Trovare a sapendo a=c/2, b=-c/3, a+b=0
La somma di due numeri a e b è uguale a zero. Sapendo che esiste un numero c tale che a = c 2 e b = −c 3, dire quanto vale a.
- (A) −6,
- (B) −3,
- (C) −2,
- (D) 0,
- (E) 2.
Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Find by knowing a=c/2, b=-c/3, a+b=0*
The sum of two numbers a and b is equal to zero. Knowing that there is a number c such that a = c 2 and b = −c 3, say how much is a.
- (A) −6,
- (B) −3,
- (C) −2,
- (D) 0,
- (E) 2.
Answer: D src_archimede_2006_biennio__Q01
Perimetro di una C ottenuta da una corona circolare
Claudia ha disegnato sul quaderno l’iniziale del suo nome, una C. Il disegno è stato fatto tagliando esattamente a metà una corona circolare con raggio interno 1 cm e raggio esterno 4 cm. Quanto misura il perimetro della C?
- (A) 5 cm,
- (B) 5π cm,
- (C) (6+5π) cm,
- (D) (5+6π) cm,
- (E) (6+10π) cm.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Perimeter of a C obtained from a circular crown
Claudia drew on the initial notebook of her name, a C. The drawing was made by cutting exactly in half a circular crown with an inner radius of 1 cm and an outer radius of 4 cm. What’s the perimeter of C?
- (A) 5 cm,
- (B) 5π cm,
- (C) (6+5π) cm,
- (D) (5+6π) cm,
- (E) (6+10π) cm.
Answer: C src_archimede_2006_biennio__Q02
Numero di divisori positivi di 5432*
Quanti divisori positivi ha il numero 5·4·3·2? (Tra i divisori di un numero devono essere contati anche 1 e il numero stesso.)
- (A) 4,
- (B) 8,
- (C) 10,
- (D) 12,
- (E) 16.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Number of positive divisors of 5432*
How many positive divisors does the number 5·4·3·2 have? (The divisors of a number must also include 1 and the number itself.)
- (A) 4,
- (B) 8,
- (C) 10,
- (D) 12,
- (E) 16.
Answer: E src_archimede_2006_biennio__Q03
Prezzo originale dopo sconto del 15%
Paolo ha acquistato un oggetto ottenendo lo sconto del 15% sul prezzo originale e lo ha pagato 106,25 Euro. Qual era il prezzo originale?
- (A) Meno di 123 Euro,
- (B) 124 Euro,
- (C) 125 Euro,
- (D) 127 Euro,
- (E) più di 128 Euro.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Original price after 15% discount
Paolo bought an item at a 15% discount on the original price and paid 106.25 euros for it. What was the original price?
- (A) Less than EUR 123,
- (B) EUR 124
- (C) The Commission shall adopt implementing acts in accordance with the procedure referred to in paragraph 1.
- (D) EUR 127
- (E) more than EUR 128.
Answer: C src_archimede_2006_biennio__Q04
Cifra delle unita di 3 elevato al quadrato 2006 volte
Simone scrive sulla lavagna il numero 3, poi lo cancella e lo sostituisce con il suo quadrato, 9, poi cancella il 9 e lo sostituisce con il suo quadrato, 81. Ripete questa operazione per 2006 volte in totale: ogni volta sostituisce il numero scritto con il suo quadrato. Qual è la cifra delle unità dell’ultimo numero scritto?
- (A) 1,
- (B) 3,
- (C) 5,
- (D) 7,
- (E) 9.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Unit number of 3 times higher than square 2006
Simone writes on the board the number 3, then deletes it and replaces it with her square, 9, then deletes the 9 and replaces it with her square, 81. Repeat this operation for 2006 times in total: every time you replace the number written with its square. What is the unit number of the last written number?
- (A) 1,
- (B) 3,
- (C) 5,
- (D) 7,
- (E) 9.
Answer: A src_archimede_2006_biennio__Q05
Perimetro di un rettangolo con base 3/2 dell’altezza
In un rettangolo di area 150 m2 la misura della base è uguale ai 3 2 di quella dell’altezza. Quanto misura il perimetro del rettangolo?
- (A) 50 m,
- (B) 54 m,
- (C) 60 m,
- (D) 64 m,
- (E) 70 m.
Topic: Geometria piana Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Perimeter of a rectangle with base 3/2 of height
In a rectangle of 150 m2 the size of the base is equal to 3.2 of the height. What is the perimeter of the rectangle?
- (A) 50 m,
- (B) 54 m,
- (C) 60 m,
- (D) 64 m,
- (E) 70 m.
Answer: A src_archimede_2006_biennio__Q06
Quanti multipli di 3 tra 2000 e 4000
Quanti sono i multipli di 3 maggiori o uguali di 2000 e minori o uguali di 4000?
- (A) 666,
- (B) 667,
- (C) 668,
- (D) 669,
- (E) 670.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Multipleths of 3 between 2000 and 4000
How many times 3 is greater than or equal to 2000 and less than or equal to 4000?
- (A) 666,
- (B) 667,
- (C) 668,
- (D) 669,
- (E) 670.
Answer: B src_archimede_2006_biennio__Q07
Ordinare 3, radice 10, radice 2 piu radice 3
Mettere in ordine crescente i tre numeri 3, √ 10, √ 2 + √ 3.
- (A) 3 < √ 10 < √ 2 + √ 3,
- (B) √ 2 + √ 3 < 3 < √ 10,
- (C) √ 10 < √ 2 + √ 3 < 3,
- (D) 3 < √ 2 + √ 3 < √ 10,
- (E) √ 2 + √ 3 < √ 10 < 3.
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Ordinare 3, radice 10, radice 2 piu radice 3
Mettere in ordine crescente i tre numeri 3, √ 10, √ 2 + √ 3.
- (A) 3 < √ 10 < √ 2 + √ 3,
- (B) √ 2 + √ 3 < 3 < √ 10,
- (C) √ 10 < √ 2 + √ 3 < 3,
- (D) 3 < √ 2 + √ 3 < √ 10,
- (E) √ 2 + √ 3 < √ 10 < 3.
Answer: D src_archimede_2006_biennio__Q08
Lunghezza DC con DE parallelo ad AB e rapporto aree
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (0,4);
\coordinate (D) at (0,1.5);
\coordinate (E) at (1.875,1.5);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (D) -- (E);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above left] at (C) {$C$};
\node[left] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nella figura a fianco, il segmento DE è parallelo ad AB. Sapendo che l’area di DEC è uguale ai 3 4 di quella di ABC e che AC misura 1 m, quanto misura DC?
- (A) 2 − √ 3 2 m,
- (B) (2 − √ 3) m,
- (C) √ 3 3 m,
- (D) 3 4 m,
- (E) √ 3 2 m.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
DC length with DE parallel to AB and area ratio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (0,4);
\coordinate (D) at (0,1.5);
\coordinate (E) at (1.875,1.5);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (D) -- (E);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above left] at (C) {$C$};
\node[left] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the figure below, the DE segment is parallel to AB. Knowing that the area of DEC is equal to 3/4 of that of ABC and that AC measures 1 m, how much does DC measure?
- (A) 2 − √ 3 2 m,
- (B) (2 − √ 3) m,
- (C) √ 3 3 m,
- (D) 3 4 m,
- (E) √ 3 2 m.
Answer: E src_archimede_2006_biennio__Q09
Biglie nel sacchetto con un solo mentitore
In un sacchetto ci sono alcune biglie. Maria dice: “Nel sacchetto ci sono in tutto tre biglie e sono nere”. Luca dice: “Nel sacchetto ci sono due biglie nere e due biglie rosse”. Giorgio dice: “Nel sacchetto ci sono solo biglie nere”. Sapendo che uno solo dei tre ha mentito, quante biglie ci sono nel sacchetto?
- (A) una,
- (B) due,
- (C) tre,
- (D) quattro,
- (E) non è possibile determinarne il numero in base ai dati del problema.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Packs in a bag with only one liar
There’s a bag of eggs in it. Mary says, “There are three cards in the bag and they’re black”. Luke says, “In the bag there are two black beads and two red beads”. George says, “There’s only black balls in the bag”. Knowing only one of the three lied, how many balls are in the bag?
- (A) One of them.
- (B) two,
- (C) three,
- (D) four,
- (E) It is not possible to estimate the number based on the problem data.
Answer: C src_archimede_2006_biennio__Q10
Rapporto aree di quadrati annidati sui punti medi
Dato un quadrato ABCD si uniscono i punti medi dei lati aventi un vertice in comune formando un nuovo quadrato EFGH. Ripetiamo la stessa operazione per EFGH e otteniamo un nuovo quadrato A′B′C′D′. Quanto vale il rapporto tra l’area di ABCD e l’area di A′B′C′D′?
- (A) 2,
- (B) 2 √ 2,
- (C) 4,
- (D) 4 √ 2,
- (E) 8.
Topic: Geometria piana Metodo: Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Report areas of squares nested at midpoints
Given an ABCD square, the midpoints of the sides having a common vertex join together to form a new EFGH square. We repeat the same operation for EFGH and we get a new square A′B′C′D′. What is the ratio of the ABCD area to the A′B′C′D′ area?
- (A) 2,
- (B) 2 √ 2,
- (C) 4,
- (D) 4 √ 2,
- (E) 8.
Answer: C src_archimede_2006_biennio__Q11
Ordinare LAPIS con prima e ultima lettera vocali
In quanti modi distinti si possono ordinare le lettere L, A, P, I, S, in modo che la prima e l’ultima lettera siano vocali?
- (A) 6,
- (B) 8,
- (C) 10,
- (D) 12,
- (E) 24.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Ordering LAPIS with the first and last vowel letters
How many distinct ways can the letters L, A, P, I, S be arranged so that the first and last letters are vowels?
- (A) 6,
- (B) 8,
- (C) 10,
- (D) 12,
- (E) 24.
Answer: D src_archimede_2006_biennio__Q12
Numero totale di soci da percentuali di voti
In una associazione ogni socio ha diritto a votare il presidente. L’attuale presidente è stato eletto con un numero di voti doppio di quelli ottenuti dal suo unico avversario. Sapendo che tre soci non hanno votato e che il presidente eletto ha ottenuto il 64% dei voti degli aventi diritto, stabilire quanti sono in tutto i soci.
- (A) 69,
- (B) 75,
- (C) 81,
- (D) 87,
- (E) 99.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Total number of members by voting percentage
In an association, each member has the right to vote for the president. The current President was elected with twice as many votes as his only opponent. Knowing that three members did not vote and that the President-elect got 64% of the votes of the rightful owners, determine how many members there are in total.
- (A) 69,
- (B) 75,
- (C) 81,
- (D) 87,
- (E) 99.
Answer: B src_archimede_2006_biennio__Q13
Gettoni su scacchiera somma riga piu colonna
In una scacchiera 8 × 8 le righe e le colonne sono numerate da 1 a 8. Su ogni casella Mauro appoggia dei gettoni secondo questa regola: guarda il numero di riga e di colonna corrispondenti alla casella, li somma e mette sulla casella tanti gettoni quanto è il risultato della somma. Quanti gettoni appoggia in tutto?
- (A) 482,
- (B) 576,
- (C) 768,
- (D) 1024,
- (E) 1152.
Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.1
*Sum row plus column * Chess buttons
In a chessboard 8 × 8 the rows and columns are numbered from 1 to 8. On each box Mauro supports tokens according to this rule: look at the number of rows and columns corresponding to the box, add them up and put on the box as many tokens as the result of the sum. How many tokens does it support in all?
- (A) 482,
- (B) 576,
- (C) 768,
- (D) 1024,
- (E) 1152.
Answer: B src_archimede_2006_biennio__Q14
Patrimonio dopo crescita del 50% per quattro ore
Ogni ora il patrimonio di zio Paperone aumenta del 50%. Se alle 12 di un certo giorno Paperone possiede 64 fantastiliardi, quale sarà il suo patrimonio alle 16 dello stesso giorno?
- (A) 192 fantastiliardi,
- (B) 256 fantastiliardi,
- (C) 324 fantastiliardi,
- (D) 486 fantastiliardi,
- (E) 1024 fantastiliardi.
Topic: Algebra Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.1
Heritage after growth of 50% for four hours
Every hour Uncle Paperone’s fortune increases by 50%. If at noon on a certain day Paperone owns 64 fantasilliards, what will his fortune be at 4 p.m. on the same day?
- (A) 192 great people.
- (B) 256, that’s great.
- (C) 324 fantastic people.
- (D) 486 fantastic people,
- (E) 1024 wonderful days.
Answer: C src_archimede_2006_biennio__Q15
Studenti in entrambe le gare di chimica e fisica
Tra i 200 alunni di una scuola, 150 hanno partecipato ad una gara di chimica e 130 hanno partecipato ad una gara di fisica. Quanti studenti hanno partecipato ad entrambe le gare?
- (A) 70,
- (B) 80,
- (C) 120,
- (D) 130,
- (E) non è possibile determinarne il numero in base ai dati del problema.
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.1
Students in both chemistry and physics competitions
Of the 200 pupils in one school, 150 took part in a chemistry competition and 130 in a physics competition. How many students participated in both competitions?
- (A) 70,
- (B) 80,
- (C) 120,
- (D) 130,
- (E) It is not possible to estimate the number based on the problem data.
Answer: E src_archimede_2006_biennio__Q16
Lato del quadrato inscritto in triangolo equilatero
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (C) at (3,5.196);
\coordinate (D) at (1.607,0);
\coordinate (E) at (4.393,0);
\coordinate (F) at (4.393,2.785);
\coordinate (G) at (1.607,2.785);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (D) -- (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\node[below] at (E) {$E$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\node[above left] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nella figura a fianco il triangolo ABC è equilatero e ha lato 1 m e DEFG è un quadrato. Quanto misura il lato DE?
- (A) 1 3 m,
- (B) (2 √ 3 −3) m,
- (C) 1 2 m,
- (D) 1 + √ 3 4 m,
- (E) ( √ 3 −1) m.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2
Side of the square inscribed in an equilateral triangle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (C) at (3,5.196);
\coordinate (D) at (1.607,0);
\coordinate (E) at (4.393,0);
\coordinate (F) at (4.393,2.785);
\coordinate (G) at (1.607,2.785);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (D) -- (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\node[below] at (E) {$E$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\node[above left] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the figure next to the triangle ABC is equilateral and has a side of 1 m and DEFG is a square. What’s the size of the DE side?
- (A) 1 3 m,
- (B) (2 √ 3 −3) m,
- (C) 1 2 m,
- (D) 1 + √ 3 4 m,
- (E) ( √ 3 −1) m.
Answer: B src_archimede_2006_biennio__Q17
Numeri con cifre 3,4,6,7 divisibili per 44
Consideriamo tutti i numeri di quattro cifre formati dalle cifre 3, 4, 6, 7, disposte in un ordine qualsiasi e senza che nessuna cifra sia ripetuta. Quanti di questi sono divisibili per 44?
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Numbers with digits 3,4,6,7 divisible by 44
Consider all four-digit numbers consisting of the digits 3, 4, 6, 7, arranged in any order and without any number being repeated. How many of these are divisible by 44?
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Answer: C src_archimede_2006_biennio__Q18
Soluzione di una somma di frazioni lineari in x
Se x è soluzione dell’equazione x + 1 1
x + 2 2
x + 3 3
… + x + 100 100 = 100 allora:
- (A) x = −2,
- (B) −1 ≤x ≤1,
- (C) x = 3 2,
- (D) x = 2,
- (E) x ≥3.
Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Solution of a sum of linear fractions in x
If x is the solution of the equation x + 1 1 + x + 2 2 + x + 3 3 + … + x + 100 100 = 100 then:
- (A) x = −2,
- (B) −1 ≤x ≤1,
- (C) x = 3 2,
- (D) x = 2,
- (E) x ≥3.
Answer: B src_archimede_2006_biennio__Q19
Volume intersezione tra cubo e sfera centrata in vertice
Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q e raggio uguale al lato di Q. Il volume dell’intersezione tra Q e S è:
- (A) un ottavo del volume della sfera,
- (B) un quarto del volume della sfera,
- (C) un sesto del volume del cubo,
- (D) un quarto del volume del cubo,
- (E) metà del volume del cubo.
Topic: Geometria solida Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2
Volume of intersection between cube and sphere centered at the vertex
Both Q is a cube and S is a sphere that has a center at one of the vertices of Q and a radius equal to the side of Q. The volume of the intersection between Q and S is:
- (A) one-eighth of the volume of the sphere,
- (B) a quarter of the volume of the sphere,
- (C) one sixth of the volume of the cube,
- (D) a quarter of the volume of the cube,
- (E) half the volume of the cube.
Answer: A src_archimede_2006_biennio__Q20