Giochi di Archimede 2004

Gioco con cavalli/scimmia e calcoli sui giri di pista

Secondo una recente statistica, ogni italiano mangia in media 30 kg di pasta all’anno. Sapendo che la popolazione italiana è di 57 milioni di abitanti, quante tonnellate di pasta si consumano in Italia ogni anno?

(A) meno di 1000

(B) più di 1000, ma meno di 10 mila

(C) più di 10 mila, ma meno di 100 mila

(D) più di 100 mila, ma meno di 1 milione

(E) più di 1 milione

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.6

Playing with horses/monkeys and calculating track laps

According to a recent statistic, every Italian eats an average of 30 kg of pasta a year. Knowing that Italy has a population of 57 million, how many tons of pasta are consumed in Italy every year?

(A) less than 1000

(B) More than 1000, but less than 10 thousand

(C) More than 10,000, but less than 100,000.

(D) More than 100,000, but less than 1 million

(E) more than 1 million

src_archimede_2004_biennio__Q01

classificazione enunciati

Luigi ha 4 anni più di Silvio che, a sua volta, ha 3 anni più di Carlo. Se complessivamente hanno 34 anni, quanti anni ha il più grande?

(A) 12

(B) 15

(C) 17

(D) 18

(E) 20

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

classification stated

Luigi is 4 years older than Silvio, who, in turn, is 3 years older than Carlo. If they’re 34 years old altogether, how old is the oldest?

(A) 12

(B) 15

(C) 17

(D) 18

(E) 20

src_archimede_2004_biennio__Q02

Tipo di figura formata da quattro triangoli rettangoli

Tarzan vuole tenere il suo leone in una radura di forma circolare avente raggio 12 metri e con un alto albero nel centro. Tarzan lega con una catena all’albero centrale il leone, ma la catena è lunga 13 metri anziché 12. Non potendo in alcuna maniera accorciarla, ma al momento di fissarla si accorge che per fare in modo che il leone non scappi, lo porta in alto all’albero. A quanti metri di altezza dal suolo Tarzan lega la catena? (Si trascurino il diametro dell’albero e le dimensioni del leone).

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Type of figure formed by four rectangular triangles

Tarzan wants to hold his lion in a circular shaped shaft with a radius of 12 meters and a tall tree in the center. Tarzan binds the lion with a chain to the central tree, but the chain is 13 meters long instead of 12. He can’t shorten it in any way, but when he looks at it, he realizes that to keep the lion from escaping, he takes it up to the tree. How many feet above Tarzan’s ground does the chain tie? (Disregard the diameter of the tree and the size of the lion).

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

src_archimede_2004_biennio__Q03

valori del parametro a

Se $a + 1 = b - 2 = c + 3 = d - 4$ , qual è il più piccolo dei numeri $a, b, c, d$ ?

(A) $a$

(B) $b$

(C) $c$

(D) $d$

(E) non si può stabilire in base ai dati del problema

Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

values of the parameter a

If $a + 1 = b - 2 = c + 3 = d - 4$ , which is the smallest of the $a, b, c, d$ numbers?

(A) $a$

(B) $b$

(C) $c$

(D) $d$

(E) It cannot be established from the data of the problem

src_archimede_2004_biennio__Q04

Quanti numeri naturali B in prodotto, scelta multipla

Ad una gara matematica partecipano 1200 candidati. Il 40% di essi riceve una medaglia (d’oro, d’argento o di bronzo). Il numero di medaglie di bronzo è triplo di quello di medaglie d’argento e doppio di quello di oro. Quante sono le medaglie d’oro?

(A) 120

(B) 144

(C) 160

(D) 180

(E) nessuna delle precedenti

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

How many natural numbers B in product, multiple choice

A mathematics competition involves 1,200 candidates. 40% of them receive a medal (gold, silver or bronze). The number of bronze medals is three times that of silver and twice that of gold. How many gold medals are there?

(A) 120

(B) 144

(C) 160

(D) 180

(E) None of the preceding

src_archimede_2004_biennio__Q05

Determinare cifra/pari più piccolo intero B con somma

Tre amici stanno conversando. Uno di loro afferma: «Non è vero che almeno due di noi sono bugiardi.» Quanti di loro sono bugiardi?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) i dati sono insufficienti per determinare in modo univoco

(E) non si può stabilire

Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3

Determine the smallest integer number/pair B with sum *

Three friends are talking. One of them says, “Are not two of us liars?” How many of them are liars?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) the data are insufficient to uniquely determine

(E) It is not possible to establish

src_archimede_2004_biennio__Q06

quanti diversi da zero

$a$ , $b$ e $c$ sono tre numeri naturali. Sappiamo che $a$ è divisibile per 15 e $b$ è divisibile per 21. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vera?

(A) $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ è divisibile per 2

(B) $a + b + c$ è divisibile per 18

(C) $a + b + c$ è divisibile per 9

(D) $(a + b + c)^{2}$ è divisibile per 9

(E) $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ è divisibile per 9

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.3

numbers other than zero

$a$ , $b$ and $c$ are three natural numbers. We know that $a$ is divisible by 15 and $b$ is divisible by 21. Which of the following is certainly true?

(A) $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ is divisible by 2

(B) $a + b + c$ is divisible by 18

(C) $a + b + c$ is divisible by 9

(D) $(a + b + c)^{2}$ is divisible by 9

(E) $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ is divisible by 9

src_archimede_2004_biennio__Q07

valore N

Sulla lavagna è scritto inizialmente il numero 1. Successivamente, dieci studenti a turno cancellano il numero che trovano sulla lavagna e lo sostituiscono con il suo doppio. Qual è il numero che resta sulla lavagna alla fine?

(A) $2^{10} - 1$

(B) $2^{10} + 1$

(C) $2^{11} - 1$

(D) $3^{10}$

(E) $2^{10}$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3

The value of the input data shall be the sum of the values of the input data.

The number 1 is initially written on the board. Then ten students take turns deleting the number they find on the board and replacing it with its double. What’s the number left on the board at the end?

(A) $2^{10} - 1$

(B) $2^{10} + 1$

(C) $2^{11} - 1$

(D) $3^{10}$

(E) $2^{10}$

src_archimede_2004_biennio__Q08

Funzione/posizione di vertici e numero N di lati

Marco deve recarsi una volta all’anno, per lavoro, in un lontano Paese dalla distanza ordinata da un aeroporto. Tuttavia la valuta di quel Paese perde ogni anno il 30 per cento del suo valore rispetto all’Euro, mentre da un anno all’altro i prezzi in quel Paese raddoppiano. La spesa (in Euro) sostenuta da Marco per il suo soggiorno nel 2004 risulta:

(A) minore di quella del 2002

(B) uguale a quella del 2002

(C) superiore a quella del 2002, ma minore del doppio di essa

(D) uguale al doppio della spesa del 2002

(E) superiore al doppio della spesa del 2002

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3 Anche in triennio: apri PDF p.7

Function/position of vertices and number N of sides

Once a year, Marco has to travel to a distant country for work from an airport. However, that country’s currency loses 30 percent of its value to the euro each year, while prices in that country double from year to year. The expenditure (in euro) incurred by Marco for his stay in 2004 is as follows:

(A) less than that of 2002

(B) equal to that of 2002

(C) higher than that of 2002, but less than twice that

(D) equal to twice the expenditure of 2002

(E) More than double the expenditure of 2002

src_archimede_2004_biennio__Q09

Costruzione/inscrizione su circonferenza, raggi a,b

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \def\R{2.5}
  \def\r{2.0}
  \def\yy{-1.7}
  \draw (0,0) circle (\R);
  \draw (0,0) circle (\r);
  \fill (0,0) circle (1.2pt); \node[above] at (0,0.05) {$O$};
  \pgfmathsetmacro\xa{sqrt(\R*\R-\yy*\yy)}
  \pgfmathsetmacro\xc{sqrt(\r*\r-\yy*\yy)}
  \draw (-\xa,\yy) -- (\xa,\yy);
  \fill (-\xa,\yy) circle (1.2pt); \node[below] at (-\xa,\yy) {$B$};
  \fill (\xa,\yy) circle (1.2pt);  \node[below] at (\xa,\yy) {$A$};
  \fill (-\xc,\yy) circle (1.2pt); \node[below] at (-\xc,\yy) {$D$};
  \fill (\xc,\yy) circle (1.2pt);  \node[below] at (\xc,\yy) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Quanto è lunga la corda $A B$ sapendo che $A B = 2 C D$ e che i raggi dei due cerchi concentrici sono 5 metri e 4 metri? (vedi figura)

(A) $22$ m

(B) $23$ m

(C) $33$ m

(D) $43$ m

(E) dipende dall’inclinazione della corda

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3

Construction/inscription on circumference, beams a,b

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \def\R{2.5}
  \def\r{2.0}
  \def\yy{-1.7}
  \draw (0,0) circle (\R);
  \draw (0,0) circle (\r);
  \fill (0,0) circle (1.2pt); \node[above] at (0,0.05) {$O$};
  \pgfmathsetmacro\xa{sqrt(\R*\R-\yy*\yy)}
  \pgfmathsetmacro\xc{sqrt(\r*\r-\yy*\yy)}
  \draw (-\xa,\yy) -- (\xa,\yy);
  \fill (-\xa,\yy) circle (1.2pt); \node[below] at (-\xa,\yy) {$B$};
  \fill (\xa,\yy) circle (1.2pt);  \node[below] at (\xa,\yy) {$A$};
  \fill (-\xc,\yy) circle (1.2pt); \node[below] at (-\xc,\yy) {$D$};
  \fill (\xc,\yy) circle (1.2pt);  \node[below] at (\xc,\yy) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

How long is the rope knowing that the radii of the two concentric circles are 5 meters and 4 meters? (see figure)

(A) $22$ m

(B) $23$ m

(C) $33$ m

(D) $43$ m

(E) depends on the slope of the rope

src_archimede_2004_biennio__Q10

quante soluzioni intere positive

Quante sono le coppie ordinate di numeri naturali $(x, y)$ , $x > 0$ e $y > 0$ , tali che $5 < x + y \leq 10$ ? (Attenzione: si considerano coppie ordinate, quindi, ad esempio, $(1, 2)$ e $(2, 1)$ sono coppie distinte).

(A) 20

(B) 25

(C) 30

(D) 35

(E) nessuna delle precedenti

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2005 Fonte: apri PDF p.3

how many positive whole solutions

What are the ordered pairs of natural numbers $(x, y)$ , $x > 0$ and $y > 0$ , such as $5 < x + y \leq 10$ ? (Note: they are considered ordered pairs, so for example $(1, 2)$ and $(2, 1)$ are separate pairs).

(A) 20

(B) 25

(C) 30

(D) 35

(E) None of the preceding

Answer: 2005 src_archimede_2004_biennio__Q11

lato del segmento

Michele si prepara all’ultimo compito in classe di matematica dell’anno; lo affronta con tranquillità, sapendo che se prende 10 avrà già fatto quest’anno la media del 9, mentre prendendo 5 la media diventerà 8. Quanti compiti ha fatto quest’anno Michele?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) i dati non sono sufficienti per dare la risposta

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3

side of the segment

Michele prepares for the final math class assignment of the year; he tackles it calmly, knowing that if he takes 10 he will have already made an average of 9 this year, while taking 5 the average will become 8. How many assignments did Michael do this year?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) The data is not sufficient to give the answer

src_archimede_2004_biennio__Q12

Numeri sommati su forma con due cifre, somma in base

Il trapezio rettangolo $A B C D$ contiene una circonferenza di raggio 1 metro, tangente a tutti i suoi lati. Sapendo che il lato obliquo $B C$ è lungo 7 metri, trovare l’area del trapezio. (vedi figura)

(A) 8 metri quadrati

(B) 9 metri quadrati

(C) 10 metri quadrati

(D) 11 metri quadrati

(E) non si può ricavare dai dati del problema

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3

Two-digit numbers summed up in form, base sum

The rectangular trapezoid $A B C D$ contains a radius of 1 metre, tangent on all sides. Knowing that the oblique side $B C$ is 7 meters long, find the area of the trapezium. (see figure)

(A) 8 square meters

(B) 9 square meters

(C) 10 square meters

(D) 11 square meters

(E) You can’t get it from the problem data.

src_archimede_2004_biennio__Q13

quante soluzioni reali

Venti soffici cuscini quadrati sono impilati uno sopra l’altro. Ogni cuscino pesa 500 g ed ha inizialmente uno spessore di 30 cm. Nella pila, però, lo spessore di ogni cuscino si riduce in ragione di 2 cm per ogni mezzo chilo di peso sopra di esso (1 cm per ogni mezzo chilo). Quanto è alta la pila?

(A) 220 cm

(B) 410 cm

(C) 490 cm

(D) 551 cm

(E) mancano dati per poter rispondere

Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.4

how many real solutions

Twenty soft square pillows are stacked on top of each other. Each pillow weighs 500 g and initially has a thickness of 30 cm. In the pile, however, the thickness of each pillow is reduced by 2 cm for each half kilogram of weight above it (1 cm for each half kilogram). How high is the pile?

(A) 220 cm

(B) 410 cm

(C) 490 cm

(D) 551 cm

(E) There is no data to answer.

src_archimede_2004_biennio__Q14

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