Diminuzione giorni festivi con riforma del calendario
La risposta è (D). Secondo il calendario precedente alla riforma, poich´e il quoziente della divisione di 400 per 6 è 66, vi erano 66 giorni festivi. Con il nuovo calendario ogni mese ci sono 6 giorni festivi e quindi in un anno ci sono 60 giorni festivi. I giorni festivi sono allora passati da 66 a 60 e la diminuzione, 6, è minore del 10% di 66, che è 6,6. [Problema proposto da P. Negrini.]
Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Reduction of holidays with calendar reform
The answer is D. According to the pre-reform calendar, since the ratio of 400 to 6 is 66, there were 66 public holidays. With the new calendar each month there are 6 holidays and so in a year there are 60 holidays. The holidays then went from 66 to 60 and the decrease, 6, is less than 10% of 66, which is 6.6. [Problem proposed by Mr P. Negroes.]
Answer: D src_archimede_2012_triennio__Q03
Rapporto superfici di due sfere con rapporto volumi 2
La risposta è (A). Il volume di una sfera di raggio R è 4πR3 3 , mentre la sua superficie è 4πR2. Indichiamo con R1 e R2 i raggi di S1 e S2 rispettivamente. Sappiamo che 4πR3 2 3 4πR3 1 3 = 2 ⇒ R2 R1 3 = 2 . Dunque R2 R1
3√ 2 ⇒R2 2 R2 1
3√ 4 . Poich´e il rapporto tra la superficie di S2 e quella di S1 coincide con R2 2 R2 1 , esso vale 3√ 4. [Problema proposto da P. Leonetti.]
Topic: Geometria solida, Geometria solida Abilita: Manipolazione algebrica, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Ratio of surfaces of two spheres with volume ratio 2
The answer is A. The volume of a sphere of radius R is 4πR3 3 , while its surface is 4πR2. Let’s use R1 and R2 to indicate the rays of S1 and S2 respectively. We know that 4πR3 2 3 4πR3 1 3 = 2 ⇒ R2 R1 3 = 2 . So R2 R1 is equal to 3√ 2 ⇒R2 2 R2 1 is equal to 3√ 4. Since the ratio of the surface of S2 to that of S1 is R2 2 R2 1 , it is 3√ 4. [Problem proposed by Mr P. I’m going to tell you something.
Answer: A src_archimede_2012_triennio__Q04
Velocita media nel percorso casa-scuola-casa
La risposta è (C). La velocità media nel percorso casa-scuola-casa è data dalla lunghezza del percorso complessivo, ovvero 4 km (2 per andare e 2 per tornare), diviso il tempo totale impiegato, ovvero 16 minuti (12 per andare e 4 per tornare). Dunque la velocità media è di 0,25 km/min, che coincide con 15 km/h. [Problema proposto da S. Monica.]
Topic: Algebra, Algebra Abilita: traduzione del testo, traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Mean speed on the home-school-home route
The answer is C. The average speed in the home-school-home route is given by the total route length, i.e. 4 km (2 to go and 2 to return), divided by the total time spent, i.e. 16 minutes (12 to go and 4 to return). So the average speed is 0.25 km/min, which is 15 km/h. [Problem proposed by S. Monica.]
Answer: C src_archimede_2012_triennio__Q05
Area quadrato inscritto con similitudine in triangolo
La risposta è (C). Indichiamo con O il centro del quadrato, con K il vertice del quadrato che appartiene al lato AC e con 2x la lunghezza in metri della diagonale del quadrato. Per la similitudine dei triangoli AHC e KOC, abbiamo che CH AH = OC KO = 2 −x x . Ma CH AH = 2 m 0,5 m = 4 . Da qui si ottiene x = 2 5 m e quindi HK = 2 √ 2 5 m. L’area del quadrato è allora 8 25 m2. [Problema proposto da U. Bindini e A. Sambusetti.]
Topic: Geometria piana, Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Square area inscribed with triangular similarities
The answer is C. We’re going to use O to show the center of the square, K to show the top of the square that belongs to the AC side, and 2x the length in meters of the square’s diagonal. For the similarity of the AHC and KOC triangles, we have CH AH = OC KO = 2 −x x. Ma CH AH = 2 m 0,5 m = 4 . From here we get x = 2.5 m and then HK = 2 √ 2.5 m. The area of the square is then 8 25 m2. [Problem proposed by Mr U. Bindini and A. I’m going to have to go with you.
Answer: C src_archimede_2012_triennio__Q06
Primi p, q con p^q+1 primo
La risposta è (B). Osserviamo che pq + 1 è pari se pq è dispari, e viceversa è dispari se pq è pari. Poich´e l’unico numero primo pari è 2, affinch´e pq + 1 sia primo esso deve essere uguale a 2 oppure deve essere dispari. Ma pq + 1 = 2 implica pq = 1 il che è impossibile. Dunque dobbiamo avere che pq è pari, e quindi p deve essere pari, ed essendo primo si deve avere p = 2. Se q è dispari pq + 1 ammette la scomposizione: (pq + 1) = (p + 1)(pq−1 −pq−2 + · · + p2 −p + 1) e quindi in particolare è divisibile per p + 1 e pertanto non può essere primo. Allora anche q deve essere pari e quindi q = 2. L’unica possibilità è allora p = q = 2.
Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Prime p, q with p^q+1 prime
The answer is B. We’ll see that pq + 1 is equal if pq is odd, and vice versa is odd if pq is even. Since the only prime number is 2, for pq + 1 to be prime, it has to be equal to 2 or it has to be odd. But pq + 1 = 2 implies pq = 1, which is impossible. So we have to have that pq is equal, and then p has to be equal, and being first we have to have p = 2. If q is odd pq + 1 admits the breakdown: (pq + 1) = (p + 1)(pq−1 −pq−2 + · · · + p2 −p + 1) and so in particular it is divisible by p + 1 and therefore cannot be prime. So also q has to be equal and so q is equal to 2. The only possibility is then p = q = 2.
Answer: B src_archimede_2012_triennio__Q09
Somma cifre di (10^2013+1)^3
La risposta è (B). Sviluppando il cubo del binomio possiamo scrivere (102013 + 1)3 = 106039 + 3 · 104026 + 3 · 102013 + 1 . Ciascuno dei 4 numeri a destra dell’uguaglianza, scritti in base 10, ha una sola cifra diversa da zero e in una posizione diversa da quella degli altri, quindi la somma delle cifre del numero che si ottiene sommandoli è 1 + 3 + 3 + 1 = 8. [Problema proposto da C. Di Stefano.] 3
Topic: Teoria dei Numeri, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Summary of figures of (10^2013+1)^3
The answer is B. By developing the binomial cube we can write (102013 + 1)3 = 106039 + 3 · 104026 + 3 · 102013 + 1 . Each of the 4 numbers to the right of the equation, written at base 10, has only one digit different from zero and in a different position from the others, so the sum of the digits of the number that you get by adding them is 1 + 3 + 3 + 1 = 8. [Problem proposed by C. By Stephen.] 3
Answer: B src_archimede_2012_triennio__Q11
Massimo divisore di n^5-5n^3+4n per n>=3
La risposta è (D). Possiamo scrivere n5 −5n3 + 4n
n(n4 −5n2 + 4)
n(n2 −4)(n2 −1)
(n −2)(n −1)n(n + 1)(n + 2) . Dunque stiamo considerando un numero che può sempre essere scritto come prodotto di cinque numeri naturali consecutivi (tutti strettamente positivi, poich´e n ≥3). In una sequenza di 5 numeri naturali consecutivi vi sono certamente due numeri pari di cui uno multiplo di 4, un multiplo di 3 e un multiplo di 5. Dunque il loro prodotto è certamente multiplo di 120 = 2·3·4·5. D’altra parte per n = 3 abbiamo n5 −5n3 + 4n = 120 quindi 120 è il più grande divisore di n5 −5n3 + 4n al variare di n ≥3.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
Maximum divider of n^5-5n^3+4n for n>=3
The answer is D. We can write n5 −5n3 + 4n = n(n4 −5n2 + 4) = n(n2 −4)(n2 −1) = (n −2)(n −1) n(n + 1)(n + 2) . So we’re considering a number that can always be written as the product of five consecutive natural numbers (all strictly positive, because n ≥3). In a sequence of 5 consecutive natural numbers there are certainly two even numbers of which a multiple of 4, a multiple of 3 and a multiple of 5. So their product is certainly a multiple of 120 = 2·3·4·5. On the other hand for n = 3 we have n5 −5n3 + 4n = 120 so 120 is the largest divisor of n5 −5n3 + 4n at the variance of n ≥3.
Answer: D src_archimede_2012_triennio__Q12
Espressione minore o uguale a 1/6+x^2 per ogni x
La risposta è (E). Nessuna delle espressioni contenute nelle altre risposte è minore o uguale di 1 6 + x2 per ogni x. Difatti, se per esempio x = 0 il numero q 1 6 + x2 = q 1 6 > 1 6, quindi (A) è falsa. Anche la risposta (D) è evidentemente falsa se 0 < x < 1, poich´e in tal caso 1 6 + x > 1 6 + x2. Sviluppando il quadrato del binomio, si trova anche che non può valere (C): 1 6 + x 2 = 1 36 + x2 + 1 3x > 1 6 + x2 per x > 15 36. Proviamo infine che anche la risposta (B) è errata: in effetti 1 6 + x2 ≥−2 √ 3x ⇔ 6 √ 3x2 + 12x + √ 3 ≥0 ed il discriminante del trinomio 6 √ 3x2 +12x+ √ 3 vale ∆= 144−24·3 > 0; dunque il trinomio ammette due radici reali distinte ed è negativo per ogni valore di x strettamente compreso tra le due radici. [Problema proposto da G. Barbarino e A. Sambusetti.]
Topic: Disuguaglianze, Algebra, Disuguaglianze Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Expression less than or equal to 1/6+x^2 for each x
The answer is E. None of the expressions in the other answers is less than or equal to 16 + x2 for every x. In fact, if for example x = 0, the number q 1 6 + x2 = q 1 6 > 1 6, then (A) is false. The answer (D) is also obviously wrong if 0 < x < 1, because in this case 1 6 + x > 1 6 + x 2. By developing the binomial square, it also finds that it cannot be (C): 1 6 + x 2 = 1 36 + x2 + 1 3x > 1 6 + x2 for x > 15 36. Finally, let’s prove that the answer (B) is also wrong: in fact 1 6 + x2 ≥−2 √ 3x 6 √ 3x2 + 12x + √ 3 ≥0 and the discriminant of the trinomial 6 √ 3x2 + 12x+ √ 3 is ∆= 144−24·3 > 0; so the trinomial admits two distinct real roots and is negative for every value of x closely understood between the two roots. [Problem proposed by G. Barbarians and A. I’m going to have to go with you.
Answer: E src_archimede_2012_triennio__Q13
Distanza punti medi su sviluppo del cono
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (V) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (T) at (120:4);
\coordinate (P) at (60:4);
\coordinate (Q) at (2,0);
\draw (V) -- (T);
\draw (V) -- (B);
\draw (0:4) arc (0:120:4);
\draw (P) -- (Q);
\draw[dashed] (V) -- (P);
\fill (P) circle (1.5pt);
\fill (Q) circle (1.5pt);
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[below right] at (Q) {$Q$};
\node[below left] at (V) {$V$};
\node at (105:2.2) {$a$};
\node[right] at (3,1.0) {$d$};
\draw (V) ++(0:0.7) arc (0:60:0.7);
\node at (30:1.05) {$60^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}La risposta è (A). Calcoliamo prima di tutto l’apotema del cono: a = √ r2 + h2 = 30cm. Tagliamo ora il cono lungo l’apotema passante per Q, e otteniamo così un settore circolare di centro V , raggio a ed arco di circonferenza di lunghezza uguale a 2πr: l’angolo al centro che sottende tale arco misura dunque ϑ = 2πr a = 2πr √ r2+h2 = 2 3π radianti. V o a d P Q 60 Il problema si riduce quindi a trovare la lunghezza del segmento che congiunge il punto medio P dell’arco di circonferenza al punto medio Q di uno dei due raggi delimitanti il settore circolare. Poich´e l’angolo d PV Q = 60°, segue che PQ è perpendicolare al raggio contenente Q, dunque d = q a2 − a 2 2 = √ 3 2 a = 15 √ 3. [Problema proposto da Nirvana.] 4
Topic: Geometria solida, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.4
Mean distance points on the development of the cone
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (V) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (T) at (120:4);
\coordinate (P) at (60:4);
\coordinate (Q) at (2,0);
\draw (V) -- (T);
\draw (V) -- (B);
\draw (0:4) arc (0:120:4);
\draw (P) -- (Q);
\draw[dashed] (V) -- (P);
\fill (P) circle (1.5pt);
\fill (Q) circle (1.5pt);
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[below right] at (Q) {$Q$};
\node[below left] at (V) {$V$};
\node at (105:2.2) {$a$};
\node[right] at (3,1.0) {$d$};
\draw (V) ++(0:0.7) arc (0:60:0.7);
\node at (30:1.05) {$60^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The answer is A. Let’s first calculate the apoteme of the cone: a = √ r2 + h2 = 30cm. Now let’s cut the cone along the apoteme passing through Q, and we get a circular sector of center V , radius a and arc of circumference of length equal to 2πr: the angle to the center underneath that arc measures θ = 2πr a = 2πr √ r2+h2 = 2 3π radiants. V or a d P Q 60 The problem is then reduced to finding the length of the segment connecting the median point P of the circumference arc to the median point Q of one of the two radii delimiting the circular sector. Since the angle d PV Q = 60°, it follows that PQ is perpendicular to the radius containing Q, so d = q a2 − a 2 2 = √ 3 2 a = 15 √ 3. [Problem proposed by Nirvana.] 4
Answer: A src_archimede_2012_triennio__Q14
Probabilita somma 11 con dado a 4 e dado a 8 facce
La risposta è (B). Gli eventi possibili dopo aver lanciato i due dadi possono essere rappresentati da tutte le coppie ordinate (d1, d2) in cui d1 è il valore del primo dado e d2 quello del secondo; poichè d1 può variare tra 4 possibili valori e d2 tra otto possibili valori, il numero totale di eventi è 32. Osserviamo che per ciascun valore d1 del dado a 4 facce c’è uno e un solo valore d2 del dado a 8 facce la cui somma con d1 sia 11. Quindi gli eventi favorevoli, ovvero le coppie (d1, d2) tali che a somma d1 + d2 sia 11, sono 4, su un totale di 32. La probabilità che si verifichi un evento favorevole è allora 4 32 = 1 8. [Probema proposto da S. Mongodi.]
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria, Probabilita e statistica Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.5
Probability sum 11 with 4 face dice and 8 face dice
The answer is B. The possible events after throwing the two dice can be represented by all the ordered pairs (d1, d2) where d1 is the value of the first dice and d2 is the value of the second; since d1 can vary between 4 possible values and d2 between eight possible values, the total number of events is 32. Let’s see that for each d1 value of the 4-sided dice there is one and only one d2 value of the 8-sided dice whose sum with d1 is 11. So the favourable events, or the pairs (d1, d2) such that the sum of d1 + d2 is 11, is 4, out of a total of 32. The probability of a favorable event occurring is then 4 32 = 18. [Problem proposed by S. Mongols.]
Answer: B src_archimede_2012_triennio__Q15
Valori di k con soluzione intera di x^10+kx^2+4=0
La risposta è (B). Indichiamo con n la soluzione intera dell’equazione x10 + kx2 + 4 = 0; osserviamo che n ̸= 0 altrimenti l’equazione non è verificata. Possiamo scrivere: n10 + kn2 + 4 = 0 k = −n8 −4 n2 . Dunque, dato che k è intero e n8 è intero, 4 n2 è intero, e quindi n2 divide 4 e quindi può essere solo n = ±1, n = ±2. Nel primo caso abbiamo k = −5 e nel secondo k = −28 −1. k può assumere solo due valori. [Problema proposto da P. Leonetti.]
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.5
Values of k with full solution of x^10+kx^2+4=0
The answer is B. Let’s show with n the whole solution of the equation x10 + kx2 + 4 = 0; we observe that n = 0 otherwise the equation is not verified. We can write: n10 + kn2 + 4 = 0 k = −n8 −4 n2 . So, since k is integer and n8 is integer, 4 n2 is integer, and so n2 divides 4 and so it can only be n = ±1, n = ±2. In the first case we have k = −5 and in the second case k = −28 −1. k can only take two values. [Problem proposed by Mr P. I’m going to tell you something.
Answer: B src_archimede_2012_triennio__Q16
Probabilita di rendere divisibile per 11 un quadrato
La risposta è (A). Un numero è congruo modulo 11 alla somma delle sue cifre, prese a segni alterni (partendo dal segno positivo per la cifra delle unità). Consideriamo allora un quadrato di due cifre che si scriva, in notazione decimale, come ab; notiamo subito che −8 ≤a −b ≤9 e che sicuramente a ̸= b, a ̸= b −1 (sennò ab non è un quadrato). Ciò significa che la differenza a −b è congrua, modulo 11, ad un numero intero x compreso tra 1 e 9. Pertanto, qualsiasi sia il quadrato ab assegnato, esiste sempre una e una sola cifra x compresa tra 1 e 9 tale che x−a+b sia congruo a zero modulo 11, cioè tale che xab sia divisibile per 11. La probabilità è dunque uguale a 1 9. [Problema proposto da S. Mongodi.]
Topic: Probabilita e statistica, Teoria dei Numeri, Probabilita e statistica, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio per casi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.5
Probability of dividing by 11 a square
The answer is A. A number is congruent to the sum of its digits, taken at alternate signs (starting from the positive sign for the number of units). Consider a square of two digits that is written, in decimal notation, as ab; we notice right away that −8 ≤a −b ≤9 and that definitely a =b, a =b −1 (unless ab is not a square). This means that the difference a −b is congruent, module 11, to an integer x between 1 and 9. Therefore, whatever the square ab is assigned, there is always one and only one digit x between 1 and 9 such that x−a+b is congruent to zero modulo 11, i.e. such that xab is divisible by 11. So the probability is equal to 19. [Problem proposed by S. Mongols.]
Answer: A src_archimede_2012_triennio__Q17
Stima soluzione di equazione polinomiale (t-1)(t+1)^2012=1
La risposta è (B). Consideriamo la funzione polinomiale f(t) = (t −1)(t + 1)2012 −1. Per t > 1 questa funzione è crescente, in quanto entrambe le funzioni (t −1) e (t + 1)2012 lo sono, e dunque lo è il loro prodotto. Si ha per ipotesi f(x) = 0 mentre f 1 + 1 32012
1 32012 1 32012 + 2 −1 < 3 32012 −1 < 0 pertanto 1 + 1 32012 < x. D’altra parte, poich´e sappiamo che x > 1, da f(x) = 0 deduciamo immediatamente che x = 1 + 1 (x + 1)2012 < 1 + 1 22012 [Problema proposto da S. Mongodi.] 6
Topic: Disuguaglianze, Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, Ragionamento all’indietro Abilita: Stima e approssimazione, Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.6
This is the sum of the squares of the two sides of the hypotenuse.
The answer is B. Consider the polynomial function f(t) = (t −1)(t + 1)2012 −1. For t > 1 this function is increasing, as both functions (t −1) and (t + 1)2012 are, and therefore their product is. We assume f(x) = 0 while f 1 + 1 32012 = 1 32012 1 32012 + 2 −1 < 3 32012 −1 < 0 so 1 + 1 32012 < x. On the other hand, since we know that x > 1, from f(x) = 0, we deduce immediately that x = 1 + 1 (x + 1)2012 < 1 + 1 22012 [S. Mongols.] 6
Answer: B src_archimede_2012_triennio__Q20