Cifra delle unita del mcm di 2^255 e 2^256
Siano a = 2255 e b = 2256. Qual è la cifra delle unità del minimo comune multiplo di a e b? A 0 B 2 C 4 D 8 E 5 F 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*MK unit numbers of 2^255 and 2^256 *
So a is 2255 and b is 2256. What is the number of units of the common multiple of a and b? A 0 B 2 C 4 D 8 E 5 F 6
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q01
Composizioni di un pasto con vincolo vino rosso/pesce
Nel ristorante “Allo Zoo” i pasti sono formati da un secondo, un contorno e un bicchiere di vino. Il secondo piatto può essere scelto tra pesce gatto, pescecane e bistecca; il contorno tra patate arrosto, insalata e peperoni; il vino tra bianco, rosso e rosato. Chi ordina pesce non può bere vino rosso. Quanti sono le possibili composizioni di un pasto? A 21 B 27 C 9 D 14 E 24 F 32
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Compositions of a meal bound by red wine/fish
In the restaurant At the Zoo meals are made up of a second, a contour and a glass of wine. The second dish can be chosen from catfish, fishcake and steak; the outline between toasted potatoes, salad and peppers; the wine from white, red and pink. Whoever orders fish can’t drink red wine. How many possible compositions of a meal? A 21 B 27 C 9 D 14 E 24 F 32
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q02
Valori interi possibili per il lato BC di un triangolo
In un triangolo ABC sappiamo che AB = 109.7 cm e AC = 112.6 cm e che la misura del lato BC, espressa in cm, è intera. Quanti sono i possibili valori diversi per la lunghezza del lato BC? A 220 B 256 C 108 D 276 E 144 F 193
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Possible integers for the BC side of a triangle
In an ABC triangle we know that AB is 109.7 cm and AC is 112.6 cm and that the size of the side BC, expressed in cm, is whole. What are the possible different values for the length of the BC side? A 220 B 256 C 108 D 276 E 144 F 193
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q03
Tentativi per combinazione cassaforte con somme di cifre fissate
Alberto ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte, ma si ricorda che era un numero di quattro cifre, tutte diverse da zero e non necessariamente diverse tra loro, e che la somma della prima e dell’ultima cifra è 9, mentre la somma della seconda e della terza è 7. Quanti tentativi dovrà fare, al massimo, per aprire la cassaforte? A 48 B 24 C 14 D 96 E 72 F 63
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Temptations to combine safe deposit boxes with fixed sums of figures
Albert forgot the combination of his safe, but he remembers that it was a four-digit number, all different from zero and not necessarily different from each other, and that the sum of the first and last digits is 9, while the sum of the second and third is 7. How many attempts will you have to make to open the safe? A 48 B 24 C 14 D 96 E 72 F 63
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q04
Affermazioni vere su quando un quadrilatero e un rombo
Dato un quadrilatero convesso ABCD, si considerino le affermazioni: (a) se la diagonale AC è bisettrice degli angoli in A e in C e AB = BC, allora ABCD è un rombo; (b) se la diagonale AC è bisettrice dell’angolo in A e AB = BC, allora ABCD è un rombo; (c) se la diagonale AC è bisettrice degli angoli in A e in C e AB = AD, allora ABCD è un rombo. Allora quelle corrette sono: A solo (a) B nessuna C tutte D solo (c) E solo (a) e (b) F solo (a) e (c)
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
True statements about when a quadrilateral and a rope
Given a convex quadrilateral ABCD, consider the following statements: (a) if the AC diagonal is a bisector of the angles in A and C and AB = BC, then ABCD is a rim; (b) if the AC diagonal is a bisector of the angle in A and AB = BC, then ABCD is a rim; (c) if the AC diagonal is a bisector of the angles in A and C and AB = AD, then ABCD is a rim. So those corrections are: A only (a) B no C all D only (c) E only (a) and (b) F only (a) and (c)
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q05
quanti unicorni da teste/gambe/corna
In un recinto ci sono struzzi, tori e unicorni (gli unicorni sono animali con 4 gambe e un solo corno sulla testa). Sappiamo che in tutto ci sono 100 teste, 364 gambe e 141 corna. Quanti sono gli unicorni? A 23 B 31 C 29 D 45 E 19 F non ci sono dati sufficienti per stabilirlo
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
how many unicorns from head/leg/horn
In a enclosure there are ostriches, bulls and unicorns ( unicorns are animals with 4 legs and only one horn on the head). We know that there are 100 heads, 364 legs and 141 horns. How many unicorns are there? A 23 B 31 C 29 D 45 E 19 F There is not enough data to establish this
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q06
Massimo numero di studenti con parole binarie distinte di 5 test
L’insegnante di matematica della classe IB, nei compiti in classe, ha l’abitudine di preparare due test diversi (A e B) e di far svolgere esattamente a metà degli studenti il test di tipo A e all’altra metà il test di tipo B. Alla fine del quadrimestre nota con piacere che nessuno studente è mai stato assente durante i compiti in classe. Nota inoltre che, comunque si prendano due studenti, c’è almeno uno dei 5 compiti in classe in cui hanno svolto test diversi. Quanti sono al massimo i ragazzi? A 32 B 10 C 24 D 36 E 16 F non c’è un massimo perch´e è possibile soddisfare le condizioni richieste con un numero arbitrariamente alto di studenti
Topic: Combinatoria Metodo: corrispondenza Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of students with distinct binary words for 5 tests
The IB class math teacher, in classroom assignments, has the habit of preparing two different tests (A and B) and having exactly half of the students take the type A test and the other half the type B test. At the end of the quarter, it is noted with pleasure that no student has ever been absent during classroom assignments. Note also that, however two students are taken, there is at least one of the 5 classroom tasks in which they have taken different tests. How many kids are there? There is no maximum at 32 B 10 C 24 D 36 E 16 F because it is possible to satisfy the requirements with an arbitrarily high number of students
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q07
Tempo per dipingere muro lavorando insieme (lavoro/velocita)
Per dipingere un muro, Luca impiega 8 ore, mentre Paolo, che è più lento, per fare lo stesso lavoro ci metterebbe il doppio del tempo. Se decidono di lavorare insieme, quanto tempo impiegheranno a dipingere il muro? A 5 ore e 20 min. B 6 ore C 4 ore e 30 min. D 5 ore e 15 min. E 4 ore e 40 min. F 5 ore
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Time to paint a wall working together (work/speed) *
It would take Luke eight hours to paint a wall, while Paul, who is slower, would take twice as long to do the same work. If they decide to work together, how long will it take them to paint the wall? Five hours and 20 minutes. B 6 hours C 4 hours and 30 minutes. D 5 hours and 15 minutes. And four hours and 40 minutes. F 5 hours
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q08
Perimetro rettangolo dato incremento d’area di +1 cm sui lati
Dato un rettangolo ABCD, aumentando sia la base che l’altezza di 1 centimetro, si ottiene che l’area aumenta di 187 cm2. Qual è il perimetro di ABCD? A 372 cm B 187 cm C 186 cm D 748 cm E 558 cm F non ci sono dati sufficienti per stabilirlo
Topic: Algebra, Geometria piana Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Rectangular perimeter given an increase in area of +1 cm on the sides
Given an ABCD rectangle, increasing both the base and height by 1 cm, the area increases by 187 cm2. What is the perimeter of ABCD? At 372 cm B 187 cm C 186 cm D 748 cm E 558 cm F there are not enough data to establish it
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q09
Numero di palline con resto 5 dividendo per 6,7,8,9
Luca ha molte palline (più di 100 ma meno di 1000) e prova a metterle in scatole della capienza di 6 palline ciascuna. Scopre però che, così facendo, l’ultima scatola non viene riempita per intero, ma con solo 5 palline. Lo stesso succede se, invece di usare scatole da 6 palline, usa tutte scatole da 7 palline, oppure tutte scatole da 8 palline, oppure tutte scatole da 9 palline: nell’ultima scatola finiscono sempre esattamente 5 palline. Quante palline ha Luca? A 509 B 341 C 439 D 383 E 677 F non ci sono dati sufficienti per stabilirlo
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Number of balls with 5 remaining divided by 6,7,8,9
Luke has many balls (more than 100 but less than 1000) and tries to put them in boxes of the capacity of 6 balls each. However, he discovers that, in doing so, the last box is not filled in its entirety, but only with 5 balls. The same thing happens if, instead of using six-ball boxes, you use all seven-ball boxes, or all eight-ball boxes, or all nine-ball boxes: in the last box you always end up with exactly five balls. How many balls does Luca have? A 509 B 341 C 439 D 383 E 677 F There are not enough data to establish this
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q10
Monomi da aggiungere a x^8+x^4 per ottenere quadrato di binomio
Al polinomio x8 + x4 si vuole aggiungere un monomio (di grado diverso da 4 e da 8) in modo che il trinomio che si ottiene sia il quadrato di un binomio. In quanti modi diversi lo si può fare? A 4 B 1 C 2 D 3 E 5 F più di 5
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Money to be added to x^8+x^4 to obtain binomial square
To the polynomial x8 + x4 you want to add a monomial (of degree different from 4 and 8) so that the trinomial you get is the square of a binomial. How many different ways can this be done? A 4 B 1 C 2 D 3 E 5 F more than 5
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q11
Numeri buoni di 6 cifre con cifre 1-4 e proprieta di minimo
Un numero intero positivo verrà detto buono se soddisfa entrambe le seguenti proprietà: (a) contiene solo le cifre ”1”, ”2”, ”3” e ”4”, ciascuna almeno una volta; (b) permutando le sue cifre non si può mai ottenere un numero più piccolo. Quanti sono i numeri buoni di 6 cifre? A 10 B 25 C 12 D 6 E 24 F 32
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Good 6-digit numbers with digits 1-4 and minimum property
A positive integer is said to be good if it satisfies both of the following properties: (a) it contains only the digits 1, 2, 3 and 4, each at least once; (b) by permuting its digits one can never get a smaller number. How many are the six-digit numbers? A 10 B 25 C 12 D 6 E 24 F 32
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q12
Minimo abitanti isola fanti/cavalieri con frase a tavola rotonda
L’isola Kenoncè ha non meno di 2013 abitanti e ciascuno di essi può essere o un Fante o un Cavaliere. I Fanti mentono sempre mentre i Cavalieri dicono sempre la verità. Alla sera cenano tutti insieme ad un enorme tavola rotonda con esattamente tanti posti quanti sono gli abitanti, sedendosi in modo tale da poter pronunciare tutti insieme la seguente frase: “Le prime 5 persone che si trovano alla mia destra sono tutte dei Fanti” Qual è il minimo numero di abitanti che può avere l’isola? A 2016 B 2013 C 2014 D 2015 E 2017 F 2018
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum inhabitants of the island knight/fanter with round table phrase
Kenoncè Island has no less than 2013 inhabitants and each of them can be either a Fante or a Knight. The Fairies always lie while the Knights always tell the truth. In the evening, they all sit together at a huge round table with exactly as many seats as the inhabitants, sitting so that they can all say the following sentence together: The first 5 people on my right are all Fanti What is the minimum number of inhabitants the island can have? A 2016 B 2013 C 2014 D 2015 E 2017 F 2018
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q13
Massimo primo che divide 251001
Sia p il più grande numero primo che divide 251001. Allora: A 150 ≤p ≤199 B 100 ≤p ≤149 C p ≤99 D 200 ≤p ≤249 E 250 ≤p ≤299 F p ≥300
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum first dividing by 251001
So p is the largest prime number that divides 251001. In the case of the first subparagraph of Article 2 (1) of Regulation (EC) No 1408/71 the Commission shall adopt delegated acts in accordance with the procedure referred to in Article 2 (2) of Regulation (EC) No 1408/71 and in accordance with the procedure referred to in Article 2 (2) of Regulation (EC) No 1408/71.’;
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q14
Sottoinsiemi rettangolari in scacchiera 8x8
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\fill[gray!40] (2,4) rectangle (7,7);
\draw[step=1] (0,0) grid (8,8);
\end{tikzpicture}
\end{document}In quanti modi, in una scacchiera 8 × 8, posso scegliere un sottoinsieme non vuoto di caselle a forma di rettangolo? (tra le scelte valide vanno contate anche l’intera scacchiera e i rettangoli costituiti da una sola casella) A 1296 B 1440 C 1024 D 1600 E 1225 F 1156
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Rectangular under sets in 8x8 chessboard
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\fill[gray!40] (2,4) rectangle (7,7);
\draw[step=1] (0,0) grid (8,8);
\end{tikzpicture}
\end{document}How many ways, in a chessboard 8 × 8, can I choose a non-empty subset of rectangular boxes? A 1296 B 1440 C 1024 D 1600 E 1225 F 1156
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q15
Modi di comporre 1 euro con monete da 1,2,5 centesimi
In quanti modi diversi posso mettere insieme la quantità di 1 euro utilizzando solo monetine da 1, 2 e 5 centesimi? A 541 B 520 C 495 D 512 E 496 F nessuna delle altre risposte è esatta
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How to make 1 euro with 1.2.5 cent coins
How many different ways can I put together the amount of 1 euro using only 1, 2 and 5 cent coins? A 541 B 520 C 495 D 512 E 496 F None of the other answers is correct
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q16
Valore radice 21-esima del prodotto dei divisori di 576
Sia n il prodotto di tutti gli interi positivi che dividono 576 (compreso il numero stesso). Quanto vale 21√n? A 24 B 32 C 144 D 12 E 18 F non è un numero intero
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
21th root value of the product of 576 dividers
N is the product of all positive integers divided by 576 (including the number itself). What is 21√n worth? A 24 B 32 C 144 D 12 E 18 F is not an integer
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q17
Area trapezio dato aree triangoli formati dalle diagonali
Un trapezio rettangolo è diviso dalle diagonali in 4 triangoli: il più piccolo ha area 396 cm2 e il più grande ha area 539 cm2. Qual è l’area del trapezio? A 1859 cm2 B 1757 cm2 C 1911 cm2 D 2013 cm2 E 1835 cm2 F non ci sono dati sufficienti per stabilirlo
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Trapezoidal area given triangular areas formed by diagonals
A rectangular trapezoid is divided by the diagonals into 4 triangles: the smallest has an area of 396 cm2 and the largest has an area of 539 cm2. What’s the area of the trapezoid? A 1859 cm2 B 1757 cm2 C 1911 cm2 D 2013 cm2 E 1835 cm2 F there are not enough data to establish it
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q18
massimo per cui Claudia vince (posizioni perse)
Claudia e Luca fanno il gioco seguente: all’inizio Claudia mette sul tavolo una pila costituita da non più di 200 monete, poi a turno, cominciando da Luca, ciascun giocatore, a sua scelta, toglie 7 monete oppure aggiunge 4 monete alla pila. Perde chi si ritrova a dover muovere con la pila vuota. Qual è il massimo numero di monete che Claudia può mettere sul tavolo se vuole essere sicura di poter vincere la partita, qualsiasi siano le mosse che farà Luca? A 198 B 200 C 199 D 197 E 194 F 3
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze, monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum for which Claudia wins (positions lost)
Claudia and Luca play the following game: at the beginning Claudia puts on the table a stack of no more than 200 coins, then in turn, starting with Luca, each player, at his choice, removes 7 coins or adds 4 coins to the stack. He loses whoever finds himself having to move with the pile empty. What is the maximum number of coins Claudia can put on the table if she wants to be sure she can win the game, whatever moves Luca makes? A 198 B 200 C 199 D 197 E 194 F 3
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q19
Massimo numero di riduzioni tipo Euclide su coppia <1000
Data una coppia (a, b) di numeri interi positivi, con a > b, conveniamo di chiamare riduzione di (a, b), la coppia (b, r) ottenuta prendendo il secondo elemento b della coppia di partenza ed il resto r della divisione tra a e b. Immaginiamo poi di partire da una coppia di numeri e di operare successive riduzioni, finch´e questo è possibile, cioè finch´e i due numeri rimangono strettamente positivi. Ad esempio, partendo dalla coppia (59, 8) si riesce ad operare 4 riduzioni perch´e (59, 8) →(8, 3) →(3, 2) →(2, 1) →(1, 0). Qual è il massimo numero di riduzioni che si riesce a fare partendo da una coppia (a, b) di interi positivi entrambi minori di 1000? A 14 B 10 C 9 D 99 E 17 F 8 1
Soluzioni
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of Euclidean reductions per pair < 1000*
Given a pair (a, b) of positive integers, with a > b, we agree to call the reduction of (a, b), the pair (b, r) obtained by taking the second element b of the starting pair and the remainder r of the division between a and b. So let’s imagine starting with a pair of numbers and then doing further reductions, until this is possible, that is, until the two numbers remain strictly positive. For example, starting from the pair (59, 8) you can perform 4 reductions because (59, 8) →(8, 3) →(3, 2) →(2, 1) →(1, 0). What is the maximum number of reductions you can make from a pair (a, b) of positive integers both less than 1000? A 14 B 10 C 9 D 99 E 17 F 8 1
Solutions
Answer: A src_archimede_2013_classiprime__Q20