Calcolo di espressione con potenze di 2 e 16
Calcolare: 2 · 22 · 23 · 24 · 259 (16 · 162 · 163 · 164 · 165)2 A 215 B 1 C 2 D 1 215 E 224 F 1 224
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Expression calculation with powers of 2 and 16
Calculation: 2 · 22 · 23 · 24 · 259 (16 · 162 · 163 · 164 · 165) 2 A 215 B 1 C 2 D 1 215 E 224 F 1 224
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q01
Somma angoli interni di un quadrilatero concavo
Qual è la somma degli angoli interni di un quadrilatero concavo? A 360° B 300° C 390° D 420° E 480° F non è un valore fissato ma varia al variare del quadrilatero
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
sum of the inner angles of a concave quadrilateral
What is the sum of the interior angles of a convex quadrilateral? A 360° B 300° C 390° D 420° E 480° F is not a fixed value but varies as the quadrilateral changes
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q02
Tentativi minimi per cassaforte con una cifra cambiata
Un ladro deve scassinare una cassaforte e scopre, una settimana prima del furto, che la combinazione è 06108. Purtroppo il giorno prima del furto viene a sapere che una delle cifre della combinazione (non si sa quale) è stata cambiata. Qual è il numero minimo di tentativi che deve fare per essere sicuro di aprire la cassaforte? A 45 B 5 C 10 D 9 E 25 F 55
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum attempts for cash registers with a changed number
A thief must break into a safe and find, a week before the theft, that the combination is 06108. Unfortunately, the day before the theft he learns that one of the numbers in the combination (we don’t know which) has been changed. What’s the minimum number of attempts you have to make to make sure you open the safe? A 45 B 5 C 10 D 9 E 25 F 55
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q03
Minimo banane per pirata divisibili tra pirati e sirene (mcm)
L’isola Delle Sirene ha sconfitto l’isola Dei Pirati e, come bottino di guerra, ha diritto ad un certo numero di banane. La Legge della Pirateria stabilisce che le banane siano ripartite tra le sirene in modo che ciascuna ne riceva lo stesso numero. Stabilisce anche che i pirati mettano insieme il bottino consegnando ciascuno la stessa quantità di banane. Sapendo che i pirati sono 432 e le sirene sono 600, dire qual è il minimo numero di banane che ogni pirata deve consegnare, affinch´e le sirene siano in grado di ripartirselo in parti uguali. A 25 B 50 C 10 D 600 E 75 F nessuna delle altre risposte è corretta
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Minimum bananas for pirates divided between pirates and mermaids (mcm) *
The Island of the Sirens has defeated the Island of the Pirates and, as war booty, is entitled to a certain number of bananas. The Law of Piracy stipulates that bananas are distributed among mermaids so that each one receives the same number of bananas. It also stipulates that pirates put the loot together by each delivering the same amount of bananas. Knowing that the pirates are 432 and the mermaids are 600, what is the minimum number of bananas that every pirate must deliver so that the mermaids can distribute them in equal parts. A 25 B 50 C 10 D 600 E 75 F None of the other answers are correct
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q04
Massimo valore ottenibile su calcolatrice con 4 tasti
Sul display di una calcolatrice è scritto inizialmente il valore zero. La calcolatrice ha 4 tasti speciali: Rosso, Verde, Bianco e Blu. Se spingo il tasto Rosso il valore sul display raddoppia, se spingo il Verde viene elevato al quadrato, se spingo il Bianco gli viene sommato 1, se spingo il Blu gli viene tolto 10. Qual è il valore più grande che posso ottenere sul display spingendo ciascuno dei quattro tasti una e una sola volta, nell’ordine che preferisco? A 401 B 261 C 324 D 441 E 162 F nessuna delle altre risposte è esatta
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum value for calculator with 4 keys
On the display of a calculator, the zero value is initially written. The calculator has four special keys: Red, Green, White and Blue. If I push the Red button, the value on the display doubles, if I push the Green is squared, if I push the White is added to 1, if I push the Blue is removed 10. What’s the biggest value I can get on the display by pushing each of the four keys once and only once, in the order I prefer? A 401 B 261 C 324 D 441 E 162 F None of the other answers are correct
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q05
Angolo APE in ottagono regolare con diagonali
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (3,0);
\coordinate (B) at (2.121,2.121);
\coordinate (C) at (0,3);
\coordinate (D) at (-2.121,2.121);
\coordinate (E) at (-3,0);
\coordinate (F) at (-2.121,-2.121);
\coordinate (G) at (0,-3);
\coordinate (H) at (2.121,-2.121);
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (P) at (1.243,1.757);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
\draw (A)--(C);
\draw (B)--(E);
\draw (C)--(O)--(A);
\draw (O)--(B);
\foreach \pt in {A,B,C,D,E,F,G,H,O,P} \fill (\pt) circle (1.6pt);
\node[right] at (A) {$A$};
\node[above right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[below left] at (F) {$F$};
\node[below] at (G) {$G$};
\node[below right] at (H) {$H$};
\node[below] at (O) {$O$};
\node[above left] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nell’ottagono regolare ABCDEFGH le diagonali AC e BE si intersecano nel punto P. Quanto vale l’angolo d APE? A 112, 5° B 120° C 117, 5° D 144° E 108° F 115, 5°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*APE angle in a regular octagon with diagonal *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (3,0);
\coordinate (B) at (2.121,2.121);
\coordinate (C) at (0,3);
\coordinate (D) at (-2.121,2.121);
\coordinate (E) at (-3,0);
\coordinate (F) at (-2.121,-2.121);
\coordinate (G) at (0,-3);
\coordinate (H) at (2.121,-2.121);
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (P) at (1.243,1.757);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
\draw (A)--(C);
\draw (B)--(E);
\draw (C)--(O)--(A);
\draw (O)--(B);
\foreach \pt in {A,B,C,D,E,F,G,H,O,P} \fill (\pt) circle (1.6pt);
\node[right] at (A) {$A$};
\node[above right] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[below left] at (F) {$F$};
\node[below] at (G) {$G$};
\node[below right] at (H) {$H$};
\node[below] at (O) {$O$};
\node[above left] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the regular ABCDEFGH octagon the AC and BE diagonals intersect at the point P. How much is the APE angle? A 112, 5° B 120° C 117, 5° D 144° E 108° F 115, 5°
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q06
Minima manciata di numeri tombola con somma multiplo di 10
In un sacchetto ci sono i 90 numeri della tombola: 90 tondini di legno numerati da 1 a 90. Me ne servono 2 tali che la loro somma sia un multiplo di 10. Ne prendo quindi una manciata alla cieca e spero, tra essi, di trovarne due che mi vadano bene. Qual è la minima quantità di numeri che deve contenere la mia manciata, per essere certi che ciò accada? A 39 B 11 C 46 D 10 E 54 F 19
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Minimum number of convex numbers with multiple sums of 10
In a bag there are the 90 numbers of the tomb: 90 wooden scissors numbered from 1 to 90. I need two of these so that their sum is a multiple of 10. So I take a handful of them blindly, and I hope to find two of them that will suit me. What is the minimum amount of numbers my hand must contain to make sure this happens? A 39 B 11 C 46 D 10 E 54 F 19
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q07
Zeri finali del prodotto nm dati MCD e mcm*
Di due numeri interi n e m sappiamo che il Massimo Comune Divisore è 2 · 34 · 5 mentre il Minimo Comune Multiplo è 23 · 37 · 52 · 7. Con quanti zeri termina il prodotto n · m? A 3 B 4 C 1 D 2 E più di 4 F non determinabile univocamente dai soli dati forniti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Final product zeros n * m data MCD and mcm *
Of two integers n and m we know that the maximum common divisor is 2 · 34 · 5 while the minimum common multiple is 23 · 37 · 52 · 7. How many zeros does the product end with? A 3 B 4 C 1 D 2 E more than 4 F not uniquely determinable from the data provided
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q08
Area triangolo APQ data area di ABC e segmenti
Nel triangolo ABC si ha AB = 60cm e AC = 50cm. Prendiamo P sul lato AB e Q sul lato AC in modo che AP = AQ = 10cm. Se l’area di ABC è 720cm2, quanto vale, in cm2 l’area del triangolo APQ? A 24 B 32 C 20 D 18 E 36 F non è determinabile dai soli dati forniti
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
APQ triangle area given area of ABC and segments
In the ABC triangle you have AB = 60cm and AC = 50cm. Let’s take P on the AB side and Q on the AC side so that AP = AQ = 10cm. If the area of ABC is 720cm2, what is the area of the APQ triangle in cm2? A 24 B 32 C 20 D 18 E 36 F cannot be determined by the data provided alone
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q09
Posizione del monomio x^7y^10 in una lista ordinata
Mettiamo in fila tutti i possibili monomi (con coefficiente 1) nelle variabili x e y e grado non superiore a 20, nel modo seguente: x20, x19y, x19, x18y2, x18y, x18, x17y3, x17y2, … dove, per stabilire l’ordine dei monomi nella lista, si sono usate le seguenti regole: (a) chi ha l’esponente della x più alto ha la precedenza; (b) a parità di esponenti della x, ha la precedenza chi ha l’esponente della y più alto. Che posizione occupa nella lista il monomio x7y10? A 95a B 214a C 89a D 147a E 144a F 72a
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Position of the monomy x^7y^10 in an ordered list
We arrange all possible monoms (with coefficient 1) in the variables x and y and degree not greater than 20, as follows: x20, x19y, x19, x18y2, x18y, x18, x17y3, x17y2, … where, in order to establish the order of the mononyms in the list, the following rules have been used: (a) the one with the highest exponent of x has precedence; (b) at par of exponents of x, the one with the highest exponent of y has precedence. What is the position of x7y10 in the list? A 95a B 214a C 89a D 147a E 144a F 72a
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q10
Rapporto aree dividendo trapezio coi punti medi dei lati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (C) at (4.5,2);
\coordinate (D) at (1.5,2);
\coordinate (P) at (0.75,1);
\coordinate (Q) at (5.25,1);
\fill[black!22] (A)--(B)--(Q)--(P)--cycle;
\fill[black!8] (P)--(Q)--(C)--(D)--cycle;
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\draw (P)--(Q);
\foreach \pt in {A,B,C,D,P,Q} \fill (\pt) circle (1.8pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[left] at (P) {$P$};
\node[right] at (Q) {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nel trapezio ABCD la base maggiore AB è il doppio della base minore CD. Congiungendo i punti medi dei lati obliqui, il trapezio rimane diviso in due parti di area α e β (α è la più piccola e β la più grande). Qual è il rapporto tra α e β? A 5 7 B 1 2 C 2 3 D 3 4 E 7 9 F non è determinabile dai soli dati forniti
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Ratio of areas dividing trapezoid by the midpoints of the sides
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,0);
\coordinate (C) at (4.5,2);
\coordinate (D) at (1.5,2);
\coordinate (P) at (0.75,1);
\coordinate (Q) at (5.25,1);
\fill[black!22] (A)--(B)--(Q)--(P)--cycle;
\fill[black!8] (P)--(Q)--(C)--(D)--cycle;
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\draw (P)--(Q);
\foreach \pt in {A,B,C,D,P,Q} \fill (\pt) circle (1.8pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[left] at (P) {$P$};
\node[right] at (Q) {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the trapezoid ABCD the major base AB is twice the minor base CD. By joining the midpoints of the oblique sides, the trapezoid remains divided into two parts of area α and β (α is the smallest and β the largest). What’s the relationship between α and β? A 5 7 B 1 2 C 2 3 D 3 4 E 7 9 F cannot be determined by the data provided alone
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q11
Quali polinomi NON sono scomponibili sui coefficienti interi
Si considerino i polinomi: p(x) = x2 + x + 1, q(x) = x4 + x2 + 1, h(x) = x4 + 64 Quali, tra essi, NON sono ulteriormente scomponibili come prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado strettamente più basso? A solo p(x) B nessuno C tutti D solo p(x) e q(x) E solo h(x) F solo p(x) e h(x)
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Which polynomials are not decomposable on integer coefficients
Consider the following polynomials: p(x) = x2 + x + 1, q(x) = x4 + x2 + 1, h(x) = x4 + 64 Which of them are NOT further decomposable as the product of two polynomials with strictly lower degree integer coefficients? A only p(x) B no C all D only p(x) and q(x) And only h(x) F only p(x) and h(x)
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q12
Numero divisori positivi di n=1122^2-121
Dire quanti sono i divisori positivi di n = 11222 −121 (contando anche 1 ed n). A 12 B 121 C 30 D 9 E 36 F 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Number of positive divisors of n=1122^2-121
To say how many positive divisors of n = 11222 −121 (also counting 1 and n). A 12 B 121 C 30 D 9 E 36 F 6
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q13
Per quale numero NON e divisibile x^5-5x^3+4x in 2014
Sostituendo 2014 al posto della x nel polinomio x5 −5x3 +4x si ottiene un valore intero n. Per quale dei seguenti numeri NON è divisibile n? A 25 B 65 C 30 D 35 E 45 F 55
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
For which number is not divisible by x^5-5x^3+4x in 2014
Substituting 2014 for x in the polynomial x5 −5x3 +4x gives an integer value n. Which of the following numbers is NOT divisible by n? A 25 B 65 C 30 D 35 E 45 F 55
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q14
Colorazioni di 10 quadrati con vincolo lati comuni diversi
Un terreno rettangolare coi lati di 20 e 50 metri viene suddiviso in 10 quadrati uguali, ciascuno dei quali viene seminato con una coltura a scelta tra carote, patate e rape, ma facendo in modo che due quadrati col lato in comune siano sempre coltivati in modo diverso. In quanti modi diversi si può farlo? A 486 B 512 C 1024 D 472 E 720 F 392
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Colors of 10 squares with different common sides bound
A rectangular land with sides of 20 and 50 meters is divided into 10 equal squares, each of which is sown with a crop of choice between carrots, potatoes and rapeseed, but making sure that two squares with a common side are always cultivated differently. How many different ways can you do this? A 486 B 512 C 1024 D 472 E 720 F 392
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q15
Quanti dei numeri dati sono quadrati perfetti
Si considerino i numeri a = 190125, b = 119025, c = 129015, d = 110925 ed e = 112095. Quanti di essi sono dei quadrati perfetti? A 1 B 0 C 2 D 3 E 4 F 5
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How many of the numbers given are perfect squares
Consider the numbers a = 190125, b = 119025, c = 129015, d = 110925 and e = 112095. How many of these are perfect squares? A 1 B 0 C 2 D 3 E 4 F 5
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q16
Massimo lato n con sottotabelle quadrate 2 bianche 2 nere ai vertici
Ogni casella di una tabella quadrata di lato n viene colorata di bianco o di nero in modo che valga la seguente proprietà: comunque si prenda una sua sottotabella quadrata, questa ha le quattro caselle di vertice che sono 2 bianche e 2 nere. Qual è il massimo valore che può avere il lato n della scacchiera? A 4 B 3 C 5 D 6 E il massimo è un intero maggiore di 6 F non c’è massimo perch´e, per quanto sia grande la scacchiera, è sempre possibile trovarne una colorazione che soddisfila proprietà richiesta
Topic: Combinatoria Metodo: parita, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Major side n with square sub-tables 2 white 2 black at the vertices
Each box in a square table on the n-side is colored white or black so that it has the following property: however you take a square sub-table, this one has the four top boxes which are 2 white and 2 black. What is the maximum value that the n-side of the chessboard can have? A 4 B 3 C 5 D 6 And the maximum is an integer greater than 6 F. There is no maximum because, no matter how big the chessboard is, it is always possible to find a colour that satisfies the required properties.
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q17
Resto di p(x) diviso per x^2-1 dati i resti per x-1 e x+1
Del polinomio p(x) sappiamo che dividendolo per (x −1) si ottiene come resto 3, mentre dividendolo per (x + 1) si ottiene come resto −7. Se lo si divide per (x2 −1) che resto si ottiene? A 5x −2 B 3x −7 C 4x −3 D −4 E −21 F non è possibile determinarlo dai soli dati forniti 1
Soluzioni
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Remains of p(x) divided by x^2-1 given residues for x-1 and x+1
From the polynomial p(x) we know that dividing it by (x −1) gets us as the remainder 3, while dividing it by (x + 1) gets us as the remainder −7. If you divide it by (x2 −1) what’s the remainder you get? At 5x −2 B 3x −7 C 4x −3 D −4 E −21 F it is not possible to determine it from the data provided only 1
Solutions
Answer: A src_archimede_2014_classiprime__Q18