Da |3a-b+1|=|b|, quale relazione vale necessariamente
Sono dati due numeri reali a e b tali che |3a −b + 1| = |b|. Allora necessariamente si ha…
- (A) b = 0
- (B) a = −1 3
- (C) a < 0
- (D) b = 3a + 1 2
- (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
From* to MSK-b+1, what relationship is necessarily worth
Two real numbers are given to a b such that ∙3a −b + 1 = e ∙b ∙ Then you have to…
- (A) b = 0
- (B) a = −1 3
- (C) a < 0
- (D) b = 3a + 1 2
- (E) None of the previous ones.
Answer: E src_archimede_2012_febb29_2livello__Q01
Torneo biliardino, scarto minimo di goal coi matematici vincitori
Marco, Fabrizio e Giovanni, tre matematici, sfidano un gruppo di quattro fisici a un torneo di calcio balilla (costituito da un certo numero di partite) in cui alla fine vince il gruppo che ha segnato il maggior numero di goal totali. In ogni partita i fisici segnano 2 goal in più di quanti ne avevano segnati nella precedente, a partire da 1 goal nella prima. Sapendo che il totale dei goal segnati da fisici e matematici è 330 e che sono i matematici ad aggiudicarsi la vittoria nel torneo, determinare lo scarto minimo di goal che può essersi verificato.
- (A) 1 goal
- (B) 2 goal
- (C) 24 goal
- (D) 42 goal
- (E) 48 goal.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Marco, Fabrizio and Giovanni, three mathematicians, challenge a group of four physicists to a ballilla football tournament (consisting of a number of matches) in which the group that scored the most total goals eventually wins. In each match, physicists score 2 more goals than they had in the previous one, starting with 1 goal in the first. Knowing that the total number of goals scored by physicists and mathematicians is 330 and that it is the mathematicians who award themselves the victory in the tournament, determine the minimum gap of goals that may have occurred.
- (A) 1 goal
- (B) 2 goals
- (C) 24 goals
- (D) 42 goals
- (E) 48 goals.
Answer: D src_archimede_2012_febb29_2livello__Q02
Distanza tesoro equidistante dai vertici di triangolo rettangolo
Alice, Berto e Carlo devono seppellire un tesoro e decidono di seppellirlo in un punto equidistante da tutti e tre. Sapendo che si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo con un angolo di 30°e di perimetro 6 m, quale sarà la distanza del tesoro da ciascuno?
- (A) 1 m
- (B) 3 2 m
- (C) 2 m
- (D) 3 − √ 3 m
- (E) 3 m.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Treasure distance equidistant from the vertices of a right triangle
Alice, Berto, and Charles have to bury a treasure and decide to bury it at a point equidistant from the three of them. Knowing that they are at the summits of a right triangle with an angle of 30° and a perimeter of 6 m, what will be the distance of the treasure from each?
- (A) 1 m
- (B) 3 2 m
- (C) 2 m
- (D) 3 − √ 3 m
- (E) 3 m.
Answer: D src_archimede_2012_febb29_2livello__Q03
Radici di 2x^3-7x^2-2x+12 con 4a=3(b+c), calcolare a+bc
Delle tre radici a, b, c del polinomio 2x3 −7x2 −2x + 12 sappiamo che 4a = 3(b + c). Quanto vale a + bc?
- (A) −5 2
- (B) 1 − √ 3
- (C) 0
- (D) 7 4
- (E) 2 + √
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Radices of 2x^3-7x^2-2x+12 with 4a=3(b+c), calculated as a+bc
From the three roots a, b, c of the polynomial 2x3 −7x2 −2x + 12 we know that 4a = 3(b + c). How much is a + bc?
- (A) −5 2
- (B) 1 − √ 3
- (C) 0
- (D) 7 4
- (E) 2 + √
Answer: A src_archimede_2012_febb29_2livello__Q04
Affermazioni autoreferenziali, individuare quella falsa
Una ed una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
- (A) “La (B) è falsa”
- (B) “La (C) è falsa”
- (C) “La (E) è vera”
- (D) “La (A) è vera”
- (E) “Tre delle precedenti sono vere”.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Self-referenced statements, identifying false one
Each of the following statements is false. What kind?
- (A) B is false
- (B) The (C) is false
- (C) The (E) is true
- (D) The (A) is true
- (E) Three of the foregoing are true.
Answer: B src_archimede_2012_febb29_2livello__Q05
Area colorata tra archi tangenti in quadrato di lato 2
In un quadrato di lato 2 sono tracciati degli archi di circonferenza di uguale lunghezza tangenti tra loro nei loro punti d’intersezione, che sono i vertici del quadrato (come in figura). Internamente a questi viene costruito un altro quadrato con i lati paralleli a quelli del primo e tangenti ai quattro archi di circonferenza. Quanto vale l’area colorata?
- (A) π 16
- (B) 2(8 √ 2 −8 −π)
- (C) 4 −π − √ 2 2 !2
- (D) 2π −4 √ 2 −1 4
- (E) non è univocamente determinata.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Colored area between tangent arcs in square side 2
In a square on side 2 are drawn arcs of circumference of equal length tangent to each other at their points of intersection, which are the vertices of the square (as shown in Figure 1). Inside these is built another square with sides parallel to those of the first and tangent to the four arcs of circumference. How much is the colored area worth?
- (A) π 16
- (B) 2(8 √ 2 −8 −π)
- (C) 4 −π − √ 2 2 !2
- (D) 2π −4 √ 2 −1 4
- (E) It is not uniquely determined.
Answer: B src_archimede_2012_febb29_2livello__Q06
Inchiostro cresce/decresce, tra quanti anni triplo del 2012
La quantità di inchiostro usato per comporre un testo per le Olimpiadi della Matematica segue una strana legge: negli anni dispari aumenta del 50% rispetto all’anno precedente, negli anni pari diminuisce di un sesto (sempre rispetto all’anno precedente). Tra quanti anni per la prima volta sarà almeno il triplo che nel 2012?
- (A) 5
- (B) 6
- (C) 7
- (D) 8
- (E) 9.
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Ink increases/decreases, between the three years of 2012
The amount of ink used to compose a text for the Olympics of Mathematics follows a strange law: in odd years it increases by 50% compared to the previous year, in even years it decreases by a sixth (always compared to the previous year). How many years from now, for the first time, will it be at least triple that in 2012?
- (A) 5
- (B) 6
- (C) 7
- (D) 8
- (E) 9.
Answer: E src_archimede_2012_febb29_2livello__Q07
Minimo a+b con 21ab^2 e 15ab cubi perfetti
I numeri a, b sono interi positivi. Qual è il minimo valore di a + b affinch´e 21ab2 e 15ab siano entrambi cubi perfetti?
- (A) 160
- (B) 260
- (C) 360
- (D) 460
- (E) 560.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Minimum a+b with 21ab^2 and 15ab perfect cubes
The numbers a, b are positive integers. What’s the minimum value of a + b so that 21ab2 and 15ab are both perfect cubes?
- (A) 160
- (B) 260
- (C) 360
- (D) 460
- (E) 560.
Answer: E src_archimede_2012_febb29_2livello__Q08
Area trapezio isoscele con diagonali e angolo di 150 gradi
In un trapezio isoscele il punto d’incontro delle diagonali vede la base minore sotto un angolo di 150°e ciascuna diagonale è lunga 6 cm. Qual è l’area del trapezio?
- (A) 9 cm2
- (B) 16 cm2
- (C) 24 cm2
- (D) i dati sono insufficienti (E) nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Isosceles trapezoidal area with diagonal and angle of 150 degrees
In an isosceles trapezoid the junction point of the diagonal sees the minor base below an angle of 150° and each diagonal is 6 cm long. What’s the area of the trapezoid?
- (A) 9 cm2
- (B) 16 cm2
- (C) 24 cm2
- (D) the data are insufficient (E) none of the above.
Answer: A src_archimede_2012_febb29_2livello__Q09
Conteggio parole chiave con vincoli su caratteri E N V
Per entrare nel castello di Burian bisogna usare una parola chiave che è costituita da almeno 6 caratteri; inoltre un carattere non si può mai ripetere due o più volte consecutivamente, e una coppia di caratteri consecutivi non può comparire in un altro punto della parola chiave. Sul tastierino funzionano ormai solo le lettere E, N e V : quante parole chiave diverse si possono tentare?
- (A) 6
- (B) 18
- (C) 62
- (D) 26
- (E) infinite.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Counting keywords with character restrictions E N V
To enter Burian Castle you must use a keyword that consists of at least 6 characters; furthermore, a character can never be repeated two or more times consecutively, and a pair of consecutive characters cannot appear at another point in the keyword. On the keyboard now only the letters E, N and V work: how many different keywords can you try?
- (A) 6
- (B) 18
- (C) 62
- (D) 26
- (E) I’m not going to end it.
Answer: C src_archimede_2012_febb29_2livello__Q10
Folletto divide per 12 prodotto differenze di quadrati, giorni sicuri
Un folletto vive nel mondo delle fate. Un certo giorno sceglie 12 coppie di numeri positivi: quelli della prima sono dispari, quelli della seconda danno resto 1 se divisi per 3, quelli della terza danno resto 1 se divisi per 4, e così via fino alla dodicesima. Poi calcola la differenza dei quadrati dei numeri di ciascuna coppia e scrive su una lavagna il prodotto di tutte le differenze ottenute. Dalla mattina successiva, divide per 12 il numero sulla lavagna e, se il risultato è intero, scrive questo risultato al posto del numero che era sulla lavagna; se non è intero, cancella tutto e si trasferisce nel mondo degli umani a fare scherzetti. Per quanti giorni (escluso quello iniziale in cui il folletto sceglie i numeri) siamo sicuri che non avremo problemi nel nostro mondo?
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 8
- (E) 12.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Footprint divided by 12 product differences of squares, safe days
There’s a fool who lives in the fairy world. One day you choose 12 pairs of positive numbers: those of the first are odd, those of the second are 1 if divided by 3, those of the third are 1 if divided by 4, and so on until the twelfth. He then calculates the difference in the squares of the numbers of each pair and writes on a board the product of all the differences obtained. From the next morning, he divides the number on the board by 12 and, if the result is whole, he writes this result instead of the number that was on the board; if it’s not whole, he erases everything and moves into the human world to joke. For how many days (except the initial one where the booklet chooses the numbers) are we sure that we will have no problems in our world?
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 8
- (E) 12.
Answer: B src_archimede_2012_febb29_2livello__Q11
Moneta blu ruota attorno a tre rosse, numero di giri
Maria ha tre monete rosse e una blu, tutte dello stesso raggio e con il bordo gommato. Mette sul tavolo le tre monete rosse ai vertici di un triangolo equilatero in modo che si tocchino a due a due, poi posa sul tavolo anche quella blu in modo che tocchi una delle monete rosse. Adesso, tenendo ferme le monete rosse, fa ruotare quella blu in modo che rimanga sempre aderente ad almeno una delle monete rosse e i bordi gommati non scivolino. Dopo un percorso completo attorno al gruppo delle tre monete rosse la moneta blu torna al punto di partenza; quanti giri ha fatto su se stessa?
- (A) 3
- (B) 1
- (C) π
- (D) 3π 4
- (E) 9 2. Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Blue coin revolving around three reds, number of turns*
Mary has three red and one blue coins, all of the same radius and with a rubber edge. He puts the three red coins on the table at the tips of an equilateral triangle so that they touch two by two, then he puts the blue one on the table so that he touches one of the red coins. Now, by holding the red coins tight, he rotates the blue one so that it always stays attached to at least one of the red coins and the rubber edges do not slip. After a complete journey around the group of the three red coins, the blue coin returns to its starting point; how many turns has it made on itself?
- (A) 3
- (B) 1
- (C) π
- (D) 3π 4
- (E) 9 2. Problems with numerical answer 5 points
Answer: A src_archimede_2012_febb29_2livello__Q12
Differenza primo, prodotto quadrato perfetto, massimo primo p
La differenza di due interi positivi a e b è un numero primo p e il loro prodotto è un quadrato perfetto non superiore a 10000. Qual è il massimo valore che può assumere p?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 19 Fonte: apri PDF p.3
First difference, perfect square product, maximum first p
The difference of two positive integers a and b is a prime number p and their product is a perfect square not exceeding 10,000. What is the maximum value that p can assume?
Answer: 19 src_archimede_2012_febb29_2livello__Q13
Area dei punti rossi (piu vicini ad A) in triangolo dato
Siano ABC un triangolo acutangolo e H il piede dell’altezza relativa al vertice A. Coloriamo ogni punto P interno al triangolo in questo modo: di rosso, se il vertice più vicino a P è A; di verde, se il vertice più vicino a P è B; di blu, se il vertice più vicino a P è C. Sapendo che AH = 35, BH = 21 e CH = 15, quanto misura l’area formata dai punti rossi?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 198 Fonte: apri PDF p.3
Area of red dots (nearest to A) in a given triangle
ABC is an acute triangle and H is the foot of height relative to the vertex A. Let’s color every point P inside the triangle this way: red if the nearest vertex to P is A; green if the nearest vertex to P is B; blue if the nearest vertex to P is C. Knowing that AH = 35, BH = 21 and CH = 15, what is the size of the area formed by the red dots?
Answer: 198 src_archimede_2012_febb29_2livello__Q14
Strategia roulette di Martino, giocate minime e capitale finale
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Martino pensa di avere scoperto un metodo per vincere alla roulette, o comunque per non perdere troppi soldi. Punta sempre sul rosso. Comincia puntando 1 euro; ogni volta che perde raddoppia la puntata precedente, mentre ogni volta che vince alla puntata successiva punta 1 euro. Un giorno ha con s´e 31 euro e va a giocare stabilendo che andrà via appena o avrà perduto 5 volte di fila, o avrà vinto 5 volte di fila, oppure sarà rimasto senza soldi prima che si sia verificata una di queste due possibilità. (a) Quale sarà il numero minimo di giocate che dovrà fare perch´e finisca di giocare con 31 euro, se esce con 5 sconfitte? (b) Quale sarà il numero minimo di giocate che dovrà fare perch´e finisca di giocare con 31 euro, se esce con 5 vittorie? (c) Se esce con 5 vittorie, quale sarà come minimo il suo capitale finale?
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.4
Martino roulette strategy, minimum play and final capital
MARTINO thinks he has discovered a method to win at roulette, or at least not to lose too much money. Always point at the red. He starts by betting 1 euro; every time he loses, he doubles the previous bet, while every time he wins the next bet, he points 1 euro. One day he’s got 31 euros and he’s going to gamble and decide that he’s going to leave just about, or he’s going to lose five times in a row, or he’s going to win five times in a row, or he’s going to run out of money before one of these two possibilities happens. (a) What will be the minimum number of bets you will have to make before you finish playing with €31 if you lose 5 games? (b) What will be the minimum number of bets you will have to make before you finish playing with €31 if you win 5? (c) If he comes out with five wins, what will be his final capital at least?
src_archimede_2012_febb29_2livello__Q15
valori costanti e monotonia
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Una successione {xn | n = 0, 1, 2, … } di numeri reali è definita, al variare del parametro reale a, come segue: ( x0 = a, xn+1 = 2 −x2 n per n ≥1. (a) Trovare tutti i valori di a per cui xn è costante (cioè vale xn = a per tutti gli n). (b) Dimostrare che per uno dei valori trovati al punto (a) (che chiameremo y) si ha che, se |a| < |y|, |xn| < |y| per tutti gli n. (c) Dimostrare che, se |a| > |y|, xn è strettamente decrescente.
Topic: successioni Metodo: Disuguaglianze classiche, Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.5
constant and monotonous values
One sequence of n is 0, 1, 2, … } of real numbers is defined, when the real parameter a varies, as follows: (x0 = a, xn+1 = 2 −x2 n for n ≥1. (a) Find all the values of a for which xn is constant (i.e. xn = a for all n). (b) Demonstrate that for one of the values found in point (a) (which we will call y) we have that, if \a \a \a \y \y \y \y \x \y \y \y\y for all n (c) Demonstrate, if ∈ R > ∈ R, that xn is strictly decreasing.
src_archimede_2012_febb29_2livello__Q16
Bisettrice, circocentro di APR e similitudine STC con APC
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO In un triangolo acutangolo ABC con AB < AC, la bisettrice che parte da A interseca il lato BC nel punto P. La parallela al lato AB passante per P interseca il lato AC nel punto Q; su questa retta sia R il punto che giace sulla semiretta uscente da Q che non contiene P e tale che QR = QA. Chiamiamo poi S la proiezione ortogonale di R su BC e T l’intersezione tra AC e la retta passante per P e perpendicolare ad AP. (a) Dimostrare che il circocentro di APR è Q; (b) Dimostrare che STC è simile ad APC.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
Bissector, APR circus and STC similarities with APC
In a triangle with an ABC angle with AB < AC, the bisector starting from A intersects the BC side at the point P. The parallel to the side AB passing through P intersects the side AC at the point Q; on this line R is the point lying on the semicircle out of Q that does not contain P and such that QR = QA. We then call S the orthogonal projection of R over BC and T the intersection between AC and the straight line passing through P and perpendicular to AP. (a) Demonstrate that the circus of APR is Q; (b) Demonstrate that STC is similar to APC.