Minimo numero di transazioni perche tutti paghino uguale
Determinare il volume della regione di spazio attraversata dalla superficie nel corso di una rotazione di 180°attorno alla retta tratteggiata.
- (A) 2 3π
- (B) 4π
- (C) 16π 3
- (D) 35π 6
- (E) 6π
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Minimum number of transactions so that everyone pays the same
Determine the volume of the region of space traversed by the surface during a 180° rotation around the traced line.
- (A) 2 3π
- (B) 4π
- (C) 16π 3
- (D) 35π 6
- (E) 6π
Answer: C src_archimede_2016_febb_2livello__Q01
Cifra delle unita di 150X con esattamente un manoscritto falso
- Un testo antico dichiara che Matusalemme visse 150♦anni, dove il simbolo ♦sostituisce la cifra delle unità, che gli studiosi non riescono a leggere. Fortunatamente siamo in possesso di altri tre manoscritti sulla vita di Matusalemme; il primo sostiene che egli visse un numero pari di anni, il secondo che ne visse un numero multiplo di 3, il terzo che ne visse un numero multiplo di 5. Sapendo che esattamente uno di questi tre manoscritti contiene un’informazione falsa, quante diverse cifre potrebbero celarsi dietro il simbolo ♦? (A) Nessuna (B) Una (C) Due (D) Tre (E) Quattro
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
150X unit code with exactly a false manuscript
- An ancient text states that Jerusalem lived 150♦years, where the symbol ♦ replaces the number of units, which scholars cannot read. Fortunately, we have three other manuscripts on the life of Jerusalem; the first claims that he lived an equal number of years, the second that he lived a multiple of 3, the third that he lived a multiple of 5. Knowing that exactly one of these three manuscripts contains false information, how many different digits could be hidden behind the symbol ♦? (A) None (B) One (C) Two (D) Three (E) Four
Answer: B src_archimede_2016_febb_2livello__Q02
Sistema con parti intere e frazionarie, calcolare x+y+z
- Dato un numero reale x il simbolo ⌊x⌋indica la sua parte intera (cioè il più grande intero minore o uguale ad x) e {x} la sua parte frazionaria (cioè x−⌊x⌋). Siano x, y, z tre numeri reali positivi che soddisfano il seguente sistema: 3⌊x⌋−{y} + {z} = 20,3 3⌊y⌋+ 5⌊z⌋−{x} = 15,1 {y} + {z} = 0,9 Quanto vale x + y + z? (A) 10,8 (B) 11,1 (C) 11,6 (D) 12,8 (E) 13
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
System with whole and fractional parts, calculating x+y+z
- Given a real number x, the symbol x indicates its entire part (i.e. the largest integer less or equal to x) and {x} its fractional part (i.e. x−x). Let x, y, z be three positive real numbers satisfying the following system: 3x−{y} + {z} = 20,3 3y+ 5z−{x} = 15,1 {y} + {z} = 0,9 How much is x + y + z? (A) 10,8 (B) 11,1 (C) 11,6 (D) 12,8 (E) 13
Answer: D src_archimede_2016_febb_2livello__Q03
Volume generato da rotazione di superficie a semicirconferenze
- Si consideri la superficie grigia in figura, delimitata da semicircon- ferenze, la più grande di raggio 2 e le due più piccole di raggio
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Volume generated by surface rotation at semicircular intervals
- Consider the grey area in the figure, bounded by semicircles, the largest of the radii 2 and the two smallest of the radii
Answer: C src_archimede_2016_febb_2livello__Q04
Colorazioni dado con almeno tre colori e facce opposte diverse
Cecilia ha un dado a sei facce (numerate da 1 a 6) e 4 colori a disposizione. In quanti modi può colorare le sei facce del dado usando in totale almeno tre colori diversi e facendo in modo che facce opposte siano di colori diversi?
- (A) 43 · 33
- (B) 36 −26
- (C) 26 · 32
- (D) 24 · 3 · 5 · 7
- (E) Nessuna delle precedenti
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Days with at least three colours and opposite faces
Cecilia has a six-sided dice (numbered 1 to 6) and four colors available. How many ways can you color the six faces of the dice using a total of at least three different colors and making opposing faces of different colors?
- (A) 43 · 33
- (B) 36 −26
- (C) 26 · 32
- (D) 24 · 3 · 5 · 7
- (E) None of the above
Answer: D src_archimede_2016_febb_2livello__Q05
Minimo k con a_2016 multiplo di 3^4031 7^4027 nella ricorrenza
Sia k un intero positivo. Poniamo a1 = 1 e, per ogni n ≥1, an+1 = k(a1 + · · + an) + 1 (quindi per esempio a2 = ka1 + 1 e a3 = k(a1 + a2) + 1). Qual è il più piccolo valore di k tale che a2016 sia multiplo di 34031 · 74027?
- (A) 1271
- (B) 1322
- (C) 1331
- (D) 1702
- (E) 2048
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Minimum k with a_2016 multiple of 3^4031 7^4027 in the recurrence
Let k be a positive integer. Let’s put a1 = 1 and, for every n ≥1, an+1 = k(a1 + · · + an) + 1 (so for example a2 = ka1 + 1 and a3 = k(a1 + a2) + 1). What is the smallest value of k such that a2016 is a multiple of 34031 · 74027?
- (A) 1271
- (B) 1322
- (C) 1331
- (D) 1702
- (E) 2048
Answer: B src_archimede_2016_febb_2livello__Q06
Massimo numero di angoli minori di 150 in poligono convesso 2016
Un poligono si dice convesso se tutti i suoi angoli interni hanno ampiezza strettamente minore di 180°. Quanti angoli di ampiezza minore di 150°può avere al massimo un poligono convesso di 2016 lati?
- (A) 11
- (B) 12
- (C) 13
- (D) 17
- (E) 2016
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Stima e approssimazione Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Maximum number of angles less than 150 in convex polygon 2016
A polygon is said to be convex if all its inner angles have a width narrowly less than 180°. How many angles of latitude less than 150° can a convex polygon of 2016 sides have at most?
- (A) 11
- (B) 12
- (C) 13
- (D) 17
- (E) 2016
Answer: A src_archimede_2016_febb_2livello__Q07
Lunghezza HN con piede altezza, medio di BC e medio di AM
Dato un triangolo ABC di lati AB = 13, BC = 14 e AC = 15, sia H il piede dell’altezza relativa al lato BC, M il punto medio di BC e N il punto medio di AM. Quanto vale la lunghezza di HN?
- (A) 2 + 2 √ 3
- (B) 6
- (C) √ 37
- (D) 4 + √ 7
- (E) √ 42
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
HN length with foot height, mean of BC and mean of AM
Given an ABC triangle of sides AB = 13, BC = 14 and AC = 15, both H the foot of height relative to the side BC, M the middle point of BC and N the middle point of AM. How much is the length of HN?
- (A) 2 + 2 √ 3
- (B) 6
- (C) √ 37
- (D) 4 + √ 7
- (E) √ 42
Answer: C src_archimede_2016_febb_2livello__Q08
Quanti numeri di Fibonacci hanno esattamente 2016 cifre
La sequenza dei numeri di Fibonacci F1, F2, … , Fn, … è tale che F1 = F2 = 1 e che l’n-esimo termine (con n ≥3) sia la somma dei due precedenti (i primi termini della successione sono quindi F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2 = 1 + 1, F4 = 3 = 2 + 1, F5 = 5 = 3 + 2). Quanti sono i numeri di Fibonacci che hanno esattamente 2016 cifre nella loro scrittura decimale?
- (A) Almeno 2 e al massimo 3
- (B) Almeno 4 e al massimo 5
- (C) Almeno 6 e al massimo 7
- (D) Almeno 8 e al massimo 9
- (E) 10 o più
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
How many Fibonacci numbers have exactly 2016 digits?
The sequence of Fibonacci numbers F1, F2, … , Fn, … is such that F1 = F2 = 1 and that the n-eighth term (with n ≥3) is the sum of the previous two (the first terms of the sequence are therefore F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2 = 1 + 1, F4 = 3 = 2 + 1, F5 = 5 = 3 + 2). How many Fibonacci numbers have exactly 2016 digits in their decimal?
- (A) At least 2 and not more than 3
- (B) At least 4 and not more than 5
- (C) At least 6 and not more than 7
- (D) Minimum 8 and maximum 9
- (E) 10 or more
Answer: B src_archimede_2016_febb_2livello__Q09
Somma delle aree di tutti i triangoli su vertici dell’esagono
Sia ABCDEF un esagono regolare di area 1. Si considerino tutti i triangoli i cui vertici appartengono all’insieme {A,B,C,D,E,F}: quanto vale la somma delle loro aree?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 5
- (D) 6
- (E) 7
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
sum of the areas of all triangles on vertices of the hexagon
Whether ABCDEF is a regular hexagon of area 1. Consider all the triangles whose vertices belong to the set {A,B,C,D,E,F}: what is the sum of their areas?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 5
- (D) 6
- (E) 7
Answer: D src_archimede_2016_febb_2livello__Q10
Interi m in 1..60 con p(m) multiplo di 6 dati i multipli di 3 e 4
Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(0) = 6. Si sa che tra gli interi m compresi fra 1 e 60 esattamente 40 sono tali che p(m) sia multiplo di 3; inoltre, si sa che tra gli interi m compresi fra 1 e 60 esattamente 30 sono tali che p(m) sia multiplo di 4. Quanti sono gli interi m compresi tra 1 e 60 tali che p(m) sia multiplo di 6? Nota: tutti gli intervalli che compaiono in questo problema sono da considerarsi con gli estremi inclusi.
- (A) 10
- (B) 20
- (C) 25
- (D) 30
- (E) 40
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze, Inclusione-esclusione Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Integral m in 1.60 with p(m) multiple of 6 given the multiples of 3 and 4
Whether p(x) is a polynomial with integer coefficients such that p(0) = 6. We know that between integers m between 1 and 60 exactly 40 is such that p m is a multiple of 3; we also know that between integers m between 1 and 60 exactly 30 is such that p m is a multiple of 4. How many integers m are between 1 and 60 such that p (m) is a multiple of 6? Note: all the intervals in this problem are to be considered with the extremes included.
- (A) 10
- (B) 20
- (C) 25
- (D) 30
- (E) 40
Answer: E src_archimede_2016_febb_2livello__Q11
Probabilita che la partita non finisca prima del 21esimo gol
Alberto e Barbara giocano a biliardino. Prima di iniziare, decidono che la partita finirà non appena uno dei due avrà fatto 3 gol più dell’altro. Sapendo che, per ogni pallina giocata, sia Alberto che Barbara hanno il 50% di probabilità di segnare, qual è la probabilità che la partita non termini prima del ventunesimo gol?
- (A) 39 218
- (B) 310 220
- (C) 320 240
- (D) 13 · 17 · 19 · 31 218
- (E) 3 · 7 · 13 · 17 · 19 218 Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.4
Probability that the match will not end before the 21st goal
Alberto and Barbara play pool. Before they start, they decide that the game will end as soon as one of the two has scored 3 more goals than the other. Knowing that for every ball played, both Alberto and Barbara have a 50% chance of scoring, what is the probability that the game will not end before the 21st goal?
- (A) 39 218
- (B) 310 220
- (C) 320 240
- (D) 13 · 17 · 19 · 31 218
- (E) 3 · 7 · 13 · 17 · 19 218 Problems with a numerical answer 5 points
Answer: A src_archimede_2016_febb_2livello__Q12
Minimo n di 4 cifre con S=radici annidate intere uguale a S
Sia n il più piccolo intero positivo di 4 cifre maggiore o uguale a 2016 che gode della seguente proprietà: esiste un intero positivo S tale che S = s a + r b + q c + √ d + S, dove a, b, c, d sono, nell’ordine, la cifra delle migliaia, delle centinaia, delle decine e delle unità di n. Quanto vale n?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2167 Fonte: apri PDF p.4
Minimum n of 4 digits with S = whole nested roots equal to S
Whether n is the smallest positive integer of 4 digits greater than or equal to 2016 that has the following property: there exists a positive integer S such that S = s a + r b + q c + √ d + S, where a, b, c, d are, in order, the number of thousands, hundreds, tens and units of n. How much is n?
Answer: 2167 src_archimede_2016_febb_2livello__Q13
Conteggio PIN con vincoli su cifre e somma almeno 8
Il PIN del telefono di Eugenia è composto da 4 cifre; Eugenia ricorda soltanto che la prima è compresa fra 0 e 6, la seconda fra 0 e 3, la terza fra 0 e 4, la quarta fra 0 e 2, e che la somma delle quattro cifre è almeno 8 (per esempio, il PIN potrebbe essere 3330). Quanti sono i codici compatibili con i ricordi di Eugenia?
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 210 Fonte: apri PDF p.4
PIN count with digit constraints and sum of at least 8
Eugenia’s phone PIN consists of 4 digits; Eugenia only remembers that the first is between 0 and 6, the second between 0 and 3, the third between 0 and 4, the fourth between 0 and 2, and that the sum of the four digits is at least 8 (for example, the PIN could be 3330). How many codes are compatible with Eugenia’s memories?
Answer: 210 src_archimede_2016_febb_2livello__Q14
percorsi di valore 1 esistono ma non maggiore
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Siano m, n due interi maggiori o uguali a 2. Di una tabella a m righe e n colonne si sa che ogni casella contiene o il numero 1 o il numero −1, e che la somma totale di tutte le caselle è maggiore o uguale a zero. Genoveffa considera i percorsi che uniscono una casella della prima colonna (a sua scelta) ad una casella dell’ultima colonna (nuovamente a sua scelta) e che si muovono sempre da una casella ad una adiacente in orizzontale o verticale, senza ripassare due volte sulla stessa casella. Il valore di un percorso è la somma dei numeri presenti nelle caselle che esso attraversa. (a) Dimostrare che per ogni m, n ≥2 esistono tabelle a m righe e n colonne senza percorsi di valore 2 o più. (b) Dimostrare che è sempre possibile trovare un percorso di valore maggiore o uguale a 1.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio dei cassetti, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
paths of value 1 exist but not greater
DEMOSTRATIVE EXERCISE If m, n two integers greater than or equal to 2. From a table with m rows and n columns we know that each box contains either the number 1 or the number −1, and that the total sum of all the boxes is greater than or equal to zero. Genoveffa considers the paths that link a box in the first column (at its choice) to a box in the last column (again at its choice) and that always move from one box to an adjacent horizontal or vertical one, without going back twice on the same box. The value of a path is the sum of the numbers in the boxes it crosses. (a) Demonstrate that for every m, n ≥2 there are tables with m rows and n columns without paths of value 2 or more. (b) Demonstrate that it is always possible to find a path with a value greater than or equal to 1.
src_archimede_2016_febb_2livello__Q15
esiste un quadrato perfetto
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia a1, a2, … , an, … una sequenza di interi positivi tali che ai+1 è il numero di divisori positivi di ai per ogni i ≥1. Supponiamo che a2 ̸= 2. Dimostrare che esiste un indice m tale che am sia un quadrato perfetto.
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: congruenze, monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.6
There is a perfect square.
Whether a1, a2, … , an, … a sequence of positive integers such that at + 1 is the number of positive divisors of at for each ≥ 1. Let’s say that a2 =2. Prove that there is an index m such that am is a perfect square.
src_archimede_2016_febb_2livello__Q16
Rettangolo, bisettrice, congruenze e segmenti uguali HF=FC
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABCD un rettangolo con AB > BC e sia ω la sua circonferenza circoscritta. Siano E e F rispettivamente le intersezioni (distinte da A) della bisettrice dell’angolo
BAD con il lato CD e la circonferenza ω. La perpendicolare a DF passante per E interseca la corda DF in G e l’arco DF non contenente C nel punto H. Si dimostri che: (a) i segmenti DF e FB hanno la stessa lunghezza; (b) i triangoli DEG e DHG sono congruenti; (c) i segmenti HF e FC sono uguali.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Rectangle, bisector, congruence and segments equal to HF=FC
Demonstrative Exercise Whether ABCD is a rectangle with AB > BC and whether ω is its circumscribed circumference. E and F are the intersections (different from A) of the intersection of the angle \ BAD with the CD side and the circumference ω respectively. The perpendicular to DF passing through E intersects the DF rope in G and the non-C-containing DF arc at point H. It is shown that: (a) the DF and FB segments are of the same length; (b) the DEG and DHG triangles are congruent; (c) the HF and FC segments are equal.