Quanti interi n con √n a meno di 1 da √101
Quanti interi n sono tali che √n differisce da √ 101 per meno di 1?
- (A) 19
- (B) 21
- (C) 40
- (D) 41
- (E) 42.
Topic: Algebra Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Integer n with √n less than 1 from √101
How many integers n are such that √n differs from √ 101 by less than 1?
- (A) 19
- (B) 21
- (C) 40
- (D) 41
- (E) 42.
Answer: D src_archimede_2009_2livello__Q01
Volume del solido di rotazione del rombo attorno a un lato
Il perimetro di un rombo è 32 cm e ciascuno dei due angoli acuti misura 30°. Quanto vale il volume del solido ottenuto facendo ruotare il rombo intorno a un suo lato?
- (A) 128 √ 3π
- (B) 128π
- (C) 64( √ 3 −1)π
- (D) 64π
- (E) 32 √ 3π.
Topic: Geometria solida Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Volume of rolling solid around one side
The perimeter of a rim is 32 cm and each of the two sharp angles measures 30°. How much is the volume of the solid obtained by rotating the shaft around its side?
- (A) 128 √ 3π
- (B) 128π
- (C) 64( √ 3 −1)π
- (D) 64π
- (E) 32 √ 3π.
Answer: B src_archimede_2009_2livello__Q02
Anni tra 999 e 9999 con due o più zeri consecutivi
Nell’ultimo capodanno, andavano molto di moda degli occhiali con la forma del numero “2009” e le lenti al posto dei due zeri. Per fabbricare occhiali simili, è necessario che nel numero che rappresenta l’anno vi siano due o più zeri consecutivi (per esempio 3500 va bene, 2010 no). Quanti anni compresi tra l’anno 999 e l’anno 9999 contengono due o più zeri consecutivi nella loro scrittura?
- (A) 171
- (B) 180
- (C) 190
- (D) 191
- (E) 200.
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Years between 999 and 9999 with two or more consecutive zeros
In the last New Year, glasses with the shape of the number 2009 and lenses instead of the two zeros were very fashionable. In order to make similar glasses, it is necessary that there are two or more consecutive zeros in the number representing the year (e.g. 3500 is fine, 2010 no). How many years between the years 999 and 9999 have two or more consecutive zeros in their writing?
- (A) 171
- (B) 180
- (C) 190
- (D) 191
- (E) 200.
Answer: A src_archimede_2009_2livello__Q03
Quanti sinceri tra Luca, Maria, Nicola, Paola
A un tavolo, vi sono quattro persone: Luca, Maria, Nicola e Paola. Ognuno dei quattro mente sempre, oppure non mente mai. Inoltre non amano parlare di loro stessi, ma piuttosto dei loro amici; tant’è che quando gli viene chiesto chi di loro menta sempre,le loro risposte sono: Luca: “ogni ragazza è sempre sincera” Maria: “ogni ragazzo è sempre bugiardo” Nicola: “c’è una ragazza che mente sempre,l’altra è sempre sincera” Paola: “uno dei ragazzi è sempre sincero, l’altro mai”. Sapreste dire quanti al tavolo sono sempre sinceri?
- (A) Nessuno
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) tutti.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
How many sincere people between Luke, Mary, Nicholas, Paola
At a table, there are four people: Luke, Mary, Nicholas, and Paula. Each of the four always lies, or never lies. Also, they don’t like to talk about themselves, but rather about their friends; so much so that when asked who of them always lies, their answers are: Luke: Every girl is always sincere, Maria: Every boy is always a liar, Nicola: There is a girl who always lies, the other girl is always sincere, Paula: One of the boys is always sincere, the other never. Can you tell me how many people at the table are always honest?
- (A) No one .
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) I mean, everybody.
Answer: C src_archimede_2009_2livello__Q04
Area del quadrato LMNO da archi simmetrici del quadrato
Un quadrato ABCD di lato 1 è inscritto in una circonferenza γ. Si costruiscano i simmetrici degli archi ⌢ AB, ⌢ BC, ⌢ CD, ⌢ DA di γ rispetto ai lati AB, BC, CD, DA rispettivamente. Indichiamo con L, M, N, O i punti medi degli archi così ottenuti; quanto vale l’area di LMNO?
- (A) √ 2 4
- (B) √ 2 −1
- (C) 1 − √ 2 2
- (D) 1 4
- (E) 3 −2 √ 2. b c b c b c b c A B C D L M N O γ
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
area of the LMNO square by square symmetrical arcs
A square ABCD of side 1 is inscribed in a circumference γ. The symmetries of the arcs AB, BC, CD, DA of γ with respect to the sides AB, BC, CD, DA respectively are constructed. Let’s say with L, M, N, O the mean points of the arcs thus obtained; how much is the area of LMNO?
- (A) √ 2 4
- (B) √ 2 −1
- (C) 1 − √ 2 2
- (D) 1 4
- (E) 3 −2 √ 2. b c b c b c b c A B C D L M N O γ
Answer: E src_archimede_2009_2livello__Q05
Cosa si deduce su N data variazione di probabilità
Un’urna contiene N palline (N > 3) numerate da 1 a N. Se dall’urna vengono tolte due palline recanti numeri non multipli di 3 e una recante un multiplo di 3, la probabilità di ottenere un multiplo di 3 estraendo una singola pallina risulta minore di quanto era con l’urna completa. Cosa si può dedurre riguardo a N?
- (A) N è certamente multiplo di 3
- (B) N non è multiplo di 3
- (C) N è certamente dispari
- (D) N è certamente pari
- (E) nessuna delle affermazioni precedenti può essere dedotta.
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
What is deduced from N data change of probability
A ball contains N balls (N > 3) numbered 1 to N. If two balls with non-multiples of 3 and one with a multiple of 3 are removed from the ball, the probability of getting a multiple of 3 by extracting a single ball is less than with the full ball. What can be deduced about N?
- (A) N is certainly a multiple of 3.
- (B) N is not a multiple of 3
- (C) N is certainly odd.
- (D) N is certainly equal
- (E) None of the above claims can be deduced.
Answer: B src_archimede_2009_2livello__Q06
Massimo n interi senza somma né differenza divisibile per 100
Determinare il più grande intero n con questa proprietà: esistono n interi positivi distinti a1, … an tali che, comunque se ne scelgano fra essi due distinti, n´e la loro somma n´e la loro differenza siano divisibili per 100.
- (A) 49
- (B) 50
- (C) 51
- (D) 99
- (E) 100.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Maximum n integers without sum or difference divisible by 100
Determine the largest integer n with this property: there are distinct positive integers a1, … If they choose between two distinct ones, their sum and their difference shall be divisible by 100.
- (A) 49
- (B) 50
- (C) 51
- (D) 99
- (E) 100.
Answer: C src_archimede_2009_2livello__Q07
Percorso minimo del ladro per toccare parete e diamante
Il minuscolo, ma preziosissimo, Diamante Dodecaedrico si trova a 2 metri dalla parete sud e 3 metri dalla parete ovest di una stanza rettangolare le cui pareti nord e sud sono lunghe 4 metri e quelle est e ovest sono lunghe 3 metri. Un ladro si cala dal soffitto all’interno della stanza e tocca il pavimento a un metro dalla parete sud e a un metro dalla parete ovest. Si accorge però che deve immediatamente disattivare il sistema di allarme, tagliando almeno in un punto un filo che corre ad altezza da terra costante lungo le quattro pareti perimetrali della stanza. Quanti metri è lungo il percorso più breve che deve compiere per raggiungere prima un punto qualsiasi di una delle pareti, e poi il Diamante Dodecaedrico?
- (A) 3 + √ 2
- (B) 2 + √ 5
- (C) √ 17
- (D) √ 13
- (E) 2 √ 2.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Minimum route of the thief to touch walls and diamonds
The tiny but precious Dodecahedron Diamond is located two meters from the south wall and three meters from the west wall of a rectangular room whose north and south walls are four meters long and the east and west walls are three meters long. A thief descends from the ceiling inside the room and touches the floor one meter from the south wall and one meter from the west wall. However, you notice that you must immediately disable the alarm system, cutting at least one line running at a constant ground height along the four perimeter walls of the room. How many meters is the shortest path you have to take to first reach any point on one of the walls, and then the Dodecahedron Diamond?
- (A) 3 + √ 2
- (B) 2 + √ 5
- (C) √ 17
- (D) √ 13
- (E) 2 √ 2.
Answer: D src_archimede_2009_2livello__Q08
Quanti n con rappresentazione base 2 uguale a base 3 di 2n
Quanti interi positivi n hanno la proprietà che la loro rappresentazione in base 2 coincide con la rappresentazione in base 3 di 2n?
- (A) Nessuno
- (B) 1
- (C) 2
- (D) più di 2, ma in numero finito
- (E) infiniti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Quantities n with base 2 representation equal to base 3 of 2n
How many positive integers n have the property that their representation on base 2 coincides with the representation on base 3 of 2n?
- (A) No one .
- (B) 1
- (C) 2
- (D) more than 2, but in finite number
- (E) infinite.
Answer: C src_archimede_2009_2livello__Q09
Probabilità tutti a zero punti dopo 10 mani
Alberto, Barbara e Carlo stanno giocando a carte. Ad ogni mano, il vincitore guadagna 2 punti, mentre gli altri due giocatori perdono un punto a testa. Inizialmente, tutti hanno 0 punti. Qual è la probabilità che, dopo 10 mani, siano nuovamente tutti a zero punti?
- (A) 0
- (B) 1 5
- (C) 1 3
- (D) 10 6 310
- (E) 1 − 2 3 10 .
Topic: Probabilita e statistica Metodo: monovarianti Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
*Probability of all zero points after 10 hands *
Alberto, Barbara and Carlo are playing cards. In each hand, the winner gains 2 points, while the other two players lose one point each. Initially, everyone has zero points. What’s the probability that after 10 hands, they’re all zero again?
- (A) 0
- (B) 1 5
- (C) 1 3
- (D) 10 6 310
- (E) 1 − 2 3 10 .
Answer: A src_archimede_2009_2livello__Q10
Quanti paggi date liste identiche di risposte sui furfanti
Nell’isola Chenonc’è ci sono 2009 abitanti, divisi in tre clan: i furfanti che mentono sempre, i cavalieri che non mentono mai, i paggi che mentono un giorno sì e uno no, in modo indipendente l’uno dall’altro. Un giorno chiedo a ciascuno degli abitanti quanti furfanti sono sull’isola. Il primo dice: “c’è almeno 1 furfante”; il secondo dice: “ci sono almeno 2 furfanti”;… il 2009-esimo dice: “ci sono almeno 2009 furfanti”. Scrivo in una lista la successione delle 2009 risposte, nell’ordine in cui sono state pronunciate. Il giorno dopo interrogo allo stesso modo tutti gli abitanti (non necessariamente nello stesso ordine), ed ottengo una lista delle risposte identica a quella del giorno precedente. Sapendo che c’è un solo cavaliere sull’isola, quanti paggi ci sono?
- (A) Nessuno
- (B) 670
- (C) 1004
- (D) 1338
- (E) 1339.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
How many pages are given identical lists of answers on thieves
There are 2009 inhabitants on Chenonce Island, divided into three clans: the thieves who always lie, the knights who never lie, the pagans who lie one day yes and one day no, independently of each other. One day I ask every single one of the residents how many crooks there are on the island. The first one says: c is at least 1 thief; the second one says: there are at least 2 thieves… The 2009th says, “There are at least 2009 thieves”. I’m listing the 2009 responses in the order in which they were given. The next day I interview all the inhabitants in the same way (not necessarily in the same order), and I get a list of answers identical to that of the previous day. Knowing there’s only one knight on the island, how many pagas are there?
- (A) No one .
- (B) 670
- (C) 1004
- (D) 1338
- (E) 1339.
Answer: D src_archimede_2009_2livello__Q11
Massimo numero di fattori interi di x^16 + x
Francesco vuole scrivere il polinomio x16 + x come prodotto di più polinomi a coefficienti interi, ognuno di grado almeno 1. Quanti fattori potrà¨ı¿1 2 ottenere al massimo?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 5. Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Maximum number of integers of x^16 + x*
Francis wants to write the polynomial x16 + x as the product of multiple polynomials with integer coefficients, each of at least degree 1. How many factors can you get the most?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 5. Problems with numerical answer 5 points
Answer: E src_archimede_2009_2livello__Q12
Massimo k con k^2 che divide n!/(n-6)! per ogni n>6
Determinare il massimo intero positivo k tale che k2 divide n! (n −6)! per ogni n > 6.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 12 Fonte: apri PDF p.3
Maximum k with k squared dividing n!/(n-6)! for each n>6*
Determine the maximum positive integer k such that k2 divides n! (n −6)! for each n > 6.
Answer: 12 src_archimede_2009_2livello__Q13
Prime tre cifre decimali della somma di potenze di x
Sia x la più piccola delle due soluzioni dell’equazione x2 −4x + 2 = 0. Quali sono le prime tre cifre dopo la virgola nella scrittura (in base 10) del numero x + x2 + x3 + · · + x2009?
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 414 Fonte: apri PDF p.3
First three decimal digits of the sum of powers of x
Whether x is the smallest of the two solutions to the equation x2 −4x + 2 = 0. What are the first three digits after the comma in the writing (based 10) of the number x + x2 + x3 + · · + x2009?
Answer: 414 src_archimede_2009_2livello__Q14
Minimo c e infinite terne con 2c^2 = a^2 + b^2
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO a) Qual è il minimo intero positivo c tale che esista almeno una coppia (a, b) di interi positivi distinti tali che 2c2 = a2 + b2? b) Dimostrare che esistono infinite terne (a, b, c) di interi positivi distinti tali che 2c2 = a2 + b2.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: c=5 (terne (7,1,5)) Fonte: apri PDF p.4
Minimum c and infinite terms with 2c^2 = a^2 + b^2
DEMOSTRATIVE EXERCISE a) What is the minimum positive integer c such that there exists at least one pair (a, b) of distinct positive integers such that 2c2 = a2 + b2? (b) Demonstrate that there are infinitely many (a, b, c) distinct positive integers such that 2c2 = a2 + b2.
Answer: c=5 (terne (7,1,5)) src_archimede_2009_2livello__Q15
Angolo OMN doppio di ACB e rapporto tra aree
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (0,5);
\coordinate (M) at (2,2.5);
\coordinate (N) at (4.878,3.902);
\coordinate (H) at (2.439,1.951);
\coordinate (O) at (11.111,-8.889);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (M) circle (3.20156);
\draw (B)--(O);
\draw (N)--(O);
\draw[dashed] (A)--(N);
\draw[dashed] (M)--(N);
\foreach \p in {A,B,C,M,N,H,O}{\fill (\p) circle (2pt);}
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above left] at (C) {$C$};
\node[above left] at (M) {$M$};
\node[above right] at (N) {$N$};
\node[below left] at (H) {$H$};
\node[below right] at (O) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{document}ESERCIZIO DIMOSTRATIVO È dato un triangolo ABC, rettangolo in A e con AC cateto maggiore; sia M il punto medio di BC, N il simmetrico di A rispetto a BC, O l’intersezione fra la perpendicolare ad MN passante per N e la retta contenente BC. a) Dimostrare che l’angolo OMN è il doppio dell’angolo ACB. b) Dimostrare che il rapporto fra le aree di MNO e ABC vale un quarto del rapporto fra le lunghezze di BC e HM, dove H è il piede dell’altezza relativa all’ipotenusa di ABC.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.5
OMN angle double of ACB and ratio between areas
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (0,5);
\coordinate (M) at (2,2.5);
\coordinate (N) at (4.878,3.902);
\coordinate (H) at (2.439,1.951);
\coordinate (O) at (11.111,-8.889);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (M) circle (3.20156);
\draw (B)--(O);
\draw (N)--(O);
\draw[dashed] (A)--(N);
\draw[dashed] (M)--(N);
\foreach \p in {A,B,C,M,N,H,O}{\fill (\p) circle (2pt);}
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above left] at (C) {$C$};
\node[above left] at (M) {$M$};
\node[above right] at (N) {$N$};
\node[below left] at (H) {$H$};
\node[below right] at (O) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{document}DEMOSTRATIVE EXERCISE A triangle ABC, rectangle A and with AC cathetus major is given; either M is the mean point of BC, N is the symmetrical point of A with respect to BC, or the intersection between the perpendicular to MN passing through N and the straight containing BC. (a) Demonstrate that the OMN angle is twice the ACB angle. (b) Demonstrate that the ratio of the MNO to ABC areas is one quarter of the ratio of the BC to HM lengths, where H is the foot of the height relative to the ABC hypotenuse.
Answer: dimostrazione src_archimede_2009_2livello__Q16
Interi m con due espressioni razionali entrambe intere
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Determinare tutti gli interi positivi m per i quali sia 2 · 5m + 10 3m + 1 che 9m + 1 5m + 5 sono interi.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: m=1 Fonte: apri PDF p.6
Integrations with two rational expressions of both integers
Demonstratory Exercise Determine all positive integers m for which both 2 · 5m + 10 3m + 1 and 9m + 1m + 5 are integers.
Answer: m=1 src_archimede_2009_2livello__Q17