Posizioni di Q per triangolo APQ simile all’isoscele ABC
In un triangolo isoscele ABC con AC = BC ̸= AB, si fissi un punto P sulla base AB. Quante posizioni può assumere nel piano un punto Q se vogliamo che i punti A, P e Q, presi in ordine qualsiasi, siano i vertici di un triangolo simile ad ABC?
- (A) 0
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 6.
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Q positions for an APQ triangle similar to the ABC isosceles
In an ABC isosceles triangle with AC = BC = AB, a point P is fixed on the base AB. How many positions can a point Q occupy in the plane if we want points A, P and Q, taken in any order, to be the vertices of a triangle similar to ABC?
- (A) 0
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 6.
Answer: E src_archimede_2007_2livello__Q01
Quale barile contiene birra dato il vincolo doppio sul vino
Un mercante ha 6 barili di capacità 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litri. Cinque di essi sono pieni di vino e solo uno di essi è pieno di birra. Il mercante tiene per s´e il barile di birra e vende tutti i barili di vino a due persone diverse, senza frazionarne il contenuto. Se uno dei due acquirenti ha comprato una quantità di vino esattamente doppia di quella acquistata dall’altro, quanti litri contiene il barile di birra?
- (A) 16
- (B) 18
- (C) 19
- (D) 20
- (E) 31.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Which barrel contains beer given the double binding on wine
A merchant has six barrels of 15, 16, 18, 19, 20 and 31 litres capacity. Five of them are full of wine and only one of them is full of beer. The merchant holds the barrel of beer for himself and sells all the barrels of wine to two different people, without breaking the contents. If one of the two buyers bought exactly twice as much wine as the other, how many litres of beer is in the barrel?
- (A) 16
- (B) 18
- (C) 19
- (D) 20
- (E) 31.
Answer: D src_archimede_2007_2livello__Q02
Settima cifra in base 8 da rappresentazione binaria data
La rappresentazione in base 2 di un numero a è 1110000100111010101110100001. Qual è la settima cifra da sinistra della rappresentazione di a in base 8?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 5
- (E) 6.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Seventh digit in base 8 by binary representation given
The representation on base 2 of a number a is 1110000100111010101110100001. What is the seventh digit to the left of the representation of a in base 8?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 5
- (E) 6.
Answer: D src_archimede_2007_2livello__Q03
Voto dell’ultimo esame dato calo della media a 22,25
Uno studente universitario ha superato un certo numero di esami, riportando la media di 23. Dopo aver superato un altro esame, la sua media scende a 22,25. Sapendo che il voto di ciascun esame è un numero intero compreso fra 18 e 30 inclusi, che voto ha riportato lo studente all’ultimo esame?
- (A) 18
- (B) 19
- (C) 20
- (D) 21
- (E) 22.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Vote of the last examination lowered from the average to 22,25
One college student passed a number of exams, averaging 23. After passing another exam, his average drops to 22.25. Knowing that the score of each exam is an integer between 18 and 30 inclusive, what score did the student get on the last exam?
- (A) 18
- (B) 19
- (C) 20
- (D) 21
- (E) 22.
Answer: C src_archimede_2007_2livello__Q04
Relazione tra coefficienti se due radici hanno somma zero
Sia P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Sapendo che la somma di due delle radici del polinomio vale zero, quale fra le seguenti relazioni tra i coefficienti di P(x) è sempre vera?
- (A) abc = 0
- (B) c = ab
- (C) c = a + b
- (D) b2 = ac
- (E) nessuna delle risposte precedenti è corretta.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Relation of coefficients if two roots have zero sum
Whether P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Knowing that the sum of two of the roots of the polynomial is zero, which of the following relationships between the coefficients of P(x) is always true?
- (A) the abc = 0
- (B) c = ab
- (C) c = a + b
- (D) b2 = ac
- (E) None of the above answers are correct.
Answer: B src_archimede_2007_2livello__Q05
Minimo numeri pari scegliendo 50 numeri con somma 3000
Dall’insieme {1, 2, … , 100} scegliamo 50 numeri distinti, la cui somma è 3000. Come minimo, quanti numeri pari abbiamo scelto?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 5
- (E) 6.
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Principio di estremalita Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Minimate even numbers by choosing 50 numbers with sum of 3000
From the sum of {1, 2, … Let’s choose 50 distinct numbers, the sum of which is 3000. At least, how many even numbers have we chosen?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 5
- (E) 6.
Answer: E src_archimede_2007_2livello__Q06
Punteggio Austria-Danimarca dalla classifica del girone
Agli ultimi campionati del mondo di calcio, il girone A è terminato con la classifica seguente: Austria 7, Brasile 5, Camerun 4, Danimarca 0. Austria e Camerun hanno subito una rete ciascuna. Brasile e Camerun hanno segnato una sola volta, mentre l’Austria ha fatto tre reti. Con che punteggio è terminata Austria-Danimarca? Nota: Si ricorda che, in ogni partita disputata nel girone, la squadra vincitrice guadagna 3 punti, quella perdente 0 punti; in caso di pareggio ciascuna delle due squadre guadagna 1 punto.
- (A) 1–0
- (B) 2–1
- (C) 2–0
- (D) 0–0
- (E) non può essere determinata coi soli dati forniti.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Austrian-Danish score from the Giro classification
At the last World Cups, round A ended with the following ranking: Austria 7, Brazil 5, Cameroon 4, Denmark 0. Austria and Cameroon have each suffered a network. Brazil and Cameroon scored once, while Austria scored three times. With what score did Austria-Denmark finish? Note: Please note that in each match played in the round, the winning team gains 3 points, the losing team 0 points; in the event of a draw each of the two teams gains 1 point.
- (A) 1–0
- (B) 2–1
- (C) 2–0
- (D) 0–0
- (E) the data provided alone cannot be determined.
Answer: B src_archimede_2007_2livello__Q07
Area della falce di luna ritagliata con compasso raggio r√2
Priscilla è stata incaricata di preparare la scenografia per la recita della sua scuola. Ha bisogno di una falce di luna, e ha a disposizione un cerchio di cartone di raggio r in cui ritagliarla; allora punta il compasso sul bordo del cerchio, disegna un arco di circonferenza di raggio r √ 2 e taglia lungo la linea tracciata. Quanto vale l’area della falce di luna che ottiene?
- (A) r2
- (B) √ 2 2 πr2
- (C) 1 3πr2
- (D) π 4 + 1 2 r2
- (E) π 4 + 1 r2
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Area of the crescent shaft cut with compass radius r√2
Priscilla was commissioned to prepare the sets for her school’s performance. It needs a crescent shaft, and it has a r-ray cardboard circle at its disposal in which to cut it; then it points the compass at the edge of the circle, draws an arc of radius r √ 2 and cuts along the traced line. How much is the area of the crescent moon you get?
- (A) r2
- (B) √ 2 2 πr2
- (C) 1 3πr2
- (D) π 4 + 1 2 r2
- (E) π 4 + 1 r2
Answer: A src_archimede_2007_2livello__Q08
Probabilità che Barbara non abbia picche dato Alberto
Alberto, Barbara, Chiara e Davide mescolano un mazzo di 40 carte e poi ne distribuiscono 10 a testa. Alberto guarda le sue ed esclama: “Che strano, non ho nessuna carta di picche”. Sapendo questa informazione, qual è la probabilità che anche Barbara non abbia nessuna carta di picche? (nota: le carte di picche sono 10).
- (A) 30! 20! 40!
- (B) 20! 10! 30!
- (C) 30! 30! 20! 40!
- (D) 20! 20! 10! 30!
- (E) 30! 10! 40!
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
The probability that Barbara did not peak Alberto
Alberto, Barbara, Chiara, and Davide mix a deck of 40 cards and then distribute 10 cards to each of them. Alberto looks at her and exclaims: “What a strange thing, I don’t have any cards”. Given this information, what is the probability that Barbara doesn’t even have a peak card? (Note: the peak cards are 10).
- (A) 30! 20! 40!
- (B) 20! 10! 30!
- (C) 30! 30! 20! 40!
- (D) 20! 20! 10! 30!
- (E) 30! 10! 40!
Answer: D src_archimede_2007_2livello__Q09
Rapporto b/h dato triangolo equilatero e rettangolo isoperimetrici
Un triangolo equilatero ha lo stesso perimetro di un rettangolo di dimensioni b ed h (con b > h). L’area del triangolo è √ 3 volte l’area del rettangolo. Quanto vale b h?
- (A) √ 3
- (B) 2
- (C) 3 + √ 3 2
- (D) 3 + √ 5 2
- (E) 7 + 3 √ 5 2 .
Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Rate b/h given equilateral triangle and isoperimeteral rectangle
An equilateral triangle has the same perimeter as a rectangle of dimensions b and h (with b > h). The area of the triangle is √ 3 times the area of the rectangle. How much is b h worth?
- (A) √ 3
- (B) 2
- (C) 3 + √ 3 2
- (D) 3 + √ 5 2
- (E) 7 + 3 √ 5 2 .
Answer: E src_archimede_2007_2livello__Q10
Probabilità gruppo di 6 con due ori, due argenti, due strette
Ogni anno un gran numero di studenti partecipa alle Olimpiadi Internazionali di Matematica. Un dodicesimo di essi vince una medaglia d’oro, un altro sesto vince una medaglia d’argento, un ulteriore quarto vince una medaglia di bronzo e la restante metà vince una stretta di mano. Se incontriamo un gruppo di sei partecipanti scelti a caso, qual è la probabilità che esso sia composto da due medaglie d’oro, due medaglie d’argento e due vincitori di strette di mano?
- (A) Circa il 40%
- (B) Circa il 4%
- (C) Circa lo 0,4%
- (D) Circa lo 0,04%
- (E) Circa lo 0,004%.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Probability group 6 with two holes, two silver, two narrow ones
Every year a large number of students participate in the International Mathematical Olympiads. One twelfth of them wins a gold medal, another sixth wins a silver medal, an additional quarter wins a bronze medal and the other half wins a handshake. If we encounter a group of six randomly selected participants, what is the probability that it will consist of two gold medals, two silver medals and two handshake winners?
- (A) About 40%
- (B) Approximately 4%
- (C) Approximately 0.4%
- (D) Approximately 0.04%
- (E) About 0.004%.
Answer: C src_archimede_2007_2livello__Q11
Massimo numeri primi tra 20 interi consecutivi >50
Consideriamo un qualsiasi insieme di 20 numeri interi consecutivi, tutti maggiori di 50. Quanti di essi al massimo possono essere numeri primi?
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 7
- (E) 8. Problemi a risposta numerica – 8 punti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Most prime numbers among 20 consecutive integers >50
Consider any set of 20 consecutive integers, all greater than 50. How many of these can be prime numbers at most?
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 7
- (E) 8. Problems with a numerical answer 8 points
Answer: C src_archimede_2007_2livello__Q12
Ultime 3 cifre di p(21) dato p(k)=2^k per k da 1 a 20
Sia p(x) = x20 + a19x19 + a18x18 + … + a1x + a0 un polinomio, con gli ai interi. Sappiamo che, per tutti gli interi k compresi tra 1 e 20, p(k) = 2k. Quali sono le ultime 3 cifre di p(21)?
Topic: Algebra Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 042 Fonte: apri PDF p.3
Last 3 digits of p(21) given p(k) = 2 k for k from 1 to 20
So p(x) = x20 + a19x19 + a18x18 + … + a1x + a0 a polynomial, with the integers a. We know that for all integers k between 1 and 20, p (k) = 2k. What are the last three digits of p?
Answer: 042 src_archimede_2007_2livello__Q13
Per quanti a il sistema simmetrico ha soluzioni intere
Se a è un intero positivo minore di 100, per quanti valori di a il sistema x2 = y + a y2 = x + a ha soluzioni intere?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 19 Fonte: apri PDF p.3
*For those in the symmetric system with whole solutions *
If a is a positive integer less than 100, for how many values of a system x2 = y + a y2 = x + a does it have whole solutions?
Answer: 19 src_archimede_2007_2livello__Q14
Salti di Lorenza sul poligono 2007 lati per superare vertice 1
Lorenza si trova su una pista avente la forma di un poligono regolare con 2007 lati, i cui vertici sono numerati da 1 a 2007 in senso antiorario. Lorenza, partendo dal vertice 6, salta ogni volta 4 vertici e cade sul quinto più avanti (ad esempio, dal 20 salta al 25), ma salta indietro di 2 vertici quando cade su un vertice identificato da una potenza di 2 (ad esempio, dopo un eventuale salto dal 27 al 32, deve saltare indietro al 30). Dopo quanti salti Lorenza avrà oltrepassato per la prima volta il vertice 1?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 405 Fonte: apri PDF p.3
Lorence leaps on the 2007 polygon side to overcome summit 1
Lorenza is located on a track shaped like a regular polygon with 2007 sides, the vertices of which are numbered from 1 to 2007 clockwise. Lorenza, starting from peak 6, jumps 4 vertices each time and falls on the fifth further forward (e.g., from 20 to 25), but jumps back 2 vertices when it falls on a peak identified by a power of 2 (e.g., after a possible jump from 27 to 32, it must jump back to 30). After how many jumps will Lorenza have crossed summit 1 for the first time?
Answer: 405 src_archimede_2007_2livello__Q15
Sequenze di salti della pulce per finire a 80 cm dopo 5 salti
Una pulce si muove saltando avanti e indietro lungo una retta. La tana della pulce è un punto della retta. Le regole di salto sono le seguenti: • se la pulce si trova ad una distanza minore o uguale a un metro dalla tana, dopo il salto successivo si troverà ad una distanza doppia della precedente allontanandosi ancora di più dalla tana. • se la pulce si trova ad una distanza d maggiore di un metro dalla tana, dopo il salto successivo si troverà ad una distanza 1 d dalla tana ma dalla parte opposta rispetto a quella dove si trova attualmente. Se dopo 5 salti la pulce si trova a 80 cm dalla tana in una certa direzione, con quante sequenze distinte di salti può aver raggiunto quella posizione?
Topic: Combinatoria Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.3
Flea jump sequences to finish at 80 cm after 5 jumps
A flea moves by jumping back and forth along a straight line. The flea’s lair is a point of rectitude. • if the flea is less than or equal to one metre away from the pit, after the next jump it will be twice as far away from the pit. • if the flea is more than a metre away from the pit, after the next jump it will be 1 metre away from the pit but on the opposite side from where it is currently. If after 5 jumps the fleas are within 50 inches of the hole in a certain direction, how many distinct jump sequences can it have reached that position?
Answer: 6 src_archimede_2007_2livello__Q16
Coppie di numeri triangolari con differenza 2007
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Un intero positivo si dice triangolare se si può scrivere nella forma n(n + 1) 2 per qualche intero positivo n. Quante sono le coppie (a, b) di numeri triangolari tali che b −a = 2007? (Si ricorda che 223 è un numero primo).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.4
Pairs of triangular numbers with difference 2007
A positive integer is said to be triangular if it can be written in the form n(n + 1) 2 for some positive integer n. How many pairs (a, b) of triangular numbers such that b −a = 2007? (Remember that 223 is a prime number.)
Answer: 6 src_archimede_2007_2livello__Q17
Bisettrice DO e similitudine CDB~AOD in circonferenza
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO È data una circonferenza di diametro AB e centro O. Sia C un punto sulla circonferenza (diverso da A e da B), e si tracci la retta r parallela ad AC per O. Sia D l’intersezione di r con la circonferenza dalla parte opposta di C rispetto ad AB. i) Dimostrare che DO è bisettrice di . ii) Dimostrare che il triangolo CDB è simile al triangolo AOD.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.5
DO bisette and similarities CDB~AOD in circumference
DEMOSTRATIVE EXERCISE A circumference of diameter AB and centre O is given. Whether C is a point on the circumference (different from A and B), and the line r parallel to AC is plotted for O. Either D the intersection of r with the circumference of the opposite side of C to AB. (i) Demonstrate that the DO is . (ii) Demonstrate that the CDB triangle is similar to the AOD triangle.
Answer: dimostrazione src_archimede_2007_2livello__Q18