Numero cifre del quadrato di un numero di 10 cifre
Quante cifre ha il quadrato di un numero naturale di 10 cifre?
- (A) meno di 25,
- (B) 40,
- (C) 50,
- (D) 60,
- (E) almeno 100.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.5
Number of digits in the square of a 10-digit number
How many digits does the square of a 10-digit natural number have?
- (A) less than 25,
- (B) 40,
- (C) 50,
- (D) 60,
- (E) At least 100.
Answer: A src_archimede_2010_triennio__Q03
Colorazioni di otto stati con tre colori impossibili
Concetta immagina un mondo piatto e tondo, e lo divide in otto stati, uno centrale e sette intorno a questo, come indicato nella figura a fianco. Inoltre a ciascuno stato assegna come nome una lettera (vedi figura). Vuole colorare ciascuno stato di rosso, oppure di verde, oppure di giallo, in modo che due stati confinanti non abbiano lo stesso colore. In quanti modi diversi può farlo?
- (A) Nessuno,
- (B) 2,
- (C) 4,
- (D) 5,
- (E) 6.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: parita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.5
Eight-state colours with three impossible colours
Concept imagines a flat, round world, and divides it into eight states, one central and seven around it, as shown in the figure next to it. In addition, each state is given a letter (see figure). He wants to color each state red, or green, or yellow, so that two neighboring states don’t have the same color. How many different ways can you do that?
- (A) No one.
- (B) 2,
- (C) 4,
- (D) 5,
- (E) 6.
Answer: A src_archimede_2010_triennio__Q07
Partite vinte data classifica con punti e pareggi
La squadra dei matematici partecipa ad un campionato in cui ogni vittoria vale 3 punti, ogni pareggio 1 punto e ogni sconfitta 0 punti. Dopo le prime 13 partite la squadra ha 29 punti e ha perso tante partite quante ne ha pareggiate. Quante partite ha vinto finora?
- (A) 4,
- (B) 6,
- (C) 8,
- (D) 9,
- (E) 11.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.5
Matches won at the time of classification with points and draws
The math team participates in a championship where each win is worth 3 points, each tie is worth 1 point, and each defeat is worth 0 points. After the first 13 games, the team has 29 points and lost as many matches as it has evened. How many games have you won so far?
- (A) 4,
- (B) 6,
- (C) 8,
- (D) 9,
- (E) 11.
Answer: D src_archimede_2010_triennio__Q11
Valori n con radici intere distinte di 3x^2+2nx+3
Per quanti valori distinti del numero naturale n l’equazione 3x2 + 2nx + 3 = 0 ha due soluzioni reali distinte, e queste sono entrambe numeri interi?
- (A) Nessuno,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 4,
- (E) più di 5.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.5
N values with distinct integer roots of 3x^2+2nx+3
For how many distinct values of the natural number n does the equation 3x2 + 2nx + 3 = 0 have two distinct real solutions, and these are both integers?
- (A) No one.
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 4,
- (E) more than five.
Answer: A src_archimede_2010_triennio__Q12
Numero cifre di 111222…888999 diviso 111
Quante cifre ha il numero (111222333444555666777888999)/111?
- (A) 13,
- (B) 21,
- (C) 25,
- (D) 27,
- (E) 29.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.6
Number of digits 111222 to 888999 divided by 111
How many digits does the number (111222333444555666777888999)/111 have?
- (A) 13,
- (B) 21,
- (C) 25,
- (D) 27,
- (E) 29.
Answer: C src_archimede_2010_triennio__Q14
Tempo per l’ultimo km con km via via piu veloci
Un atleta percorre 5 km in 16 minuti e 40 secondi. Durante il percorso aumenta progressivamente la sua velocità, in modo che ogni chilometro viene coperto in 5 secondi in meno del precedente. Quanto tempo impiega per percorrere l’ultimo chilometro?
- (A) 2 minuti e 55 secondi,
- (B) 3 minuti,
- (C) 3 minuti e 5 secondi,
- (D) 3 minuti e 10 secondi,
- (E) 3 minuti e 15 secondi.
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.6
Time for the last km with km on the fastest route
An athlete walks 5 km in 16 minutes and 40 seconds. During the route, its speed gradually increases, so that each kilometer is covered in 5 seconds less than the previous one. How long does it take to walk the last mile?
- (A) Two minutes and 55 seconds,
- (B) Three minutes,
- (C) Three minutes and five seconds,
- (D) 3 minutes and 10 seconds,
- (E) Three minutes and 15 seconds.
Answer: D src_archimede_2010_triennio__Q15
Terne interi 0-100 con identita tra quadrati
Quante terne distinte (x, y, z), formate da numeri interi compresi tra 0 e 100 (estremi inclusi), soddisfano (x −y)2 + (y + z)2 = (x + y)2 + (y −z)2?
- (A) 101 · 201,
- (B) 106,
- (C) 1012,
- (D) 104,
- (E) 51 · 301.
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.6
Integer fields 0-100 with identity between squares
How many distinct ternes (x, y, z), made up of integers between 0 and 100 (extremes included), satisfy (x −y) 2 + (y + z) 2 = (x + y) 2 + (y −z) 2?
- (A) 101 · 201,
- (B) 106,
- (C) 1012,
- (D) 104,
- (E) 51 · 301.
Answer: A src_archimede_2010_triennio__Q16
Area EFGH con triangoli equilateri sui lati del quadrato
Nella figura a fianco, il quadrato ABCD ha lato 1 m e i triangoli: ABG, BCH, CDE e DAF sono equilateri. Quanto vale l’area di EFGH?
- (A) 1 6 m2,
- (B) 1 4 m2,
- (C) (2 − √ 3) m2,
- (D) (3 √ 3 −5) m2,
- (E) 1 3 m2.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.6
EFGH area with equilateral triangles on the sides of the square
In the figure below, the square ABCD has a side of 1 m and the triangles ABG, BCH, CDE and DAF are equilateral. How much is the EFGH area?
- (A) 1 6 m2,
- (B) 1 4 m2,
- (C) (2 − √ 3) m2,
- (D) (3 √ 3 −5) m2,
- (E) 1 3 m2.
Answer: C src_archimede_2010_triennio__Q17
Quadrati perfetti di almeno tre cifre fino a 20102011*
Quanti sono i quadrati perfetti di almeno tre cifre, minori o uguali di 2010 · 2011?
- (A) 1890,
- (B) 1910,
- (C) 2001,
- (D) 2011,
- (E) 2110.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.6
Perfect squares of at least three digits until 20102011*
How many perfect squares of at least three digits less than or equal to 2010 · 2011?
- (A) 1890,
- (B) 1910,
- (C) 2001,
- (D) 2011,
- (E) 2110.
Answer: C src_archimede_2010_triennio__Q18
Quanti gatti viola tra dichiarazioni veri e bugiardi
Il maggiore Tom è atterrato su un pianeta popolato da gatti viola, che dicono sempre la verità, e da gatti neri, che mentono sempre. Nel buio più completo incontra 5 gatti, che si rivolgono a lui nel modo seguente. Primo gatto: “Sono viola”; secondo gatto: “Almeno 3 di noi sono viola”, terzo gatto: “Il primo gatto è nero”, quarto gatto: “Almeno 3 di noi sono neri”, quinto gatto: “Siamo tutti neri”. Quanti dei 5 gatti sono viola?
- (A) nessuno,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.6
How many purple cats between true and false statements
Major Tom has landed on a planet populated by purple cats, who always tell the truth, and black cats, who always lie. In the most complete darkness he encounters five cats, who address him as follows. First cat: I am purple; second cat: At least 3 of us are purple, third cat: The first cat is black, fourth cat: At least 3 of us are black, fifth cat: We are all black. How many of the five cats are purple?
- (A) No one.
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Answer: C src_archimede_2010_triennio__Q19
Combinazioni cassaforte cinque cifre con vincoli parita e divisibilita
Valeria deve scegliere la combinazione della sua cassaforte, che deve essere un numero di cinque cifre, tutte diverse da zero, divisibile per tre, e tale che delle prime quattro cifre (da sinistra) due siano pari e due dispari. Quante possibilità ha?
- (A) 25 · 52,
- (B) 25 · 52 · 32,
- (C) 22 · 53 · 32,
- (D) 52 · 34,
- (E) 210 · 5 · 3.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.6
Five-digit safe combinations with even and divisibility constraints
Valeria must choose the combination of her safe, which must be a five-digit number, all different from zero, divisible by three, and such that of the first four digits (left) two are equal and two are odd. How many chances do you have?
- (A) 25 · 52,
- (B) 25 · 52 · 32,
- (C) 22 · 53 · 32,
- (D) 52 · 34,
- (E) 210 · 5 · 3.
Answer: B src_archimede_2010_triennio__Q20
Studenti che hanno sbadigliato dopo 57 secondi
All’Università delle Favole, dove gli studenti sono infiniti e gli sbadigli molto contagiosi, ogni volta che uno studente sbadiglia altri 2 studenti sbadigliano dopo 5 secondi (chi ha già sbadigliato non lo fa più). Ieri la Bella Addormentata (una studentessa) era lì e, essendo molto stanca, ha sbadigliato per prima! In quanti (inclusa la Bella Addormentata) avevano sbadigliato dopo 57 secondi?
- (A) 2047,
- (B) 3024,
- (C) 3625,
- (D) 4095,
- (E) 8192.
Topic: successioni, Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.6
Students who fainted after 57 seconds
At Fairy Tales University, where students are endless and blinking is very contagious, every time a student blinkes, 2 other students blink after 5 seconds (one who has already blinked doesn’t do it anymore). Yesterday the Sleeping Beauty (a student) was there and, being very tired, fainted first! How many (including Sleeping Beauty) had fainted after 57 seconds?
- (A) 2047,
- (B) 3024,
- (C) 3625,
- (D) 4095,
- (E) 8192.
Answer: D src_archimede_2010_triennio__Q21
Stato raggiungibile con incantesimi su palline (invarianti)
Mago Merlino ha 7 palline bianche e 7 nere, e può fare due tipi di incantesimi: il primo fa sparire 3 palline nere e ne fa comparire 2 bianche (Merlino lo può fare solo se ci sono almeno 3 palline nere); il secondo fa sparire 4 palline bianche e ne fa comparire 9 nere (Merlino lo può fare solo se ci sono almeno 4 palline bianche). Dopo aver lanciato varie volte questi incantesimi è possibile che si trovi con…
- (A) 2 palline bianche e 15 nere,
- (B) 4 palline bianche e 14 nere,
- (C) 3 palline bianche e 11 nere,
- (D) 7 palline bianche e 13 nere,
- (E) 10 palline bianche e 10 nere.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.6
*State achievable by spells on balls (invariants) *
The Magician Merlin has 7 white and 7 black balls, and can perform two types of spells: the first makes 3 black balls disappear and makes 2 white ones appear (Merlin can only do this if there are at least 3 black balls); the second makes 4 white balls disappear and makes 9 black ones appear (Merlino can only do this if there are at least 4 white balls). After several times casting these spells, it’s possible that you’ll find yourself with…
- (A) Two white balls and 15 black balls.
- (B) Four white balls and 14 black balls,
- (C) Three white balls and 11 black balls.
- (D) Seven white balls and 13 black balls,
- (E) 10 white balls and 10 black balls.
Answer: D src_archimede_2010_triennio__Q22
Raggio circonferenza per P, Q, B con triangoli equilateri
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,2);
\coordinate (B) at (0,1);
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (D) at (0.866,1.5);
\coordinate (E) at (0.866,0.5);
\draw (A)--(C);
\draw (A)--(D)--(B);
\draw (B)--(E)--(C);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[left] at (B) {$B$};
\node[left] at (C) {$C$};
\node[right] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nella figura a fianco, AC misura 2 cm, B è il punto medio di AC e i triangoli ABD e BCE sono equilateri. Se P e Q sono i centri di ABD e BCE rispettivamente, quanto misura il raggio della circonferenza passante per P, Q e B?
- (A) √ 3 6 cm,
- (B) 1 2 cm,
- (C) 1 cm,
- (D) √ 3 3 cm,
- (E) √ 3 2 cm.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.6
Radio of circumference for P, Q, B with equilateral triangles
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,2);
\coordinate (B) at (0,1);
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (D) at (0.866,1.5);
\coordinate (E) at (0.866,0.5);
\draw (A)--(C);
\draw (A)--(D)--(B);
\draw (B)--(E)--(C);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[left] at (B) {$B$};
\node[left] at (C) {$C$};
\node[right] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the figure below, AC measures 2 cm, B is the midpoint of AC and the triangles ABD and BCE are equilateral. If P and Q are the centers of ABD and ECB respectively, what is the radius of the passing circumference measured for P, Q and B?
- (A) √ 3 6 cm,
- (B) 1 2 cm,
- (C) 1 cm,
- (D) √ 3 3 cm,
- (E) √ 3 2 cm.
Answer: D src_archimede_2010_triennio__Q23
Volume cono tagliato a un quarto dell’altezza
Un cono circolare retto ha volume 1 m3. Si taglia il cono parallelamente alla base, a una distanza dal vertice pari a un quarto dell’altezza del cono. Si ottiene così un nuovo cono; qual è il suo volume?
- (A) 1 64 m3,
- (B) 3 64 m3,
- (C) 27 64 m3,
- (D) 48 64 m3,
- (E) 63 64 m3.
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.6
Volume of cone cut to a quarter of the height
A rectangular circular cone has a volume of 1 m3. The cone shall be cut parallel to the base, at a distance from the top of the cone equal to a quarter of the height of the cone. So you get a new cone; what’s its volume?
- (A) 1 64 m3,
- (B) 3 64 m3,
- (C) 27 64 m3,
- (D) 48 64 m3,
- (E) 63 64 m3.
Answer: A src_archimede_2010_triennio__Q24
Probabilita che Danilo ottenga la maglia 8
In una squadra ci sono 11 giocatori e 11 maglie numerate da 1 a 11. I giocatori entrano nello spogliatoio uno alla volta, in ordine casuale. Ciascuno, appena arriva, sceglie una maglia a caso, tranne Danilo che preferisce la maglia numero 8 e, se è disponibile, sceglie quella. Qual è la probabilità che Danilo riesca ad ottenere il suo numero di maglia preferito?
- (A) 4 9,
- (B) 5 11,
- (C) 1 2,
- (D) 6 11,
- (E) 5 9.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.6
Chance of Danilo getting the jersey 8
There are 11 players on a team and 11 shirts numbered from 1 to 11. Players enter the locker room one at a time, in random order. Everyone, as soon as they arrive, chooses a shirt at random, except Danilo who prefers shirt number eight and, if available, chooses that one. What are the odds of Danilo getting his favorite jersey number?
- (A) 4 9,
- (B) 5 11,
- (C) 1 2,
- (D) 6 11,
- (E) 5 9.
Answer: D src_archimede_2010_triennio__Q25