Giochi di Archimede 2004 - Gara Triennio

numero di affermazioni vere

Su Marte la moda dei telefoni cellulari sta rapidamente prendendo piede. Il 17 novembre 10 marziani possiedono un cellulare e nei giorni successivi il numero dei marziani che possiedono un cellulare raddoppia ogni giorno. Al termine di quale giorno almeno 10000 marziani avranno un cellulare? Quale è il primo giorno di novembre?

(A) 25 novembre, (B) 26 novembre, (C) 27 novembre, (D) 28 novembre, (E) 29 novembre.

Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6

number of true statements

On Mars, cell phone fashion is rapidly gaining ground. On November 17th, 10 Martians own a cell phone, and in the days that follow, the number of Martians who own a cell phone doubles every day. At the end of what day will at least 10,000 Martians have a cell phone? What is the first day of November?

(a) 25 November, (b) 26 November, (c) 27 November, (d) 28 November and (e) 29 November.

src_archimede_2004_triennio__Q02

numero di soluzioni intere

Tarzan vuole tenere il suo leone in una radura di forma circolare avente raggio 12 metri e con un alto albero nel centro. Per fare in modo che il leone non scappi, lo lega con una catena all’albero centrale, ma al momento di fissarla si accorge che la catena è lunga 13 metri anziché 12. Non potendo in alcuna maniera accorciare la catena, decide di legarla più in alto, in modo che il leone possa raggiungere il limite della radura. A quanti metri di altezza dal suolo Tarzan lega la catena? (Solo per questo esercizio si trascurino le dimensioni del leone).

(A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5.

Topic: Geometria piana Abilita: Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6

number of whole solutions

Tarzan wants to hold his lion in a circular shaped shaft with a radius of 12 meters and a tall tree in the center. To keep the lion from escaping, he binds it with a chain to the center of the tree, but when you fix it, you notice that the chain is 13 meters long instead of 12. Unable in any way to shorten the chain, he decides to tie it higher, so that the lion can reach the edge of the erasure. How many feet above Tarzan’s ground does the chain tie? (Only for this exercise is the size of the lion neglected.)

(A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5.

src_archimede_2004_triennio__Q03

valore di una espressione

$a$, $b$ e $c$ sono tre numeri naturali. Sappiamo che $a$ è divisibile per 15, $b$ è divisibile per 12 e $c$ è divisibile per 21. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vera?

(A) $a^2+b^2+c^2$ è divisibile per 18, (B) $a+b+c$ è divisibile per 9, (C) $a+b+c$ è divisibile per 9, (D) $(a+b+c{)}^2$ è divisibile per 9, (E) $a^2+b^2+c^2$ è divisibile.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.6

value of an expression

$a$, $b$ and $c$ are three natural numbers. We know that $a$ is divisible by 15, $b$ is divisible by 12 and $c$ is divisible by 21. Which of the following is certainly true?

(A) $a^2+b^2+c^2$ is divisible by 18, (B) $a+b+c$ is divisible by 9, (C) $a+b+c$ is divisible by 9, (D) $(a+b+c{)}^2$ is divisible by 9, (E) $a^2+b^2+c^2$ is divisible.

src_archimede_2004_triennio__Q04

numero di alunni della classe

Il valore minimo di $a\ge 0$ per cui l’equazione $x^2+ax+a+1=0$ ha almeno una soluzione reale è:

(A) $2\sqrt{2}+2$, (B) $2\sqrt{2}-2$, (C) $3\sqrt{2}+3$, (D) $3\sqrt{2}-3$, (E) $2\sqrt{2}+3$.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.6

number of pupils in class

The minimum value of $a\ge 0$ for which the equation $x^2+ax+a+1=0$ has at least one real solution is:

(A) $2\sqrt{2}+2$, (B) $2\sqrt{2}-2$, (C) $3\sqrt{2}+3$, (D) $3\sqrt{2}-3$, (E) $2\sqrt{2}+3$.

src_archimede_2004_triennio__Q05

valore della somma 1/4+1/16+…

Sia $ABC$ un triangolo rettangolo isoscele come in figura, con i cateti di lunghezza $L$. I segmenti $DG$ e $EF$ sono perpendicolari ai lati $AB$ e $AC$ rispettivamente, inoltre i segmenti $AE$ e $AD$ sono lunghi $\frac{L}{2}$. Sapendo che l’area del pentagono $ADGFE$ è $t$ metri quadrati, si può dire che $L$ è uguale a:

(A) $1,5$ m, (B) $3$ m, (C) $1,3$ m, (D) $1,6$ m, (E) $4$ m.

(vedi figura)

Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Area: Algebra e Analisi Risposta: Ö/65 Fonte: apri PDF p.6

value of the sum 1/4+1/16+…

Whether $ABC$ is a right triangle isosceles as shown in Figure, with length cathetes $L$. The segments $DG$ and $EF$ are perpendicular to the sides $AB$ and $AC$ respectively, and the segments $AE$ and $AD$ are long $\frac{L}{2}$. Knowing that the area of the pentagon $ADGFE$ is $t$ square metres, we can say that $L$ is equal to:

(A) $1,5$ m, (B) $3$ m, (C) $1,3$ m, (D) $1,6$ m, (E) $4$ m.

(see figure)

Answer: Ö/65 src_archimede_2004_triennio__Q06

Probabilità di vincita con dado/lista numerata

Quanti sono i multipli di 5 fra i numeri interi di 4 cifre che si scrivono senza usare altre cifre all’infuori di 0, 1, 2, 3, 4, 5? È consentito impiegare più volte la stessa cifra; 0 non può essere la cifra iniziale.

(A) 180, (B) 216, (C) 360, (D) 396, (E) 1080.

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6

Probability of winning with dice/numbered list

How many multiples of 5 among 4-digit integers do you write without using any other digits other than 0, 1, 2, 3, 4, 5? It is permissible to use the same number several times; 0 cannot be the initial number.

(A) 180, (B) 216, (C) 360, (D) 396, (E) 1080.

src_archimede_2004_triennio__Q07

Coefficienti pari/dispari in espressione, scelta multipla

Marco deve recarsi una volta all’anno, per lavoro, in un lontano Paese dalla distanza. La spesa (in Euro) sostenuta da Marco per il suo soggiorno nel 2004 è pari al 30 per cento del suo valore rispetto all’Euro. Ogni anno all’altro i prezzi raddoppiano. Tuttavia la moneta di quel Paese perde ogni anno il 30 per cento del suo valore rispetto all’Euro. La spesa (in Euro) sostenuta da Marco per il suo soggiorno nel 2004 risulta pertanto:

(A) minore di quella del 2002, (B) uguale a quella del 2002, (C) superiore a quella del 2002, ma minore del quadruplo della spesa del 2002, (D) uguale al quadruplo della spesa del 2002, (E) uguale al doppio della spesa del 2002.

Topic: Algebra Metodo: congruenze Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.6

Equal/disparate coefficients in expression, multiple choice

Marco has to travel once a year, for work, to a distant country far away. Marco’s expenditure (in euro) for his stay in 2004 is 30% of its value in relation to the euro. Every year, prices double. However, that country’s currency loses 30 percent of its value to the euro each year. The expenditure (in euro) incurred by Marco for his stay in 2004 is therefore:

(A) less than in 2002, (B) equal to that of 2002, (C) greater than that of 2002, but less than four times the expenditure of 2002, (D) equal to four times the expenditure of 2002, (E) equal to twice the expenditure of 2002.

src_archimede_2004_triennio__Q08

differenza

Una cassetta di legno, senza coperchio, è fabbricata con tavole spesse 2 cm. Se le dimensioni esterne della base (rettangolare) sono 38 cm e 44 cm e l’altezza esterna è 47 cm, di quanti centimetri cubi è il volume interno della cassetta?

(A) $61200{\text{cm}}^3$, (B) $63920{\text{cm}}^3$, (C) $68040{\text{cm}}^3$, (D) $75240{\text{cm}}^3$, (E) $75854{\text{cm}}^3$.

Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.7

This is the difference between the two.

A wooden box, without a lid, is made of two centimetres thick boards. If the outer dimensions of the base (rectangular) are 38 cm and 44 cm and the outer height is 47 cm, how many cubic centimetres is the inside volume of the box?

(A) $61200{\text{cm}}^3$, (B) $63920{\text{cm}}^3$, (C) $68040{\text{cm}}^3$, (D) $75240{\text{cm}}^3$, (E) $75854{\text{cm}}^3$.

src_archimede_2004_triennio__Q10

Coppie di interi positivi (x,y) con equazione, soluzioni

Quattro amici stanno conversando. Uno di loro dice: «Almeno due di noi sono bugiardi». Il secondo aggiunge: «È vero». Il terzo ribatte: «Non è vero». Quanti sono i bugiardi?

(A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) i dati sono incongruenti, (E) mancano i dati per poter rispondere.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.7

Pairs of positive integers (x,y) with equation, solutions

Four friends are talking. One of them says, “At least two of us are liars”. The second adds: It’s true. The third reiteration: It is not true. How many liars are there?

(A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) the data are inconsistent, (E) the data is missing to answer.

src_archimede_2004_triennio__Q11

contenenti numeri da 1 a 2005

Venti soffici cuscini quadrati sono impilati uno sopra l’altro. Ogni cuscino pesa 500 g ed ha inizialmente uno spessore di 80 cm. Nella pila, però, lo spessore si riduce in ragione di 2 cm per ogni chilo di peso sopra di esso (1 cm per ogni mezzo chilo). Quanto è alta la pila di cuscini?

(A) 220 cm, (B) 410 cm, (C) 490 cm, (D) 581 cm, (E) mancano dati per poter rispondere.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7

containing numbers from 1 to 2005

Twenty soft square pillows are stacked on top of each other. Each pillow weighs 500 g and initially has a thickness of 80 cm. In the pile, however, the thickness is reduced by about 2 cm for every pound of weight above it (1 cm for every half pound). How high is the pillow pile?

(A) 220 cm, (B) 410 cm, (C) 490 cm, (D) 581 cm, (E) there are no data to answer.

src_archimede_2004_triennio__Q12

numero di parti

Sia dato un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 21 e 28 cm e un semicerchio inscritto come nella figura a fianco. Quanto misura l’area del semicerchio?

(A) $50\pi {\text{cm}}^2$, (B) $\frac{441}{4}\pi {\text{cm}}^2$, (C) $98\pi {\text{cm}}^2$, (D) $72\pi {\text{cm}}^2$.

(vedi figura)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7

part number

A rectangular triangle with a diameter of 21 and 28 cm and a semicircle inscribed as in the figure next to it shall be given. What’s the size of the semicircle?

(A) $50\pi {\text{cm}}^2$, (B) $\frac{441}{4}\pi {\text{cm}}^2$, (C) $98\pi {\text{cm}}^2$, (D) $72\pi {\text{cm}}^2$.

(see figure)

src_archimede_2004_triennio__Q13

passo/volume per il numero di vertici

Quante sono le coppie $(a,b)$ di numeri naturali tali che $a^2-4b^2=45$?

(A) nessuna, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) più di 3.

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.8

pass/volume for the number of vertices

How many pairs of natural numbers are $(a,b)$ such as $a^2-4b^2=45$?

(A) None, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) more than 3.

src_archimede_2004_triennio__Q14

Problema sull’equazione con interi positivi p,q (dimostrazione)

Una colonia di amebe si moltiplica in uno stagno. Inizialmente sono presenti un’ameba chiara e un’ameba scura; poi, ogni giorno per 2004 giorni consecutivi, un’ameba a caso tra quelle esistenti (tutte hanno la stessa probabilità di essere scelte, indipendentemente dalla loro età) si divide in due amebe identiche a sé stessa. Qual è la probabilità che ci sia una sola ameba scura nello stagno alla fine del 2004-esimo giorno?

(A) $\frac{1}{2^{2004}}$, (B) $\frac{1}{2004}$, (C) $\frac{2}{2005}$, (D) $\frac{1}{2004\cdot 2005}$, (E) $\frac{2004}{2005}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.9

*Problem of the equation with positive integers p,q (demonstration) *

A colony of amoeba multiplies in a pond. Initially, a clear and a dark amoeba are present; then, every day for 2004 consecutive days, a random amoeba among the existing ones (all having the same probability of being chosen, regardless of their age) splits into two amoeba identical to itself. What’s the likelihood that there’s only one dark amoeba in the pond at the end of day 2004?

(A) $\frac{1}{2^{2004}}$, (B) $\frac{1}{2004}$, (C) $\frac{2}{2005}$, (D) $\frac{1}{2004\cdot 2005}$, (E) $\frac{2004}{2005}$.

src_archimede_2004_triennio__Q15