delle figure in grigio, dire quale fra le seguenti relazioni è valida (tutti i cerchi piccoli hanno lo stesso raggio r, e i 4 tangenti a quello grande hanno i centri sui vertici di un quadrato).
- (A) a < b, qualunque sia r
- (B) a = b, qualunque sia r
- (C) a > b, qualunque sia r
- (D) a < b oppure a = b, dipende dal valore di r
- (E) a > b oppure a = b, dipende dal valore di r. a b
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2
Comparison of grey areas with square tangent circles
Given a and b the areas of the figures in gray, which of the following relationships is valid (all the small circles have the same radius r, and the 4 tangents to the large one have their centers on the vertices of a square).
- (A) a < b, whichever is r
- (B) a = b, whatever r
- (C) a > b, whichever is r
- (D) a < b or a = b, depending on the r value
- (E) a > b or a = b, depending on r. a b