Somma numeri vertici piramide ottagonale con facce div per 3
Su ogni vertice di una piramide a base ottagonale è scritto un numero, che può essere 1, 2 oppure 3, in modo che per ogni faccia (inclusa la base) la somma dei numeri scritti sui suoi vertici sia divisibile per tre. Sapendo che i numeri non sono tutti uguali a 3, quanto vale la somma di tutti i numeri scritti sui vertici?
- (A) 12,
- (B) 14,
- (C) 15,
- (D) 18,
- (E) 21.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.7
sum of vertex numbers of octagonal pyramid with div faces for 3
On each vertex of an octagonal base pyramid a number is written, which can be 1, 2 or 3, so that for each face (including the base) the sum of the numbers written on its vertices is divisible by three. Knowing that not all numbers are equal to 3, what is the sum of all numbers written on the vertices worth?
- (A) 12,
- (B) 14,
- (C) 15,
- (D) 18,
- (E) 21.
Answer: C src_archimede_2011_triennio__Q03
Valori di m+5n con m-n=7 tra 0 e 2011
m e n sono due numeri interi positivi, tali che m −n = 7. Quanti sono i valori compresi tra 0 e 2011 (estremi inclusi) che possono essere assunti da m + 5n?
- (A) 6,
- (B) 334,
- (C) 670,
- (D) 1005,
- (E) 2012.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.7
Values of m+5n with m-n=7 between 0 and 2011
m and n are two positive integers, such that m −n = 7. How many values between 0 and 2011 (extremes included) can be assumed from m + 5n?
- (A) 6,
- (B) 334,
- (C) 670,
- (D) 1005,
- (E) 2012.
Answer: B src_archimede_2011_triennio__Q04
Numero lati poligono con media angoli interni 175
La media delle ampiezze degli angoli interni di un poligono è 175°. Quanti lati ha il poligono?
- (A) 18,
- (B) 25,
- (C) 60,
- (D) 72,
- (E) 80.
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.7
Number of polygon sides with mean inner angles 175
The mean widths of the interior angles of a polygon is 175°. How many sides does the polygon have?
- (A) 18,
- (B) 25,
- (C) 60,
- (D) 72,
- (E) 80.
Answer: D src_archimede_2011_triennio__Q09
Numero x con uguaglianze ax+b=bx+c=cx+a
a, b e c sono tre numeri reali, tutti diversi tra loro. Per quanti numeri reali x, al massimo, possono valere le uguaglianze: ax + b = bx + c = cx + a?
- (A) Nessuno,
- (B) 1,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) almeno 5.
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.7
Number x with equals ax+b=bx+c=cx+a
A, b, and c are three real numbers, all different from each other. For how many real numbers x, at most, can the equations be: ax + b = bx + c = cx + a?
- (A) No one.
- (B) 1,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) At least five.
Answer: A src_archimede_2011_triennio__Q10
Ritorni del canguro al vertice di partenza in 40 salti
Un canguro e una rana si trovano inizialmente sullo stesso vertice di un poligono regolare di 41 lati, e comiciano a fare dei salti. La rana salta sempre da un vertice a quello adiacente, in senso antiorario, mentre il canguro salta dal vertice in cui si trova a quello in cui c’è la rana. La sequenza dei salti è questa: la rana fa un
salto, il canguro fa un salto; la rana fa due salti, il canguro fa un salto; la rana fa tre salti, il canguro fa un salto, e così via. Dopo che il canguro ha fatto 40 salti, quante volte è tornato sul vertice di partenza?
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.7
Return of the kangaroo to the starting summit in 40 jumps
A kangaroo and a frog initially find themselves on the same top of a regular 41-sided polygon, and they begin to jump. The frog always jumps from one vertex to the adjacent one, in an anti-clockwise direction, while the kangaroo jumps from the vertex where it is to the one where the frog is. The jump sequence is this: the frog makes a jump.
The frog makes two jumps, the kangaroo makes one jump, the frog makes three jumps, the kangaroo makes one jump, and so on. After the kangaroo has made 40 jumps, how many times has it returned to the summit?
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) 4.
Answer: B src_archimede_2011_triennio__Q11
Numero coppie belle con ab=cd implica a+b=c+d
Diciamo che una coppia di numeri naturali (a, b) è bella se comunque si scelga una coppia di numeri naturali (c, d) tali che ab = cd, vale a + b = c + d. Quante sono le coppie belle?
- (A) Nessuna,
- (B) una,
- (C) cinque,
- (D) sette,
- (E) più di otto.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.7
Number of beautiful pairs with ab=cd implies a+b=c+d
Let’s say a pair of natural numbers (a, b) is nice if you choose a pair of natural numbers (c, d) that ab = cd, so a + b = c + d. How many beautiful couples are there?
- (A) None of them.
- (B) One of them.
- (C) five,
- (D) seven,
- (E) More than eight.
Answer: E src_archimede_2011_triennio__Q12
Massimo bugiardi tra quattro amici con dichiarazioni
Ciascuno dei quattro amici Anna, Erica, Lorenzo e Giuseppe, mente sempre o dice sempre la verità. Anna dice: “Erica mente sempre”; Erica dice: “Giuseppe dice sempre il vero”; Giuseppe dice: “Anna mente sempre”; infine Lorenzo dice: “Anna, Erica e Giuseppe mentono sempre”. Quanti sono, al massimo, quelli che mentono sempre?
- (A) 1,
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.7
Most liars among four friends with statements
Each of our four friends, Anna, Erica, Lorenzo, and Joseph, always lies or always tells the truth. Anna says: Erica always lies; Erica says: Joseph always speaks the truth; Joseph says: Anna always thinks; finally Lorenzo says: Anna, Erica and Joseph always lie. How many, at most, lie all the time?
- (A) 1,
- (B) 2,
- (C) 3,
- (D) 4,
- (E) None of the previous ones.
Answer: C src_archimede_2011_triennio__Q15
Rapporto aree ABC e DHE in triangolo isoscele
ABC è un triangolo isoscele, con AB = AC = 10 cm. D ed E sono due punti su AB e AC rispettivamente, entrambi distanti 6 cm da A, e H è il piede dell’altezza di ABC relativa a BC. Calcolare il rapporto tra le aree di ABC e di DHE.
- (A) 25 9 ,
- (B) 25 12,
- (C) 10 6 ,
- (D) 25 6 ,
- (E) 9 4.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.7
Rate of areas ABC and DHE in triangle isosceles
ABC is an isosceles triangle, with AB = AC = 10 cm. D and E are two points on AB and AC respectively, both 6 cm from A, and H is the foot of the height of ABC relative to BC. Calculate the ratio between the ABC and DHE areas.
- (A) 25 9 ,
- (B) 25 12,
- (C) 10 6 ,
- (D) 25 6 ,
- (E) 9 4.
Answer: D src_archimede_2011_triennio__Q16
Affermazione vera da equazione con due radici in (0,1)
Sapendo che l’equazione ax2 −bx + c = 0, con a > 1, ha due soluzioni positive strettamente minori di 1, possiamo affermare sicuramente che:
- (A) c + b < 3a,
- (B) c ≤b < a,
- (C) b ≤c,
- (D) c ≤b < 2,
- (E) b < 2 e c < a.
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.7
*True statement of equation with two roots in (0,1) *
Knowing that the equation ax2 −bx + c = 0, with a > 1, has two positive solutions narrowly less than 1, we can safely say that:
- (A) c + b < 3a,
- (B) c ≤b < a,
- (C) b ≤c,
- (D) c ≤b < 2,
- (E) b < 2 e c < a.
Answer: A src_archimede_2011_triennio__Q17
Modi di colorare facce e vertici di un dado
Gabriella ha un grande dado a sei facce completamente bianco, tranne che per i numeri scritti sulle facce, e vuole colorare tutte le facce e tutti i vertici del dado, usando il rosso, il blu, il verde e il giallo, in modo che non ci siano due facce adiacenti (cioè con un lato in comune) con lo stesso colore e ogni vertice abbia colore diverso da tutte le facce a cui appartiene. In quanti modi diversi lo può fare?
- (A) 24
- (B) 48,
- (C) 96,
- (D) 264,
- (E) 46.
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: parita, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.7
Mode of colouring the faces and vertices of a dice
Gabriella has a large six-sided dice completely white, except for the numbers written on the faces, and she wants to color all the faces and all the vertices of the dice, using red, blue, green, and yellow, so that there are no two adjacent faces (i.e. with one side in common) with the same color and each vertex has a different color from all the faces to which it belongs. How many different ways can you do that?
- (A) 24
- (B) 48,
- (C) 96,
- (D) 264,
- (E) 46.
Answer: C src_archimede_2011_triennio__Q18
Terne primi minori di 100 con p^2+q^2=r
Quante terne ordinate (p, q, r), formate da numeri primi minori di 100, verificano p2 + q2 = r? [1 non è un numero primo.]
- (A) 2,
- (B) 4,
- (C) 6,
- (D) 8,
- (E) 16.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.7
Third prime factors of 100 with p^2+q^2=r
How many ordered ternes (p, q, r), made up of prime numbers less than 100, do p2 + q2 = r? [1 is not a prime number.]
- (A) 2,
- (B) 4,
- (C) 6,
- (D) 8,
- (E) 16.
Answer: C src_archimede_2011_triennio__Q19
Raggio cerchio inscritto in quadrilatero con diagonali ortogonali
Nel quadrilatero ABCD le diagonali sono ortogonali tra loro e gli angoli in B e in D sono retti. Inoltre AB = AD = 20 cm, BC = CD = 30 cm. Calcolare il raggio della circonferenza inscritta in ABCD.
- (A) 15 cm,
- (B) 5 √ 13 cm,
- (C) 10 cm,
- (D) 6 √ 5 cm,
- (E) 12 cm.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.7
Ramage of a circle inscribed in a quadrilateral with orthogonal diagonals
In the quadrilateral ABCD the diagonals are orthogonal to each other and the angles in B and D are straight. In addition, AB = AD = 20 cm, BC = CD = 30 cm. Calculate the radius of circumference recorded in the ABCD.
- (A) 15 cm,
- (B) 5 √ 13 cm,
- (C) 10 cm,
- (D) 6 √ 5 cm,
- (E) 12 cm.
Answer: E src_archimede_2011_triennio__Q20
Partite in torneo a doppia eliminazione con 20 partecipanti
In un torneo ci sono 20 partecipanti. Ad ogni turno vengono estratti due tra i partecipanti ancora in gara, e questi disputano una partita. Ogni partecipante che sia stato sconfitto due volte viene eliminato e l’ultimo concorrente che resta vince. Sapendo che il vincitore non ha mai perso, quante partite si sono disputate in tutto?
- (A) 19,
- (B) 38,
- (C) 40,
- (D) 380,
- (E) non ci sono dati sufficienti.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.7
Matches in a double-elimination tournament with 20 participants
There are 20 players in a tournament. In each round, two of the participants still in the competition are drawn, and they play one match. Each contestant who has been defeated twice is eliminated and the last remaining contestant wins. Knowing the winner never lost, how many games were played in all?
- (A) 19,
- (B) 38,
- (C) 40,
- (D) 380,
- (E) There’s not enough data.
Answer: B src_archimede_2011_triennio__Q21
Rapporto b/a da piegatura del quadrato
Su un foglio è disegnato il quadrato ABCD. Il foglio viene piegato (lungo una linea retta) in modo che B vada a coincidere con il punto medio di DC. Il lato BC viene diviso dalla piegatura in due segmenti di lunghezze a e b, con a ≤b. Quanto vale b/a?
- (A) 2,
- (B) 1,
- (C) 5/3,
- (D) 25/9,
- (E) √ 5/2.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.7
*Square folding ratio b/a *
The square ABCD is drawn on a sheet. The sheet is folded (along a straight line) so that B coincides with the mean point of DC. The side BC is divided by the bend into two segments of lengths a and b, with a ≤b. How much is a b/a?
- (A) 2,
- (B) 1,
- (C) 5/3,
- (D) 25/9,
- (E) √ 5/2.
Answer: C src_archimede_2011_triennio__Q22
Numero complici da dichiarazioni con regole di verita
La polizia indaga su una rapina. I cinque indagati, tra cui c’è sicuramente il colpevole e forse anche qualche suo complice, interrogati dichiarano: A: “B è colpevole. D è uno dei complici.” B: “E è innocente. A è uno dei complici.” C: “E è il colpevole. D è innocente.” D: “Il colpevole è effettivamente E. A è stato suo complice.” E: “A era uno dei complici. C è il colpevole.” Sapendo che il colpevole mente su tutto, gli eventuali complici, per paura, rendono una dichiarazione vera ed una falsa e le persone innocenti, infine, dicono sempre la verità, quanti sono i complici?
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) è impossibile determinarlo.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.7
Number of accompanying statements with truth rules
The police are investigating a robbery. The five suspects, including the culprit and perhaps some accomplices, said: A: B is guilty. D is one of the accomplices. B:E is innocent. A is one of the accomplices. C: E is the culprit. D is innocent. D: The culprit is actually E. A was his accomplice. E: A was one of the accomplices. C is the culprit. Knowing that the culprit lies about everything, the possible accomplices, out of fear, make a statement that is true and false and the innocent people, finally, always tell the truth, how many accomplices?
- (A) 0,
- (B) 1,
- (C) 2,
- (D) 3,
- (E) It’s impossible to determine.
Answer: C src_archimede_2011_triennio__Q23
Ultime quattro cifre di a2011 in successione moltiplicativa
Abbiamo una sequenza di 2011 numeri, di cui indichiamo con an il termine n-esimo. Sapendo che a1 = 1, e che per ogni n ≥2, an = an−1(3n + 1), trovare le ultime quattro cifre del termine a2011.
- (A) 0000,
- (B) 3400,
- (C) 6000,
- (D) 6031,
- (E) 6034.
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.7
The last four digits of a2011 in multiple succession
We have a sequence of 2011 numbers, which we indicate with an the term n-eighth. Knowing that a1 = 1, and that for every n ≥2, an = an−1(3n + 1), find the last four digits of the term a2011.
- (A) 0000,
- (B) 3400,
- (C) 6000,
- (D) 6031,
- (E) 6034.
Answer: A src_archimede_2011_triennio__Q24
Percorsi di tre mosse del re su scacchiera 3x3
Re Tal dei Tali si trova al centro di una scacchiera di tre righe e tre colonne. Quanti sono i possibili percorsi distinti di 3 mosse che Re Tal dei Tali può effettuare all’interno della scacchiera ? [Quando fa una mossa, il re si sposta in una qualsiasi delle caselle che hanno in comune almeno un vertice con la casella in cui si trova.]
- (A) 36,
- (B) 54,
- (C) 84,
- (D) 121,
- (E) 168.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.7
Routes of three moves of the king on a chessboard 3x3
King Tal of Tali is located in the center of a chessboard of three rows and three columns. How many distinct paths of 3 moves can King Tal of the Tals make inside the chessboard ? [When he makes a move, the king moves into any of the boxes that have at least one vertex in common with the box he is in.]
- (A) 36,
- (B) 54,
- (C) 84,
- (D) 121,
- (E) 168.
Answer: E src_archimede_2011_triennio__Q25