Interi n con n^3+2n^2+n quadrato perfetto
Quanti sono i numeri interi positivi n tali che n3+2n2+n sia un quadrato perfetto?
- (A) Nessuno,
- (B) almeno 1, ma non più di 4,
- (C) almeno 5, ma non più di 9,
- (D) almeno 10 ma non più di 20,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Interies n with n^3+2n^2+n perfect square
How many positive integers are n such that n3+2n2+n is a perfect square?
- (A) No one.
- (B) at least 1, but not more than 4,
- (C) at least 5, but not more than 9,
- (D) at least 10 but not more than 20,
- (E) None of the previous ones.
Answer: E src_archimede_2005_triennio__Q02
Numeri di 4 cifre con iniziale 1 e tre cifre uguali
Quanti sono i numeri di 4 cifre la cui cifra iniziale è 1 e che hanno almeno 3 cifre uguali tra loro?
- (A) 36,
- (B) 37,
- (C) 39,
- (D) 40,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Numbers of 4 digits with initial 1 and three digits equal
How many four-digit numbers have a first digit of 1 and at least three digits equal to each other?
- (A) 36,
- (B) 37,
- (C) 39,
- (D) 40,
- (E) None of the previous ones.
Answer: B src_archimede_2005_triennio__Q04
Numeri naturali n tali che 2n divide n+30
Quanti sono i numeri naturali n tali che 2n divide n + 30?
- (A) uno,
- (B) due,
- (C) tre,
- (D) quattro,
- (E) più di quattro.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Natural numbers n such that n divides n+30
How many natural numbers are n such that 2n divides n + 30?
- (A) One of them.
- (B) two,
- (C) three,
- (D) four,
- (E) More than four.
Answer: D src_archimede_2005_triennio__Q06
Interi n con n-52 e n+53 quadrati perfetti
Quanti sono i numeri interi n tali che n −52 e n + 53 siano due quadrati perfetti?
- (A) 1,
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) 8.
Topic: Teoria dei Numeri, Probabilita e statistica Metodo: Analisi per casi, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Interies n with n-52 and n+53 perfect squares
How many integers are n such that n −52 and n + 53 are two perfect squares?
- (A) 1,
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) 8.
Answer: D src_archimede_2005_triennio__Q09
Valori di a con 2a^4-4ab+b^2+2=0
a e b sono due numeri reali tali che 2a4 −4ab + b2 + 2 = 0 . Quanti valori distinti può assumere a?
- (A) 1,
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) non esiste alcuna coppia (a, b) che verifica la condizione.
Topic: Algebra, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*Values of a with 2a^4-4ab+b^2+2=0 *
a and b are two real numbers such that 2a4 −4ab + b2 + 2 = 0 . How many distinct values can you assume at?
- (A) 1,
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) there is no pair (a, b) that verifies the condition.
Answer: B src_archimede_2005_triennio__Q10
Probabilita di indovinare 10 risposte con vincoli
Una gara di matematica è composta da 10 domande a risposta multipla, ciascuna con quattro possibili risposte contrassegnate dalle lettere A, B, C e D (per ogni domanda vi è una e una sola risposta corretta). Carlo viene a sapere che la lista delle risposte corrette contiene tre lettere A, tre lettere B, due lettere C e due lettere D. Qual è la probabilità che Carlo, scegliendo a caso una lista che abbia
questa caratteristica, risponda correttamente a tutte le domande?
- (A) 1/26500,
- (B) 1/25200,
- (C) 1/24600,
- (D) 1/21200,
- (E) 1/20800.
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Probability of guessing 10 responses with constraints
A mathematics competition consists of 10 multiple-choice questions, each with four possible answers marked with the letters A, B, C and D (for each question there is one and only one correct answer). Charles learns that the list of correct answers contains three letters A, three letters B, two letters C, and two letters D. What is the probability that Charles, choosing at random a list that he has
Does this feature answer all the questions correctly?
- (A) 1/26500,
- (B) 1/25200,
- (C) 1/24600,
- (D) 1/21200,
- (E) 1/20800.
Answer: B src_archimede_2005_triennio__Q12
Soluzioni reali di |x-2|-4=1/|x-3|
Quanti numeri reali x risolvono l’equazione |x −2| −4 = 1/|x −3| ?
- (A) nessuno,
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) più di quattro.
Topic: Algebra, Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
The actual solutions of ∆x−2 are −4 = 1/ ∆x−3 ∆x−1
How many real numbers x solve the equation x −2 bearing −4 ? 1/bearingx −3 bearing
- (A) No one.
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) More than four.
Answer: B src_archimede_2005_triennio__Q14
Quante volte compare la cifra 1 da 1 a 2005
Andrea non ha fatto gli esercizi per casa e per punizione la maestra gli assegna come compito quello di scrivere sul quaderno tutti i numeri compresi tra 1 e 2005, estremi inclusi (ogni numero deve essere scritto una sola volta). Quante volte Andrea dovrà scrivere la cifra 1?
- (A) 1490,
- (B) 1491,
- (C) 1600,
- (D) 1601,
- (E) 1610.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
How many times does the figure 1 appear from 1 to 2005
Andrea did not do the homework and as punishment the teacher assigned him the task of writing all the numbers between 1 and 2005, including extreme numbers (each number must be written only once). How many times will Andrea have to write the number one?
- (A) 1490,
- (B) 1491,
- (C) 1600,
- (D) 1601,
- (E) 1610.
Answer: D src_archimede_2005_triennio__Q16
Ragazze che hanno mentito a un tavolo rotondo
Un gruppo di ragazze e ragazzi, 24 in totale, partecipa ad un banchetto e siedono tutti intorno ad un tavolo rotondo. Ogni ragazza dice: “Seduto al mio fianco c’è un ragazzo”. Sapendo che il numero di ragazze è il doppio di quello dei ragazzi, quante ragazze hanno certamente mentito?
- (A) 0,
- (B) 4,
- (C) 8,
- (D) 16,
- (E) non è possibile rispondere in base ai soli dati forniti.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Girls who lied at a round table
A group of girls and boys, 24 in all, attend a banquet and all sit around a round table. Every girl says, “There’s a guy sitting next to me”. Knowing that the number of girls is twice that of boys, how many girls have certainly lied?
- (A) 0,
- (B) 4,
- (C) 8,
- (D) 16,
- (E) the information provided is not sufficient to provide a response.
Answer: A src_archimede_2005_triennio__Q17
Polinomio con p(x+1)-p(x-1)=p(x)
Il polinomio p è definito da p(x) = ax2005 + x + b, con a e b numeri reali. Per quali valori di a e b si ha che p(x + 1) −p(x −1) = p(x) per ogni valore reale di x?
- (A) a = 0, b = 2,
- (B) a qualunque e b = 0,
- (C) a = 1 e b qualunque,
- (D) a = b = 0,
- (E) per nessun valore di a e b.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*Polynomial with p(x+1)-p(x-1)=p(x) *
The polynomial p is defined by p(x) = ax2005 + x + b, with a and b real numbers. For what values of a and b do we have that p(x + 1) −p(x −1) = p(x) for every real value of x?
- (A) a = 0, b = 2,
- (B) to any and b = 0,
- (C) a = 1 and b any,
- (D) a = b = 0,
- (E) for no values of a and b.
Answer: E src_archimede_2005_triennio__Q18
Rapporto aree triangolo interno PQR e ABC equilatero
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (2.5,4.330);
\coordinate (P) at (4,0);
\coordinate (Q) at (3,3.464);
\coordinate (R) at (1,1.732);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (P) -- (Q) -- (R) -- cycle;
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[below] at (P) {$P$};
\node[above right] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (R) {$R$};
\fill (P) circle (1.2pt); \fill (Q) circle (1.2pt); \fill (R) circle (1.2pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}Il triangolo ABC in figura è equilatero e ha lato 5 m. Sapendo che AP = 4 m, BQ = 4 m, CR = 3 m, calcolare il rapporto tra l’area del triangolo PQR e l’area del triangolo ABC.
- (A) 2 5,
- (B) 9 25,
- (C) 11 20,
- (D) 3 7,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Report of internal triangle areas PQR and equilateral ABC
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (2.5,4.330);
\coordinate (P) at (4,0);
\coordinate (Q) at (3,3.464);
\coordinate (R) at (1,1.732);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (P) -- (Q) -- (R) -- cycle;
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[below] at (P) {$P$};
\node[above right] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (R) {$R$};
\fill (P) circle (1.2pt); \fill (Q) circle (1.2pt); \fill (R) circle (1.2pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}The ABC triangle in the figure is equilateral and has a side of 5 m. Knowing that AP = 4 m, BQ = 4 m, CR = 3 m, calculate the ratio between the area of the PQR triangle and the area of the ABC triangle.
- (A) 2 5,
- (B) 9 25,
- (C) 11 20,
- (D) 3 7,
- (E) None of the previous ones.
Answer: A src_archimede_2005_triennio__Q19
Cifra finale di a_2005 in una successione ricorsiva
Una successione di numeri a0, a1, a2, … , an, … ha questa proprietà: i primi due termini sono uguali a 1: a0 = a1 = 1, e, per ogni n maggiore o uguale a uno, an+1 = n(an + an−1) (quindi, ad esempio, a2 = 1(a1 + a0) = 1 · 2 = 2). Con quale cifra termina a2005?
- (A) 0,
- (B) 2,
- (C) 4,
- (D) 6,
- (E) 8.
Topic: successioni Metodo: congruenze, Ricorsione Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Final figure of a_2005 in a recurring sequence
A sequence of numbers a0, a1, a2, … , an, … has this property: the first two terms are equal to 1: a0 = a1 = 1, and, for every n greater than or equal to one, an+1 = n(an + an−1) (so, for example, a2 = 1(a1 + a0) = 1 · 2 = 2). What figure does 2005 end with?
- (A) 0,
- (B) 2,
- (C) 4,
- (D) 6,
- (E) 8.
Answer: A src_archimede_2005_triennio__Q20
Colori di palloncini comprati da quattro bambine
Quattro bambine, Alice, Bianca, Cecilia e Daniela, decidono di comprare un palloncino a testa da un venditore che ha solo palloncini rossi e blu. Compreranno il palloncino una dopo l’altra: prima Alice, poi Bianca, poi Cecilia e infine Daniela. Bianca dice: “Se Alice lo comprerà rosso, anch’io lo comprerò rosso”. Cecilia dice: “Io lo comprerò dello stesso colore di Bianca”. Daniela dice: “Se Alice lo comprerà blu, io lo comprerò dello stesso colore di Cecilia”. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?
- (A) È impossibile che quattro bambine comprino un palloncino rosso,
- (B) almeno tre bambine compreranno un palloncino dello stesso colore,
- (C) Daniela e Bianca compreranno un palloncino dello stesso colore,
- (D) almeno due bambine compreranno un palloncino rosso,
- (E) nessuna delle precedenti affermazioni è sicuramente vera.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Colours of balloons purchased by four girls
Four little girls, Alice, Bianca, Cecilia, and Daniela, decide to buy a head-on balloon from a salesman who only has red and blue balloons. They’ll buy the balloon one by one: first Alice, then Bianca, then Cecilia and finally Daniela. Bianca says, “If Alice buys it red, I’ll buy it red, too”. Cecilia says, “I’ll buy it in the same color as Bianca”. Daniela says, “If Alice buys it blue, I’ll buy it in the same color as Cecilia”. Which of the following is certainly true?
- (A) It’s impossible for four girls to buy a red balloon.
- (B) At least three girls will buy a balloon of the same color,
- (C) Daniela and Bianca will buy a balloon of the same color,
- (D) At least two girls will buy a red balloon,
- (E) None of the above statements are certainly true.
Answer: B src_archimede_2005_triennio__Q21
Ipotenusa del triangolo rettangolo di perimetro minimo
Tra i triangoli rettangoli di area 6 m2 quello di perimetro minimo ha l’ipotenusa di lunghezza
- (A) 3 m,
- (B) 3 √ 3 m,
- (C) 2 √ 6 m,
- (D) 4 √ 3 m,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Ipotency of the triangle rectangle with minimum perimeter
Between rectangular triangles with an area of 6 m2 the minimum perimeter has the length hypotenuse
- (A) 3 m,
- (B) 3 √ 3 m,
- (C) 2 √ 6 m,
- (D) 4 √ 3 m,
- (E) None of the previous ones.
Answer: C src_archimede_2005_triennio__Q22
Parole di 4 lettere senza M dopo una B
Quante parole (anche prive di senso compiuto) di quattro lettere si possono scrivere utilizzando solo le lettere A, B, E, M, O in modo che nessuna delle lettere successive ad una B (andando da sinistra verso destra) sia una M? (Quindi, ad esempio, ABEB deve essere contata ma OBAM no).
- (A) 43 · 5,
- (B) 42 · 52,
- (C) 4 · 53,
- (D) 29,
- (E) 54.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Words of 4 letters without M after a B
How many four-letter words (even meaningless) can be written using only the letters A, B, E, M, O so that none of the letters following a B (going from left to right) is an M? (So, for example, ABEB must be counted but OBAM not).
- (A) 43 · 5,
- (B) 42 · 52,
- (C) 4 · 53,
- (D) 29,
- (E) 54.
Answer: D src_archimede_2005_triennio__Q23
Distanza del vertice di un tetraedro dopo rotazione
Un tetraedro regolare il cui spigolo misura 6 √ 3 cm è appoggiato su di un piano p (cioè una faccia è contenuta in p); indichiamo con V il vertice che non appartiene a p. Il tetraedro viene ruotato di 90°mediante una rotazione che ha per asse la retta che contiene uno degli spigoli che poggiano su p. Calcolare a quale distanza dal piano p si trova il vertice V dopo la rotazione.
- (A) 1 √ 3 cm,
- (B) 2 3 cm,
- (C) 3 cm,
- (D) 3 √ 3 cm,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Distance from the top of a tetrahedron after rotation
A regular tetrahedron whose beam measures 6 √ 3 cm is resting on a plane p (i.e. a face is contained in p); we indicate with V the vertex that does not belong to p. The tetrahedron shall be rotated 90° by a rotation having the straight axis containing one of the axles resting on p. Calculate how far from plane p is the vertex V after rotation.
- (A) 1 √ 3 cm,
- (B) 2 3 cm,
- (C) 3 cm,
- (D) 3 √ 3 cm,
- (E) None of the previous ones.
Answer: C src_archimede_2005_triennio__Q24
Stima di un prodotto di frazioni pari su dispari
Sia x = 2 · 4 · 6 · · 2004 · 2006 1 · 3 · 5 · · 2003 · 2005 . Allora:
- (A) x < 4√ 2006,
- (B) 4√ 2006 < x < 3√ 2006,
- (C) 3√ 2006 < x < √ 2006,
- (D) √ 2006 < x < 2006,
- (E) x > 2006.
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Estimate of a product of equal fractions on odd numbers
Both x = 2 · 4 · 6 · 2004 · 2006 1 · 3 · 5 · 2003 · 2005 . So, what?
- (A) x < 4√ 2006,
- (B) 4√ 2006 < x < 3√ 2006,
- (C) 3√ 2006 < x < √ 2006,
- (D) √ 2006 < x < 2006,
- (E) x > 2006.
Answer: D src_archimede_2005_triennio__Q25