Da 3a+b su a-b uguale 2, calcolare a^3/b^3
Due numeri a e b sono tali che 3a + b a −b = 2. Quanto vale a3 b3 ?
- (A) −27
- (B) −8
- (C) 1
- (D) 8
- (E) 27.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
From 3a+b on a-b equal to 2, calculate a^3/b^3
Two numbers a and b are such that 3a + b a −b = 2. How much is a3 b3 worth ?
- (A) −27
- (B) −8
- (C) 1
- (D) 8
- (E) 27.
Answer: A src_archimede_2012_febb_2livello__Q01
Torneo calcio balilla, tempo che Marco gioca in difesa
Marco, Fabrizio e Giovanni, tre matematici, sfidano un gruppo di quattro fisici a un torneo di calcio balilla. Giocano un incontro per ogni possibile combinazione di due matematici (uno in attacco, uno in difesa) contro due fisici (uno in attacco, uno in difesa). Ciascun incontro ha la stessa durata, e in totale il torneo dura ben 24 ore (senza pause). Quanto tempo gioca Marco in difesa? Si noti che, ad esempio, vi saranno due incontri diversi di Marco e Fabrizio contro un certo attaccante e un certo difensore fra i fisici: uno con Marco attaccante e Fabrizio difensore, uno viceversa.
- (A) 2 ore e 24 minuti
- (B) 4 ore e 48 minuti
- (C) 6 ore
- (D) 8 ore
- (E) 12 ore.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Football tournament, time Marco plays in defence
Marco, Fabrizio and Giovanni, three mathematicians, challenge a group of four physicists at a football tournament. They play a match for every possible combination of two mathematicians (one in attack, one in defense) against two physicists (one in attack, one in defense). Each match has the same duration, and in total the tournament lasts 24 hours (without breaks). How long does Marco play defense? It should be noted that, for example, there will be two different encounters of Marco and Fabrizio against a certain attacker and a certain defender among physicists: one with Marco attacking and Fabrizio defender, one vice versa.
- (A) 2 hours and 24 minutes
- (B) 4 hours and 48 minutes
- (C) 6 hours
- (D) 8 hours
- (E) 12 hours.
Answer: D src_archimede_2012_febb_2livello__Q02
Lato triangolo equilatero dato tesoro equidistante a 1 e 2 metri
Alice, Berto e Carlo stanno cercando un tesoro. Sapendo che i tre amici si trovano sui vertici di un triangolo equilatero e che il tesoro si trova in un punto al di fuori del triangolo, a 1 metro di distanza da Alice e da Berto e 2 metri di distanza da Carlo, quanti metri misura il lato del triangolo?
- (A) 2 √ 3
- (B) 3 √ 3 4
- (C) √ 3 2
- (D) 3 2
- (E) √ 3.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Equilateral triangle side given equidistant treasure at 1 and 2 metres
Alice, Berto and Carlo are looking for a treasure. Knowing that the three friends are on the vertices of an equilateral triangle and that the treasure is at a point outside the triangle, one meter away from Alice and Berto and two meters away from Charles, how many meters is the side of the triangle?
- (A) 2 √ 3
- (B) 3 √ 3 4
- (C) √ 3 2
- (D) 3 2
- (E) √ 3.
Answer: E src_archimede_2012_febb_2livello__Q03
Numeri di 2 cifre con numero meno somma cifre uguale 45
Quanti sono i numeri di 2 cifre tali che, se si sottrae la somma delle cifre dal numero di partenza, si ottiene 45?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 9
- (D) 10
- (E) 20.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Two-digit numbers less the sum of the digits equal to 45
How many 2-digit numbers are such that if you subtract the sum of the digits from the starting number, you get 45?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 9
- (D) 10
- (E) 20.
Answer: D src_archimede_2012_febb_2livello__Q04
Massimo coefficiente grado 1 di polinomio monico grado 5
Si sa che p(x) è un polinomio monico di grado 5. Inoltre, si sa che le soluzioni dell’equazione p(x) = 0 sono esattamente x = 0, 1, 2, 4. Determinare il massimo valore che può assumere il coefficiente del termine di primo grado. Nota: un polinomio è monico se il coefficiente del suo termine di grado più alto (nel nostro caso: quello di quinto grado) è 1.
- (A) −32
- (B) 16
- (C) 32
- (D) 64
- (E) Può assumere valori arbitrariamente grandi.
Topic: Algebra Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Maximum coefficient of degree 1 of the monic polynomial degree 5
We know that p(x) is a monic polynomial of degree 5. Also, we know that the solutions of the equation p(x) = 0 are exactly x = 0, 1, 2, 4. Determine the maximum value that the first degree term coefficient can assume. Note: a polynomial is monic if the coefficient of its highest degree term (in our case: that of fifth degree) is 1.
- (A) −32
- (B) 16
- (C) 32
- (D) 64
- (E) It can assume arbitrarily large values.
Answer: C src_archimede_2012_febb_2livello__Q05
Gara cavalli con mentitori e veritieri, chi e terzo
Dopo una gara fra cinque cavalli, cinque amici si incontrano e parlano dei risultati. Si sa che ognuno di loro ha puntato su un cavallo diverso, e che mentono entrambe le persone che hanno puntato sul primo e sull’ultimo classificato; le altre dicono la verità. Le loro affermazioni sono le seguenti: Alex: “Il cavallo su cui ha puntato Igor ha distanziato di almeno due posizioni il cavallo di Enrica.” Enrica: “Il cavallo su cui ho puntato io ha vinto.” Igor: “Il cavallo su cui ha puntato Osvaldo ha superato il mio.” Osvaldo: “Il cavallo su cui ho puntato non è arrivato fra i primi tre.” Umberto: “Il mio cavallo non ha vinto ma è arrivato subito dopo quello di Alex e subito prima di quello di Enrica.” Chi ha puntato sul cavallo classificatosi terzo?
- (A) Alex
- (B) Igor
- (C) Osvaldo
- (D) Umberto
- (E) Non è possibile determinarlo.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Race horses with liars and liars, who and third
After a race of five horses, five friends meet and talk about the results. We know that each of them has bet on a different horse, and that both the people who bet on the first and last rated are lying; the others are telling the truth. Their statements are as follows: Alex: The horse Igor bet on has distanced Enrica’s horse by at least two positions. Enrica: The horse I bet on has won. Igor: The horse Osvaldo bet on has overtaken mine. Osvaldo: The horse I bet on has not made it to the top three. Umberto: My horse did not win but it came right after Alex’s and right before Enrica’s. Who bet on the third classified horse?
- (A) Alex , what are you doing ?
- (B) I’m not sure.
- (C) The European Union
- (D) Other articles
- (E) There’s no way to tell.
Answer: A src_archimede_2012_febb_2livello__Q06
Area triangolo isoscele ABC con D medio e BCD isoscele
Sia ABC un triangolo isoscele con base BC, sia D il punto medio di AC. Sapendo che BCD è a sua volta isoscele con base CD e che BC = 2, quanto misura l’area di ABC?
- (A) 2
- (B) √ 5
- (C) √ 6
- (D) √ 7
- (E) 3.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Area isosceles triangle ABC with mean D and isosceles BCD
Either ABC is an isosceles triangle with base BC, or D the midpoint of AC. Knowing that BCD is in turn isosceles with CD base and that BC = 2, how much does the area of ABC measure?
- (A) 2
- (B) √ 5
- (C) √ 6
- (D) √ 7
- (E) 3.
Answer: D src_archimede_2012_febb_2livello__Q07
Spese crescono 0,5% annuo, anno in cui raddoppiano
Le spese per organizzare le Olimpiadi Nazionali della Matematica incrementano ogni anno dello 0, 5% rispetto all’anno precedente. In che anno le spese saranno esattamente il doppio rispetto a quelle del 2012? Nota: nel 2012 le spese non sono nulle.
- (A) 2023
- (B) 2150
- (C) 2151
- (D) 2212
- (E) mai.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Expenditure increases by 0.5% per annum, a year in which it doubles
The costs of organising the National Mathematical Olympiads increase by 0.5% each year compared to the previous year. In what year will the expenditure be exactly double that of 2012? Note: In 2012 the expenditure is not zero.
- (A) 2023
- (B) 2150
- (C) 2151
- (D) 2212
- (E) I never did.
Answer: E src_archimede_2012_febb_2livello__Q08
Coppie m,n con mn=25! frazione ridotta minore di 1
Quante sono le coppie di interi positivi (m, n) tali che la frazione m n sia ridotta ai minimi termini e strettamente minore di 1, e che il prodotto mn sia uguale a 1 · 2 · 3 · · · 24 · 25 (ovvero al prodotto dei primi 25 interi positivi)?
- (A) 27
- (B) 28 −1
- (C) 28
- (D) 29 −1
- (E) 29.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
- Couples m,n with mn=25! a reduced fraction of less than 1*
How many pairs of positive integers (m, n) are such that the fraction m n is reduced to the minimum terms and strictly less than 1, and that the product mn is equal to 1 · 2 · 3 · 24 · 25 (or the product of the first 25 positive integers)?
- (A) 27
- (B) 28 −1
- (C) 28
- (D) 29 −1
- (E) 29.
Answer: C src_archimede_2012_febb_2livello__Q09
Distanza B C dati angoli di 30 gradi su cartellone
Tre persone A, B, C si trovano in prossimità di un incrocio stradale tra due strade perpendicolari. A si trova esattamente sull’incrocio, mentre B e C si trovano su due strade distinte. Nel campo nei pressi dell’incrocio (all’interno dell’angolo retto ) c’è un cartellone pubblicitario, sostenuto da due pali piantati nel terreno nei punti D ed E, che distano tra loro esattamente un metro. A, B e C vedono tutti il lato frontale del cartellone. Sapendo che gli angoli , e misurano tutti 30 gradi, qual è la distanza (in linea d’aria) tra B e C?
- (A) 3 2 m
- (B) 1 + √ 5 2 m
- (C) √ 3 m
- (D) 2 m
- (E) Non è possibile determinarlo.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Distance B C data of 30 degree angles on the carton
Three people A, B, C are near a road junction between two perpendicular roads. A is located exactly at the intersection, while B and C are on two separate roads. In the field near the intersection (within the right angle ) there is an advertising sign, supported by two poles planted in the ground at points D and E, exactly one meter apart. A, B and C all see the front of the billboard. Knowing that the angles , and all measure 30 degrees, what is the distance (in line daria) between B and C?
- (A) 3 2 m
- (B) 1 + √ 5 2 m
- (C) √ 3 m
- (D) 2 m
- (E) There’s no way to tell.
Answer: D src_archimede_2012_febb_2livello__Q10
Conteggio colorazioni scacchiera 8x8 con lettere ABCD vincolate
Una scacchiera 8 per 8 viene riempita con le lettere A, B, C, D in modo che due caselle con un lato o un vertice in comune contengano lettere diverse, e in modo che le lettere A e le lettere B abbiano la proprietà seguente: ogni qual volta una A o una B ha una certa lettera X adiacente in orizzontale o verticale (X può essere A, B, C o D), allora dal lato opposto c’è un’altra X (a meno che non ci sia il bordo). In quanti modi è possibile sistemare tali lettere nella scacchiera?
- (A) 136
- (B) 144
- (C) 168
- (D) 328
- (E) 360.
Topic: Combinatoria Metodo: parita, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Counting of chess colours 8x8 with bound letters ABCD
An 8 by 8 chessboard is filled with the letters A, B, C, D so that two boxes with one side or a common vertex contain different letters, and so that the letters A and B have the following property: whenever an A or B has a certain letter X adjacent horizontally or vertically (X can be A, B, C or D), then on the opposite side there is another X (unless there is no edge). How many ways can you put those letters on the chessboard?
- (A) 136
- (B) 144
- (C) 168
- (D) 328
- (E) 360.
Answer: A src_archimede_2012_febb_2livello__Q11
Folletto dimezza x^2-y^2, numero massimo di scherzetti
Un folletto sceglie due numeri dispari x, y tali che 0 < y < x < 2012, calcola x2 −y2 e scrive il risultato su un foglio. Ogni mattina (a partire da quella del giorno successivo) si sveglia, legge il numero scritto sul foglio e, se questo numero è pari, lo sostituisce con la sua metà e va a fare uno scherzetto a qualcuno. Il giorno in cui per la prima volta legge un numero dispari, scompare ritornando nel mondo delle fate. Quanti scherzetti fa al massimo il folletto?
- (A) 11
- (B) 12
- (C) 14
- (D) 21
- (E) 22. Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
*Half sheet x^2 y^2, maximum number of jokes *
A booklet chooses two odd numbers x, y such that 0 < y < x < 2012, calculates x2 −y2 and writes the result on a sheet. Every morning (starting the next day) he wakes up, reads the number written on the paper, and if that number is even, he replaces it with his half and goes to make a joke to someone. The day he first reads a strange number, he disappears back into the fairy world. How many jokes does a puppeteer make at most?
- (A) 11
- (B) 12
- (C) 14
- (D) 21
- (E) 22. Problems with numerical answer 5 points
Answer: B src_archimede_2012_febb_2livello__Q12
Cerchi tangenti iterati, minimo n con area minore di 1
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\coordinate (O0) at (0,0);
\coordinate (C0) at (3,0);
\coordinate (A0) at (-1.5,2.598);
\coordinate (B0) at (-1.5,-2.598);
\coordinate (H0) at (-1.5,0);
\coordinate (D0) at (-3,0);
\coordinate (O1) at (-2.25,0);
\draw (O0) circle (3);
\draw (O1) circle (0.75);
\draw (A0) -- (B0) -- (C0) -- cycle;
\draw (D0) -- (C0);
\draw[fill] (O0) circle (1.5pt) node[above right]{$O_0$};
\draw[fill] (O1) circle (1.5pt) node[below]{$O_1$};
\draw[fill] (H0) circle (1.5pt) node[above right]{$H_0$};
\draw[fill] (A0) circle (1.5pt) node[above]{$A_0$};
\draw[fill] (B0) circle (1.5pt) node[below]{$B_0$};
\draw[fill] (C0) circle (1.5pt) node[right]{$C_0$};
\draw[fill] (D0) circle (1.5pt) node[left]{$D_0$};
\node at (1.8,2.4) {$\Gamma_0$};
\node at (-2.1,0.95) {$\Gamma_1$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Sia Γ0 una circonferenza di raggio 22012, e sia A0B0C0 un triangolo equilatero inscritto in Γ0. Sia Γ1 la circonferenza di raggio più piccolo tangente ad A0B0 nel suo punto medio H0, e a Γ0. Si costruiscono le circonferenze Γ2, … , Γn allo stesso modo, in modo che Γn sia una delle circonferenze di raggio più piccolo tangente a Γn−1 e ad un lato di un triangolo equilatero inscritto in Γn−1 nel suo punto medio. Qual è il più piccolo valore di n per cui l’area del cerchio racchiuso da Γn è minore di 1?
Topic: Geometria piana Metodo: Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1007 Fonte: apri PDF p.3
Iterated tangent circles, minimum n with area less than 1
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\coordinate (O0) at (0,0);
\coordinate (C0) at (3,0);
\coordinate (A0) at (-1.5,2.598);
\coordinate (B0) at (-1.5,-2.598);
\coordinate (H0) at (-1.5,0);
\coordinate (D0) at (-3,0);
\coordinate (O1) at (-2.25,0);
\draw (O0) circle (3);
\draw (O1) circle (0.75);
\draw (A0) -- (B0) -- (C0) -- cycle;
\draw (D0) -- (C0);
\draw[fill] (O0) circle (1.5pt) node[above right]{$O_0$};
\draw[fill] (O1) circle (1.5pt) node[below]{$O_1$};
\draw[fill] (H0) circle (1.5pt) node[above right]{$H_0$};
\draw[fill] (A0) circle (1.5pt) node[above]{$A_0$};
\draw[fill] (B0) circle (1.5pt) node[below]{$B_0$};
\draw[fill] (C0) circle (1.5pt) node[right]{$C_0$};
\draw[fill] (D0) circle (1.5pt) node[left]{$D_0$};
\node at (1.8,2.4) {$\Gamma_0$};
\node at (-2.1,0.95) {$\Gamma_1$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Whether Γ0 be a radius circumference of 22012, and whether A0B0C0 be an equilateral triangle inscribed in Γ0. Whether Γ1 the circumference of the smallest radius tangent to A0B0 at its midpoint H0, or Γ0. The circumferences are constructed C2… , Γn in the same way, such that Γn is one of the smallest radius circumferences tangent to Γn−1 and to one side of an equilateral triangle inscribed in Γn−1 at its midpoint. What is the smallest value of n for which the area of the circle enclosed by Γn is less than 1?
Answer: 1007 src_archimede_2012_febb_2livello__Q13
Minimo di p(0)^2+q(0)^2 per polinomi con vincoli di parita
Siano p(x) e q(x) due polinomi distinti di grado minore o uguale a 3, a coefficienti interi e tali che p(1) = q(1), p(2) = q(2), p(3) = q(3), p(−1) = −q(−1), p(−2) = −q(−2), p(−3) = −q(−3). Qual è il minimo valore che può assumere [p(0)]2 + [q(0)]2 ?
Topic: Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 36 Fonte: apri PDF p.3
Minimum of p(0)^2+q(0)^2 for polynomials with parity constraints
They are p(x) and q(x) two distinct polynomials of degree less than or equal to 3, with integer coefficients such that p(1) = q(1), p(2) = q(2), p(3) = q(3), p(−1) = −q(−1), p(−2) = −q(−2), p(−3) = −q(−3). What is the minimum value that can be assumed by [p(0)]2 + [q(0)]2?
Answer: 36 src_archimede_2012_febb_2livello__Q14
Ciclostilato di n multiplo di 9 e di 11
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Dato un qualsiasi intero positivo n, chiamiamo ciclostilato di n il numero che si ottiene concatenando 2012 scritture di n (in base 10). Per esempio il ciclostilato di 314 è 314314314 … 314, dove le cifre “314” si ripetono 2012 volte. (a) Determinare tutti gli interi positivi m tali che il ciclostilato di m sia multiplo di 9. (b) Determinare tutti gli interi positivi m tali che il ciclostilato di m sia multiplo di 11.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Cyclostillate of n multiples of 9 and 11
Given any positive integer n, we call cyclostilate of n the number that is obtained by concatenating 2012 letters of n (based on 10). For example , the cyclostilate of 314 is 314314314 … 314, where the numbers 314 are repeated 2012 times. (a) Determine all positive integers m such that the cyclostilate of m is a multiple of 9. (b) Determine all positive integers m such that the cyclostilate of m is multiple 11.
src_archimede_2012_febb_2livello__Q15
Debito di sonno settimanale, minimo ore dormite da Davide
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Normalmente Davide ha bisogno di dormire almeno 8 ore per notte. Se una notte dorme k ore meno di quanto gli occorra, si ritrova ad aver bisogno di k ore in più di sonno per le k notti successive. Ogni notte dorme comunque un numero intero di ore minore o uguale al suo fabbisogno. Ad esempio, se lunedì notte ha bisogno di 8 ore, ma ne dorme 7, martedì avrà bisogno di 9 ore. Se mercoledì ha bisogno di 8 ore, ma ne dorme 6, giovedì e venerdì avrà bisogno di almeno 10 ore di sonno; se giovedì ne dorme solo 9, venerdì sentirà la necessità di 11 ore (8, più 2 per le ore perse mercoledì, più 1 per quella non dormita giovedì). Un certo lunedì notte Davide avrebbe necessità di dormire 8 ore; lo stesso si verifica la notte del lunedì della settimana successiva. Nel corso della settimana ci sono state 7 ore in cui avrebbe avuto bisogno di dormire ma non l’ha fatto: quante ore ha dormito come minimo Davide nelle sette notti che vanno da lunedì a domenica?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 58 Fonte: apri PDF p.5
Debt of weekly sleep, minimum hours of sleep by David
Demonstrative Exercise Normally David needs at least eight hours of sleep a night. If one night he sleeps less than he needs to, he finds himself needing more than k hours for the next k nights. Each night, however, he sleeps an entire number of hours less or equal to his needs. For example, if you need eight hours on Monday night, but you sleep seven, you’ll need nine on Tuesday. If on Wednesday you need 8 hours, but on Thursday and Friday you need at least 10 hours of sleep; if on Thursday you only need 9 hours, on Friday you will feel the need for 11 hours (8, plus 2 for the hours lost on Wednesday, plus 1 for the one not sleeping on Thursday). On a certain Monday night David would need eight hours of sleep; the same is true on the Monday night of the following week. During the week there were 7 hours in which he needed to sleep but did not: How many hours did David sleep at least in the seven nights from Monday to Sunday?
Answer: 58 src_archimede_2012_febb_2livello__Q16
Triangolo acutangolo, circocentro, angoli e aree di quadrilateri
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABC un triangolo acutangolo; sia O il suo circocentro e siano P, Q i punti (diversi da A) in cui rispettivamente l’altezza uscente dal vertice A e il prolungamento di AO incontrano la circonferenza circoscritta ad ABC. (a) Si dimostri che gli angoli e sono congruenti; (b) Si dimostri che i triangoli BCP e CBQ sono congruenti; (c) Si dimostri che, detti M e N i punti medi di AB e AC, l’area del quadrilatero ABPC vale quattro volte l’area del quadrilatero AMON.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
Acute triangle, circocentre, angles and areas of quadrilateral
Demonstrative Exercise Whether ABC is an acute triangle; whether O is its circumcenter and whether P, Q are the points (other than A) where, respectively, the height exiting from vertex A and the extension of AO meet the circumference prescribed at ABC. (a) The angles and are shown to be congruent; (b) The triangles BCP and CBQ are shown to be congruent; (c) The area of the quadrilateral ABPC is shown to be four times the area of the quadrilateral AMON, given the mean points of AB and AC at M and N.