Quante cifre ha il numero 2^35^410^5
Quante cifre ha il numero 23 · 54 · 105?
- (A) Sei,
- (B) sette,
- (C) otto,
- (D) nove,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
How many digits has the number 2^35^410^5
How many digits does the number 23 54 105 have?
- (A) You know,
- (B) seven,
- (C) eight,
- (D) nine,
- (E) None of the previous ones.
Answer: D src_archimede_2005_biennio__Q01
Semplificare la radice di 12 elevato 12
√ 1212 è uguale a:
- (A) 66,
- (B) 122 √ 3,
- (C) 212 36,
- (D) 612,
- (E) nessuno dei numeri precedenti.
Topic: Algebra, Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta del testo Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Simplify the root of 12 high 12
√ 1212 is equal to:
- (A) 66,
- (B) 122 √ 3,
- (C) 212 36,
- (D) 612,
- (E) None of the previous numbers.
Answer: C src_archimede_2005_biennio__Q02
Valore massimo di a(b+c)-b(a+c) con interi 1..10
Qual è il valore massimo che può assumere il numero a(b + c) −b(a + c) quando a, b e c sono numeri interi distinti tra loro, maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 10?
- (A) 80,
- (B) 81,
- (C) 84
- (D) 90,
- (E) 100.
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Maximum value of a(b+c) -b(a+c) with integers of 1.10
What is the maximum value that the number a(b + c) −b(a + c) can assume when a, b and c are distinct integers greater than or equal to 1 and less than or equal to 10?
- (A) 80,
- (B) 81,
- (C) 84
- (D) 90,
- (E) 100.
Answer: B src_archimede_2005_biennio__Q03
Distribuzione di 120 ciliege proporzionale all’eta
La nonna Lucia ha portato un cestino con 120 ciliege ai suoi tre nipoti, Jacopo di 4 anni, Martino di 7 anni e Duccio di 9 anni. La nonna distribuisce tutte le ciliege ai nipoti secondo questo criterio: dà a ciascun nipote un numero di ciliege ottenuto moltiplicando l’età del nipote per un certo fattore, e questo fattore è lo stesso per tutti e tre i nipoti. Quante ciliege vengono date a Jacopo?
- (A) 20,
- (B) 21,
- (C) 22,
- (D) 23,
- (E) 24.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Distribution of 120 cherries in proportion to age
Grandma Lucia brought a basket of 120 cherries to her three grandchildren, 4-year-old Jacopo, 7-year-old Martino and 9-year-old Duccio. The grandmother distributes all the cherries to the grandchildren according to this criterion: she gives each grandchild a number of cherries obtained by multiplying the age of the grandchild by a certain factor, and this factor is the same for all three grandchildren. How many cherries are given to Jacopo?
- (A) 20,
- (B) 21,
- (C) 22,
- (D) 23,
- (E) 24.
Answer: E src_archimede_2005_biennio__Q04
Massima distanza tra capanne in una corona circolare
Un atollo ha la forma di una corona circolare delimitata da due circonferenze concentriche di raggi 1 km e 6 km rispettivamente. Giovanni e Marco sono i soli abitanti dell’atollo; dopo un temporale che ha distrutto le loro capanne, essi decidono di ricostruirle il più lontano possibile l’una dall’altra, in modo però che esista un percorso rettilineo che le congiunge e che giace interamente sull’atollo. Quanto disteranno tra loro le capanne di Giovanni e Marco? (Supponete che le due circonferenze che delimitano l’atollo facciano parte di esso).
- (A) √ 35 2 km,
- (B) √ 37 2 km,
- (C) √ 37 km,
- (D) 2 √ 35 km,
- (E) 2 √ 37 km.
Topic: Geometria piana, Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Maximum distance between cabins in a circular crown
An atoll is shaped like a circular crown bounded by two concentric circles of 1 km and 6 km radius respectively. John and Mark are the only inhabitants of the atoll; after a storm destroyed their huts, they decide to rebuild them as far as possible from each other, but so that there is a straight path that connects them and that lies entirely on the atoll. How far apart will the huts of John and Mark be? (Suppose the two circumferences which delimit the atoll are part of it.)
- (A) √ 35 2 km,
- (B) √ 37 2 km,
- (C) √ 37 km,
- (D) 2 √ 35 km,
- (E) 2 √ 37 km.
Answer: D src_archimede_2005_biennio__Q05
Affermazioni su porte nelle pareti di una stanza
Una stanza rettangolare ha le pareti rivolte nelle direzioni dei quattro punti cardinali e ci sono quattro porte d’accesso. Tre persone si trovano nella stanza e fanno le seguenti affermazioni. Prima persona: “Non ci sono porte sulla parete Sud”. Seconda persona: “Ci sono porte solo sulla parete Nord”. Terza persona: “Su ogni parete c’è al massimo una porta”. Che cosa si può dire per certo delle affermazioni fatte?
- (A) L’affermazione fatta dalla prima persona è vera,
- (B) l’affermazione fatta dalla seconda persona è vera,
- (C) l’affermazione fatta dalla terza persona è vera,
- (D) almeno una affermazione è falsa,
- (E) non si può dire niente di certo sulle affermazioni fatte.
Topic: Logica, giochi, strategie, Probabilita e statistica Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Statements on doors on the walls of a room
A rectangular room has the walls facing in the directions of the four cardinal points and there are four entrances. Three people are in the room and make the following statements. First person: There are no doors on the south wall. Second person: There are only doors on the north wall. Third person: On each wall there is at most one door. What can be said with certainty about the statements made?
- (A) The first person’s statement is true.
- (B) the statement made by the second person is true,
- (C) the third person’s statement is true,
- (D) At least one statement is false,
- (E) There is nothing to be said for certain about the claims made.
Answer: D src_archimede_2005_biennio__Q06
Quante terne (v,n,p) con v=n+p in un campionato
Alla fine di un campionato di calcio a 20 squadre (in cui ogni squadra gioca contro ogni altra squadra esattamente due partite) i Matematici hanno vinto 19 partite, ne hanno pareggiate 12 e ne hanno perse 7. L’allenatore osserva che si ha 19=12+7. Per una generica squadra del campionato indichiamo con (v, n, p) la terna formata dal numero di vittorie, pareggi e sconfitte rispettivamente, ottenuti nel campionato. Per quante terne distinte può accadere che v = n + p? (Attenzione: le terne sono ordinate, quindi, ad esempio, (19, 12, 7) e (19, 7, 12) sono da considerarsi distinte).
- (A) 19,
- (B) 20,
- (C) 38,
- (D) 40,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
How many ternes (v,n,p) with v=n+p in a sample
At the end of a 20-team football championship (in which each team plays every other team exactly two games) the Mathematicians won 19 games, drew 12 and lost 7. The coach notes that you have 19=12+7. For a general championship team we indicate with (v, n, p) the number of wins, draws and losses, respectively, obtained in the championship. How many distinct times can it happen that v = n + p? (Note: the terns are ordered, so, for example, (19, 12, 7) and (19, 7, 12) are to be considered distinct).
- (A) 19,
- (B) 20,
- (C) 38,
- (D) 40,
- (E) None of the previous ones.
Answer: B src_archimede_2005_biennio__Q07
Area di un triangolo simile dentro un rettangolo
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (0,5);
\coordinate (Bp) at (2.4,0);
\coordinate (Cp) at (0,3);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (Bp) -- (Cp);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below] at (B) {$B$};
\node[left] at (C) {$C$};
\node[below] at (Bp) {$B'$};
\node[left] at (Cp) {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Il triangolo ABC è rettangolo ed i cateti AB e AC misurano 3 m e 4 m rispettivamente. Siano B′ e C′ punti appartenenti ai lati AB e AC rispettivamente, tali che la retta contenente il segmento B′C′ sia parallela a quella contenente il segmento BC e distante 1 m da essa (vedi figura). Calcolare l’area del triangolo AB′C′.
- (A) 49 24 m2,
- (B) 2 m2,
- (C) 65 24 m2,
- (D) 7 2 m2,
- (E) nessuna delle precedenti. A B’ B C’ C
Topic: Geometria piana, Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Area of a similar triangle within a rectangle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (0,5);
\coordinate (Bp) at (2.4,0);
\coordinate (Cp) at (0,3);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (Bp) -- (Cp);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below] at (B) {$B$};
\node[left] at (C) {$C$};
\node[below] at (Bp) {$B'$};
\node[left] at (Cp) {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The triangle ABC is rectangular and the cathetes AB and AC measure 3 m and 4 m respectively. They are B′ and C′ points belonging to the sides AB and AC respectively, such that the straight containing the segment B′C′ is parallel to that containing the segment BC and 1 m away from it (see figure). Calculate the area of the triangle AB′C′.
- (A) 49 24 m2,
- (B) 2 m2,
- (C) 65 24 m2,
- (D) 7 2 m2,
- (E) None of the previous ones. A B’ B C’ C
Answer: A src_archimede_2005_biennio__Q08
Divisibilita di (n+2)(n+3)(2n+5)
Comunque si prenda un numero naturale n, il numero (n + 2)(n + 3)(2n + 5) è divisibile per:
- (A) 4,
- (B) 6,
- (C) 9,
- (D) 10,
- (E) 15.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
This is the total number of units in the unit of measurement.
However, if we take a natural number n, the number (n + 2)(n + 3)(2n + 5) is divisible by:
- (A) 4,
- (B) 6,
- (C) 9,
- (D) 10,
- (E) 15.
Answer: B src_archimede_2005_biennio__Q09
Coppie di interi con prodotto uguale alla somma
Per quante coppie ordinate (a, b) di numeri interi accade che il loro prodotto sia uguale alla loro somma?
- (A) Nessuna,
- (B) una,
- (C) due,
- (D) quattro,
- (E) più di quattro.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Pairs of integers with a product equal to the sum
For how many pairs (a, b) of integers does their product happen to be equal to their sum?
- (A) None of them.
- (B) One of them.
- (C) two,
- (D) four,
- (E) More than four.
Answer: C src_archimede_2005_biennio__Q10
Terne di cifre con somma 10 per un lucchetto
Fabio ritrova un vecchio lucchetto a combinazione; per aprire il lucchetto bisogna allineare nell’ordine giusto tre cifre, ciascuna delle quali può variare da 0 a 9. Fabio non ricorda la combinazione corretta, ma è sicuro che la somma delle tre cifre sia 10. Quanti tentativi dovrà fare, al massimo, per trovare la combinazione corretta?
- (A) 61,
- (B) 63,
- (C) 65,
- (D) 67,
- (E) 69.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.1
Term of digits with a sum of 10 for a lock
Fabio finds an old combination lock; to open the lock you must align in the right order three digits, each of which can range from 0 to 9. Fabio doesn’t remember the right combination, but he’s sure the sum of the three digits is 10. How many attempts will you have to make, at most, to find the right combination?
- (A) 61,
- (B) 63,
- (C) 65,
- (D) 67,
- (E) 69.
Answer: B src_archimede_2005_biennio__Q11
Triangolo con assi e bisettrice concorrenti
In un triangolo, per ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati e la bisettrice dell’angolo formato dai due lati si incontrano in uno stesso punto. Possiamo affermare che:
- (A) non esiste un triangolo con questa proprietà,
- (B) il triangolo è equilatero,
- (C) il triangolo ha un angolo di 30°,
- (D) il triangolo è rettangolo,
- (E) il triangolo ha un angolo di 45°.
Topic: Geometria piana, Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.1
*Triangle with competing axes and axes *
In a triangle, for each pair of consecutive sides, the two axes of the sides and the hinge of the angle formed by the two sides meet at the same point. We can say that:
- (A) There is no triangle with this property.
- (B) The triangle is equilateral.
- (C) the triangle has an angle of 30°,
- (D) The triangle is rectangle.
- (E) the triangle has an angle of 45°.
Answer: B src_archimede_2005_biennio__Q12
Numeri uguali al quadrato del numero dei divisori
Quanti sono i numeri interi maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 100 che sono uguali al quadrato del numero dei propri divisori positivi? (Attenzione: tra i divisori di un numero vi sono anche 1 ed il numero stesso).
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2
Numbers equal to the square of the number of divisors
How many integers are greater than or equal to 1 and less than or equal to 100 that are equal to the square of the number of their positive divisors? (Note: among the divisors of a number there are also 1 and the number itself).
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Answer: C src_archimede_2005_biennio__Q13
Numeri n con prodotto piu somma cifre uguale a n
Per ogni numero intero n compreso tra 10 e 99, estremi inclusi, si sommano il prodotto delle sue cifre e la somma delle sue cifre, ottenendo così un nuovo numero S(n). Per quanti n accade che S(n) = n?
- (A) 8,
- (B) 9,
- (C) 10,
- (D) 11,
- (E) 12.
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Numbers n with product plus sum of digits equal to n
For every integer n between 10 and 99, including extremes, the product of its digits and the sum of its digits are added, thus obtaining a new number S(n). For how many n happens that S(n) = n?
- (A) 8,
- (B) 9,
- (C) 10,
- (D) 11,
- (E) 12.
Answer: B src_archimede_2005_biennio__Q14
Minima distanza tra centri di due cerchi tangenti
Due cerchi hanno raggi lunghi 1 m e 3 m rispettivamente. Sapendo che esistono due rette ortogonali tra loro, ciascuna tangente ad entrambi i cerchi, qual è il minimo valore possibile della distanza tra i due centri?
- (A) √ 2 m,
- (B) 2 √ 2 m,
- (C) ( √ 2 + √ 5) m,
- (D) 2 √ 5 m,
- (E) 4 √ 2 m.
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minimum distance between centers of two tangent circles
Two circles have a radius of 1 m and 3 m respectively. Knowing that there are two orthogonal lines between them, each tangent to both circles, what is the minimum possible value of the distance between the two centers?
- (A) √ 2 m,
- (B) 2 √ 2 m,
- (C) ( √ 2 + √ 5) m,
- (D) 2 √ 5 m,
- (E) 4 √ 2 m.
Answer: B src_archimede_2005_biennio__Q15
Quante cifre per scrivere i numeri da 1 a 2005
Andrea non ha fatto gli esercizi per casa e per punizione la maestra gli assegna come compito quello di scrivere sul quaderno tutti i numeri compresi tra 1 e 2005, estremi inclusi (ogni numero deve essere scritto una sola volta). Quante cifre dovrà scrivere in tutto Andrea?
- (A) 6900,
- (B) 6903,
- (C) 6910,
- (D) 6913,
- (E) 6923.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
How many digits to write numbers from 1 to 2005
Andrea did not do the homework and as punishment the teacher assigned him the task of writing all the numbers between 1 and 2005, including extreme numbers (each number must be written only once). How many digits will Andrea have to write in the whole thing?
- (A) 6900,
- (B) 6903,
- (C) 6910,
- (D) 6913,
- (E) 6923.
Answer: D src_archimede_2005_biennio__Q16
Distanza tra punti con archi in un quadrato
Nel quadrato in figura sono stati disegnati i quattro archi di circonferenza, ciascuno avente centro in uno dei vertici del quadrato e raggio pari al lato del quadrato, che misura 10 m. Quanto vale la distanza tra i punti A e B?
- (A) 3( √ 6 −1) m,
- (B) 5 m,
- (C) 5( √ 6 − √ 2) m,
- (D) 8( √ 3 −1) m,
- (E) nessuna delle precedenti. B A
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.1
Distance between points with arcs in a square
In the square shown below, the four arcs of circumference were drawn, each centered on one of the vertices of the square and having a radius equal to the side of the square, measuring 10 m. What is the distance between points A and B?
- (A) 3( √ 6 −1) m,
- (B) 5 m,
- (C) 5( √ 6 − √ 2) m,
- (D) 8( √ 3 −1) m,
- (E) None of the previous ones. B A
Answer: C src_archimede_2005_biennio__Q17
Impiegati bilingui inglese e tedesco
In un grande ufficio ci sono 84 impiegati, ciascuno dei quali conosce almeno una lingua tra l’inglese e il tedesco; inoltre, il 20% di coloro che parlano l’inglese parla anche il tedesco, e l’80% di coloro che parlano il tedesco parla anche l’inglese. Quanti sono gli impiegati di quell’ufficio che conoscono entrambe le lingue?
- (A) 12,
- (B) 14,
- (C) 15,
- (D) 16,
- (E) 18.
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
English and German bilingual employees
In a large office there are 84 employees, each of whom speaks at least one language between English and German; in addition, 20% of those who speak English also speak German, and 80% of those who speak German also speak English. How many employees in that office know both languages?
- (A) 12,
- (B) 14,
- (C) 15,
- (D) 16,
- (E) 18.
Answer: D src_archimede_2005_biennio__Q18
Misura dell’angolo alpha in figura
Nella figura qui a fianco, quanto misura l’angolo α?
- (A) 70°,
- (B) 75°,
- (C) 80°,
- (D) 90°,
- (E) non può essere determinato coi soli dati forniti. 20° 60° 50° 10° α
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2
*Measurement of the alpha angle in Figure *
In the figure next to this, how big is the angle α?
- (A) 70°,
- (B) 75°,
- (C) 80°,
- (D) 90°,
- (E) It cannot be determined by the data provided alone. 20° 60° 50° 10° α
Answer: C src_archimede_2005_biennio__Q19
Catena di disuguaglianze tra potenze 2 e 3
In ciascuna delle seguenti catene di disuguaglianze compaiono gli stessi cinque numeri; quale di esse è completamente vera?
- (A) 232 < 233 < 322 < 323 < 332,
- (B) 322 < 323 < 232 < 233 < 332,
- (C) 322 < 323 < 232 < 332 < 233,
- (D) 322 < 232 < 323 < 233 < 332,
- (E) 322 < 232 < 323 < 332 < 233.
Topic: Disuguaglianze Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
chain of inequalities between powers 2 and 3
In each of the following chains of inequalities the same five numbers appear; which of them is completely true?
- (A) 232 < 233 < 322 < 323 < 332,
- (B) 322 < 323 < 232 < 233 < 332,
- (C) 322 < 323 < 232 < 332 < 233,
- (D) 322 < 232 < 323 < 233 < 332,
- (E) 322 < 232 < 323 < 332 < 233.
Answer: E src_archimede_2005_biennio__Q20