Archimede 2003 - Gara Nazionale Individuale (Cesenatico)

divisibilita dei numeri di cifre

Trovate tutti i numeri naturali $n$ di tre cifre ($100\le n\le 999$) che sono uguali al numero formato dalle ultime tre cifre di $n^2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

*divisibility of the digits *

Find all three-digit natural numbers $n$ ($100\le n\le 999$) that are equal to the number formed by the last three digits of $n^2$.

src_archimede_2003_individuale__Q01

minimo tempo

Un museo ha la pianta quadrata ed è suddiviso in $n^2$ stanze quadrate tutte uguali (con $n>1$). Ogni coppia di stanze adiacenti (cioè con un muro in comune) comunica mediante una porta (come mostrato nell’esempio a fianco per $n=4$). Il guardiano notturno vuole organizzare il suo giro di ispezione in modo da rispettare le seguenti regole: il guardiano parte da una certa stanza, dove rimane per un minuto, terminato il quale si sposta in una stanza adiacente, dove rimane per un altro minuto; il percorso prosegue collegando stanze adiacenti, in ognuna delle quali il guardiano rimane sempre esattamente un minuto.

È consentito ripassare più volte dalla stessa stanza, ma al termine del percorso (che non si trova necessariamente nella stanza d’inizio) il guardiano deve essere stato in ognuna delle $n^2$ stanze per esattamente $k$ minuti.

Determinare per quali interi positivi $n$ e $k$ è possibile organizzare il percorso rispettando queste regole.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

minimum time

A museum has the square plan and is divided into $n^2$ square rooms all equal (with $n>1$). Each pair of adjacent rooms (i.e. with a common wall) communicates through a door (as shown in the example next to $n=4$). The night watchman wants to organize his inspection round so as to respect the following rules: the watchman leaves a certain room, where he stays for a minute, finished which moves to an adjacent room, where he stays for another minute; the path continues by connecting adjacent rooms, in each of which the watchman always stays exactly one minute.

It is permissible to return several times from the same room, but at the end of the journey (which is not necessarily in the starting room) the guardian must have been in each $n^2$ room for exactly $k$ minutes.

Determine for which positive integers $n$ and $k$ the path can be arranged in accordance with these rules.

src_archimede_2003_individuale__Q02

triangolo isoscele inscritto, dimostrazione

Nella figura il punto $C$ è interno al raggio $OB$ di una semiconferenza di centro $O$ e il segmento $CD$ è perpendicolare al diametro $AB$. Una circonferenza di centro $P$ è inscritta nella semiconferenza, risulta tangente all’arco $BD$ in $F$, al segmento $CD$ in $E$ e al diametro $AB$ in $G$. Dimostrare che il triangolo $ADG$ è isoscele. (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

inscribed isosceles triangle, demonstration

In the figure, the point $C$ is within the radius $OB$ of a centre semiconductor $O$ and the segment $CD$ is perpendicular to the diameter $AB$. A center circumference $P$ is inscribed in the semiconductor, tangent to the arc $BD$ in $F$, to the segment $CD$ in $E$ and to the diameter $AB$ in $G$. Demonstrate that the $ADG$ triangle is isosceles. (see figure)

src_archimede_2003_individuale__Q03

chi e cavaliere e chi furfante

In un’isola ci sono due categorie di persone: i cavalieri, che dicono sempre la verità, e i furfanti, che mentono sempre. Un certo giorno si riunisce il gran consiglio, costituito da $2003$ membri. Essi si siedono a caso intorno ad una tavola rotonda, e durante la riunione ciascuno di essi dichiara: «Entrambi i miei vicini sono furfanti!». Il giorno dopo il consiglio si riunisce di nuovo, ma uno dei membri è malato, per cui sono presenti solo $2002$ membri. Essi si ridispongono nuovamente a caso intorno alla tavola rotonda e ciascuno di essi dice: «Entrambi i miei vicini appartengono alla categoria opposta alla mia».

Il malato era un furfante o un cavaliere?

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3

who is a knight and who is a con man

On an island there are two categories of people: knights, who always tell the truth, and crooks, who always lie. One day the great council, consisting of $2003$ members, meets. They sit at a random round table, and during the meeting each declares, “Both my neighbors are thieves!” The next day the council meets again, but one of the members is ill, so only $2002$ members are present. They randomly reposition themselves again around the round table and each of them says, “Both my neighbors belong to the opposite category to mine”.

Was the patient a con man or a knight?

src_archimede_2003_individuale__Q04

pedine al centro, esistenza configurazioni

Data una griglia $m\times n$, ($m,n\ge 1$) si dispone una pedina al centro di ogni casella e una in ogni vertice della griglia (nell’esempio mostrato a fianco con $n=4$ e $m=3$ si dispongono $32$ pedine).

(a) Trovare tutte le tabelle che hanno esattamente $500$ pedine.

(b) Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $k$ tali che non esistono griglie con esattamente $k$ pedine.

Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3

• foot in the centre, configuration existence*

Given a $m\times n$ grid, ($m,n\ge 1$) a footprint is provided at the centre of each box and one at each top of the grid (in the example shown next to $n=4$ and $m=3$ $32$ footprints are provided).

(a) Find all tables that have exactly $500$ footings.

(b) Demonstrate that there are infinite positive integers $k$ such that there are no grids with exactly $k$ footings.

src_archimede_2003_individuale__Q05

persone a tavola rotonda, posti contrassegnati

Ad un pranzo sono state invitate $n$ persone, che siedono attorno ad una tavola rotonda, i cui posti sono stati contrassegnati da $1$ ad $n$ mediante opportuni cartellini segnagosto, distribuiti da un maestro cerimoniere.

Il cerimoniere ha deciso di servire le portate seguendo un procedimento originale: sceglie un invitato, lo serve, poi si sposta in senso antiorario di un numero di posti uguale al numero del segnagosto dell’invitato appena servito, serve l’invitato in corrispondenza del quale si trova ora, e così via, spostandosi sempre in senso antiorario in base al numero di segnagosto dell’ultimo invitato servito.

Determinare per quali $n$ il maestro cerimoniere può sistemare i segnagosto in modo che il cerimoniere possa, partendo da un invitato opportuno e seguendo il procedimento descritto, servire tutti i commensali.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.3

round table person, places marked

People were invited to a lunch, sitting around a round table, whose seats were marked $1$ to $n$ by appropriate signposts, distributed by a master ceremonialist.

The ceremony master decided to serve the ports following an original procedure: he chooses an invitation, serves it, then moves in the anti-hour direction of a number of places equal to the signpost number of the newly served guest, serves the corresponding guest to whom he is now, and so on, always moving in the anti-hour direction according to the signpost number of the last served guest.

Determine for which $n$ the Master Ceremonial Officer may arrange the signs so that the Master Ceremonial Officer may, starting from a suitable guest and following the procedure described, serve all the diners.

src_archimede_2003_individuale__Q06