Valori possibili della somma di 200 dadi 2/5
Laura ha ricevuto in regalo 200 dadi da gioco, di tipo molto particolare: ciascun dado ha quattro facce con il numero 2 e due facce con il 5. Laura sta per lanciare i 200 dadi tutti assieme, poi farà la somma dei 200 numeri usciti. Quanti sono i possibili valori che può assumere questa somma?
- (A) 201
- (B) 1000
- (C) 601
- (D) 600
- (E) 1001
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Possible values of the sum of 200 dice 2/5
Laura was given 200 dice as a gift, of a very special kind: each dice has four faces with the number 2 and two faces with the number 5. Laura’s gonna roll the 200 dice all together, then she’s gonna sum the 200 numbers that came out. How many possible values can this sum assume?
- (A) 201
- (B) 1000
- (C) 601
- (D) 600
- (E) 1001
src_archimede_2015_biennio__Q01
Colorazioni di 5 pareti adiacenti con 3 colori
Giovanni vuole ridipingere, ciascuna a tinta unita, le 5 pareti della sua stanza (4 pareti verticali più il soffitto). Avendo a disposizione vernice rossa, vernice gialla e vernice blu (che non si possono mescolare), vuole fare in modo che le pareti adiacenti (soffitto incluso) non abbiano mai lo stesso colore. In quanti modi Giovanni può scegliere di colorare la stanza?
- (A) 18
- (B) 4
- (C) 12
- (D) 9
- (E) 6
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Color of 5 adjacent walls with 3 colours
John wants to repaint the 5 walls of his room (4 vertical walls plus ceiling). With red paint, yellow paint and blue paint available (which cannot be mixed), he wants to ensure that the adjacent walls (including the ceiling) never have the same color. How many ways can John choose to color the room?
- (A) 18
- (B) 4
- (C) 12
- (D) 9
- (E) 6
src_archimede_2015_biennio__Q02
Eta media dei tre amici di Enea
Andrea, Beatrice, Chiara, Davide, Enea e Federico sono molto amici. La loro età media è di 14 anni. Se a loro si uniscono tre amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo diventa di 16 anni. Qual è l’età media dei tre amici di Enea?
- (A) 16
- (B) 20
- (C) 19
- (D) 17
- (E) 18
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Average age of three friends of Enea
Andrea, Beatrice, Chiara, David, Enea and Frederick are very close friends. Their average age is 14. If three friends of Enea join them, the average age of the entire group becomes 16. What is the average age of Enea’s three friends?
- (A) 16
- (B) 20
- (C) 19
- (D) 17
- (E) 18
src_archimede_2015_biennio__Q03
Cifra delle unita di 3^(8^7)
Qual è la cifra delle unità di 3(87)?
- (A) 1
- (B) 7
- (C) 3
- (D) 9
- (E) 5
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
*Number of units of 3^(8^7) *
What is the number of units of 3(87)?
- (A) 1
- (B) 7
- (C) 3
- (D) 9
- (E) 5
src_archimede_2015_biennio__Q04
Calzini minimi per due paia abbinate di colori diversi
Giulio sa che nel suo cassetto ci sono, tutti mischiati, 20 calzini neri, 32 calzini blu, 44 grigi e 24 marroni, tutti della stessa forma. Sta partendo e vuole portare almeno due paia di calzini ben abbinati, di due diversi colori (i due calzini di ciascun paio devono avere lo stesso colore, ma le due paia devono essere di colori differenti). Poich´e è buio e non distingue i colori, prende un mucchio di calzini alla rinfusa. Quanti calzini dovrà mettere in valigia, come minimo, per avere la certezza di portarne almeno due paia ben abbinati di due diversi colori?
- (A) 77
- (B) 6
- (C) 68
- (D) 48
- (E) 24
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Minimum socks for two pairs of different colours
Giulio knows that in his drawer there are, all mixed, 20 black socks, 32 blue socks, 44 grays and 24 browns, all of the same shape. He is leaving and wants to bring at least two pairs of well-matched socks, of two different colors (the two socks of each pair must be the same color, but the two pairs must be of different colors). Because it’s dark and it can’t tell the colours, it takes a bunch of socks. How many socks will you have to pack at least to make sure you’re carrying at least two pairs of good pairs of two different colors?
- (A) 77
- (B) 6
- (C) 68
- (D) 48
- (E) 24
src_archimede_2015_biennio__Q05
Numero di ragazze a una festa di danze incrociate
Ad una festa, ogni ragazzo ha danzato con 4 ragazze diverse ed ogni ragazza ha danzato con 3 ragazzi diversi. Sapendo che alla festa c’erano 9 ragazzi, quante erano le ragazze?
- (A) 6
- (B) 10
- (C) 12
- (D) 8
- (E) 16
Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Number of girls at a cross-dance party
At a party, each boy danced with four different girls and each girl danced with three different boys. Knowing there were nine boys at the party, how many girls?
- (A) 6
- (B) 10
- (C) 12
- (D) 8
- (E) 16
src_archimede_2015_biennio__Q06
Area triangolo DEF da punti medi in triangolo ABC
L’area di un triangolo ABC è di 832 cm2. Indichiamo con D il punto medio del lato AB, con E il punto medio di BC e con F il punto medio del segmento AE. Di quanti cm2 è l’area del triangolo DEF?
- (A) 78
- (B) 156
- (C) 104
- (D) 124
- (E) i dati non bastano a determinarlo
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
DEF triangle area from midpoints in triangle ABC
The area of an ABC triangle is 832 cm2. Let’s say D is the middle point of the AB side, E is the middle point of BC and F is the middle point of the AE segment. How many cm2 is the area of the DEF triangle?
- (A) 78
- (B) 156
- (C) 104
- (D) 124
- (E) There’s not enough data to determine that.
src_archimede_2015_biennio__Q07
2015a cifra decimale di 3/7
Qual è la 2015a cifra dopo la virgola della scrittura decimale di 3/7?
- (A) 7
- (B) 1
- (C) 5
- (D) 2
- (E) 4
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
2015 decimal place of 3/7
What’s the 2015th digit after the decimal comma of 3/7?
- (A) 7
- (B) 1
- (C) 5
- (D) 2
- (E) 4
src_archimede_2015_biennio__Q08
Codici di 4 cifre con prodotto delle cifre 18
Carlo ha dimenticato il codice di sblocco del suo telefono. Tutto ciò che ricorda è che il codice è composto di 4 cifre ed il prodotto di tali cifre è 18. Quanti sono i possibili codici che rispettano queste condizioni?
- (A) 32
- (B) 36
- (C) 40
- (D) 60
- (E) 24
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.2
*Four-digit codes with product of 18 digits *
Carlo forgot his phone’s unlock code. All you remember is that the code is made up of four digits and the product of those digits is 18. How many possible codes meet these conditions?
- (A) 32
- (B) 36
- (C) 40
- (D) 60
- (E) 24
src_archimede_2015_biennio__Q09
Somma dei cinque piu piccoli divisori di 40! oltre 40
Indichiamo con 40! il numero ottenuto moltiplicando tutti i numeri interi da 1 a 40, vale a dire 40! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · 38 · 39 · 40. Tra i numeri interi maggiori di 40 che sono divisori di 40!, trovare i cinque più piccoli ed indicare la loro somma.
- (A) 225
- (B) 215
- (C) 219
- (D) 217
- (E) 223
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Sum of the five smallest divisors of 40! of a width of not more than 50 mm
Let’s put it in forty! The number obtained by multiplying all integers from 1 to 40, that is, 40! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · 38 · 39 · 40. Among the integers greater than 40 that are divisors of 40!, find the five smallest ones and indicate their sum.
- (A) 225
- (B) 215
- (C) 219
- (D) 217
- (E) 223
src_archimede_2015_biennio__Q10
Percentuale massima di olio di palma dall’ordine ingredienti
Nell’etichetta con la lista degli ingredienti di un prodotto dolciario, si può leggere: zucchero, olio di palma, nocciole 14%, cacao, latte 6%. Sapendo che gli ingredienti sono disposti in ordine (nessun ingrediente può essere presente in quantità maggiore di un altro elencato in precedenza), qual è la percentuale massima di olio di palma che il dolciume potrebbe contenere?
- (A) 21%
- (B) 14%
- (C) 80%
- (D) 40%
- (E) 37%
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Maximum percentage of palm oil from the order of ingredients
On the label with the list of ingredients of a sweetener, you can read: sugar, palm oil, hazelnuts 14%, cocoa, milk 6%. Knowing that the ingredients are arranged in order (no ingredient can be present in greater quantities than another listed above), what is the maximum percentage of palm oil that the dessert could contain?
- (A) 21%
- (B) 14%
- (C) 80%
- (D) 40%
- (E) 37%
src_archimede_2015_biennio__Q11
Numero partecipanti cavalieri e furfanti attorno a tavolo
Sull’isola dei cavalieri e dei furfanti, i cavalieri sono sempre sinceri ed i furfanti mentono sempre. Durante una riunione, i presenti si siedono attorno a un grande tavolo e ciascuno dice: “la persona alla mia destra è un furfante”. Sapendo che tra i presenti ci sono meno di 100 cavalieri, quale dei seguenti potrebbe essere il numero dei partecipanti alla riunione?
- (A) 208
- (B) 85
- (C) 153
- (D) 168
- (E) 205
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Number of participants knights and crooks around the table
On the island of knights and crooks, knights are always honest and crooks always lie. During a meeting, the audience sits around a large table and everyone says, “The person at my right is a con man”. Knowing that there are fewer than 100 knights present, which of the following could be the number of attendees at the meeting?
- (A) 208
- (B) 85
- (C) 153
- (D) 168
- (E) 205
src_archimede_2015_biennio__Q12
Configurazione non ottenibile invertendo righe/colonne
Una griglia suddivisa in quadratini è colorata inizialmente come nella figura qui a lato. Una mossa consiste nello scegliere una riga oppure una colonna e invertire il colore di tutte le caselle in essa presenti. Facendo 10 mosse, quale, tra le seguenti configurazioni, non è possibile ottenere?
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E)
Topic: Combinatoria Metodo: parita, monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.2
Configuration not obtained by reversing rows/columns
A grid divided into squares is initially colored as in the figure below. A move consists of choosing a row or column and reversing the color of all the boxes in it. By making 10 moves, which of the following configurations cannot be achieved?
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E)
src_archimede_2015_biennio__Q13
Area pentagono con tre angoli retti e lati dati
Nel pentagono ABCDE, gli angoli nei vertici A, C, E sono retti. Si sa inoltre che AB = 15 m, BC = 12 m, CD = 5 m, DE = 20 m. Di quanti m2 è l’area del pentagono?
- (A) 180
- (B) 210
- (C) 240
- (D) 200
- (E) 270
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.2
Area pentagon with three right angles and given sides
In the ABCDE pentagon, the angles in the vertices A, C, and E are straight. It is also known that AB = 15 m, BC = 12 m, CD = 5 m, DE = 20 m. How many square meters is the area of the pentagon?
- (A) 180
- (B) 210
- (C) 240
- (D) 200
- (E) 270
src_archimede_2015_biennio__Q14
Raggio del piatto da corda e saetta del frammento
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.18]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (24,0);
\coordinate (C) at (12,0);
\coordinate (D) at (12,6);
\coordinate (O) at (12,-9);
\draw[thick] (A) -- (B);
\draw (A) arc (143.13:36.87:15);
\foreach \p in {A,B,C,D} \fill (\p) circle (0.25);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[below] at (C) {$C$};
\node[above] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}È stato ritrovato un frammento di un antico piatto circolare ormai rotto, della forma in figura. C è il punto medio del segmento AB, mentre D è il punto medio dell’arco AB. Sapendo che AB misura 24 cm e CD misura 6 cm, di quanti cm era il raggio del piatto originale?
- (A) 16
- (B) 12
- (C) 18
- (D) 20
- (E) 15
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Rage of the rope plate and the fragment sachet
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.18]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (24,0);
\coordinate (C) at (12,0);
\coordinate (D) at (12,6);
\coordinate (O) at (12,-9);
\draw[thick] (A) -- (B);
\draw (A) arc (143.13:36.87:15);
\foreach \p in {A,B,C,D} \fill (\p) circle (0.25);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[below] at (C) {$C$};
\node[above] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}A fragment of an ancient, now broken circular plate, shaped like a figure, was found. C is the middle point of the segment AB, while D is the middle point of the arc AB. Knowing that AB measures 24 centimetres and CD measures 6 centimetres, how many centimetres was the radius of the original plate?
- (A) 16
- (B) 12
- (C) 18
- (D) 20
- (E) 15
src_archimede_2015_biennio__Q15
Massimo colori per palline con stesso colore dei multipli
Gianni possiede 60 palline, numerate da 1 a 60. Un giorno, dopo essersi accorto di aver perso la pallina n°1, decide di colorare le 59 rimanenti, rispettando questa regola: ciascun numero deve avere lo stesso colore di tutti i suoi multipli. Al massimo, quanti diversi colori potrà usare Gianni per colorare le 59 palline?
- (A) 2
- (B) 10
- (C) 8
- (D) 17
- (E) 12 T2 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca Scuola Normale Superiore I Giochi di Archimede - Gara Biennio 25 novembre 2015 • La prova è costituita da 16 problemi; ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate con le lettere (A) , (B) , (C) , (D) , (E) . • Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti, ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. • Per ciascuno dei problemi, devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l’uso di alcun tipo di calcolatrice o di strumenti di comunicazione. Il tempo che hai a disposizione per svolgere la prova è di 2 ore. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME classe: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Teoria dei grafi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.2
Maximum colours for balls with the same colour as the multipliers
Gianni has 60 balls, numbered 1 to 60. One day, after realizing that he lost the ball n<°1, he decides to color the remaining 59, following this rule: each number must have the same color as all its multiples. Maximum, how many different colors can Gianni use to color the 59 balls?
- (A) 2
- (B) 10
- (C) 8
- (D) 17
- (E) 12 T2 Italian Mathematical Union PROJECT OLIMPIADI OF MATHEMATICS Ministry of Education, University and Research Higher Normal School The Games of Archimedes - Gara Biennio 25 November 2015 • The test consists of 16 questions; each question is followed by five answers indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E). • Only one of these answers is correct, the other four are wrong. Every correct answer is worth 5 points, every wrong answer is worth 0 points, every problem left unanswered is worth 1 point. • For each problem, you must transcribe the letter corresponding to the answer you think is correct in the grid below. Cancellations or corrections on the grid are not permitted. The use of any kind of calculator or communication tool shall not be permitted. The time you have to do the test is two hours. Good work and good fun! Name of the class: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16