Superficie totale del cubo di cioccolato ceduto
Gabriele, l’amante dei cubi, ha comprato un magnifico pezzo da collezione: un cubo interamente composto di cioccolato, avente gli spigoli lunghi 10 cm. Purtroppo, avendo perso una scommessa con due suoi amici, dovrà cedere due terzi del volume del blocco di cioccolato. Gabriele ha deciso di prendere come propria porzione di cioccolato un cubo più piccolo, avente uno dei suoi vertici coincidente con uno dei vertici del cubo di cioccolato comprato e le facce parallele a quelle del cubo comprato. Alla fine, cede ai due amici il cioccolato rimasto. Indichiamo con S la superficie totale del blocco di cioccolato ceduto, espressa in cm2. Allora si ha…
- (A) 300≤S ≤350
- (B) 350<S ≤450
- (C) 450<S ≤550
- (D) 550<S ≤650
- (E) 650<S ≤750.
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Total area of the ceded chocolate cube
Gabriele, the lover of cubes, bought a magnificent piece of collection: a cube made entirely of chocolate, with 10 cm long beads. Unfortunately, having lost a bet with two of his friends, he’ll have to give up two-thirds of the volume of the chocolate block. Gabriele decided to take a smaller cube as his own portion of chocolate, having one of its vertices coinciding with one of the vertices of the purchased chocolate cube and faces parallel to those of the purchased cube. Eventually, he gives the remaining chocolate to his two friends. We use S to indicate the total area of the chocolate block yielded, expressed in cm2. Then you do…
- (A) 300≤S ≤350
- (B) 350<S ≤450
- (C) 450<S ≤550
- (D) 550<S ≤650
- (E) 650<S ≤750.
Answer: D src_archimede_2011_2livello__Q01
Massimo tartarughe tra volpi/serpenti/tartarughe
Nel bosco dell’albero viola ci sono tre tipi di animali in grado di parlare: volpi, serpenti e tartarughe. Le prime mentono solo i giorni di pioggia, i secondi mentono sempre, le terze dicono sempre la verità. Un giorno l’esploratore Berny parla con quattro animali. Le loro affermazioni, riportate nell’ordine in cui sono state dette, sono: A: “Oggi piove.” B: “L’animale che ha parlato prima di me mente.” C: “Oggi è sereno.” D: “Quello che ha parlato prima di me mente o io sono una volpe.” Con quante tartarughe al massimo ha parlato Berny?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) Non è possibile determinarlo.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Maximum number of turtles among foxes/ snakes/turtles
In the forest of the purple tree there are three types of animals that can speak: foxes, snakes, and turtles. The first lies only on rainy days, the second always lies, the third always tells the truth. One day explorer Berny talks to four animals. Their statements, in the order in which they were given, are: A: Today it rains. B: The animal that spoke before me lies. C: Today is serene. D: What spoke before me lies or I am a fox. With how many turtles did Berny speak at most?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) There’s no way to tell.
Answer: B src_archimede_2011_2livello__Q02
Affermazione sempre vera su quoziente di divisione di polinomi
Giulio scrive un polinomio P1(x) e un altro polinomio P2(x), prodotto di fattori di primo grado, avente grado strettamente maggiore del precedente. Eseguendo la divisione di P2(x) per P1(x), si ottiene resto 0. Indicando con Q(x) il quoziente di tale divisione, quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?
- (A) Q(x) può essere una costante
- (B) Se P2(a) = 0, allora Q(a) = 0
- (C) Esiste un numero reale a tale che P2(a) = Q(a) = 0
- (D) Q(x) ha certamente grado minore di P1(x)
- (E) Se P1(a) = 0, allora Q(a) = 0.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Always true assertion on the coefficient of division of polynomials
Julius writes a polynomial P1(x) and another polynomial P2(x), a product of first-degree factors, having a strictly higher degree than the previous one. If you divide P2(x) by P1(x), you get leftover 0. When indicating with Q(x) the quotient of this division, which of the following statements is always true?
- (A) Q(x) can be a constant
- (B) If P2(a) = 0, then Q(a) = 0
- (C) There exists a real number such that P2(a) = Q(a) = 0
- (D) Q(x) certainly has a lower degree than P1(x)
- (E) If P1(a) is 0, then Q(a) is 0.
Answer: C src_archimede_2011_2livello__Q03
Quanti primi della forma n^(n+1) + 1
Quanti sono i numeri primi che possono essere espressi nella forma nn+1 + 1, con n intero positivo?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) più di 2, ma in numero finito
- (E) infiniti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Numbers of prime of the form n^(n+1) + 1
How many prime numbers can be expressed in the form nn+1+1, with n positive integers?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) more than 2, but in finite number
- (E) infinite.
Answer: B src_archimede_2011_2livello__Q04
Probabilità che Nicola vinca almeno 4 monete in 5 partite
Ad una fiera c’è un gioco molto invitante, perch´e si può partecipare gratis; chi vince guadagna un premio. Il premio pattuito per le prime quattro partite è una moneta, per la quinta è di due monete. Nicola ad ogni partita ha probabilità 2 3 di vincere il premio e decide di giocare 5 partite. Qual è la probabilità che Nicola vinca almeno 4 monete?
- (A) 5 2 3 5
- (B) 4 2 3 5
- (C) 3 2 3 5
- (D) 2 2 3 5
- (E) 2 3 5 .
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Chances that Nicola will win at least 4 coins in 5 games
At a fair there is a very inviting game, because you can participate for free; the winner wins a prize. The prize agreed for the first four matches is one coin, for the fifth it is two coins. Nicola at each game has a 2-3 chance of winning the prize and decides to play 5 games. What are the odds of Nicholas winning at least four coins?
- (A) 5 2 3 5
- (B) 4 2 3 5
- (C) 3 2 3 5
- (D) 2 2 3 5
- (E) 2 3 5 .
Answer: A src_archimede_2011_2livello__Q05
Lunghezza arco delle barrette della cancellata
Un fabbro sta costruendo una cancellata orizzontale in ferro formata da tante barre verticali, parallele tra loro, ciascuna delle quali è posizionata a 18 cm di distanza dalle 2 vicine. Il fabbro collega le estremità di ciascuna coppia di sbarre contigue con una barra incurvata ad arco di circonferenza collocata nel piano delle sbarre, il cui punto più alto dista 3 √ 3 cm dalla retta (tratteggiata in figura) che passa per le estremità superiori di tutte le sbarre, e che è perpendicolare alle sbarre stesse. Quanto è lunga ciascuna delle barrette utilizzate per costruire gli archi?
- (A) 8π( √ 3 −1) cm
- (B) 6π √ 3 cm
- (C) 12π( √ 3 −1) cm
- (D) 4π √ 3 cm
- (E) 8π √ 3 cm.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Arc length of the deleted bars
A blacksmith is building a horizontal iron canvas made up of many vertical bars, parallel to each other, each of which is positioned 18 cm away from the two nearby ones. The blacksmith connects the ends of each pair of adjacent bars to a curved arc-shaped bar located in the bar plane, the highest point of which is 3 √ 3 cm from the straight line (treated in the figure) passing through the upper ends of all bars, and which is perpendicular to the bars themselves. How long is each of the bars used to build the bows?
- (A) 8π( √ 3 −1) cm
- (B) 6π √ 3 cm
- (C) 12π( √ 3 −1) cm
- (D) 4π √ 3 cm
- (E) 8π √ 3 cm.
Answer: D src_archimede_2011_2livello__Q06
Numero soluzioni reali distinte del polinomio di grado 6
Quante sono le soluzioni reali distinte dell’equazione x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0 ?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 4
- (E) 6.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Number of real solutions distinct from the polynomial of degree 6
How many distinct real solutions are there to the equation x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0 ?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 4
- (E) 6.
Answer: B src_archimede_2011_2livello__Q07
Numeri di 10 cifre diverse con coppie a somma 9
Quanti sono i numeri interi positivi di 10 cifre abcdefghij, con tutte le cifre diverse e che verificano le condizioni a + j = b + i = c + h = d + g = e + f = 9 ? Nota: un numero non può iniziare con 0.
- (A) 3456
- (B) 3528
- (C) 3645
- (D) 3840
- (E) 5040.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Numbers of 10 different digits with pairs of sums of 9
How many are the positive integers of 10 digits abcdefghij, with all the different digits and verifying the conditions a + j = b + i = c + h = d + g = e + f = 9 ? Note: a number cannot start with 0.
- (A) 3456
- (B) 3528
- (C) 3645
- (D) 3840
- (E) 5040.
Answer: A src_archimede_2011_2livello__Q08
Distanza da L con angolo PEQ massimo (tangenza)
Da un punto L partono due strade rettilinee che formano un angolo acuto α. Lungo una delle due strade ci sono due lampioni, posizionati in P e Q, tali che LP = 40 m e LQ = 90 m. Eva si trova in E sull’altra strada, e vede i due lampioni sotto un angolo . A che distanza da L si trova Eva, se ha la massima ampiezza possibile?
- (A) 40 m
- (B) 60 m
- (C) 65 m
- (D) 90 m
- (E) la distanza dipende da α.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
*Distance from L with maximum PEQ angle (tangency) *
From a point L two straight roads start forming an acute angle α. Along one of the two roads there are two lamps, positioned in P and Q, such that LP = 40 m and LQ = 90 m. Eva is in E on the other road, and she sees the two lamps at an angle. How far from L is Eva, if has the maximum width possible?
- (A) 40 m
- (B) 60 m
- (C) 65 m
- (D) 90 m
- (E) the distance depends on α.
Answer: B src_archimede_2011_2livello__Q09
Somma delle seste potenze delle soluzioni dell’equazione
Quanto vale la somma delle seste potenze delle soluzioni dell’equazione x6 −16x4 + 16x2 −1 = 0 ?
- (A) 6375
- (B) 6482
- (C) 6515
- (D) 6660
- (E) 6662.
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Summary of the sixth powers of the solutions of the equation
What is the sum of the sixth powers of the solutions of the equation x6 −16x4 + 16x2 −1 = 0 ?
- (A) 6375
- (B) 6482
- (C) 6515
- (D) 6660
- (E) 6662.
Answer: E src_archimede_2011_2livello__Q10
Coppie (x,y) con x^2-y^2 multiplo di 2011 e 2011 divisori
x e y sono due interi positivi tali che x2 −y2 è positivo, multiplo di 2011 e ha esattamente 2011 divisori positivi. Quante sono le coppie ordinate (x, y) che verificano tali condizioni? Nota: 2011 è un numero primo
- (A) 2010
- (B) 2011
- (C) 1005
- (D) 0
- (E) Ne esistono infinite.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Couples (x,y) with x^2-y^2 multiples of 2011 and 2011 dividers
x and y are two positive integers such that x2 −y2 is positive, multiple of 2011 and has exactly 2011 positive divisors. How many pairs (x, y) do these conditions occur? Note: 2011 is a prime number
- (A) 2010
- (B) 2011
- (C) 1005
- (D) 0
- (E) There are infinitely many of them.
Answer: C src_archimede_2011_2livello__Q11
Affermazione vera su lunghezza sequenza con somme di segno
Sia x1 … xn una sequenza finita di numeri reali tali che: i) la somma di 7 suoi termini consecutivi sia sempre strettamente positiva; ii) la somma di 13 suoi elementi consecutivi sia sempre strettamente negativa. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
- (A) La sequenza ha al più 18 termini
- (B) La sequenza può avere 19 termini
- (C) La sequenza ha esattamente 21 termini
- (D) La sequenza ha almeno 18 termini
- (E) Esistono sequenze di lunghezza arbitraria che soddisfano i) e ii) . Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Combinatoria Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
True statement on sequence length with sums of the mark
It ‘s x1 … xn a finite sequence of real numbers such that: (i) the sum of 7 consecutive terms is always strictly positive; (ii) the sum of 13 consecutive elements is always strictly negative. Which of the following statements is true?
- (A) The sequence has a maximum of 18 terms.
- (B) The sequence can have 19 terms.
- (C) The sequence has exactly 21 terms.
- (D) The sequence has at least 18 terms.
- (E) Arbitrary length sequences that satisfy (i) and (ii) exist . Problems with numerical answer 5 points
Answer: A src_archimede_2011_2livello__Q12
Triangoli non degeneri non congruenti da 6 punti notevoli
Sia ABC un triangolo equilatero, indichiamo con D, E, F i punti medi dei lati. Quanti triangoli non degeneri e non congruenti fra loro si possono ottenere scegliendo 3 dei punti A, B, C, D, E, F?
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Geometria Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3
Non-degenerate triangles not congruent by 6 points of importance
Whether ABC is an equilateral triangle, let’s use D, E, F to indicate the midpoints of the sides. How many non-degenerate and non-conforming triangles can be obtained by choosing 3 of the points A, B, C, D, E, F?
Answer: 4 src_archimede_2011_2livello__Q13
Coppie intere (x,y) che verificano l’equazione quartica
Quante sono le coppie ordinate (x, y) di interi relativi che verificano l’equazione y4 −8y2 + 7 = 8x2 −2x2y2 −x4 ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3
Total pairs (x,y) that verify the quartic equation
How many pairs (x, y) of relative integers do you find that y4 −8y2 + 7 = 8x2 −2x2y2 −x4 ?
Answer: 4 src_archimede_2011_2livello__Q14
Tutte le potenze di 3 hanno cifra delle decine pari
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Dimostrare che tutte le potenze di 3 hanno la cifra delle decine pari.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.4
*All powers of 3 are decimal places *
Demonstrative Exercise To prove that all powers of 3 have the number of decimal places.
Answer: dimostrazione src_archimede_2011_2livello__Q15
Circonferenza per A’,B’,X,Y nel triangolo acutangolo
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABC un triangolo acutangolo, e siano D, E i piedi delle altezze uscenti da A, B. Siano A′ il punto medio di AD, B′ il punto medio di BE. CA′ interseca BE in X, CB′ interseca AD in Y . Dimostrare che esiste una circonferenza passante per i punti A′, B′, X, Y .
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.5
Circumference for A,B,X,Y in the acute triangle
Exercise to show whether ABC is an acute triangle, and whether D, and feet of heights emanating from A, B. A′ the mean point of AD, B′ the mean point of BE. CA′ intersects BE in X, CB′ intersects AD in Y. Demonstrate that there is a passing circumference for points A′, B′, X, Y.
Answer: dimostrazione src_archimede_2011_2livello__Q16
Numero minimo di posti in carrozza con 2n stazioni
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia n un intero positivo. Un treno ferma in 2n stazioni, incluse quella iniziale e finale, numerate in ordine dalla prima alla 2n-esima. Si sa che in una certa carrozza, per ogni coppia di interi i, j tali che 1 ≤i < j ≤2n, è stato prenotato esattamente un posto per il tragitto tra la stazione i-esima e quella j-esima. Ovviamente prenotazioni diverse non possono sovrapporsi. Determinare, in funzione di n, il numero minimo di posti che devono essere disponibili in quella carrozza affinch´e la situazione descritta sia possibile.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: n^2 Fonte: apri PDF p.6
Minimum number of seats in carriages with 2n stations
Demonstrative Exercise Be a positive whole. A stop train at 2 stations, including the initial and final stations, numbered in order from 1st to 2nd. It is known that in a certain carriage, for each pair of integers i, j such that 1 ≤i < j ≤2n, exactly one place has been reserved for the route between the i-e-m and that j-e-m stations. Of course, different reservations cannot overlap. Determine, in relation to n, the minimum number of seats that must be available in that carriage in order for the situation described to be possible.
Answer: n^2 src_archimede_2011_2livello__Q17