Archimede Gara 2° livello 2006 (biennio/triennio)

Cifre del più piccolo quadrato perfetto ‘moderno’ (concatenando 2006)

Un numero si dice “moderno” se, in base 10, può essere espresso concantenando “un po’” di scritture decimali di 2006: ad esempio 200620062006 è moderno, mentre 20200606 e 2006200 non lo sono. Quante cifre ha il più piccolo quadrato perfetto moderno positivo?

• (A) 32
• (B) 64
• (C) 100
• (D) 1000
• (E) non esiste un tale numero.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

*Number of the smallest perfect square ‘modern’ (containing 2006) *

A number is said to be modern if, on base 10, it can be expressed by containing a few of decimal scripts from 2006: for example 20062006 is modern, while 20200606 and 2006200 are not. How many digits does the smallest perfect square of a positive modern have?

• (A) 32
• (B) 64
• (C) 100
• (D) 1000
• (E) There’s no such number.

Answer: E src_archimede_2006_2livello__Q01

Quante affermazioni su cane/gatto possono essere false insieme

Consideriamo le quattro affermazioni seguenti: Manuela ha un cane e un gatto. Manuela non ha n´e un cane n´e un gatto. Se Manuela ha un cane, allora ha anche un gatto. Manuela non ha un cane, ma ha un gatto. Quante di esse, al massimo, possono essere false contemporaneamente?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

How many claims about dogs/cats can be false together

Consider the following four statements: Manuela has a dog and a cat. Manuela has no dog or cat. If Manuela has a dog, then she has a cat. Manuela doesn’t have a dog, but she has a cat. How many of them can be fake at the same time?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4.

Answer: E src_archimede_2006_2livello__Q02

Espressione equivalente a (x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3

Quale fra le seguenti espressioni è equivalente a (x + y + z)3 −x3 −y3 −z3?

• (A) 3x2(y + z) + 3y2(x + z) + 3z2(x + y)
• (B) 3x(y + z)2 + 3y(x + z)2 + 3z(x + y)2
• (C) 3(x + y)(x + z)(y + z)
• (D) 3x(y2 + z2) + 3y(x2 + z2) + 3z(x2 + y2)
• (E) 3xy(1 −z) + 3xz(1 −y) + 3yz(1 −x).

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Expression equivalent to (x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3

Which of the following is equivalent to (x + y + z) 3 −x3 −y3 −z3?

• (A) 3x2(y + z) + 3y2(x + z) + 3z2(x + y)
• (B) 3x(y + z)2 + 3y(x + z)2 + 3z(x + y)2
• (C) 3(x + y)(x + z)(y + z)
• (D) 3x(y2 + z2) + 3y(x2 + z2) + 3z(x2 + y2)
• (E) 3xy(1 −z) + 3xz(1 −y) + 3yz(1 −x).

Answer: C src_archimede_2006_2livello__Q03

quanti cavalieri tra Alberto, Bruno, Carlo

Gli abitanti di un’isola sono o furfanti o cavalieri: i cavalieri dicono sempre la verità, i furfanti mentono sempre. Una sera al bar, Alberto dice: “Bruno è un cavaliere”; Bruno dice: “… … tutti e tre cavalieri” (in quel momento passa un camion e non si capisce se Bruno ha detto “Siamo tutti… ” o “Non siamo tutti… ”); Carlo dice: “Bruno ha detto che non siamo tutti e tre cavalieri”. Quanti di loro sono cavalieri?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) non è possibile determinarlo.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

How many knights among Albert, Bruno, Charles

The inhabitants of an island are either crooks or knights: the knights always tell the truth, the crooks always lie. One night at the bar, Alberto says: Bruno is a knight; Bruno says:… … All three riders (at that moment a truck passes and you don’t understand if Bruno saidWe are all… We’re not all of us… ); Charles says: Bruno said that we are not all three knights. How many of them are knights?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) There’s no way to tell.

Answer: A src_archimede_2006_2livello__Q04

2005 o 2006

Silvia ha 2006 tessere identiche a forma di triangolo equilatero e vuole disporle tutte sul tavolo senza sovrapporle e in modo che ciascuna abbia esattamente due lati in comune con altre due tessere. Può riuscire nel suo intento? Poteva riuscirci l’anno scorso, quando aveva 2005 tessere?

• (A) È impossibile in entrambi i casi.
• (B) È possibile con 2005 tessere, ma non con 2006.
• (C) È possibile con 2006 tessere, ma non con 2005.
• (D) In questi due casi è possibile, ma tra i numeri maggiori di 12 ce n’è almeno uno per cui non è possibile.
• (E) È possibile per tutti i numeri di tessere maggiori di 12.

Topic: Combinatoria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

2005 o 2006

Silvia has 2006 identical equilateral triangle-shaped tiles and wants to put them all on the table without overlaps and so that each has exactly two sides in common with two other tiles. Can he succeed in his intent? Could he have done it last year, when he had 2005 tickets?

• (A) It’s impossible in both cases.
• (B) It’s possible with 2005 cards, but not 2006.
• (C) It’s possible with 2006 cards, but not with 2005.
• (D) In these two cases it is possible, but there is at least one number greater than 12 for which it is not possible.
• (E) It is possible for all card numbers greater than 12.

Answer: C src_archimede_2006_2livello__Q05

Numero triangoli nel poligono F10 della tassellazione

Si consideri il piano tassellato con triangoli equilateri, e sia F0 uno qualsiasi di essi. Si costruisce una sequenza di figure sempre più grandi in questo modo: F1 è il poligono che si ottiene aggiungendo ad F0 la cornice formata da tutti i triangoli della tassellazione che toccano F0 (per un lato o per un vertice), F2 è il poligono che si ottiene aggiungendo ad F1 la cornice formata dai triangoli che toccano F1, e analogamente si costruiscono i successivi sino ad F10. Da quanti triangoli della tassellazione è composto quest’ultimo poligono?

• (A) 541
• (B) 661
• (C) 691
• (D) 721
• (E) 841.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Number of triangles in the F10 polygon of the fastener

Consider the plane marked with equilateral triangles, and whether F0 is any one of them. A sequence of increasingly larger figures is constructed in this way: F1 is the polygon obtained by adding to F0 the frame formed by all the triangles of the fastening that touch F0 (for one side or for one vertex), F2 is the polygon obtained by adding to F1 the frame formed by the triangles that touch F1, and similarly the subsequent ones up to F10 are constructed. How many triangles of the axle is this last polygon composed of?

• (A) 541
• (B) 661
• (C) 691
• (D) 721
• (E) 841.

Answer: B src_archimede_2006_2livello__Q06

Area intersezione di due cerchi dati XY e angolo 120°

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \coordinate (O) at (-0.866,0);
  \coordinate (O2) at (0.866,0);
  \coordinate (X) at (0,1.5);
  \coordinate (Y) at (0,-1.5);
  \coordinate (P) at (0.703,0.732);
  \draw (O) circle (1.732);
  \draw (O2) circle (1.732);
  \draw (X)--(O)--(Y);
  \draw (X)--(Y);
  \draw[dashed] (X)--(P)--(Y);
  \fill (O) circle (1.2pt); \fill (X) circle (1.2pt); \fill (Y) circle (1.2pt); \fill (P) circle (1.2pt);
  \node[above] at (X) {$X$};
  \node[below] at (Y) {$Y$};
  \node[left] at (O) {$O$};
  \node[above right] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Due circonferenze con lo stesso raggio si intersecano in X e Y . Sia P un punto su un arco XY di una circonferenza interno all’altra. Sapendo che il segmento XY è lungo 3 e che l’angolo $\widehat{XPY}$ misura 120°, qual è l’area dell’intersezione tra i due cerchi?

• (A) 2(π −1 4 √ 3)
• (B) 3(π − √ 3)
• (C) 1 2(3π − √ 3)
• (D) 2(π −2 3 √ 3)
• (E) 2(π −3 4 √ 3).

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Intersection area of two XY data circles and angle 120°

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \coordinate (O) at (-0.866,0);
  \coordinate (O2) at (0.866,0);
  \coordinate (X) at (0,1.5);
  \coordinate (Y) at (0,-1.5);
  \coordinate (P) at (0.703,0.732);
  \draw (O) circle (1.732);
  \draw (O2) circle (1.732);
  \draw (X)--(O)--(Y);
  \draw (X)--(Y);
  \draw[dashed] (X)--(P)--(Y);
  \fill (O) circle (1.2pt); \fill (X) circle (1.2pt); \fill (Y) circle (1.2pt); \fill (P) circle (1.2pt);
  \node[above] at (X) {$X$};
  \node[below] at (Y) {$Y$};
  \node[left] at (O) {$O$};
  \node[above right] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Two circles of the same radius intersect in X and Y . P is a point on an XY arc of one inner circumference to the other. Knowing that the XY segment is long 3 and that the angle $\widehat{XPY}$ measures 120°, what is the area of the intersection between the two circles?

• (A) 2(π −1 4 √ 3)
• (B) 3(π − √ 3)
• (C) 1 2(3π − √ 3)
• (D) 2(π −2 3 √ 3)
• (E) 2(π −3 4 √ 3).

Answer: E src_archimede_2006_2livello__Q07

Lunghezza AA’ da prodotto aree di quadrilateri simili

Sia ABC un triangolo e sia A′ il simmetrico di A rispetto a BC; sia poi DAA′ simile ad ABC e sia D′ il simmetrico di D rispetto a AA′. Sapendo che il prodotto delle aree dei quadrilateri ABA′C e ADA′D′ è 16, si può dire che AA′ …

• (A) è 1
• (B) è 2 4√ 2
• (C) è 2
• (D) è 2 √ 2
• (E) non è univocamente determinato dai dati. (Nota: la similitudine tra DAA′ e ABC va intesa in modo ordinato : DA/AB = AA′/BC = A′D/CA)

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Length AA’ from product similar quadrilateral areas

Either ABC is a triangle and A′ is the symmetric of A with respect to BC; either DAA′ is similar to ABC and D′ is the symmetric of D with respect to AA′. Knowing that the product of the quadrilateral areas ABA′C and ADA′D′ is 16, it can be said that AA′ …

• (A) è 1
• (B) è 2 4√ 2
• (C) è 2
• (D) è 2 √ 2
• (E) It is not solely determined by the data. (Note: the similarity between DAA′ and ABC should be understood in an orderly manner: DA/AB = AA′/BC = A′D/CA)

Answer: D src_archimede_2006_2livello__Q08

Minimo numero di radici quadrate per scendere sotto 2

Quanti simboli di radice quadrata, come minimo, devono comparire nell’espressione q · p√ 123.456.789 affinch´e il risultato sia minore di 2?

• (A) 5
• (B) 6
• (C) 7
• (D) 8
• (E) 9.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.3

Minimum number of square roots to drop below 2

How many square root symbols, as a minimum, must appear in the expression q · · p√ 123.456.789 in order for the result to be less than 2?

• (A) 5
• (B) 6
• (C) 7
• (D) 8
• (E) 9.

Answer: A src_archimede_2006_2livello__Q09

Valore di radice cubica di 2+√5 più radice cubica di 2-√5

Quanto vale 3p 2 + √ 5 + 3p 2 − √ 5 ?

• (A) 3p 9 −4 √ 5
• (B) 1
• (C) 3 2
• (D) 3√ 4
• (E) 2 3√ 2. Problemi a risposta numerica – 8 punti

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.3

Cubric root value of 2+√5 plus cubic root of 2-√5

What is 3p 2 + √ 5 + 3p 2 − √ 5 ?

• (A) 3p 9 −4 √ 5
• (B) 1
• (C) 3 2
• (D) 3√ 4
• (E) 2 3√ 2. Problems with a numerical answer 8 points

Answer: B src_archimede_2006_2livello__Q10

Quanti numeri ‘sacri’ scritti uguali in base 10 e 19

I membri di una tribù hanno dieci dita alle mani e nove ai piedi e quindi contano indifferentemente in base 10 o 19. Nella loro cultura matematica, un numero intero positivo è detto “sacro” se in entrambe le basi si scrive con le stesse due cifre (comprese tra 1 e 9). Quanti sono i numeri sacri?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3

How many “sacred” numbers are written as equal in base 10 and base 19

The members of a tribe have ten fingers on their hands and nine on their feet and so they count indifferently on a base of 10 or 19. In their mathematical culture, a positive integer is called sac if in both bases it is written with the same two digits (included between 1 and 9). How many are the sacred numbers?

Answer: 4 src_archimede_2006_2livello__Q11

Numeri di 17 cifre (1 e 2) compatibili con max/min di colonna

Sulla lavagna c’è scritto un numero di 17 cifre composto da soli 1 e 2. Paolo entra e riscrive il numero in sequenza inversa, allineandolo sotto il precedente. Gianni entra e scrive sotto ogni colonna la cifra massima che compare in quella colonna. Alberto entra e scrive sotto ogni colonna la cifra minima che compare in quella colonna, poi cancella le prime due righe. Carla entra e trova scritti i numeri 12212212221221221 e 11211111211111211 e le viene spiegato che cosa hanno fatto Paolo, Gianni e Alberto. Quanti sono i diversi numeri che potevano essere scritti sulla lavagna come primo numero?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16 Fonte: apri PDF p.3

Numbers of 17 digits (1 and 2) compatible with column max/min

On the board is written a 17-digit number composed of only 1 and 2. Paul enters and rewrites the number in reverse sequence, aligning it under the preceding one. Gianni enters and writes under each column the maximum number that appears in that column. Alberto enters and writes under each column the minimum number that appears in that column, then deletes the first two rows. Carla comes in and finds the numbers 12212212221221221 and 1121111111211 written on it and is explained what Paolo, Gianni, and Alberto have done. How many different numbers could be written on the board as the first number?

Answer: 16 src_archimede_2006_2livello__Q12

Prodotto aree triangolo ABP e quadrilatero ACPD nel parallelogramma

Sia ABCD un parallelogramma. Si sa che il lato AB misura 6, l’angolo $\widehat{BAD}$ misura 60°e l’angolo $\widehat{ADB}$ è retto. Sia P il baricentro del triangolo ACD. Calcolare il valore del prodotto delle aree del triangolo ABP e del quadrilatero ACPD.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 27 Fonte: apri PDF p.3

Produced areas ABP triangle and quadrilateral ACPD in parallelogram

Let ABCD be a parallelogram. You know that the AB side measures 6, the angle $\widehat{BAD}$ measures 60° and the angle $\widehat{ADB}$ is straight. Let P be the center of the ACD triangle. Calculate the product value of the areas of the triangle ABP and the quadrilateral ACPD.

Answer: 27 src_archimede_2006_2livello__Q13

Angolo fra spigoli non complanari di piramide a base quadrata

Una piramide a base quadrata ha il lato di base lungo √ 3 e tutti gli spigoli delle facce laterali sono lunghi √ 2. Quanti gradi misura l’angolo fra due spigoli non appartenenti alla stessa faccia laterale?

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 120 Fonte: apri PDF p.3

Angle between non-planar spikes of square base pyramid

A square-base pyramid has the base side length √ 3 and all of the lateral faces are length √ 2. How many degrees does the angle between two rods not on the same side measure?

Answer: 120 src_archimede_2006_2livello__Q14

Numeri di 5 cifre senza zeri multipli di 12

Quanti sono i numeri di cinque cifre (cioè fra 10000 e 99999) che non contengono zeri e sono multipli di 12?

Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4374 Fonte: apri PDF p.3

*Five-digit numbers without multiples of 12 *

How many five-digit numbers (i.e. between 10000 and 99999) do not contain zeros and are multiples of 12?

Answer: 4374 src_archimede_2006_2livello__Q15

Conteggio interi con k cifre dispari e quoziente n/5 simile

ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia k ≥1 un numero naturale. Determinare in funzione di k il numero di interi positivi n con le seguenti proprietà: (a) in base dieci si scrivono con k cifre, tutte dispari; (b) sono divisibili per 5, e il quoziente n 5 , scritto in base dieci, ha ancora k cifre, tutte dispari.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Induzione Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3^(k-1) Fonte: apri PDF p.4

Integres with k odd digits and a coefficient n/5 similar

Display Exercise Whether k ≥1 is a natural number. Determine the number of positive integers n with the following properties as a function of k: (a) on base ten are written with k digits, all odd; (b) they are divisible by 5, and the quotient n 5, written on base ten, still has k digits, all odd.

Answer: 3^(k-1) src_archimede_2006_2livello__Q16

parallelismi e parallelogramma

ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABCD un quadrilatero; chiamiamo E l’intersezione (distinta da A) tra le circonferenze di diametri AB e AC ed F l’intersezione (sempre distinta da A) tra le circonferenze di diametri AC e AD. Dimostrare che : (a) se E b AD = 90°allora BC è parallelo a AD (b) se E b AD = $\widehat{FAB}$ = 90°allora ABCD è un parallelogramma (c) se ABCD è un parallelogramma allora E b AD = F b AB = 90°.

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.5

parallelism and parallelogram

Whether ABCD is a quadrilateral we call E the intersection (different from A) between the circumferences of diameters AB and AC and F the intersection (always distinct from A) between the circumferences of diameters AC and AD. Demonstrate that: (a) if E b AD = 90°then BC is parallel to AD (b) if E b AD = $\widehat{FAB}$ = 90°then ABCD is a parallelogram (c) if ABCD is a parallelogram then E b AD = F b AB = 90°.

Answer: dimostrazione src_archimede_2006_2livello__Q17