Giochi di Archimede 2008 - Biennio

Abitanti di Giove dati percentuali di partecipanti maratona

Su Giove si corre oggi la Grande Maratona, lunga 2008 chilometri, a cui partecipa l’80% degli abitanti del pianeta. Dopo due chilometri il 95% dei partecipanti si ritira; i restanti 2000 corridori arrivano al traguardo. Quanti abitanti ha Giove?

• (A) 20 000,
• (B) 40 000,
• (C) 50 000,
• (D) 80 000,
• (E) 100 000.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1

Jupiter population data as a percentage of marathon participants

Today, the Great Marathon of 2008 kilometers is run on Jupiter, in which 80% of the planet’s inhabitants participate. After two kilometres, 95% of the participants withdraw; the remaining 2,000 runners reach the finish line. How many inhabitants does Jupiter have?

• (A) 20 000,
• (B) 40 000,
• (C) 50 000,
• (D) 80 000,
• (E) 100 000.

Answer: C src_archimede_2008_biennio__Q01

Velocita necessaria per record dopo ritardo iniziale

Un pilota vuole stabilire un nuovo record su un percorso di 50 km: percorrerlo alla velocità media di 100 km/h. A causa di alcuni problemi tecnici impiega 40 minuti per percorrere i primi 25 km. A quale velocità deve percorrere il resto del percorso (andando a velocità costante) per riuscire nel suo intento?

• (A) Nessuna velocità glielo consente,
• (B) 50 km/h,
• (C) 100 km/h,
• (D) 150 km/h,
• (E) 200 km/h.

Topic: Algebra Abilita: Stima e approssimazione, Lettura attenta del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Required speed for record after initial delay

A pilot wants to set a new record on a 50 km route: run it at an average speed of 100 km/h. Due to some technical problems, it takes 40 minutes to travel the first 25 km. At what speed must he travel the rest of the way (going at a constant speed) to succeed in his intent?

• (A) No speed allows it.
• (B) 50 km/h,
• (C) 100 km/h,
• (D) 150 km/h,
• (E) 200 km/h.

Answer: A src_archimede_2008_biennio__Q02

Massimo birilli buttati con vincoli proporzionali

Alberto, Barbara e Clara giocano in un grande piazzale dove ci sono 2008 birilli. Alberto butta giù il triplo dei birilli buttati giù da Barbara, che a sua volta butta giù il doppio dei birilli buttati giù da Clara. Quanti birilli al massimo può aver buttato giù Alberto?

• (A) 1321,
• (B) 1338,
• (C) 1342,
• (D) 1353,
• (E) 1362.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Maximum amount of beads thrown with proportional constraints

Alberto, Barbara and Clara are playing in a large square where there are 2008 birdies. Alberto throws down the triple of the beers thrown down by Barbara, who in turn throws down the double of the beers thrown down by Clara. How many beers did Alberto throw down?

• (A) 1321,
• (B) 1338,
• (C) 1342,
• (D) 1353,
• (E) 1362.

Answer: B src_archimede_2008_biennio__Q03

Numero amici da conto diviso in due modi

Pietro e Paolo festeggiano il loro onomastico in pizzeria con i loro amici. Alla fine della cena il conto viene diviso in parti uguali tra tutti i presenti e ciascuno dovrebbe pagare 12 Euro. Con grande generosità però, gli amici decidono di offrire la cena a Pietro e Paolo; il conto viene nuovamente diviso in parti uguali tra gli amici di Pietro e Paolo (cioè tutti i presenti esclusi Pietro e Paolo), e ciascuno di loro paga 16 Euro. Quanti sono gli amici di Pietro e Paolo?

• (A) 6,
• (B) 8,
• (C) 10,
• (D) 12,
• (E) 16.

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Number of friends from account divided into two ways

Peter and Paul are celebrating their namesake at the pizzeria with their friends. At the end of the dinner, the bill is divided equally among all present and each should pay 12 Euros. With great generosity, however, the friends decide to offer dinner to Peter and Paul; the account is again divided equally among the friends of Peter and Paul (i.e. all present except Peter and Paul), and each of them pays 16 Euros. How many friends do Peter and Paul have?

• (A) 6,
• (B) 8,
• (C) 10,
• (D) 12,
• (E) 16.

Answer: A src_archimede_2008_biennio__Q04

Variazione spesa stipendi con cambi percentuali

Su Marte, il Gran Ciambellano dell’Istruzione Marziana ha dichiarato che il prossimo anno scolastico ridurrà del 30% il numero dei maestri di scuola e che a coloro che rimarranno in servizio lo stipendio sarà aumentato del 35%. La spesa complessiva per gli stipendi dei maestri quindi:

• (A) si ridurrà del 5,5%,
• (B) si ridurrà del 5%,
• (C) aumenterà del 5%,
• (D) resterà invariata,
• (E) aumenterà del 7%.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Variation of salary expenditure with percentage changes

On Mars, the Martian High Commissioner for Education said that the number of schoolteachers will be reduced by 30% next school year and that salaries for those who remain will be increased by 35%. The total expenditure on teachers’ salaries therefore:

• (A) It will be reduced by 5.5%.
• (B) It will be reduced by 5%,
• (C) will increase by 5%,
• (D) It will remain unchanged.
• (E) It will increase by 7%.

Answer: A src_archimede_2008_biennio__Q05

Perimetro triangolo HBC simile in triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo ABC i cateti BC e CA misurano 7 cm e 24 cm rispettivamente. Sia H la proiezione di C sull’ipotenusa AB. Quanto vale il perimetro del triangolo HBC?

• (A) 262 25 cm,
• (B) 501 49 cm,
• (C) 392 25 cm,
• (D) 801 49 cm,
• (E) 412 25 cm.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1

Similar HBC triangle perimeter to the rectangular triangle

In a right triangle ABC the cathetes BC and CA measure 7 cm and 24 cm respectively. H is the projection of C on the hypotenuse AB. How much is the perimeter of the HBC triangle?

• (A) 262 25 cm,
• (B) 501 49 cm,
• (C) 392 25 cm,
• (D) 801 49 cm,
• (E) 412 25 cm.

Answer: C src_archimede_2008_biennio__Q06

Frazione percorsa dalla mamma all’incontro con Pietro

La casa e la scuola di Pietro si trovano alle due estremità di una strada rettilinea. La mamma di Pietro esce di casa e si dirige verso la scuola nello stesso momento in cui Pietro esce da scuola e si dirige verso casa. La mamma di Pietro cammina a velocità doppia rispetto a Pietro. Quanta parte del cammino da casa a scuola avrà percorso la mamma di Pietro nel momento in cui lo incontra?

• (A) 1/3,
• (B) 2/5,
• (C) 1/2,
• (D) 2/3,
• (E) 3/4.

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1

Fraction traveled by the mother to meet Pietro

Peter’s house and school are at both ends of a straight road. Peter’s mother leaves the house and heads for school at the same time as Peter leaves the school and heads home. Peter’s mother walks at twice the speed of Peter. How much of the way home from school will Peter’s mother have gone by the time she meets him?

• (A) 1/3,
• (B) 2/5,
• (C) 1/2,
• (D) 2/3,
• (E) 3/4.

Answer: D src_archimede_2008_biennio__Q07

Diametro biscotti rotondi in sfoglia quadrata

La mamma ha una sfoglia di pasta di forma quadrata di lato 40 cm da cui ritaglia 5 biscotti rotondi, tutti uguali tra loro, secondo lo schema in figura. Quanto misura il diametro di ciascun biscotto?

• (A) 40( √ 2 −1) cm,
• (B) 10 √ 2 cm,
• (C) 20( √ 2 −1) cm,
• (D) 16 cm,
• (E) 6( √ 2 + 1) cm.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1

Diameter of round biscuits in square shape

The mother has a square-shaped, side-by-side, 40-cm-shaped slice of pasta from which she slices five round biscuits, all of them equal to each other, according to the pattern in the figure. What is the diameter of each cookie?

• (A) 40( √ 2 −1) cm,
• (B) 10 √ 2 cm,
• (C) 20( √ 2 −1) cm,
• (D) 16 cm,
• (E) 6( √ 2 + 1) cm.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Answer: A src_archimede_2008_biennio__Q08

Conteggio numeri quattro cifre con 5 cifra massima

Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre in cui compare una e una sola volta la cifra 5 ed essa è la cifra più grande presente nel numero?

• (A) 225,
• (B) 400,
• (C) 425,
• (D) 525,
• (E) 600.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1

Counting four-digit numbers with a maximum of five digits

How many four-digit natural numbers do the number 5 appear in once and only once and it is the largest number present in the number?

• (A) 225,
• (B) 400,
• (C) 425,
• (D) 525,
• (E) 600.

Answer: C src_archimede_2008_biennio__Q09

Lunghezza ND dato area triangolo nel quadrato

In un quadrato ABCD di lato 1 cm, sono dati un punto M sul lato BC e un punto N sul lato CD tali che BM = ND. Si sa inoltre che l’area del triangolo AMN è pari a 4/9 cm2. Quanto vale la lunghezza del segmento ND?

• (A) 1 4 cm,
• (B) 1 3 cm,
• (C) 1 2 cm,
• (D) √ 5−1 2 cm,
• (E) √ 3 2 cm.

Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1

Length ND given triangle area in square

In a 1 cm side ABCD square, a point M on the BC side and a point N on the CD side are given such that BM = ND. It is also known that the area of the AMN triangle is 4/9 cm2. What is the length of the ND segment?

• (A) 1 4 cm,
• (B) 1 3 cm,
• (C) 1 2 cm,
• (D) √ 5−1 2 cm,
• (E) √ 3 2 cm.

Answer: B src_archimede_2008_biennio__Q10

Terne interi positivi soluzioni equazione quadratica

Quante sono le terne ordinate distinte (x, y, z) formate da numeri interi positivi (strettamente maggiori di zero) tali che x2 + 2xy + y2 −z2 = 9 ?

• (A) Nessuna,
• (B) due,
• (C) tre,
• (D) quattro,
• (E) più di sei.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Analisi per casi, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.2

Term positive integers solutions to the quadratic equation

How many distinct ordered sets (x, y, z) are formed of positive integers (strictly greater than zero) such that x2 + 2xy + y2 −z2 = 9 ?

• (A) None of them.
• (B) two,
• (C) three,
• (D) four,
• (E) More than six.

Answer: D src_archimede_2008_biennio__Q11

Somma numeri decimali periodici 0,60 e 0,70

Quanto fa 0, 60 + 0, 70?

• (A) 1, 3,
• (B) 1, 30,
• (C) 1, 31,
• (D) 1, 4,
• (E) 1, 40.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Summary of periodic decimal numbers 0,60 and 0,70

What’s 0, 60 plus 0, 70?

• (A) 1, 3,
• (B) 1, 30,
• (C) 1, 31,
• (D) 1, 4,
• (E) 1, 40.

Answer: C src_archimede_2008_biennio__Q12

Multipli di 5 o 7 minori o uguali a 1000

Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra 5 e 7 e minori o uguali a 1000?

• (A) 288,
• (B) 302,
• (C) 314,
• (D) 342,
• (E) 382.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Multipleths of 5 or 7 less than or equal to 1000

How many are the positive integers multiple of at least one between 5 and 7 and less than or equal to 1000?

• (A) 288,
• (B) 302,
• (C) 314,
• (D) 342,
• (E) 382.

Answer: C src_archimede_2008_biennio__Q13

Palline con zero data condizione di somma

In un sacchetto ci sono 20 palline e su ciascuna è scritto un numero intero compreso tra 0 e 10 (0 e 10 inclusi). Il numero scritto su ogni pallina se non è zero è la somma dei numeri scritti su tutte le altre palline. Allora le palline su cui è scritto zero sono:

• (A) non più di cinque,
• (B) dieci,
• (C) tredici,
• (D) sedici,
• (E) almeno diciotto.

Topic: Logica, giochi, strategie, Algebra Metodo: monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Pallines with zero given sum condition

There are 20 balls in a bag, each with an integer between 0 and 10 (0 and 10 included). The number written on each ball if it’s not zero is the sum of the numbers written on all the other balls. So the balls with zero on them are:

• (A) not more than five,
• (B) ten,
• (C) thirteen,
• (D) sixteen,
• (E) At least 18.

Answer: E src_archimede_2008_biennio__Q14

Case di partenza per percorso euleriano sulle strade

La figura a fianco è la pianta di un quartiere, i punti A, B, C e D sono le case e i segmenti sono le strade. Da quante delle quattro case è possibile partire per fare un percorso che passi una e una sola volta da ogni strada (passando eventualmente più di una volta per una stessa casa)?

• (A) 0,
• (B) 1,
• (C) 2,
• (D) 3,
• (E) 4.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Starting cases by eulerian route on roads

The figure next to it is the plan of a neighborhood, the points A, B, C and D are the houses and the segments are the streets. How many of the four houses can you start to make a path that passes once and only once from each street (perhaps passing more than once for the same house)?

• (A) 0,
• (B) 1,
• (C) 2,
• (D) 3,
• (E) 4.

Answer: C src_archimede_2008_biennio__Q15

Area delimitata da corde e arco in cerchio diviso in tre

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) circle (2cm);
  \coordinate (A) at (150:2);
  \coordinate (B) at (30:2);
  \coordinate (C) at (270:2);
  \draw (A) -- (C);
  \draw (B) -- (C);
  \fill (A) circle (1pt);
  \fill (B) circle (1pt);
  \fill (C) circle (1pt);
  \node[above left] at (A) {$A$};
  \node[above right] at (B) {$B$};
  \node[below] at (C) {$C$};
  \node[above] at (90:2) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Il raggio della circonferenza a fianco è di 5 cm; inoltre i punti A, B e C dividono la circonferenza in tre archi di uguale lunghezza. Calcolare l’area delimitata dalle corde AC e BC e dall’arco di estremi A e B contenente D.

• (A) 25( π 3 + √ 3 2 ) cm2,
• (B) 25( π 6 + √ 3) cm2,
• (C) 15( π 3 + √ 3 2 ) cm2,
• (D) 25 √ 3 2 cm2,
• (E) 25 2 ( π 3 + √ 3 2 ) cm2.

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Area bounded by rope and arc in a circle divided into three

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) circle (2cm);
  \coordinate (A) at (150:2);
  \coordinate (B) at (30:2);
  \coordinate (C) at (270:2);
  \draw (A) -- (C);
  \draw (B) -- (C);
  \fill (A) circle (1pt);
  \fill (B) circle (1pt);
  \fill (C) circle (1pt);
  \node[above left] at (A) {$A$};
  \node[above right] at (B) {$B$};
  \node[below] at (C) {$C$};
  \node[above] at (90:2) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

The radius of the side circumference is 5 cm; in addition, points A, B and C divide the circumference into three arcs of equal length. Calculate the area bounded by the AC and BC strings and by the D-containing A and B extreme arcs.

• (A) 25( π 3 + √ 3 2 ) cm2,
• (B) 25( π 6 + √ 3) cm2,
• (C) 15( π 3 + √ 3 2 ) cm2,
• (D) 25 √ 3 2 cm2,
• (E) 25 2 ( π 3 + √ 3 2 ) cm2.

Answer: A src_archimede_2008_biennio__Q16

Numero caselle scacchiera da numerazione a serpentina

Le caselle di una scacchiera quadrata sono numerate come illustrato nella figura a fianco. Nella seconda colonna si trova la casella numero 38 e la casella della terza colonna che sta sulla sua stessa riga ha il numero 43. Quante caselle ha la scacchiera?

• (A) 144,
• (B) 160,
• (C) 225,
• (D) 400,
• (E) 625. 1 2

Topic: Algebra, Combinatoria Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Number of chess boxes numbered in brackets

The boxes of a square chessboard are numbered as shown in the figure next to it. In the second column is box number 38 and the box in the third column which is on its own line is box number 43. How many boxes does the chessboard have?

• (A) 144,
• (B) 160,
• (C) 225,
• (D) 400,
• (E) 625. 1 2

Answer: D src_archimede_2008_biennio__Q17

Rapporto DC su DE da rapporto aree in rettangolo

In un rettangolo ABCD sia E un punto sul lato CD. Sapendo che l’area del triangolo ADE è un quinto dell’area del trapezio ABCE, calcolare il rapporto tra la lunghezza del segmento DC e quella del segmento DE.

• (A) 2,
• (B) 3,
• (C) 4,
• (D) 5,
• (E) 6.

Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

DC report on DE by ratio of rectangular areas

In an ABCD rectangle is E a point on the side of the CD. Knowing that the area of the ADE triangle is one fifth of the area of the ABCE trapezoid, calculate the ratio between the length of the DC segment and that of the DE segment.

• (A) 2,
• (B) 3,
• (C) 4,
• (D) 5,
• (E) 6.

Answer: B src_archimede_2008_biennio__Q18

Deduzione logica dalla negazione di affermazione universale

Un satellite munito di telecamera inviato sul pianeta Papilla ha permesso di stabilire che è falsa la convinzione di qualcuno che: “su Papilla sono tutti grassi e sporchi”. Quindi adesso sappiamo che:

• (A) su Papilla almeno un abitante è magro e pulito,
• (B) su Papilla tutti gli abitanti sono magri e puliti,
• (C) almeno un abitante di Papilla è magro,
• (D) almeno un abitante di Papilla è pulito,
• (E) se su Papilla tutti gli abitanti sono sporchi, almeno uno di loro è magro.

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Logical deduction from the negation of universal affirmation

A camera-equipped satellite sent to the planet Papilla made it possible to establish that someone’s belief that everyone on Papilla is fat and dirty is false. So now we know that:

• (A) On Papilla at least one inhabitant is thin and clean,
• (B) On Papilla all the inhabitants are thin and clean,
• (C) At least one inhabitant of Papilla is thin,
• (D) At least one inhabitant of Papilla is clean,
• (E) If everyone on Papilla is dirty, at least one of them is skinny.

Answer: E src_archimede_2008_biennio__Q19

Modi di scegliere terna spalatori con numeri distinti

La Polisportiva “I tropici” ha organizzato un torneo di calcio a cui partecipano 3 squadre ciascuna composta da 15 giocatori (riserve comprese) con maglie numerate da 1 a 15. La notte prima delle partite ha nevicato e per poter giocare è necessario spalare la neve dal campo. Viene deciso allora di nominare un gruppo di 3 spalatori scegliendo un giocatore per squadra in modo che non ci siano due giocatori con lo stesso numero di maglia. In quanti modi diversi può essere formato il gruppo degli spalatori?

• (A) 48,
• (B) 455,
• (C) 1125,
• (D) 2730,
• (E) 3375.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

How to choose a washing machine with distinct numbers

Polisportiva I tropici organised a football tournament with 3 teams each consisting of 15 players (including reserves) with jerseys numbered 1 to 15. The night before the game, it was snowing, and to play, you need to clear the snow off the field. It is then decided to appoint a group of 3 washers by selecting one player per team so that there are no two players with the same number of jerseys. How many different ways can the washing machine group be formed?

• (A) 48,
• (B) 455,
• (C) 1125,
• (D) 2730,
• (E) 3375.

Answer: D src_archimede_2008_biennio__Q20