Probabilita di almeno una risposta giusta su 11 domande
Matteo deve fare un test a crocette con 11 domande. Ciascuna domanda ha una sola risposta giusta. La prima domanda ha 2 possibili risposte (A e B), la seconda domanda ha 3 possibili risposte (A, B, C), e così via, fino all’undicesima domanda che ha 12 possibili risposte. Qual è la probabilità che facendo a caso il test Matteo dia almeno una risposta giusta?
- (A) 1 12!
- (B) 1 144
- (C) 1 2
- (D) 11 12
- (E) 121 144
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Probability of at least one correct answer to 11 questions
Matteo has to take a crossword puzzle test with 11 questions. Each question has only one correct answer. The first question has 2 possible answers (A and B), the second question has 3 possible answers (A, B, C), and so on, until the 11th question has 12 possible answers. What is the probability that the random Matteo test will give at least one correct answer?
- (A) 1 12!
- (B) 1 144
- (C) 1 2
- (D) 11 12
- (E) 121 144
Answer: D src_archimede_2013_febb_2livello__Q01
Cavalieri e furfanti, quanti cavalieri dato totale di Si
Nell’isola dei Cavalieri (che dicono sempre la verità) e dei Furfanti (che mentono sempre) viene effettuato un sondaggio fra i 2013 abitanti, in cui ci sono tre domande: “Tifiper la squadra A?”, “Tifiper la squadra B?” e “Tifiper la squadra C?”. Sappiamo che ogni isolano risponde a tutte e tre le domande e tifa per una e una sola delle tre squadre. Se le risposte “Sì” sono in totale 3000, quanti degli isolani sono Cavalieri?
- (A) 987
- (B) 1023
- (C) 1026
- (D) 2013
- (E) Non si può determinare con i dati forniti.
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
*Knights and crooks, total number of knights given Yes *
In the Cavaliers Island (who always tell the truth) and the Furfanti Island (who always lie) a survey is conducted among 2013 residents, in which there are three questions: Tifiper team A?, Tifiper team B? and Tifiper team C?. We know that each islander answers all three questions and ticks for one and only one of the three teams. If the answers are “yes” to 3000, how many of the islanders are knights?
- (A) 987
- (B) 1023
- (C) 1026
- (D) 2013
- (E) It cannot be determined from the data provided.
Answer: C src_archimede_2013_febb_2livello__Q02
Parita su vertici di poligono, affermazione sicuramente vera
Sui vertici di un poligono con n ≥3 lati sono scritti dei numeri interi, in modo tale che il numero scritto su ciascun vertice abbia la stessa parità della somma dei numeri scritti sui due vertici adiacenti (cioè se il numero sul vertice è pari, anche la somma dei numeri che compaiono sui vertici adiacenti è pari, mentre se il numero è dispari anche la somma è dispari). Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (A) Ci sono più numeri pari che dispari. (B) Ci sono più numeri dispari che pari. (C) Il numero di vertici su cui è scritto un numero dispari è pari. (D) n è multiplo di 3. (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Parity on polygon vertices, assertion certainly true
On the vertices of a polygon with n ≥3 sides are written whole numbers, so that the number written on each vertex has the same parity as the sum of the numbers written on the two adjacent vertices (i.e. if the number on the vertex is equal, also the sum of the numbers appearing on the adjacent vertices is equal, while if the number is odd also the sum is odd). Which of the following is certainly true? (A) There are more even numbers than odd ones. (B) There are more odd numbers than equal. (C) The number of vertices on which an odd number is written is equal. (D) n is multiple of 3. (E) None of the above.
Answer: C src_archimede_2013_febb_2livello__Q03
Area grigia stemma formata da semicirconferenze
Ker disegna lo stemma della sua città, Mathlandia, su un foglio a quadretti con quadretti di lato 1 ottenendo la figura a fianco. Sapendo che i tratti curvi sono tutti formati da semicirconferenze, quanto misura l’area colorata di grigio?
- (A) 12π
- (B) 8π + 2
- (C) 12
- (D) 8
- (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
A grey area of the coat of arms formed by semicircles
Ker draws the coat of arms of his town, Mathlandia, on a square sheet with squares on side 1, obtaining the figure side by side. Knowing that the curved tracts are all semi-circulars, what is the size of the grey area?
- (A) 12π
- (B) 8π + 2
- (C) 12
- (D) 8
- (E) None of the above.
Answer: D src_archimede_2013_febb_2livello__Q04
Zeri di 2000! in base 5 e 2013! in base 10, calcolare x-y
Sia x il numero di zeri con cui termina 2000! quando è scritto in base 5, e y il numero di zeri con cui termina 2013! quando è scritto in base 10. Calcolare x −y. (Ricordiamo che il numero n!, per n intero positivo, è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a n.)
- (A) −2
- (B) 0
- (C) 2013
- (D) 13!
- (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Zeroes of 2000! Based on 5 and 2013! in base 10, calculate x-y*
Let x be the number of zeros that ends in 2000! When it’s written in base 5, and y is the number of zeros ending 2013! When it’s written at base 10. Calculate x to y. (Remember that the number n!, for a positive integer n, is the product of all positive integers less than or equal to n.)
- (A) −2
- (B) 0
- (C) 2013
- (D) 13!
- (E) None of the above.
Answer: A src_archimede_2013_febb_2livello__Q05
Minimo di |x|+2|y| con x^2+4y^2=1
Siano x e y numeri reali tali che si abbia x2 + 4y2 = 1; quanto vale come minimo |x| + 2|y|?
- (A) 1 2
- (B) 1
- (C) √ 2
- (D) 1 + √ 2 2
- (E) 2
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
- Minimum of ∈ X is equal to x^2+4y^2 *
So x and y are real numbers such that you have x2 + 4y2 = 1; what is the minimum value of x = 2y + 2y = 1?
- (A) 1 2
- (B) 1
- (C) √ 2
- (D) 1 + √ 2 2
- (E) 2
Answer: B src_archimede_2013_febb_2livello__Q06
Rapporto aree dividendo angolo retto del quadrato in tre
Sia ABCD un quadrato all’interno del quale vengono tracciati due segmenti che dividono l’angolo in A in tre angoli uguali e il quadrato in due triangoli uguali e un quadrilatero. Qual è il rapporto tra l’area del quadrilatero e quella di uno dei due triangoli?
- (A) √ 3 − 1 √ 3
- (B) 2 √ 3 −1
- (C) 3 2
- (D) 2
- (E) 2 √ 3 −2
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Ratio of areas dividing the right angle of the square by three
Either ABCD a square within which two segments are plotted dividing the angle in A into three equal angles and the square into two equal triangles and a quadrilateral. What is the relationship between the area of the quadrilateral and that of one of the two triangles?
- (A) √ 3 − 1 √ 3
- (B) 2 √ 3 −1
- (C) 3 2
- (D) 2
- (E) 2 √ 3 −2
Answer: E src_archimede_2013_febb_2livello__Q07
Coppie di sottoinsiemi di {1..5} con intersezione di un elemento
Quante sono le coppie ordinate (A, B) di sottoinsiemi di {1, 2, 3, 4, 5} tali che l’intersezione tra A e B abbia esattamente un elemento?
- (A) 80
- (B) 280
- (C) 1280
- (D) 751
- (E) 405
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
*Pairs of sub-sets of {1,5,} with an element intersecting *
How many pairs (A, B) of subsets of {1, 2, 3, 4, 5} are ordered such that the intersection between A and B has exactly one element?
- (A) 80
- (B) 280
- (C) 1280
- (D) 751
- (E) 405
Answer: E src_archimede_2013_febb_2livello__Q08
Polinomio con p(5n-1)=5^(5n)-1, calcolare p(3)
Sapendo che il polinomio p è tale che, per ogni intero n, p(5n −1) = 55n −1, quanto varrà p(3)?
- (A) 1023
- (B) 999
- (C) 874
- (D) 242
- (E) 0
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
*Polynomial with p(5n-1) = 5^(5n)-1, calculated p(3) *
Knowing that the polynomial p is such that, for every integer n, p(5n −1) = 55n −1, how much will p(3) be worth?
- (A) 1023
- (B) 999
- (C) 874
- (D) 242
- (E) 0
Answer: A src_archimede_2013_febb_2livello__Q09
Area massima di quadrilatero di lati 1,7,5,5
Abbiamo un quadrilatero i cui lati misurano, nell’ordine, 1,7,5,5. Quanto vale al massimo la sua area?
- (A) 12
- (B) 6 √ 6
- (C) 16
- (D) 20
- (E) Un siffatto quadrilatero non esiste.
Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Maximum area of quadrilateral side 1,7,5,5
We have a quadrilateral whose sides measure, in the order, 1,7,5,5. How much is your area worth at most?
- (A) 12
- (B) 6 √ 6
- (C) 16
- (D) 20
- (E) There’s no such thing as a quadrilateral.
Answer: C src_archimede_2013_febb_2livello__Q10
Probabilita di arrivare a 5 pari a biliardino
Agnese e Bruno sfidano Viviana e Zenone a biliardino; le squadre sono molto equilibrate, per cui per ogni pallina giocata entrambe le squadre hanno probabilità 1/2 di segnare un gol. Qual è la probabilità che si arrivi a 5 pari?
- (A) 1 512
- (B) 252 1024
- (C) 252 512
- (D) 169 512
- (E) 169 1024
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Probability of reaching 5 in billiards
Agnese and Bruno challenge Viviana and Zenone at pool; the teams are very balanced, so for every ball played both teams have a 1/2 chance of scoring a goal. What’s the probability of getting 5 even?
- (A) 1 512
- (B) 252 1024
- (C) 252 512
- (D) 169 512
- (E) 169 1024
Answer: B src_archimede_2013_febb_2livello__Q11
Coppie intere ordinate con xy=4(y^2+x)
Quante sono le coppie di interi ordinate (x, y) tali che xy = 4(y2 + x)?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 7
- (E) 14 Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
*Total pairs ordered by xy=4(y^2+x) *
How many pairs of integers (x, y) are such that xy = 4(y2 + x)?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 7
- (E) 14 Problems with a numerical answer 5 points
Answer: E src_archimede_2013_febb_2livello__Q12
Battaglia navale, colpi minimi per colpire portaerei 5x1
In una variante del gioco della battaglia navale Anna posiziona una portaerei (che possiamo pensare come rettangolino 5 × 1) in una griglia 10 × 10, indifferentemente in verticale o in orizzontale, senza farla vedere a Jacopo. Jacopo prova a colpire la portaerei, dicendole volta per volta le coordinate di un quadretto all’interno della griglia. Se il quadretto che ha scelto è tra quelli coperti dalla portaerei, questa è colpita, altrimenti è mancata. Quanti colpi deve sparare come minimo Jacopo per colpirla sicuramente almeno una volta?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 20 Fonte: apri PDF p.4
Marine battle, minimum hits to hit aircraft carriers 5x1
In a variant of the naval battle game, Anna places an aircraft carrier (which we can think of as a rectangle 5 × 1) in a grid 10 × 10, either vertically or horizontally, without showing it to Jacopo. Jacopo tries to hit the aircraft carrier, telling her again and again the coordinates of a square inside the grid. If the picture you chose is among those covered by the aircraft carrier, this one is hit, otherwise it is missing. How many shots does Jacopo have to shoot at least to hit her for sure at least once?
Answer: 20 src_archimede_2013_febb_2livello__Q13
Lunghezza piega della carta col vertice a meta del lato
Anacleto ha appena finito di mangiare una tavoletta di cioccolato, e inizia a giocare con la carta in cui era avvolto, un rettangolo di lati 360 mm e 300 mm. Decide di far una sola piega rettilinea in modo che, una volta piegata la carta, un vertice del rettangolo si trovi esattamente a metà del lato corto di cui non è estremo. Quanti millimetri risulta essere lunga la piegatura?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 325 Fonte: apri PDF p.4
Folding length of the paper with the tip at the end of the side
Anacleto just finished eating a chocolate bar, and he starts playing with the paper it was wrapped in, a 360 mm and 300 mm rectangle. He decides to make a single straight fold so that, once the paper is folded, a vertex of the rectangle is exactly halfway along the short side of which it is not extreme. How many millimeters is the fold?
Answer: 325 src_archimede_2013_febb_2livello__Q14
Terne (a,b,c) con MCD 1 e divisibilita reciproche dei lati
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Determinare tutte le terne di interi strettamente positivi (a, b, c) tali che
- a ≤b ≤c;
- MCD (a, b, c) = 1;
- a è divisore di b + c, b è divisore di c + a e c è divisore di a + b.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
Term (a,b,c) with MCD 1 and reciprocal divisibility of the sides
DEMOSTRATIVE EXERCISE Determine all the terms of strictly positive integers (a, b, c) such that - a ≤b ≤c; - MCD (a, b, c) = 1; - a is divisor of b + c, b is divisor of c + a and c is divisor of a + b.
src_archimede_2013_febb_2livello__Q15
per quali n ritorna al punto di partenza
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia n un intero positivo. Una pulce si trova sulla retta reale ed effettua una sequenza di n salti di lunghezza 1,2,3,… ,n. La pulce può scegliere l’ordine delle lunghezze dei salti e per ogni salto può decidere se saltare verso destra o sinistra. (a) Dimostrare che per n = 2012 la pulce può terminare la sequenza di salti nello stesso punto da cui era partita. (b) Dimostrare che per n = 2013 ciò non è possibile. (c) In generale per quali n può ritornare al punto di partenza?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
- for which n returns to the starting point*
Demonstrative Exercise Be a positive whole. A flea is on the real line and performs a sequence of n jumps of length 1,2,3… ,n. The flea can choose the order of the jump lengths and for each jump it can decide whether to jump to the right or to the left. (a) Demonstrate that for n = 2012, the fly can end the jump sequence at the same point from which it started. (b) Demonstrate that for n = 2013 this is not possible. (c) In general, what is the point of departure?
src_archimede_2013_febb_2livello__Q16
parallela per P bisecata e PQ biseca la base minore
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (Q) at (3,9);
\coordinate (D) at (1.35,4.05);
\coordinate (C) at (4.65,4.05);
\coordinate (P) at (3,2.613);
\coordinate (X) at (0.871,2.613);
\coordinate (Y) at (5.129,2.613);
\coordinate (M) at (3,4.05);
\draw (A) -- (B) -- (Q) -- cycle;
\draw (D) -- (C);
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (X) -- (Y);
\draw (Q) -- (P);
\fill (P) circle (1.5pt);
\fill (M) circle (1.5pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (D) {$D$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[below] at (P) {$P$};
\node[left] at (X) {$X$};
\node[right] at (Y) {$Y$};
\node[above] at (M) {$M$};
\end{tikzpicture}
\end{document}ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABCD un trapezio che non sia un parallelogramma. Siano P il punto d’incontro delle diagonali e Q il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui. (a) Si tracci la parallela alle basi passante per il punto P e siano X e Y i punti di incontro di essa con i lati obliqui: si dimostri che XP = Y P. (b) Si dimostri che la retta PQ interseca la base minore nel suo punto medio.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
parallel to P bisected and PQ bisected minor base
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (Q) at (3,9);
\coordinate (D) at (1.35,4.05);
\coordinate (C) at (4.65,4.05);
\coordinate (P) at (3,2.613);
\coordinate (X) at (0.871,2.613);
\coordinate (Y) at (5.129,2.613);
\coordinate (M) at (3,4.05);
\draw (A) -- (B) -- (Q) -- cycle;
\draw (D) -- (C);
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (X) -- (Y);
\draw (Q) -- (P);
\fill (P) circle (1.5pt);
\fill (M) circle (1.5pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (D) {$D$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[below] at (P) {$P$};
\node[left] at (X) {$X$};
\node[right] at (Y) {$Y$};
\node[above] at (M) {$M$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Demonstrative Exercise Whether ABCD is a trapezoid or not a parallelogram. P shall be the meeting point of the diagonal and Q the intersection point of the oblique side extensions. (a) Draw the parallel to the passing bases for the point P and let X and Y be its meeting points with the oblique sides: show that XP = Y P. (b) It is shown that the straight PQ intersects the minor base at its midpoint.