Probabilita che due tetraedri colorati siano indistinguibili
Le facce di due tetraedri regolari identici vengono colorate di rosso, bianco, verde, blu; i colori sono scelti casualmente, ma le quattro facce di ciascun tetraedro debbono essere tutte di colori diversi. Qual è la probabilità che dopo la colorazione i due tetraedri siano indistinguibili?
- (A) 1 4!
- (B) 2 4!
- (C) 1 4
- (D) 1 2
- (E) 1
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
The probability that two colored tetrahedra are indistinguishable
The faces of two identical regular tetrahedra are colored red, white, green, blue; the colors are chosen randomly, but the four faces of each tetrahedra must all be different colors. What is the probability that after coloring the two tetrahedra are indistinguishable?
- (A) 1 4!
- (B) 2 4!
- (C) 1 4
- (D) 1 2
- (E) 1
Answer: D src_archimede_2014_febb_2livello__Q01
frase necessariamente vera
I 60 abitanti di un villaggio possono essere di tre tipi: contadini (che dicono sempre la verità), lupi mannari (che mentono sempre) e negromanti (che rispondono come vogliono). Tranne che per questi comportamenti i membri di ciascuna fazione sono completamente indistinguibili da quelli delle altre. All’arrivo di un visitatore si dispongono in circolo e ciascuno dichiara che l’abitante alla sua destra è un lupo mannaro. Quale di queste frasi è necessariamente vera? (A) C’è almeno un negromante. (B) I lupi mannari sono al più 20. (C) I contadini sono al più 30. (D) I negromanti non sono più di 40. (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
phrases which are necessarily true
The 60 inhabitants of a village can be of three types: peasants (who always tell the truth), werewolves (who always lie) and black people (who answer as they please). Except for these behaviours, the members of each faction are completely indistinguishable from those of the others. When a visitor arrives, they stand in a circle and each declares that the person to his right is a werewolf. Which of these sentences is necessarily true? (A) There is at least one necromancer. (B) The wolves are at most 20. (C) Farmers are at most 30. (D) Negromants are no more than 40. (E) None of the above.
Answer: C src_archimede_2014_febb_2livello__Q02
Minimo lato l affinche tre pizze stiano sul tavolo
Tre amici entrano nella pizzeria di Giorgio e siedono ciascuno a un lato di un tavolo rettangolare; il primo è seduto a un lato di lunghezza 70 cm, il secondo e il terzo siedono uno di fronte all’altro, su lati di lunghezza l. Le pizze hanno un diametro di 30 cm; Giorgio serve la pizza del primo avventore in modo che sia tangente al suo lato del tavolo nel punto medio e le pizze degli altri due in modo che siano tangenti ai rispettivi lati del tavolo e alla prima pizza. Qual è il minimo valore di l (in centimetri) per cui le tre pizze possano stare interamente sul tavolo?
- (A) 10 √ 5
- (B) 20 + 5 √ 5
- (C) 15 + 10 √ 5
- (D) 30 + 10 √ 5
- (E) 60
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Minimum side l so that three pizzas are on the table
Three friends enter Giorgio’s pizzeria and sit each on one side of a rectangular table; the first sits on one side 70 cm long, the second and the third sit facing each other, on sides length l. The pizzas have a diameter of 30 cm; Giorgio serves the pizza of the first adventurer so that it is tangent to his side of the table at the middle point and the pizzas of the other two so that they are tangent to their respective sides of the table and to the first pizza. What is the minimum value of l (in centimeters) for the three pizzas to sit entirely on the table?
- (A) 10 √ 5
- (B) 20 + 5 √ 5
- (C) 15 + 10 √ 5
- (D) 30 + 10 √ 5
- (E) 60
Answer: D src_archimede_2014_febb_2livello__Q03
Gioco con ultime due cifre di 51n+50, numeri ottenibili
Davide fa il seguente gioco: parte da un numero intero compreso tra 1 e 99 e ad ogni mossa sostituisce il numero n che ha al momento con il numero formato dalle ultime due cifre di 51n+50 (o solo dall’ultima cifra, se la penultima è 0). Quanti numeri diversi può ottenere al massimo nel corso delle prime 100 mosse di una singola partita?
- (A) 2
- (B) 4
- (C) 51
- (D) 99
- (E) 100
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Game with the last two digits of 51n+50, numbers available
David plays the following game: he starts with an integer between 1 and 99 and at each move he replaces the number n he currently has with the number formed by the last two digits of 51n+50 (or only by the last digit, if the last one is 0). How many different numbers can you get in the first 100 moves of a single game?
- (A) 2
- (B) 4
- (C) 51
- (D) 99
- (E) 100
Answer: A src_archimede_2014_febb_2livello__Q04
Affermazioni vere/false, quanti valori puo assumere n
Alessandro, Daniele e Manuela discutono di un numero naturale n di due cifre. Ognuno di loro fa due affermazioni, ma siccome sono tutti un po’ scarsi in matematica ognuno di loro fa un’affermazione vera ed una falsa. Alessandro dice: “n è pari. Inoltre è un multiplo di 3.”; Daniele risponde: “Sì, n è un multiplo di 3. Inoltre, la cifra delle unità di n è 5.”; Manuela dice, infine: “n è multiplo di 5. La somma delle sue cifre è 12.”. Quanti valori può assumere n? (A) Non esiste tale n. (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
True/false statements, how many values can be assumed n
Alexander, Daniel and Manuela discuss a two-digit natural number n. Each of them makes two statements, but since they’re all a little short on math, each of them makes a true statement and a false one. Alexander says n is equal. Also, it’s a multiple of 3.; Daniel replies: Yes, n is a multiple of 3. Furthermore, the number of units of n is 5.; Manuela says, finally: n is multiple of 5. The sum of its digits is 12. How many values can n assume? (A) There is no such number. (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Answer: D src_archimede_2014_febb_2livello__Q05
Potenze di 4 che in base 3 usano solo 0 e al piu due 1
Quanti interi positivi sono una potenza di 4 e si scrivono in base 3 usando solo le cifre 0 e 1, lo 0 quante volte si vuole (anche nessuna) e l’1 al più due volte?
- (A) 4
- (B) 2
- (C) 1
- (D) 0
- (E) Infiniti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Potenze di 4 che in base 3 usano solo 0 e al piu due 1
Quanti interi positivi sono una potenza di 4 e si scrivono in base 3 usando solo le cifre 0 e 1, lo 0 quante volte si vuole (anche nessuna) e l’1 al più due volte?
- (A) 4
- (B) 2
- (C) 1
- (D) 0
- (E) Infiniti.
Answer: B src_archimede_2014_febb_2livello__Q06
Area di una pedina astronave su griglia unitaria
Alessandra e Luigi giocano ad un gioco da tavolo le cui pedine sono delle astronavi, come quella rappresentata in grigio nella figura a lato. Se i quadrati tratteggiati hanno i lati di lunghezza 1, qual è la superficie di una pedina?
- (A) 2 3
- (B) √ 3 6
- (C) 1 6
- (D) √ 2 8
- (E) 1 8 + √ 2 12
Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Area of a single-grid spacecraft footprint
Alexandra and Luigi play a board game with spaceships on their feet, such as the one shown in gray in the figure on the side. If squares have sides of length 1, what is the surface area of a pedestal?
- (A) 2 3
- (B) √ 3 6
- (C) 1 6
- (D) √ 2 8
- (E) 1 8 + √ 2 12
Answer: C src_archimede_2014_febb_2livello__Q07
Numero di terne reali del sistema simmetrico x+y+z, ecc.
Dato il sistema x + y + z = 7 x2 + y2 + z2 = 27 xyz = 5, quante terne ordinate di numeri reali (x, y, z) ne sono soluzione?
- (A) 6
- (B) 3
- (C) 2
- (D) 0
- (E) Infinite.
Topic: Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Number of real terns of the symmetric system x+y+z, etc.
Given the system x + y + z = 7 x2 + y2 + z2 = 27 xyz = 5, how many ordered ternes of real numbers (x, y, z) are solution?
- (A) 6
- (B) 3
- (C) 2
- (D) 0
- (E) The endless.
Answer: B src_archimede_2014_febb_2livello__Q08
Probabilita di nessuno scontro tra cinque amici in seggiovia
Cinque amici devono scendere da una seggiovia a cinque posti e possono farlo andando in tre direzioni differenti: a sinistra, dritto oppure a destra. Scendendo da una seggiovia è facile scontrarsi con i propri compagni di risalita. Per esempio: se io decido di andare dritto e qualcuno alla mia sinistra di andare a destra, ci scontriamo; lo stesso accade se io decido di andare a destra e qualcuno alla mia destra va dritto (o a sinistra); se invece qualcuno va nella mia stessa direzione non ci scontriamo; e così via. Se ciascuno dei cinque amici sceglie a caso dove andare, con probabilità 1/3 per ciascuna direzione, qual è la probabilità che non ci siano scontri?
- (A) 25 27
- (B) 3 5
- (C) 40 81
- (D) 1 3
- (E) 7 81
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Probability of no collision between five friends in the wheelchair
Five friends have to get off a five-seater chair and they can do so in three different directions: left, right or right. It is easy to clash with your climbing companions when you get off a chair. For example, if I decide to go straight and someone to my left to go right, we encounter; the same thing happens if I decide to go right and someone to my right goes straight (or left); if someone goes in my same direction, we don’t encounter; and so on. If each of the five friends randomly chooses where to go, with a 1/3 probability in each direction, what is the probability that there will be no collisions?
- (A) 25 27
- (B) 3 5
- (C) 40 81
- (D) 1 3
- (E) 7 81
Answer: E src_archimede_2014_febb_2livello__Q09
Coefficienti non nulli del prodotto di binomi (1+x^3^k)
Consideriamo il polinomio p(x) = (1 + x31)(1 + x32)(1 + x33)(1 + x34)(1 + x35)(1 + x39), e supponiamo di svolgere il prodotto, ottenendo quindi un’espressione del tipo a0 + a1x + a2x2 + … + a402x402, dove ad esempio a0 = a402 = 1. Quanti dei coefficienti a0, … , a402 sono diversi da zero?
- (A) 52
- (B) 56
- (C) 60
- (D) 64
- (E) 376
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
*Non-zero coefficients of the product of binomials (1+x^3^k) *
Consider the polynomial p(x) = (1 + x31)(1 + x32)(1 + x33)(1 + x34)(1 + x35)(1 + x39)), and suppose we perform the product, thus obtaining an expression of the type a0 + a1x + a2x2 + … + a402x402, where for example a0 = a402 = 1. How many of the coefficients a0, … , a402 is different from zero?
- (A) 52
- (B) 56
- (C) 60
- (D) 64
- (E) 376
Answer: C src_archimede_2014_febb_2livello__Q10
Punteggi diversi a podio con 10,8,5 punti in 16 gare
Un pilota di aquiloni ha disputato quest’anno un buon campionato, arrivando a podio 16 volte. In ogni gara il primo classificato conquista 10 punti, il secondo 8 e il terzo 5, mentre dal quarto posto in poi non vengono assegnati punti. Con quanti punteggi diversi può aver concluso il campionato?
- (A) 153
- (B) 80
- (C) 78
- (D) 75
- (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
Different podium scores with 10.8,5 points in 16 races
A sprinter has played a good championship this year, reaching the podium 16 times. In each race, the first-placed player scores 10 points, the second eight and the third five, while the fourth-placed player is not awarded points. How many different scores did he have to finish the championship with?
- (A) 153
- (B) 80
- (C) 78
- (D) 75
- (E) None of the above.
Answer: D src_archimede_2014_febb_2livello__Q11
Area trapezio ABXY con parallele e bisettrici
Sia ABC un triangolo con i lati AB, CA e BC di lunghezza rispettivamente 17, 25 e 26. Siano X e Y le intersezioni della parallela ad AB passante per C con le bisettrici di e di rispettivamente. Quanto vale l’area del trapezio ABXY ?
- (A) 816
- (B) 338(1 + √ 2)
- (C) 784
- (D) 408
- (E) Non si può determinare con i dati a disposizione. Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.4
ABXY trapezoidal area with parallels and beams
Let ABC be a triangle with sides AB, CA and BC of length 17, 25 and 26 respectively. X and Y are the intersections of the parallel AB passing through C with the beams of and respectively. How much is the area of the ABXY trapezoid ?
- (A) 816
- (B) 338(1 + √ 2)
- (C) 784
- (D) 408
- (E) It cannot be determined from the available data. Problems with numerical answer 5 points
Answer: A src_archimede_2014_febb_2livello__Q12
Esponente del primo 2 in prodotto di (5^d-1)
Qual è l’esponente del primo 2 nella fattorizzazione del numero (5 −1)(55 −1) … (55…5 −1) dove in ogni fattore compare ad esponente un “5” in più che nel precedente e nell’ultimo ne compaiono, come esponenti, 2014?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4030 Fonte: apri PDF p.4
*Exponent of the first 2 in product of (5^d-1) *
What is the exponent of the first 2 in the factorization of the number (5 −1)(55 −1) … (55…5 −1) where in each factor an exponent appears a 5 more than in the previous and the last ones appear, as exponents, 2014?
Answer: 4030 src_archimede_2014_febb_2livello__Q13
Cavallo su scacchiera 3x3, percorsi in 12 mosse all’angolo opposto
Un cavallo è posto in una casella d’angolo di una scacchiera 3 × 3. Una mossa consiste nello spostare il cavallo in una casella raggiungibile mediante due passi in orizzontale seguiti da un passo in verticale, o due passi in verticale seguiti da un passo in orizzontale. In quanti modi è possibile spostarlo nella casella d’angolo opposta, con esattamente 12 mosse?
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 992 Fonte: apri PDF p.4
Horse on a 3x3 chessboard, 12 moves in the opposite corner
A horse is placed in a corner box of a chessboard 3 × 3. A move consists of moving the horse into an accessible box by two horizontal steps followed by a vertical step, or two vertical steps followed by a horizontal step. How many ways can you move it into the opposite corner box, with exactly 12 moves?
Answer: 992 src_archimede_2014_febb_2livello__Q14
Colorazione griglia con vincoli righe/colonne, coppie (m,n)
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Una griglia con m righe ed n colonne ha ogni casella colorata in bianco o in nero in modo da rispettare le seguenti due condizioni: (a) ogni riga contiene tante caselle bianche quante nere; (b) se una riga incontra una colonna in una casella nera, allora quella riga e quella colonna hanno lo stesso numero di caselle nere; allo stesso modo, se una riga interseca una colonna in una casella bianca, allora quella riga e quella colonna hanno lo stesso numero di caselle bianche. Trovare tutte le possibili coppie (m, n) per cui può esistere una siffatta colorazione.
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, parita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
*Grid colour with row/column constraints, pairs (m,n) *
A grid with m rows and n columns has each box colored in white or black so as to meet the following two conditions: (a) each row contains as many white boxes as black; (b) if a row meets a column in a black box, then that row and that column have the same number of black boxes; similarly, if a row intersects a column in a white box, then that row and that column have the same number of white boxes. Find all possible pairs (m, n) for which such a colour may exist.
src_archimede_2014_febb_2livello__Q15
Sei punti medi su una circonferenza sse triangolo equilatero
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABC un triangolo acutangolo. Siano AM, BN e CL le mediane, che si intersecano nel baricentro G. Siano M′, N′ e L′ i punti medi di AG, BG e CG, rispettivamente. Mostrare che i sei punti M, M′, N, N′, L, L′ giacciono su una circonferenza se e solo se ABC è equilatero.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
Six mean points on a circumference of an equilateral triangle
Let ABC be an acute triangle. They are the medians AM, BN and CL, which intersect in the barycenter G. The mean points of AG, BG and CG are M′, N′ and L′ respectively. Show that the six points M, M′, N, N′, L, L′ lie on a circumference if and only if ABC is equilateral.
src_archimede_2014_febb_2livello__Q16
Coppie (a,b) con a+1 divide b-1 e b divide a^2+a+2
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Trovare tutte le coppie (a, b) di numeri interi positivi tali che a + 1 sia un divisore di b −1 e b sia un divisore di a2 + a + 2.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.7
Pairs (a,b) with a+1 divided by b-1 and b divided by a^2+a+2
Demonstrative Exercise Find all pairs (a, b) of positive integers such that a + 1 is a divisor of b −1 and b is a divisor of a2 + a + 2.