Quale espressione e sicuramente funzione dispari
Sapendo che f è una funzione dispari, cioè tale che f(x) = −f(−x) per ogni x, quale delle seguenti è sicuramente una funzione dispari?
- (A) f(x)−1
- (B) (f(x))2
- (C) (f(x))2+f(x)
- (D) (f(x))3+1
- (E) (f(x))3+f(x)
Topic: Insiemi e funzioni Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Which expression and definitely odd function
Knowing that f is an odd function, i.e. such that f(x) = −f(−x) for every x, which of the following is definitely an odd function?
- (A) f(x)−1
- (B) (f(x))2
- (C) (f(x))2+f(x)
- (D) (f(x))3+1
- (E) (f(x))3+f(x)
Answer: E src_archimede_2013_triennio__Q03
Prodotto telescopico di logaritmi a base crescente
Quanto vale log2(3) · log3(4) · log4(5) · … · log126(127) · log127(128)?
- (A) 1
- (B) 4
- (C) 6
- (D) 7
- (E) nessuna delle precedenti
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Telescopic product of increasing base logarithms
What is log2(3) · log3(4) · log4(5) · … The Commission has already adopted a number of proposals for the amendment.
- (A) 1
- (B) 4
- (C) 6
- (D) 7
- (E) None of the preceding
Answer: D src_archimede_2013_triennio__Q04
Massimo quaderni di colori diversi, potenze di 2
Alberto va in cartoleria per comprare dei quaderni e li vuole tutti di colori diversi. In cartoleria ci sono 2014 quaderni di vari colori; per ciascun colore il numero di quaderni è una potenza di 2, diversa da colore a colore. Quanti quaderni può comprare al massimo Alberto?
- (A) 7
- (B) 8
- (C) 9
- (D) 10
- (E) 11.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Maximum notebooks of different colours, power of 2
Alberto goes to the mailroom to buy notebooks and wants them all in different colors. There are 2014 notebooks in various colours in the cartel; for each colour the number of notebooks is a power of 2, different from colour to colour. How many notebooks can Alberto buy at most?
- (A) 7
- (B) 8
- (C) 9
- (D) 10
- (E) 11.
Answer: C src_archimede_2013_triennio__Q09
Area cerchio inscritto in triangolo 2-3-4
I lati di un triangolo misurano rispettivamente 2 cm, 3 cm e 4 cm. Calcolare l’area del cerchio inscritto nel triangolo.
- (A) 5 12 cm2
- (B) 5π 36 cm2
- (C) 5π 12 cm2
- (D) 2π 3 cm2
- (E) π cm2
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Around area inscribed in triangle 2-3-4
The sides of a triangle measure 2 cm, 3 cm and 4 cm respectively. Calculate the area of the circle in the triangle.
- (A) 5 12 cm2
- (B) 5π 36 cm2
- (C) 5π 12 cm2
- (D) 2π 3 cm2
- (E) π cm2
Answer: C src_archimede_2013_triennio__Q10
Coppie reali con x^2k+y^2k=(xy)^k
Sapendo che k è un numero intero positivo fissato, per quante coppie (x, y) di numeri reali maggiori o uguali a 0 vale l’uguaglianza x2k + y2k = (xy)k?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 3
- (D) infinite
- (E) dipende da k
Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Real pairs with x^2k+y^2k=(xy)^k
Knowing that k is a fixed positive integer, how many pairs (x, y) of real numbers greater than or equal to 0 is equal to x2k + y2k = (xy)k?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 3
- (D) Endless
- (E) depends on k
Answer: B src_archimede_2013_triennio__Q11
Perimetro triangolo da teorema della bisettrice
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (6,0);
\coordinate (A) at (5,2.8);
\coordinate (D) at (3.7,0);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (A)--(D);
\node[above] at (A) {$A$};
\node[below left] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Dato un triangolo ABC, si tracci la bisettrice dal vertice A, che incontra il lato BC nel punto D. Se CD + CA = 12 m, e CD = 1 3BC, quanto misura il perimetro del triangolo?
- (A) meno di 32 m
- (B) 32 m
- (C) 36 m
- (D) più di 36 m
- (E) non si può determinare dai dati forniti
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
*Triangle perimeter by the theorem of the biset *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (6,0);
\coordinate (A) at (5,2.8);
\coordinate (D) at (3.7,0);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (A)--(D);
\node[above] at (A) {$A$};
\node[below left] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Given an ABC triangle, the bisector is plotted from the vertex A, which meets the side BC at point D. If CD + CA = 12 m, and CD = 1 3BC, what is the circumference of the triangle?
- (A) less than 32 m
- (B) 32 m
- (C) 36 m
- (D) of a width of not more than 36 m
- (E) cannot be determined from the data provided
Answer: C src_archimede_2013_triennio__Q12
Quale numero divide p(169)-p(1) per polinomio intero
Il polinomio p(x) ha grado maggiore o uguale a 2 ed i suoi coefficienti sono tutti numeri interi. Quale dei seguenti numeri divide certamente p(169) −p(1)?
- (A) 25
- (B) 32
- (C) 36
- (D) 49
- (E) 56
Topic: Algebra Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*Which number divides p(169)-p(1) by integer polynomial *
The polynomial p(x) has a degree greater than or equal to 2 and its coefficients are all integers. Which of the following numbers certainly divides p(169) −p(1)?
- (A) 25
- (B) 32
- (C) 36
- (D) 49
- (E) 56
Answer: E src_archimede_2013_triennio__Q14
Numero massimo soluzioni di un sistema quadratico
Sapendo che a, b, c, d, e, f sono interi positivi, quante sono al massimo le coppie (x, y), con x e y compresi tra 0 e 1, che soddisfano il seguente sistema? ax2 + bxy
c dx2 + exy
f
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) infinite
- (E) nessuna delle precedenti
Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Maximum number of solutions of a square system
Knowing that a, b, c, d, e, f are positive integers, how many pairs (x, y) are there at most, with x and y between 0 and 1, that satisfy the following system? The following shall be added to the list:
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) Endless
- (E) None of the preceding
Answer: D src_archimede_2013_triennio__Q15
Differenza zeri di 2000! in base 10 e base 5
Consideriamo il numero N = 2000! = 1 · 2 · 3 · … · 1999 · 2000. Indichiamo con X il numero di zeri con cui termina N quando è scritto in base 10, e con Y il numero di zeri con cui termina N quando è scritto in base 5. Allora X −Y vale:
- (A) −2
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 2013
- (E) 2014
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
The difference is zero in 2000! in base 10 and base 5*
Consider the number N = 2000! = 1 · 2 · 3 · … · 1999 · 2000. Let’s say with X the number of zeros that ends with N when it’s written in base 10, and with Y the number of zeros that ends with N when it’s written in base 5. So X minus Y is:
- (A) −2
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 2013
- (E) 2014
Answer: B src_archimede_2013_triennio__Q16
Ordinamento crescente di 3^33, 4^30, 5^25
Come si ordinano in ordine crescente di grandezza i tre numeri 333, 430, 525 ?
- (A) 333 < 430 < 525
- (B) 333 < 525 < 430
- (C) 430 < 333 < 525
- (D) 430 < 525 < 333
- (E) 525 < 430 < 333
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Increasing order of 3^33, 4^30, 5
How are the three numbers 333, 430, 525 arranged in increasing order of magnitude?
- (A) 333 < 430 < 525
- (B) 333 < 525 < 430
- (C) 430 < 333 < 525
- (D) 430 < 525 < 333
- (E) 525 < 430 < 333
Answer: B src_archimede_2013_triennio__Q17
Numero di banane radioattive da probabilita data
Al porto sono arrivate 5 casse contenenti ciascuna 72 banane e in una di esse vi è un certo numero di banane radioattive. Si sa che scegliendo a caso due delle cinque casse e scegliendo a caso da ciascuna di esse una banana, la probabilità che una delle due banane scelte sia radioattiva è del 5 %. Quante sono le banane radioattive?
- (A) 6
- (B) 9
- (C) 10
- (D) 12
- (E) nessuna delle precedenti
Topic: Probabilita e statistica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Number of radioactive bananas with probability given
Five boxes of 72 bananas each arrived at the port, and in one of them there is a number of radioactive bananas. We know that if you randomly pick two of the five boxes and randomly pick a banana from each of them, the probability of one of the two bananas being radioactive is 5%. How many are radioactive bananas?
- (A) 6
- (B) 9
- (C) 10
- (D) 12
- (E) None of the preceding
Answer: B src_archimede_2013_triennio__Q18
Numero minimo di monomi nel prodotto di due trinomi
Siano p(x) e q(x) due trinomi, dove per trinomio si intende la somma di tre monomi non nulli di gradi diversi tra loro (ad esempio −x5 + 3x2 + 2x è un trinomio). Facciamo il prodotto p(x)q(x): da quanti monomi non nulli è composto, come minimo, tale prodotto?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 5
Topic: Algebra Metodo: Principio di estremalita Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minimum number of monomers in product of two trinomials
They are p(x) and q(x) two trinomials, where by trinomial we mean the sum of three non-zero monomials of different degrees between them (e.g. −x5 + 3x2 + 2x is a trinomial). Let’s make the product p(x) q(x): how many non-zero monomers does that product at least have?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 5
Answer: B src_archimede_2013_triennio__Q19
Numero minimo di tessere a Z per coprire griglia 5x5
Vogliamo coprire una griglia di 5x5 quadratini con delle tessere a forma di z come in figura, che possono essere ruotate, ribaltate e sovrapposte, eventualmente anche fuoriuscendo dalla griglia (purch´e ogni parte di tessera che cade all’interno della griglia si sovrapponga precisamente a 1, 2, 3 o 4 quadratini). Quante tessere ci vogliono, come minimo?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 8
- (D) 9
- (E) 10
Topic: Combinatoria Metodo: parita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Minimum number of Z-sheets to cover a 5x5 grid
We want to cover a grid of 5x5 squares with z-shaped tiles as shown in the figure, which can be rotated, turned and overlapped, possibly even leaking out of the grid (although every part of the grid that falls inside the grid precisely overlaps to 1, 2, 3 or 4 squares). How many cards do we need, at least?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 8
- (D) 9
- (E) 10
Answer: D src_archimede_2013_triennio__Q20