Massimo lunedi in 45 giorni consecutivi
Quanti lunedì possono esserci al massimo in 45 giorni consecutivi?
- (A) 5,
- (B) 6,
- (C) 7,
- (D) 8,
- (E) 9.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3 Anche in triennio: apri PDF p.5
Maximum Monday for 45 consecutive days
How many Mondays can there be for 45 consecutive days?
- (A) 5,
- (B) 6,
- (C) 7,
- (D) 8,
- (E) 9.
Answer: C src_archimede_2010_biennio__Q01
Minimo calzini per due dello stesso colore
Emilio prende al buio dei calzini da una cesta in cui ci sono: 6 calzini neri, 14 calzini blu e 8 calzini verdi. Per essere sicuro che tra i calzini che ha preso ce ne siano due dello stesso colore, il numero minimo di calzini che deve prendere è:
- (A) 3,
- (B) 4,
- (C) 9,
- (D) 15,
- (E) 21.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.3 Anche in triennio: apri PDF p.5
Minimum socks for two of the same colour
Emilio takes the socks out of a basket in the dark with six black socks, 14 blue socks and eight green socks. To make sure that among the socks you picked up there are two of the same color, the minimum number of socks you need to pick up is:
- (A) 3,
- (B) 4,
- (C) 9,
- (D) 15,
- (E) 21.
Answer: B src_archimede_2010_biennio__Q02
Distanza in linea retta cuccia-bar con angoli dati
La figura a fianco rappresenta il tragitto fatto da Pluto per andare dalla sua cuccia, posta in A, al bar, posto in D. I tre segmenti AB, BC e CD sono lunghi 100 metri ciascuno. Se l’angolo d ABC (interno al triangolo ABC) è di 120°e l’angolo d BCD (interno al triangolo BCD) è di 60°, quanto dista in linea retta il bar dalla cuccia?
- (A) 100 m,
- (B) 100 √ 3 m,
- (C) 200 m,
- (D) 330 m,
- (E) 200 √ 3 m.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Distance in a straight line between cage and bar with data angles
The figure next to it represents Pluto’s journey to his nest, placed in A, to the bar, placed in D. The three segments AB, BC and CD are 100 meters long each. If the angle d ABC (within the triangle ABC) is 120° and the angle d BCD (within the triangle BCD) is 60°, how far in a straight line is the bar from the puppy?
- (A) 100 m,
- (B) 100 √ 3 m,
- (C) 200 m,
- (D) 330 m,
- (E) 200 √ 3 m.
Answer: C src_archimede_2010_biennio__Q03
Ordinamento corretto di radici 2rad2, rad10, rad5+rad3
Quale fra queste serie di disuguaglianze è corretta?
- (A) 2 √ 2 < √ 10 < √ 5 + √ 3,
- (B) √ 5 + √ 3 < 2 √ 2 < √ 10,
- (C) 2 √ 2 < √ 5 + √ 3 < √ 10,
- (D) √ 10 < 2 √ 2 < √ 5 + √ 3,
- (E) √ 5 + √ 3 < √ 10 < 2 √ 2.
Topic: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.3 Anche in triennio: apri PDF p.5
Right ordering of roots 2rad2, rad10, rad5+rad3
Which of these inequalities is correct?
- (A) 2 √ 2 < √ 10 < √ 5 + √ 3,
- (B) √ 5 + √ 3 < 2 √ 2 < √ 10,
- (C) 2 √ 2 < √ 5 + √ 3 < √ 10,
- (D) √ 10 < 2 √ 2 < √ 5 + √ 3,
- (E) √ 5 + √ 3 < √ 10 < 2 √ 2.
Answer: A src_archimede_2010_biennio__Q04
Numero petali tangenti attorno a cerchio centrale
Matilde vuole regalare una margherita di cartone alla sua mamma. Ritaglia un cerchio giallo e lo mette al centro. Poi ritaglia alcuni cerchi bianchi, dello stesso raggio del cerchio giallo, per fare i petali. Dispone i petali nel modo seguente: il primo tangente esternamente al cerchio giallo, il secondo tangente esternamente al cerchio giallo e al primo petalo, e così via fino a completare il giro con l’ultimo petalo che è tangente al penultimo e al primo petalo, e al cerchio giallo. Quanti petali ha la margherita?
- (A) 3,
- (B) 4,
- (C) 5,
- (D) 6,
- (E) questa disposizione è impossibile: l’ultimo petalo si sovrappone necessariamente al primo.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.3 Anche in triennio: apri PDF p.5
Number of tangent petals around the central circle
Matilde wants to give her mom a cardboard dagger. Cut a yellow circle and put it in the center. Then he cuts out some white circles, the same radius as the yellow circle, to make the petals. It arranges the petals as follows: the first tangent externally to the yellow circle, the second tangent externally to the yellow circle and the first petal, and so on until completing the round with the last petal which is tangent to the penultimate and the first petal, and the yellow circle. How many petals does the margherita have?
- (A) 3,
- (B) 4,
- (C) 5,
- (D) 6,
- (E) This arrangement is impossible: the last petal necessarily overlaps with the first.
Answer: D src_archimede_2010_biennio__Q05
Affermazione vera su tre numeri con somme coppie non negative
a, b e c sono numeri reali tali che comunque se ne scelgano due la loro somma è maggiore o uguale a zero. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vera?
- (A) a · b · c ≥0,
- (B) almeno uno dei tre numeri è zero,
- (C) almeno uno dei tre numeri è strettamente minore di zero,
- (D) a, b e c sono tutti maggiori o uguali a zero,
- (E) a + b + c ≥0.
Topic: Disuguaglianze, Logica, giochi, strategie Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.3 Anche in triennio: apri PDF p.5
True statement on three numbers with non-negative pair sums
a, b and c are real numbers such that if you choose two, their sum is greater than or equal to zero. Which of the following is certainly true?
- (A) a · b · c ≥0,
- (B) At least one of the three numbers is zero.
- (C) At least one of the three numbers is strictly less than zero.
- (D) a, b and c are all greater than or equal to zero,
- (E) a + b + c ≥0.
Answer: E src_archimede_2010_biennio__Q06
Colorazioni di sette stati con tre colori
Concetta immagina un mondo piatto e tondo, e lo divide in sette stati, uno centrale e gli altri sei intorno a questo, come indicato nella figura a fianco. Inoltre a ciascuno stato assegna come nome una lettera (vedi figura). Vuole colorare ciascuno stato di rosso, oppure di verde, oppure di giallo, in modo che due stati confinanti non abbiano lo stesso colore. In quanti modi diversi può farlo?
- (A) Nessuno,
- (B) 2,
- (C) 4,
- (D) 5,
- (E) 6.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: parita, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Seven-state colours with three colours
Concept imagines a flat, round world, and divides it into seven states, one central and the other six around it, as shown in the figure next to it. In addition, each state is given a letter (see figure). He wants to color each state red, or green, or yellow, so that two neighboring states don’t have the same color. How many different ways can you do that?
- (A) No one.
- (B) 2,
- (C) 4,
- (D) 5,
- (E) 6.
Answer: E src_archimede_2010_biennio__Q07
Distanza AB da due incontri di camminatori
Alberto cammina da A a B e poi (senza fermarsi in B) torna ad A; Barbara cammina da B ad A e poi (senza fermarsi in A) torna a B. Entrambi si muovono in linea retta, con velocità costante (ma le due velocità non sono necessariamente uguali). Partono nello stesso istante, e si incontrano una prima volta, all’andata, a 700 metri da B, e una seconda volta, mentre Alberto sta andando da B ad A e Barbara da A a B, a 400 metri da A. Quanto dista A da B?
- (A) 900 metri,
- (B) 1100 metri,
- (C) 1700 metri,
- (D) 2000 metri,
- (E) non si può determinare.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Distance AB from two walker meetings
Alberto walks from A to B and then (without stopping in B) returns to A; Barbara walks from B to A and then (without stopping in A) returns to B. Both move in a straight line, with constant speed (but the two speeds are not necessarily the same). They leave at the same moment, and they meet for the first time, backwards, 700 meters from B, and a second time, while Alberto is going from B to A and Barbara from A to B, 400 meters from A. How far is A from B?
- (A) 900 meters,
- (B) 1,100 meters,
- (C) 1,700 meters,
- (D) 2,000 meters,
- (E) It’s impossible to determine.
Answer: C src_archimede_2010_biennio__Q08
Numeri pari da 2 a 2010 non multipli di tre
Luca scrive sulla lavagna tutti i numeri pari consecutivi da 2 e 2010 (compresi). Poi Giovanni cancella tutti i numeri che sono multipli di tre. Quanti numeri rimangono?
- (A) 670,
- (B) 710,
- (C) 840,
- (D) 905,
- (E) 1005.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Numbers equal to 2 to 2010 not multiples of three
Luke writes on the board all consecutive even numbers from 2 and 2010 (included). Then John deletes all numbers that are multiples of three. How many numbers are left?
- (A) 670,
- (B) 710,
- (C) 840,
- (D) 905,
- (E) 1005.
Answer: A src_archimede_2010_biennio__Q09
Percentuale riduzione per tornare al numero iniziale corsie
Silvano, l’uomo più ricco di Nettuno, possiede un’autostrada con molte corsie. In un momento di prosperità decide di aumentare il numero di corsie del 60 %. Successivamente, a causa di un’antica legge del pianeta, deve ridurre il numero di corsie di una certa percentuale X. Dopo averlo fatto si ritrova con lo stesso numero
di corsie che aveva all’inizio. Quanto vale X?
- (A) 15%,
- (B) 21,5%,
- (C) 28%,
- (D) 37,5%,
- (E) 60%.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.3 Anche in triennio: apri PDF p.5
Percentage reduction to return to the original number of lanes
Silvanus, Neptune’s richest man, owns a highway with many lanes. At a time of prosperity he decides to increase the number of lanes by 60%. Next, because of an ancient planetary law, it must reduce the number of lanes by a certain percentage of X. After you do that, you find yourself with the same number.
It’s the tracks you had at the beginning. How much is X worth?
- (A) 15%,
- (B) 21,5%,
- (C) 28%,
- (D) 37,5%,
- (E) 60%.
Answer: D src_archimede_2010_biennio__Q10
Perimetro triangolo con angoli 30 e 105 e lato 2
In un triangolo due angoli misurano rispettivamente 30°e 105°ed il lato tra essi compreso è lungo 2 cm. Qual è la misura del perimetro del triangolo?
- (A) (5 + √ 3) cm,
- (B) (2 + 2 √ 3 + √ 2) cm,
- (C) (3 + √ 3 + √ 2) cm,
- (D) (5 + √ 2) cm,
- (E) (2 + 3 √ 3) cm.
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.4 Anche in triennio: apri PDF p.5
Triangle perimeter with angles 30 and 105 and side 2
In a triangle two angles measure 30° and 105° respectively and the side between them is 2 cm long. What is the size of the perimeter of the triangle?
- (A) (5 + √ 3) cm,
- (B) (2 + 2 √ 3 + √ 2) cm,
- (C) (3 + √ 3 + √ 2) cm,
- (D) (5 + √ 2) cm,
- (E) (2 + 3 √ 3) cm.
Answer: C src_archimede_2010_biennio__Q11
Somma 1+2+2+3+3+…+35+35+36
Quanto vale la somma: 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + … + 35 + 35 + 36?
- (A) 990,
- (B) 1105,
- (C) 1295,
- (D) 1395,
- (E) 1505.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.4 Anche in triennio: apri PDF p.5
This is the total amount of the sum of the sums of the following sums:
What ‘s the sum: 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + … + 35 + 35 + 36?
- (A) 990,
- (B) 1105,
- (C) 1295,
- (D) 1395,
- (E) 1505.
Answer: C src_archimede_2010_biennio__Q12
Numero cifre concatenando i naturali da 1 a 2010
Scriviamo tutti i numeri naturali da 1 a 2010 (compresi) uno di seguito all’altro in modo da formare un nuovo numero naturale; quante cifre ha questo numero?
- (A) 2010,
- (B) 3540,
- (C) 5225,
- (D) 6933,
- (E) 7253.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
Number of digits by tangent natural numbers from 1 to 2010
Let’s write all the natural numbers from 1 to 2010 (including) one after the other to form a new natural number; how many digits does this number have?
- (A) 2010,
- (B) 3540,
- (C) 5225,
- (D) 6933,
- (E) 7253.
Answer: D src_archimede_2010_biennio__Q13
Area triangolo ABG da diagonali in esagono regolare
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0.5,0.866);
\coordinate (B) at (1,0);
\coordinate (C) at (0.5,-0.866);
\coordinate (D) at (-0.5,-0.866);
\coordinate (E) at (-1,0);
\coordinate (F) at (-0.5,0.866);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
\node[above] at (A) {$A$};
\node[right] at (B) {$B$};
\node[below] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[above] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}ABCDEF è un esagono regolare di lato 1 cm. G è il punto di intersezione tra le diagonali AC e BE. Quanto vale l’area del triangolo ABG?
- (A) √ 3−1 2 cm2,
- (B) √ 3 8 cm2,
- (C) 9 40 cm2,
- (D) 1+ √ 3 12 cm2,
- (E) √ 3 4 cm2.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.4 Anche in triennio: apri PDF p.6
ABG triangle area from diagonal to regular hexagon
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0.5,0.866);
\coordinate (B) at (1,0);
\coordinate (C) at (0.5,-0.866);
\coordinate (D) at (-0.5,-0.866);
\coordinate (E) at (-1,0);
\coordinate (F) at (-0.5,0.866);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
\node[above] at (A) {$A$};
\node[right] at (B) {$B$};
\node[below] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[above] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}ABCDEF is a regular hexagon with a side length of 1 cm. G is the intersection point between the AC and BE diagonals. How much is the area of the ABG triangle?
- (A) √ 3−1 2 cm2,
- (B) √ 3 8 cm2,
- (C) 9 40 cm2,
- (D) 1+ √ 3 12 cm2,
- (E) √ 3 4 cm2.
Answer: B src_archimede_2010_biennio__Q14
Numero cifre di 112233445566778899 diviso 11
Quante cifre ha il numero (112233445566778899)/11?
- (A) 9,
- (B) 13,
- (C) 17,
- (D) 19,
- (E) 23.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
The number of digits 112233445566778899 divided by 11*
How many digits does the number (112233445566778899)/11 have?
- (A) 9,
- (B) 13,
- (C) 17,
- (D) 19,
- (E) 23.
Answer: C src_archimede_2010_biennio__Q15
Numeri quattro cifre con unita somma di decine e centinaia
Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre, tali che la cifra delle unità sia la somma della cifra delle decine e di quella delle centinaia?
- (A) 315,
- (B) 495,
- (C) 540,
- (D) 720,
- (E) 900.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Four-digit numbers with the combined sum of tens and hundreds
How many are the four-digit natural numbers, such that the number of units is the sum of the number of tens and the number of hundreds?
- (A) 315,
- (B) 495,
- (C) 540,
- (D) 720,
- (E) 900.
Answer: B src_archimede_2010_biennio__Q16
Area triangolo DEF in triangolo equilatero con perpendicolare
In un triangolo equilatero ABC con lato di lunghezza 3 m, prendiamo i punti D, E e F sui lati AC, AB e BC rispettivamente, in modo che i segmenti AD e FC misurino 1 m e il segmento DE sia perpendicolare a AC. Quanto misura l’area del triangolo DEF?
- (A) 3 √ 3 4 m2,
- (B) √ 3 2 m2,
- (C) 3 √ 3 m2,
- (D) 3 2 m2,
- (E) 4 √ 3 3 m2.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.4
DEF triangle area in an equilateral triangle with perpendicular
In an ABC equilateral triangle with a side length of 3 m, we take points D, E and F on the sides AC, AB and BC respectively, so that the segments AD and FC measure 1 m and the DE segment is perpendicular to AC. What is the area of the DEF triangle?
- (A) 3 √ 3 4 m2,
- (B) √ 3 2 m2,
- (C) 3 √ 3 m2,
- (D) 3 2 m2,
- (E) 4 √ 3 3 m2.
Answer: A src_archimede_2010_biennio__Q17
Colpevole tra cinque sospettati con dichiarazioni
Un celebre investigatore sta cercando il colpevole di un omicidio tra cinque sospettati: Anna, Bruno, Cecilia, Dario ed Enrico. Egli sa che il colpevole mente sempre e gli altri dicono sempre la verità. Anna afferma: “Il colpevole è un maschio!”. Cecilia dice: “È stata Anna oppure è stato Enrico”. Infine Enrico dice: “Se Bruno è colpevole allora Anna è innocente”. Chi ha commesso l’omicidio?
- (A) Anna,
- (B) Bruno,
- (C) Cecilia,
- (D) Dario,
- (E) Enrico.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.4
Guilty among five suspects with statements
A famous investigator is looking for the culprit of a murder among five suspects: Anna, Bruno, Cecilia, Dario and Henry. He knows that the culprit always lies and the others always tell the truth. Anna says, “The culprit is a man!” Cecilia says, “It was Anna or it was Henry”. Finally, Henry says, “If Bruno is guilty, then Anna is innocent”. Who committed the murder?
- (A) Anna, what are you doing?
- (B) Bruno, what are you doing?
- (C) Cecilia, what are you doing?
- (D) Dario, what are you doing?
- (E) I’m going to go.
Answer: A src_archimede_2010_biennio__Q18
Coppie interi maggiori di 1 con x^2+y=xy+1
Quante coppie (x, y), formate da numeri interi strettamente maggiori di 1, sono tali che: x2 + y = xy + 1?
- (A) Nessuna,
- (B) una,
- (C) due,
- (D) tre,
- (E) più di quattro.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Interest pairs greater than 1 with x^2+y=xy+1
How many pairs (x, y), made up of integers strictly greater than 1, are such that: x2 + y = xy + 1?
- (A) None of them.
- (B) One of them.
- (C) two,
- (D) three,
- (E) More than four.
Answer: E src_archimede_2010_biennio__Q19
Lato quadrato equiscomposto da triangolo equilatero
Ciro taglia un triangolo equilatero fatto di carta, di lato 20 cm, in alcuni pezzi che poi dispone sul suo tavolo in modo che non si sovrappongano e che formino un quadrato. Quanto è lungo il lato del quadrato?
- (A) 20 cm,
- (B) 10 4√ 3 cm,
- (C) 15 cm,
- (D) 8 4√ 2 cm,
- (E) 10 √ 3 cm. PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE I Giochi di Archimede - Gara Triennio 17 novembre 2010
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Equal square side consisting of an equilateral triangle
Cyrus cuts an equilateral triangle made of paper, on the side 20 cm, into pieces that he then places on his table so that they do not overlap and form a square. How long is the side of the square?
- (A) 20 cm,
- (B) 10 4√ 3 cm,
- (C) 15 cm,
- (D) 8 4√ 2 cm,
- (E) 10 √ 3 cm. I’m not going to say anything about it. Italian Mathematical Union Ministry of Public Instruction Higher Normal School The Games of Archimedes - Triennial Competition 17 November 2010
Answer: B src_archimede_2010_biennio__Q20