tipo dell’abitante
35/2 32/3 =…
- (A) 1 3
- (B) 3
- (C) 315/4
- (D) 311/6
- (E) 319/6.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.10
type of inhabitant
35/2 32/3 =…
- (A) 1 3
- (B) 3
- (C) 315/4
- (D) 311/6
- (E) 319/6.
Answer: E src_archimede_2003_triennio__Q01
lettere automobilistiche da 2 a 4 lettere, conteggio
Qual è il più grande degli interi positivi n tali che la media aritmetica dei numeri da 1 a n sia < 2003 ? (Nota: la media aritmetica di n numeri è uguale alla loro somma divisa per n.)
- (A) 2002
- (B) 2003
- (C) 4003
- (D) 4004
- (E) 4005.
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.10
*car letters from 2 to 4 letters, counting *
What is the largest positive integer n such that the arithmetic mean of the numbers from 1 to n is < 2003 ? (Note: the arithmetic mean of n numbers is equal to their sum divided by n.)
- (A) 2002
- (B) 2003
- (C) 4003
- (D) 4004
- (E) 4005.
Answer: B src_archimede_2003_triennio__Q02
Numeri reali x,y,z,t con relazioni di quadrato e prodotto
È dato un triangolo (non degenere) i cui lati hanno come lunghezze i tre numeri naturali a, b e c. Sapendo che b e c sono multipli di a, cosa possiamo dire del triangolo?
- (A) Ha sempre come area un numero intero
- (B) ha sempre come area un numero razionale, ma non necessariamente intero
- (C) è necessariamente isoscele
- (D) potrebbe essere rettangolo
- (E) non esistono triangoli siffatti.
Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.10
Real numbers x,y,z,t with product to square ratios
It is given a triangle (not degenerate) whose sides have as lengths the three natural numbers a, b and c. Now, knowing that b and c are multiples of a, what can we say about the triangle?
- (A) It always has an integer as its area.
- (B) It always has a rational number as its area, but not necessarily an integer.
- (C) It’s necessarily isocene.
- (D) It could be rectangular.
- (E) There are no such triangles.
Answer: C src_archimede_2003_triennio__Q03
Probabilità che inserendo da 1 a 15 tessere agenti non collidano
In un’urna ci sono 9 palline, 3 bianche, 3 rosse e 3 blu. Tullio estrae contemporaneamente 3 palline. Qual è la probabilità che ne estragga una bianca, una rossa e una blu?
- (A) 1 27
- (B) 1 9
- (C) 9 28
- (D) 6 27
- (E) 3 14.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.10
Probability that insertion of 1 to 15 agent sheets does not collide
There are nine balls in a day, three white, three red and three blue. Tullio is pulling three balls at once. What’s the probability that I’ll take out a white, red, and blue?
- (A) 1 27
- (B) 1 9
- (C) 9 28
- (D) 6 27
- (E) 3 14.
Answer: B src_archimede_2003_triennio__Q04
stella regolare, valore del lato
Un ciclista percorre una salita con velocità v costante e ridiscende per la stessa strada con velocità ancora costante ma pari al triplo della precedente. La velocità media nell’intero percorso di andata e ritorno è…
- (A) 3 4v
- (B) 4 3v
- (C) 3 2v
- (D) 2v
- (E) dipende dalla lunghezza della strada.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.10
regular star, side value
A cyclist goes up a climb with a constant v speed and then goes down the same road with a still constant speed but equal to three times the previous speed. The average speed in the whole round trip is…
- (A) 3 4v
- (B) 4 3v
- (C) 3 2v
- (D) 2v
- (E) Depends on the length of the road.
Answer: E src_archimede_2003_triennio__Q05
rapporto BH/DH
Quali delle diseguaglianze a fianco sono verificate per ogni valore reale positivo di x?
- (A) Tutte e tre
- (B) solo a) e b)
- (C) solo b) e c)
- (D) solo a)
- (E) solo c). a) x2 + 1 x2 ≥2 b) x2 ≥2x −2 c) x4−2x3+x2 ≥0.
Topic: Geometria piana Area: Geometria Fonte: apri PDF p.10
The following information is provided in the Annex to Implementing Regulation (EU) No 575/2013:
Which of the side inequalities are verified for every positive real value of x?
- (A) All three
- (B) only (a) and (b)
- (C) only (b) and (c)
- (D) only a)
- (E) only c). a) x2 + 1 x2 ≥2 b) x2 ≥2x −2 c) x4−2x3+x2 ≥0.
src_archimede_2003_triennio__Q07
relazione di parabola, valore
Michael, Juan Pablo e Kimi partecipano a un campionato di automobilismo. Dopo 5 gran premi, Michael conduce la classifica con 43 punti, seguito da Juan Pablo con 42 punti e da Kimi con 40. In ognuna delle 5 gare disputate, il primo classificato guadagnava 10 punti, il secondo 8, il terzo 7, dal quarto posto in poi non si guadagnavano punti. Basandovi su queste informazioni, sapreste dire chi si è piazzato al secondo posto per il maggior numero di volte?
- (A) Michael
- (B) Juan Pablo
- (C) Kimi
- (D) Michael e Juan Pablo
- (E) Michael e Kimi.
Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.11
- parabola ratio, value *
Michael, Juan Pablo and Kimi are competing in a motor racing championship. After 5 major prizes, Michael leads the standings with 43 points, followed by Juan Pablo with 42 points and Kimi with 40. In each of the 5 competitions, the first placed team earned 10 points, the second eight, the third seven, and from fourth place onwards no points were earned. Based on this information, can you tell who has placed second most times?
- (A) Michael , please .
- (B) Spanish language
- (C) What are you doing?
- (D) Michael and Juan Pablo
- (E) Michael and Kimi.
src_archimede_2003_triennio__Q08
equazione di una circonferenza, valore
Un triangolo ha due vertici nei punti di coordinate (−4, 1) e (2, −1) e il terzo vertice nel punto di coordinate (1, k). Per quanti valori reali di k tale triangolo risulta isoscele?
- (A) Nessuno
- (B) 1
- (C) 4
- (D) 5
- (E) infiniti.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Fonte: apri PDF p.11
equation of a circumference, value
A triangle has two vertices at the coordinate points (−4, 1) and (2, −1) and the third vertex at the coordinate point (1, k). For how many real values of k is this triangle isosceles?
- (A) No one .
- (B) 1
- (C) 4
- (D) 5
- (E) infinite.
src_archimede_2003_triennio__Q09
rapporto
Un ragno vuole ispezionare la superficie esterna di una piramide a base quadrata, le cui facce laterali sono triangoli equilateri. Partendo dal centro di una faccia laterale, vuole toccare i centri di tutte le altre facce laterali, seguendo il cammino più breve possibile. Sapendo che uno spigolo della piramide misura 2, trovare la lunghezza totale del percorso.
- (A) 4
- (B) 2 √ 3
- (C) 3
- (D) 3 2 √ 2
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Area: Geometria Fonte: apri PDF p.11
The report shall contain the following information:
A spider wants to inspect the outer surface of a pyramid with a square base, whose lateral faces are equilateral triangles. Starting from the center of one side face, it wants to touch the centers of all the other side faces, following the shortest path possible. Knowing that a spike of the pyramid measures 2, find the total length of the path.
- (A) 4
- (B) 2 √ 3
- (C) 3
- (D) 3 2 √ 2
- (E) None of the previous ones.
src_archimede_2003_triennio__Q10
Intero D con f(D) somma delle cifre; dimostrazione f(f(D))
In un ampio laghetto le foglie di ninfea sono disposte a reticolo, come nella figura a fianco. I rospi sono soliti muoversi con balzi da una foglia ad una adiacente in orizzontale o verticale. Un rospo si trova in A ed avvista un insetto in B. Per catturarlo, compie una traiettoria di 6 balzi (senza mai passare due volte sulla stessa foglia) che termina in B. Quante traiettorie diverse può aver compiuto?
- (A) 24
- (B) 26
- (C) 28
- (D) 32
- (E) nessuna delle precedenti. A B
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.11
Inter D with f(D) sum of digits; demonstration of f(f(D))
In a large pond the ninfa leaves are arranged in a grid, as shown in the figure next to it. The toads usually jump from a leaf to an adjacent leaf horizontally or vertically. A toad is in A and it spots an insect in B. To capture it, he completes a trajectory of 6 jumps (never passing twice on the same leaf) ending in B. How many different trajectories could he have completed?
- (A) 24
- (B) 26
- (C) 28
- (D) 32
- (E) None of the previous ones. A B
src_archimede_2003_triennio__Q11
Numero di numeri interi divisibili tra 1 e 12 (insiemi)
Una stazione spaziale vuole registrare il passaggio di un asteroide, che si muove nello spazio di moto rettilineo uniforme rispetto ad essa. Purtroppo il radar della stazione è danneggiato, e non fornisce misure affidabili della distanza, mentre misura con accuratezza l’angolo sotto il quale è visto l’asteroide. Vengono effettuati alcuni rilevamenti a intervalli di tempo regolari. Qual è il minimo numero di rilevamenti necessari per ricostruire la traiettoria dell’asteroide?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) un numero finito maggiore di 4
- (E) nessun numero di rilevamenti è sufficiente.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.11
*Number of integers divisible by 1 to 12 (totals) *
A space station wants to record the passage of an asteroid, which moves in space in a uniform, straight-moving motion relative to it. Unfortunately, the station’s radar is damaged, and it does not provide reliable distance measurements, while accurately measuring the angle under which the asteroid is seen. Some detections are carried out at regular intervals. What is the minimum number of detections needed to reconstruct the trajectory of the asteroid?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) a finite number greater than 4
- (E) No number of detections is enough.
src_archimede_2003_triennio__Q12
insieme di vertici
Date le uguaglianze a sinistra, quale delle affermazioni a destra è vera? (I) x3 −5x2 x2 = 3x −15 3 , (II) x −5 1/2 = 3x −15 3/2 , (III) x −5 2 = x −5 2
- (A) (I), (II) e (III) sono vere per ogni x reale
- (B) (I), (II) e (III) sono false per ogni x reale
- (C) per ogni x reale, se (II) è vera lo è anche (III)
- (D) per ogni x reale, se (II) è vera lo è anche (I)
- (E) per ogni x reale, se (I) è vera allora (III) è falsa.
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.11
set of vertices
Given the equations on the left, which of the statements on the right is true? (I) x3 −5x2 x2 = 3x −15 3 , (II) x −5 1/2 = 3x −15 3/2 , (III) x −5 2 = x −5 2
- (A) (I), (II) and (III) are true for every real x
- (B) (I), (II) and (III) are false for every real x
- (C) For every real x, if (II) is true, so is (III)
- (D) For every real x, if (II) is true, so is (I)
- (E) For every real x, if (I) is true then (III) is false.
src_archimede_2003_triennio__Q13
dimostrare razionalità/insiemi
Se vale l’identità x −3 2 3 + x −1 2 3
(x + 1)3 + (x + 2)3 = ax3 + bx2 + cx + d , quanto vale a + b + c + d?
- (A) 57 4
- (B) 9
- (C) 289 8
- (D) 35
- (E) nessuno dei valori precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.12
showing rationality/totals
If the identity is x −3 2 3 + x −1 2 3 + (x + 1) 3 + (x + 2) 3 = ax3 + bx2 + cx + d , how much is a + b + c + d ?
- (A) 57 4
- (B) 9
- (C) 289 8
- (D) 35
- (E) None of the above values.
src_archimede_2003_triennio__Q15
dimostrare condizioni geometriche
Determinare l’area del poligono ottenuto come unione di due quadrati entrambi aventi lato di lunghezza 1, aventi lo stesso centro e ruotati di 45°l’uno rispetto all’altro.
- (A) 4 −2 √ 2
- (B) 9 8
- (C) 2 − √ 3 2
- (D) 5 4
- (E) le precedenti risposte sono sbagliate.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.13
to demonstrate the geometric conditions
Determine the area of the polygon obtained as a union of two squares both having sides of length 1, having the same centre and rotating 45° with respect to each other.
- (A) 4 −2 √ 2
- (B) 9 8
- (C) 2 − √ 3 2
- (D) 5 4
- (E) The previous answers are wrong.
src_archimede_2003_triennio__Q16
Triangoli non degeneri con vertici in nove punti
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\foreach \x in {0,1,2}
\foreach \y in {0,1,2}
\fill (\x,\y) circle (2.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}Sono dati 9 punti disposti a quadrato come nella figura a fianco. Quanti sono i possibili triangoli non degeneri che hanno i vertici in tre dei punti dati?
- (A) 27
- (B) 56
- (C) 60
- (D) 76
- (E) 84.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.2
Non-degenerate triangles with vertices at nine points
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\foreach \x in {0,1,2}
\foreach \y in {0,1,2}
\fill (\x,\y) circle (2.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}They are given 9 points arranged in square as shown in the figure next to it. How many possible non-degenerate triangles have their vertices at three of the data points?
- (A) 27
- (B) 56
- (C) 60
- (D) 76
- (E) 84.
src_archimede_2003_triennio__Q17
Cartoline totali da condizioni di divisibilita
Anna e Marco hanno una collezione di più di 40, ma meno di 80, cartoline. Anna nota che il numero delle cartoline meno 3 è multiplo di 8. Marco invece nota che il numero di cartoline meno 1 è multiplo di 5. Quante cartoline hanno in totale Anna e Marco?
- (A) Tra 40 e 49
- (B) tra 50 e 59
- (C) tra 60 e 69
- (D) tra 70 e 79
- (E) è impossibile: hanno sbagliato a contare.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Total cards with divisibility conditions
Anna and Marco have a collection of more than 40, but less than 80, postcards. Anna notes that the number of cards minus 3 is a multiple of 8. Instead, Mark notes that the number of cards minus 1 is a multiple of 5. How many cards do Anna and Mark have in total?
- (A) Between 40 and 49
- (B) between 50 and 59
- (C) between 60 and 69
- (D) Between 70 and 79
- (E) It’s impossible. They counted wrong.
src_archimede_2003_triennio__Q19
Somma reciproci delle radici di un polinomio di grado 4
Il polinomio x4 −2x3 −7x2 −2x + 1 ha quattro radici reali a, b, c, d. Quanto vale 1 a + 1 b + 1 c + 1 d?
- (A) −2
- (B) 0
- (C) −1
- (D) 2
- (E) nessuno dei valori precedenti.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Reciprocal sum of the roots of a polynomial of degree 4
The polynomial x4 −2x3 −7x2 −2x + 1 has four real roots a, b, c, d. How much is 1 a + 1 b + 1 c + 1 d?
- (A) −2
- (B) 0
- (C) −1
- (D) 2
- (E) None of the above values.
src_archimede_2003_triennio__Q20
Sottoinsiemi di {1..2003} con somma elementi data
Si consideri l’insieme {1, 2, …, 2003}. Quanti sono i suoi sottoinsiemi B tali che la somma degli elementi di B è uguale a 2 007 000?
- (A) Non ne esistono
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 1002
- (E) 2003.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Sub-sets of {1.2003} with the sum of the elements given
Consider the sum of {1, 2, …, 2003}. How many of its subset B are such that the sum of the elements of B is equal to 2 007 000?
- (A) There are none.
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 1002
- (E) 2003.
src_archimede_2003_triennio__Q22
Dimensione regione cancellata 14 minuti fa dal virus
Il potente computer di Enrico è stato da poco infettato da un virus che cancella un po’ alla volta tutta la memoria. Ogni minuto che passa, la regione cancellata viene quadruplicata, e ulteriormente incrementata di 1 byte. Enrico congela il computer quando ormai la situazione è compromessa: egli calcola che non solo tra un minuto il virus avrà corrotto tutta la memoria, ma anzi ormai basterebbe triplicare la regione cancellata e aggiungere 1 byte per esaurire esattamente la memoria del computer, che ammonta a 2.5 Gb = 2.5 · 230 byte. Quanto era grande la regione cancellata 14 minuti fa?
- (A) 1 byte
- (B) 2 byte
- (C) 3 byte
- (D) 4 byte
- (E) 16 byte.
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Size of region deleted 14 minutes ago from virus
Enrico’s powerful computer was recently infected with a virus that wipes out all memory a little at a time. Every minute that passes, the deleted region is quadrupled, and further increased by 1 byte. Enrico freezes the computer when the situation is compromised: he calculates that not only will the virus have corrupted all memory in a minute, but it would be enough to triple the deleted region and add 1 byte to exactly exhaust the computer’s memory, which amounts to 2.5 Gb = 2.5 · 230 bytes. How big was the region deleted 14 minutes ago?
- (A) 1 byte
- (B) 2 bytes
- (C) 3 bytes
- (D) 4 bytes
- (E) 16 bytes.
src_archimede_2003_triennio__Q24
Volume piramide da altezze ortogonali sullo spigolo VA
Sul triangolo ABC si costruisce una piramide di vertice V e base ABC. P è un punto sullo spigolo V A tale che BP e CP siano fra loro ortogonali e siano altezze rispettivamente dei triangoli BAV e CAV . Sapendo che P divide V A in due segmenti di lunghezza 1 cm e 2 cm e che le altezze BP e CP sono lunghe rispettivamente 3 cm e 4 cm, determinare il volume (in cm3) della piramide.
- (A) I dati non sono sufficienti per calcolare il volume
- (B) 6
- (C) 9
- (D) 12
- (E) non esiste una piramide siffatta.
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Volume of pyramid with orthogonal heights on the VA shaft
On the ABC triangle a pyramid of V vertices and ABC base is built. P is a point on the V-axis such that BP and CP are orthogonal to each other and are heights of the BAV and CAV triangles respectively . Knowing that P divides V A into two segments of length 1 cm and 2 cm and that BP and CP heights are 3 cm and 4 cm respectively, determine the volume (in cm3) of the pyramid.
- (A) Data are not sufficient to calculate volume
- (B) 6
- (C) 9
- (D) 12
- (E) There’s no such pyramid.