Massimo numero di divisori del quadrato di n con 6 divisori
Sappiamo che un numero intero positivo n ha 6 divisori (contando tra i divisori anche 1 ed n). Quanti divisori può avere, al massimo, il suo quadrato? A 15 B 11 C 36 D 7 E 35 F 12
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of divisors of n squared with 6 divisors
We know that a positive integer n has 6 divisors (counting among the divisors also 1 and n). How many divisors can your square have at most? A 15 B 11 C 36 D 7 E 35 F 12
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q01
Quali dei numeri dati sono quadrati perfetti
Siano dati i numeri a = 1234321, b = 1002001 e c = 249 −248. Quali di essi sono dei quadrati perfetti? A tutti B solo a e b C solo a e c D solo b e c E solo b F nessuno
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Which of the numbers given are perfect squares
The numbers a = 1234321, b = 1002001 and c = 249 −248 are given. Which of these are perfect squares? To all B only a and b C only a and c D only b and c E only b F none
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q02
Prodotto mn dati MCD=6 e mcm=3150*
Dati due numeri interi positivi m e n, sappiamo che MCD(m, n) = 6 e che mcm(m, n) = 3150. Quanto vale il prodotto m · n? A 18900 B 9450 C 6300 D 12600 E i dati forniti sono incompatibili perch´e non esistono due numeri n ed m soddisfacienti alle condizioni richieste F i dati forniti sono insufficienti a rispondere
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Product mn data MCD=6 and mcm=3150
Given two positive integers m and n, we know that MCD(m, n) = 6 and that mcm(m, n) = 3150. What is the value of the product? A 18900 B 9450 C 6300 D 12600 E the data provided are incompatible because there are no two numbers n and m satisfying the required conditions F the data provided are insufficient to satisfy
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q03
Massima quantita con almeno una banconota da 5 (Frobenius)
Sull’isola Kenoncè i bancomat distribuiscono denaro utilizzando banconote da 5, 20 e 35 sesterzi. Claudia vuole ritirare del denaro in modo da essere sicura di ricevere almeno una banconota da 5 sesterzi. Qual è la massima quantità di denaro che può ritirare? A 85 sesterzi B 95 sesterzi C 195 sesterzi D 110 sesterzi E 65 sesterzi F non c’è un massimo, perch´e esistono quantità multiple di 5 sesterzi arbitrariamente grandi, non esprimibili usando solo banconote da 20 e da 35 sesterzi
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum quantity with at least one 5 (Frobenius) banknote
On the island of Kenoncè, ATMs distribute money using 5, 20 and 35 sesterce notes. Claudia wants to withdraw money so she can be sure she’s getting at least a five-sester bill. What is the maximum amount of money you can withdraw? There is no maximum at 85 sesterces B 95 sesterces C 195 sesterces D 110 sesterces E 65 sesterces F, because there are multiple quantities of 5 arbitrarily large sesterces, which cannot be expressed using only 20 and 35 sesterce notes
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q04
morso vincente da 27cm
Claudia e Luca si sfidano al gioco Mordi La Striscia: si parte da una striscia di liquirizia di lunghezza intera (espressa in centimetri) e, a turno, ciascun giocatore ne stacca con un morso un pezzo di lunghezza intera positiva (sempre espressa in centimetri), ma facendo in modo che, ad ogni turno, la liquirizia staccata dal morso non sia mai di più di quella che rimane. Alla fine vince chi, dopo il morso, lascia una striscia di un solo centimetro. Ad un certo punto la striscia di liquirizia è lunga 27cm e tocca a Claudia mordere. Se vuole essere sicura di vincere, quanti centimetri di liquirizia deve staccare col suo morso? A 12 B 13 C 11 D 10 E 9 F vincerà Luca qualsiasi cosa faccia Claudia
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Ragionamento all’indietro, monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
winning bite by 27cm
Claudia and Luca challenge the game Mordi La Striscia: it starts with a strip of whole-length liquorice (expressed in centimeters) and, in turn, each player detaches a piece of whole-length positive (always expressed in centimeters) from it with a bite, but making sure that, at each turn, the liquorice detached from the bite is never more than what remains. In the end, the winner is the one who, after the bite, leaves a strip of only one centimeter. At some point, the licorice strip is 27 centimeters long and it’s up to Claudia to bite. If you want to be sure you’re winning, how many inches of licorice do you have to take off with your bite? A 12 B 13 C 11 D 10 and 9 F Luke will win whatever Claudia does
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q05
Casi per PIN 16_6_ divisibile per 15
Luca ha scritto il PIN del suo bancomat su un foglio di carta, ma la terza e l’ultima cifra sono state cancellate. Ecco come si presenta il PIN: 16 ⊔6⊔. Luca però ricorda che era un numero divisibile per 15 e questo gli permette di ridurre sensibilmente il numero di casi possibili tra cui provare. Quanti sono questi casi? A 7 B 6 C 8 D 9 E 10 F 11
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Cases for PIN 16_6_ divisible by 15
Luca wrote the PIN of his ATM on a piece of paper, but the third and last digit were deleted. This is how the PIN appears: 16 6. Luke, however, recalls that it was a divisible number by 15 and this allows him to significantly reduce the number of possible cases including testing. How many of these cases are there? A 7 B 6 C 8 D 9 E 10 F 11
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q06
Interi tra 700 e 800 coprimi con 707
Quanti sono i numeri interi n, tali che 700 ≤n ≤800, che non hanno fattori in comune con 707? A 86 B 82 C 93 D 81 E 91 F 77
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Interies between 700 and 800 coatings with 707
How many integers n, such as 700 ≤n ≤800, do not have factors in common with 707? A 86 B 82 C 93 D 81 E 91 F 77
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q07
massimo prodotto con somma 10
La maestra Sotuttoio è fissata col lavoro di gruppo e con i cartelloni. Il gruppo composto da Luca, Massimo, Davide e Claudia deve preparare un cartellone con 10 disegni: potranno ripartirsi il lavoro come vogliono, a condizione che a ciascuno dei 10 disegni lavori una persona sola. Il voto finale conseguito dal gruppo sarà il prodotto del numero di disegni fatti da ciascun bimbo. Ad esempio, se Luca fa 7 disegni e ciascuno degli altri bimbi ne fa uno solo, il voto finale sarà 7 · 1 · 1 · 1, cioè 7. I bimbi notano subito che si possono prendere anche voti più alti di 10. Qual è il voto più alto che si può prendere? A 36 B 24 C 54 D 27 E 15 F 20
Topic: Combinatoria Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*maximum product with sum of 10 *
Teacher Sotuttoio is fixated on group work and posters. The group of Luca, Massimo, Davide and Claudia must prepare a carton with 10 drawings: they can start the work as they wish, provided that one person works on each of the 10 drawings. The final score of the group will be the product of the number of drawings made by each child. For example, if Luke does 7 drawings and each of the other children does only one, the final score will be 7 · 1 · 1 · 1, that is, 7. Children immediately notice that even grades higher than 10 can be scored. What’s the highest score you can get? A 36 B 24 C 54 D 27 E 15 F 20
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q08
Triangoli rettangoli con vertici tra vertici e centro di ottagono
Dato un ottagono regolare si consideri l’insieme U costituito dai suoi 8 vertici e dal suo centro. Quanti sono i triangoli rettangoli aventi per vertici 3 punti di U? A 32 B 28 C 56 D 16 E 36 F 72
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Rectangular triangles with vertices between vertices and centre of octagon
Given a regular octagon, the set U consists of its 8 vertices and its centre. How many rectangular triangles have 3 points of U for vertices? A 32 B 28 C 56 D 16 E 36 F 72
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q09
Area triangolo APQ data area quadrilatero BCQP
Nel triangolo ABC si ha AB = 60cm e AC = 50cm. Prendiamo P sul lato AB e Q sul lato AC in modo che AP = AQ = 10cm. Se l’area del quadrilatero BCQP è 696cm2, quanto vale, in cm2 l’area del triangolo APQ? A 24 B 32 C 20 D 18 E 36 F non non è determinabile dai soli dati forniti
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Area triangle APQ data area quadrilateral BCQP
In the ABC triangle you have AB = 60cm and AC = 50cm. Let’s take P on the AB side and Q on the AC side so that AP = AQ = 10cm. If the area of the BCQP quadrilateral is 696cm2, what is the area of the APQ triangle in cm2? A 24 B 32 C 20 D 18 E 36 F cannot be determined by the data provided alone
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q10
Divisori comuni di n e m (MCD e suoi divisori)
Siano n = 11.112.222 e m = 11.118.888. Quanti numeri interi positivi dividono esattamente sia m che n? A 16 B 8 C 2 D 4 E 24 F 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Common n and m dividers (MCD and its dividers) *
They are n = 11.112.222 and m = 11.118.888. How many positive integers exactly divide both m and n? A 16 B 8 C 2 D 4 E 24 F 6
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q11
Deduzioni logiche da proprieta dei voti (quantificatori)
La professoressa Quandomigira deve ancora portare i risultati del compito in classe del mese scorso. Pressata da uno studente, gli risponde: - Non ricordo il tuo voto. Posso solo dirti che i voti soddisfano la seguente proprietà: comunque si scelga un ragazzo, è sempre possibile trovare almeno una ragazza che ha preso un voto strettamente maggiore del suo. Dire quali delle seguenti affermazioni si possono dedurre dalle parole dalla professoressa: (a) comunque scelta una ragazza, c’è almeno un ragazzo che ha preso un voto più basso di lei; (b) la media dei voti delle ragazze è più alta della media dei voti dei ragazzi; (c) il voto più alto preso da una ragazza è più alto del voto più alto preso da un ragazzo. A solo (c) B solo (b) C solo (a) D tutte E nessuna F solo (a) e (c)
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Logical deductions from ownership of votes (quantifiers) *
Professor Quandomigira still has to bring her last month’s results to class. Pressed by a student, she replies, “I don’t remember your vote”. I can only tell you that the votes satisfy the following property: no matter how you choose a guy, you can always find at least one girl who got a narrowly higher vote than you. The following statements can be drawn from the professor’s words: (a) however a girl is chosen, there is at least one boy who scored lower than her; (b) the average score of girls is higher than the average score of boys; (c) the highest score of a girl is higher than the highest score of a boy. A only (c) B only (b) C only (a) D all E no F only (a) and (c)
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q12
Numero di cifre del mcm di 2019000 e 2021000
Quante cifre ha il minimo comune multiplo tra 2019000 e 2021000? A 10 B 7 C 8 D 9 E 11 F più di 11
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
This is the total number of units of measurement for each unit of measurement.
What is the minimum common multiple between 2019000 and 2021000? A 10 B 7 C 8 D 9 E 11 F more than 11
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q13
Quarto monomio in successione tipo Fibonacci di monomi
Su un foglio è scritta una lista di 6 monomi: il primo è xy2 mentre l’ultimo è x8y6. Inoltre sappiamo che ciascun monomio, dal terzo in poi, è il prodotto dei due monomi che lo precedono. Qual è il quarto monomio? A x3y2 B x2y3 C x2y4 D x4y2 E x3y F non determinabile dai soli dati forniti
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Fourth successive monomy type Fibonacci of monomers
On a sheet is written a list of 6 mononyms: the first is xy2 while the last is x8y6. We also know that each monome, from the third to the next, is the product of the two monomes that precede it. What’s the fourth monopoly? A x3y2 B x2y3 C x2y4 D x4y2 E x3y F not determined by the data provided alone
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q14
Volume del cubo con tre fori quadrati passanti
Ad un cubo con lato di 18cm sono stati praticati, al centro delle facce, 3 fori quadrati con lato di 6cm che lo trapassano da parte a parte, come in figura: Qual è, espresso in cm3, il volume del solido ottenuto? A 4320 B 3888 C 1944 D 5616 E 5184 F 3600
Topic: Geometria solida Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Volume of the cube with three passing square holes
On a cube with a side of 18 cm, 3 square holes with a side of 6 cm were used in the center of the faces, which cross it from side to side, as shown in the figure: What is the volume of the solid obtained, expressed in cm3? A 4320 B 3888 C 1944 D 5616 E 5184 F 3600
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q15
Somma di sette angoli convessi in figura su rettangolo
Il rettangolo in figura è composto da 18 quadratini. Sui suoi lati (vedi figura) sono stati presi i punti A, B, C, D, E, F e G: A B C D E F G Quanto vale la somma degli angoli convessi d GAB + d ABC + d BCD + d CDE + d DEF + d EFG + d FGA? A 540° B 630° C 720° D 450° E 360° F 900°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
sum of seven convex angles in the figure on a rectangle
The rectangle in the figure consists of 18 squares. On its sides (see figure) are taken the points A, B, C, D, E, F and G: A B C D E F G What is the sum of the convex angles d GAB + d ABC + d BCD + d CDE + d DEF + d EFG + d FGA? A 540° B 630° C 720° D 450° E 360° F 900°
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q16
Valore p(0) di polinomio cubico con radici 7 e 13
Del polinomio di terzo grado p(x) sappiamo che i suoi coefficienti sono tutti interi, che p(7) = p(13) = 0 e che p(0) è un numero positivo di 2 cifre. Quanto vale p(0)? A 91 B 20 C 21 D 19 E 92 F non è determinabile dai soli dati forniti
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Value p(0) of a cubic polynomial with roots 7 and 13
From the third degree polynomial p(x) we know that its coefficients are all integers, that p(7) = p(13) = 0 and that p(0) is a positive 2-digit number. What’s the value of p? A 91 B 20 C 21 D 19 E 92 F cannot be determined by the data provided alone
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q17
Area del quadrato intermedio con vertici allineati
Tre quadrati, disegnati come in figura, hanno i vertici P, Q ed R allineati. Sappiamo inoltre che il lato del più piccolo misura 1 metro e quello del più grande misura 120cm. P Q R Quanto vale, espressa in cm2 l’area di quello di dimensioni intermedie? A 12000 B 14400 C 12200 D 11000 E 12100 F 12400 1
Soluzioni Qui di seguito trovate le soluzioni in forma scritta. Le soluzioni in video verranno pubblicate un po’ alla volta sul mio canale YouTube: problemisvolti.it. Emanuele Callegari
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Intermediate square area with aligned vertices
Three squares, drawn as shown, have the vertices P, Q and R aligned. We also know that the side of the smallest one measures one meter and that of the largest one measures 120 centimeters. P Q R What is the area in cm2 of the average size? A 12000 B 14400 C 12200 D 11000 E 12100 F 12400 1
Solutions Below you will find the solutions in written form. The video solutions will be posted a bit at a time on my YouTube channel: problemisoluti.it. The Commission shall adopt delegated acts in accordance with Article 21 of this Regulation.
Answer: A src_archimede_2016_classiprime__Q18