Giochi di Archimede 2016 - Biennio

Numero di cifre di 1000^1000

Camilla è molto paziente e sta scrivendo, per esteso, l’intero numero 10001000. Quante cifre deve scrivere in tutto?

• (A) 1000
• (B) 3001
• (C) 1000001
• (D) 1001
• (E) 1004

Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1

Number of digits of 1000^1000

Camilla is very patient and is writing, by extension, the entire number 10001000. How many digits does he have to write in all?

• (A) 1000
• (B) 3001
• (C) 1000001
• (D) 1001
• (E) 1004

Answer: B src_archimede_2016_biennio__Q01

Numeri distinti dopo dimezzare i pari fino a 1000

Carlo ha scritto nel suo quaderno l’elenco di tutti i numeri interi positivi da 1 fino a 1000 (inclusi). Giovanna cancella dall’elenco i numeri pari e sostituisce ciascuno di essi con la sua metà. Quanti numeri diversi saranno scritti nel quaderno di Carlo dopo l’intervento di Giovanna?

• (A) 650
• (B) 900
• (C) 500
• (D) 600
• (E) 750

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1

Separate numbers after halving even numbers up to 1000

Charles wrote in his notebook the list of all positive integers from 1 to 1000 (included). Joan deletes even numbers from the list and replaces each with her half. How many different numbers will be written in Charles’ notebook after Joan’s intervention?

• (A) 650
• (B) 900
• (C) 500
• (D) 600
• (E) 750

Answer: E src_archimede_2016_biennio__Q02

numero furfanti

In un’isola vivono due tipi di persone: i cavalieri che dicono sempre la verità ed i furfanti che mentono sempre. Durante una festa di compleanno, alla quale partecipano 450 persone, ciascuno dei presenti afferma: “tutti coloro che, oltre a me, sono presenti alla festa sono dei furfanti”. Quanti sono i furfanti alla festa?

• (A) nessuno
• (B) 450
• (C) 449
• (D) 224
• (E) 225

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1

number of thieves

There are two kinds of people living on an island: knights who always tell the truth and cunning people who always lie. During a birthday party, attended by 450 people, each of the attendees states: All those who are at the party, besides me, are thieves. How many crooks are at the party?

• (A) No one
• (B) 450
• (C) 449
• (D) 224
• (E) 225

Answer: C src_archimede_2016_biennio__Q03

Dismutazioni di 4 portachiavi

Quattro amici si sono stancati dei loro portachiavi e decidono di ridistribuirseli, in modo tale che ciascuno di loro ne abbia uno differente da quello che aveva prima. In quanti modi diversi possono scambiarsi i portachiavi?

• (A) 6
• (B) 9
• (C) 7
• (D) 8
• (E) 10

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1

Disambiguations of 4 keypads

Four friends have grown tired of their keys and decide to redistribute them, so that each of them has one different from the one he had before. How many different ways can keys be exchanged?

• (A) 6
• (B) 9
• (C) 7
• (D) 8
• (E) 10

Answer: B src_archimede_2016_biennio__Q04

Acquisto di due capi di tipo diverso

Laura sta provando dei vestiti in un negozio. È indecisa tra 8 camicette, 5 maglioni, 6 pantaloni. Per risparmiare comprerà solo due capi, di tipo diverso (ossia non due camicette o due maglioni o due pantaloni). In quanti modi Laura potrà fare i suoi acquisti?

• (A) 114
• (B) 128
• (C) 342
• (D) 171
• (E) 118

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1

Purchase of two different types of garments

Laura’s trying on clothes in a store. She’s undecided between eight shirts, five sweaters, six pants. To save money, you will only buy two different hats (not two shirts or two sweaters or two pants). How many ways will Laura be able to make her purchases?

• (A) 114
• (B) 128
• (C) 342
• (D) 171
• (E) 118

Answer: E src_archimede_2016_biennio__Q05

punti da reti segnate/subite

Ad un torneo di calcio partecipano solo 4 squadre, chiamate A, B, C, D. Ad ogni giornata, ciascuna squadra gioca una partita e, nel corso del torneo, ciascuna squadra incontra ogni altra precisamente una volta. Dopo le prime due giornate, la squadra A ha segnato 4 reti senza subirne, la squadra B ne ha subite 7 senza segnarne, la squadra C ne ha segnate 3 e ne ha subita 1, la squadra D ne ha segnata 1 senza subirne. Tenendo conto che ogni squadra guadagna 3 punti per ogni vittoria, 1 punto per ogni pareggio e nessun punto in caso di sconfitta, indicare quanti punti hanno realizzato, rispettivamente, le squadre A, B, C, D (in questo ordine) nelle prime due giornate.

• (A) 4, 0, 3, 4
• (B) 4, 0, 4, 2
• (C) 4, 0, 3, 2
• (D) 4, 1, 3, 2
• (E) 3, 1, 4, 2

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1

network points marked/submitted

A football tournament involves only 4 teams, called A, B, C, D. Each team plays a match each day, and during the tournament, each team meets each other precisely once. After the first two days, team A scored 4 goals without scoring, team B scored 7 goals without scoring, team C scored 3 and scored 1, team D scored 1 goal without scoring. Taking into account that each team earns 3 points for each win, 1 point for each draw and no points in the event of defeat, indicate how many points, respectively, the teams A, B, C, D (in this order) have scored in the first two days.

• (A) 4, 0, 3, 4
• (B) 4, 0, 4, 2
• (C) 4, 0, 3, 2
• (D) 4, 1, 3, 2
• (E) 3, 1, 4, 2

Answer: A src_archimede_2016_biennio__Q06

Tre coppie con maglie di colore diverso

Sei persone (due con una maglia verde, due con una maglia rosa, due con una maglia grigia), per giocare a briscola, vogliono suddividersi in tre squadre di due persone ciascuna. In quanti modi possono effettuare la suddivisione, facendo sì che i due di ciascuna squadra abbiano maglie di colori differenti?

• (A) 4
• (B) 11
• (C) 8
• (D) 24
• (E) 15

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1

Three pairs of different coloured knitted or crocheted fabrics

Six people (two in a green shirt, two in a pink shirt, two in a gray shirt) want to play briscola, dividing themselves into three teams of two people each. In how many ways can they divide, so that the two in each team have different colored jerseys?

• (A) 4
• (B) 11
• (C) 8
• (D) 24
• (E) 15

Answer: C src_archimede_2016_biennio__Q07

Massimo MCD di due numeri con prodotto 14000

Il prodotto di due numeri naturali è 14000. Quale può essere, al massimo, il loro Massimo Comune Divisore?

• (A) 10
• (B) 20
• (C) 400
• (D) 70
• (E) 140

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1

Maximum two-digit MCD with product 14000

The product of two natural numbers is 14000. What can be their maximum common divider?

• (A) 10
• (B) 20
• (C) 400
• (D) 70
• (E) 140

Answer: B src_archimede_2016_biennio__Q08

Minuti in campo per ciascun giocatore

Una squadra di 8 persone partecipa ad un torneo sportivo. Il regolamento prevede che in campo siano presenti sempre 5 giocatori per squadra e che, nel corso di ogni partita (la cui durata è di 60 minuti), gli 8 componenti di ogni squadra devono giocare tutti lo stesso numero di minuti. Per quanti minuti sarà in campo ciascun giocatore durante la partita? (A) meno di 30 (B) tra 30 e 33 (C) tra 33 e 36 (D) tra 36 e 39 (E) più di 39

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1

Minutes on the pitch for each player

An eight-person team participates in a sports tournament. The rules stipulate that there are always 5 players per team on the pitch and that, during each match (during 60 minutes), the 8 members of each team must all play the same number of minutes. How many minutes will each player be on the field during the game? (A) less than 30 (B) between 30 and 33 (C) between 33 and 36 (D) between 36 and 39 (E) more than 39

Answer: D src_archimede_2016_biennio__Q09

Giorni liberi comuni di Giulietta e Romeo

Giulietta è libera dal lavoro tutte le domeniche (e nessun altro giorno). Romeo lavora su una nave da crociera: rimane in mare per 9 giorni, poi ha un giorno libero prima di imbarcarsi di nuovo per altri 9 giorni, e così via. Oggi, mercoledì 23 novembre 2016, Romeo è a terra e s’imbarcherà domani. Quante giornate potranno trascorrere insieme Giulietta e Romeo fino al 23 novembre 2017?

• (A) 8
• (B) 5
• (C) 7
• (D) 6
• (E) 4

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Common days off of Juliet and Romeo

Giulietta is off work every Sunday (and no other day). Romeo works on a cruise ship: he stays at sea for 9 days, then has one day off before boarding again for another 9 days, and so on. Today, Wednesday, November 23, 2016, Romeo is ashore and will disembark tomorrow. How many days will Juliet and Romeo be able to spend together until November 23, 2017?

• (A) 8
• (B) 5
• (C) 7
• (D) 6
• (E) 4

Answer: B src_archimede_2016_biennio__Q10

Ampiezza angolo AOC con OD=DP e angolo esterno

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.35]
  \coordinate (O) at (0,0);
  \coordinate (A) at (-8,0);
  \coordinate (B) at (8,0);
  \coordinate (P) at (15.22,0);
  \coordinate (C) at (-4.70,6.47);
  \coordinate (D) at (7.61,2.47);
  \draw (O) circle (8);
  \draw (A) -- (P);
  \draw (C) -- (P);
  \draw (O) -- (C);
  \draw (O) -- (D);
  \foreach \p in {O,C,D} \fill (\p) circle (4pt);
  \node[above left] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
  \node[below] at (O) {$O$};
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Data un circonferenza γ avente centro O e diametro AB lungo 16 cm, sia P un punto sul prolungamento di AB dalla parte di B e sia r una retta passante per P, che interseca γ nei punti C e D (con D compreso tra C e P). Supponiamo, inoltre, che si abbia OD = DP e $\widehat{APC}$ = 18°. Qual è l’ampiezza dell’angolo $\widehat{AOC}$?

• (A) 48°
• (B) 54°
• (C) 60°
• (D) 45°
• (E) 72° O A B C D P

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

AOC angle width with OD=DP and outer angle

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.35]
  \coordinate (O) at (0,0);
  \coordinate (A) at (-8,0);
  \coordinate (B) at (8,0);
  \coordinate (P) at (15.22,0);
  \coordinate (C) at (-4.70,6.47);
  \coordinate (D) at (7.61,2.47);
  \draw (O) circle (8);
  \draw (A) -- (P);
  \draw (C) -- (P);
  \draw (O) -- (C);
  \draw (O) -- (D);
  \foreach \p in {O,C,D} \fill (\p) circle (4pt);
  \node[above left] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (D) {$D$};
  \node[below] at (O) {$O$};
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Given a circumference γ having an O centre and a diameter AB of 16 cm, either P is a point on the AB extension from part B and r is a straight line passing through P, intersecting γ at points C and D (with D between C and P). Furthermore, let’s say that we have OD = DP and $\widehat{APC}$ = 18°. What is the width of the angle $\widehat{AOC}$?

• (A) 48°
• (B) 54°
• (C) 60°
• (D) 45°
• (E) 72° O A B C D P

Answer: B src_archimede_2016_biennio__Q11

Area quadrilatero ABCD doppio di BEDF

Del quadrilatero convesso ABCD si conoscono le misure dei lati AB, BC, CD e DA, che sono, nell’ordine, 5, 8, 7 e 12 cm. Indicati con E e F i punti medi dei lati AB e CD, si sa inoltre che l’area del quadrilatero BEDF è di 24 cm2. Di quanti cm2 è l’area del quadrilatero ABCD?

• (A) 32
• (B) 36
• (C) 48
• (D) un valore tra 50 e 60
• (E) più di 60

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

A quadrilateral area ABCD double of BEDF

For the convex quadrilateral ABCD, the dimensions of the sides AB, BC, CD and DA are known, which are 5, 8, 7 and 12 cm in order. If the median points of the sides AB and CD are indicated by E and F, the area of the BEDF quadrilateral is also known to be 24 cm2. How many cm2 is the area of the quadrilateral ABCD?

• (A) 32
• (B) 36
• (C) 48
• (D) a value between 50 and 60
• (E) More than 60

Answer: C src_archimede_2016_biennio__Q12

reincontro in un vertice

Un motorino e una bicicletta percorrono un grande tracciato di forma quadrata, partendo nello stesso istante da uno dei vertici e procedendo ambedue in senso orario. Il lato del tracciato misura 90 km. Il motorino viaggia alla velocità costante di 65 km orari, la bicicletta a 30 km orari. Dopo quante ore i due si incontreranno di nuovo in uno dei quattro vertici del tracciato?

• (A) 7
• (B) 72/7
• (C) 30/7
• (D) 72
• (E) non accadrà mai più

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.1

reconnection at a summit

A motorcycle and a bicycle run a large square-shaped route, starting at the same time from one of the peaks and proceeding both clockwise. The side of the trail measures 90 km. The motorcycle travels at a constant speed of 65 km/h, the bicycle at 30 km/h. How many hours later will the two meet again at one of the four vertices of the trail?

• (A) 7
• (B) 72/7
• (C) 30/7
• (D) 72
• (E) It will never happen again.

Answer: D src_archimede_2016_biennio__Q13

Area regione formata da 4 archi raggio 2

La figura qui a lato è formata da 4 archi tra loro congruenti di circonferenze aventi raggio 2. Qual è l’area della regione ombreggiata?

• (A) 8 + π
• (B) 8 + π/2
• (C) 9 + π/4
• (D) 16 −2π
• (E) 4 + 2π

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2

Area region consisting of 4 arcs radius 2

The figure here on the side is made up of 4 arcs between them congruent in circumference with radius 2. What is the area of the shaded region?

• (A) 8 + π
• (B) 8 + π/2
• (C) 9 + π/4
• (D) 16 −2π
• (E) 4 + 2π

Answer: E src_archimede_2016_biennio__Q14

Anni minori di 2016 multipli di 1,2,3,4

Osservando il calendario, Chiara si è accorta che l’anno corrente 2016 ha una particolarità: posto x = 2016 il numero dell’anno, allora x + 1 è multiplo di 1, x + 2 è multiplo di 2, x + 3 è multiplo di 3 e x + 4 è multiplo di 4. Quanti altri numeri interi positivi, minori di 2016, hanno la stessa particolarità?

• (A) 154
• (B) 83
• (C) 167
• (D) 24
• (E) 162

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

Missing years of 2016 multiplied by 1,2,3,4

Observing the calendar, Chiara realized that the current year 2016 has a peculiarity: place x = 2016 the number of the year, then x + 1 is multiple of 1, x + 2 is multiple of 2, x + 3 is multiple of 3 and x + 4 is multiple of 4. How many other positive integers, smaller than 2016, have the same peculiarity?

• (A) 154
• (B) 83
• (C) 167
• (D) 24
• (E) 162

Answer: C src_archimede_2016_biennio__Q15

Percorsi della pulce dall’origine a (0,2016)

Una pulce si trova inizialmente nell’origine del piano cartesiano e può spostarsi sui punti a coordinate intere scegliendo di volta in volta una di queste tre mosse: • dal punto (x, y) salta al punto (x + 2, y + 4); • dal punto (x, y) salta al punto (x, y + 5); • dal punto (x, y) salta al punto (x −2, y −9). Quanti sono i percorsi, realizzabili dalla pulce con le sue mosse, che la portano dall’origine (0, 0) al punto (0, 2016)?

• (A) nessuno
• (B) precisamente 1
• (C) un numero compreso tra 10 e 30
• (D) un numero compreso tra 30 e 60
• (E) infiniti T2 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca Scuola Normale Superiore I Giochi di Archimede - Gara Biennio 23 novembre 2016 • La prova è costituita da 16 problemi. Ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate con le lettere (A) , (B) , (C) , (D) , (E) : una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. • Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti, ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. • Per ciascuno dei problemi, devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l’uso di alcun tipo di calcolatrice o di strumenti di comunicazione. Il tempo che hai a disposizione per svolgere la prova è di 110 minuti. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME classe: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria analitica Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2 Anche in triennio: apri PDF p.2

Trails of the flea from origin to (0,2016)

A flea is initially found in the origin of the Cartesian plane and can move on points of full coordinates by choosing one of these three movements at a time: • from the point (x, y) jump to the point (x + 2, y + 4); • from the point (x, y) jump to the point (x, y + 5); • from the point (x, y) jump to the point (x −2, y −9). How many paths can the flea take with its movements, leading it from the source (0, 0) to the point (0, 2016)?

• (A) No one
• (B) In particular 1
• (C) a number between 10 and 30
• (D) a number between 30 and 60
• (E) T2 Italian Mathematical Union Olympic Mathematics Project Ministry of Education, University and Research Higher Normal School The Games of Archimedes - Race Biennio 23 November 2016 • The test consists of 16 problems. Each question shall be followed by five replies indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E): one of these answers is correct and the other four are incorrect. • Every correct answer is worth 5 points, every wrong answer is worth 0 points, every problem left unanswered is worth 1 point. • For each problem, you must transcribe the letter corresponding to the answer you think is correct in the grid below. Cancellations or corrections on the grid are not permitted. The use of any kind of calculator or communication tool shall not be permitted. You have 110 minutes to run the test. Good work and good fun! Name of the class: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Answer: A src_archimede_2016_biennio__Q16