Indicare la piu piccola tra cinque frazioni n+1/n
Indicare la più piccola tra queste frazioni.
- (A) 2016 2015
- (B) 2015 2014
- (C) 2017 2016
- (D) 2019 2018
- (E) 2018 2017
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Indicate the smallest of five fractions n+1/n*
Indicate the smallest of these fractions.
- (A) 2016 2015
- (B) 2015 2014
- (C) 2017 2016
- (D) 2019 2018
- (E) 2018 2017
Answer: D src_archimede_2018_biennio__Q01
Numero esprimibile come somma di quadrati di due multipli di 3
Quale dei seguenti numeri si può ottenere sommando i quadrati di due numeri interi multipli di 3?
- (A) 450
- (B) 300
- (C) 270
- (D) 483
- (E) 189
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Number to be expressed as the sum of squares of two multiples of 3
Which of the following numbers can be obtained by adding the squares of two integers multiplied by 3?
- (A) 450
- (B) 300
- (C) 270
- (D) 483
- (E) 189
Answer: A src_archimede_2018_biennio__Q02
Cubetti con due facce dipinte in un cubo 10x10x10
Carla costruisce un cubo incollando 1000 piccoli cubetti tutti uguali (con 10 cubetti lungo ogni spigolo). Dipinge quindi di rosso tutte le facce del cubo che ha costruito. Quanti dei cubetti iniziali avranno precisamente due facce colorate di rosso?
- (A) 60
- (B) 120
- (C) 104
- (D) 90
- (E) 96
Topic: Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Both-faced cubes painted in a 10x10x10 cube
Carla builds a cube by gluing 1000 small cubes all equal (with 10 cubes along each beam). So he painted all the faces of the cube he built red. How many of the initial cubes will have exactly two red faces?
- (A) 60
- (B) 120
- (C) 104
- (D) 90
- (E) 96
Answer: E src_archimede_2018_biennio__Q03
Probabilita due carte stesso colore dopo scambi
Sia Luca che Claudia hanno in mano una carta rossa e una nera. Luca pesca una carta a caso dalla mano di Claudia e la aggiunge alle proprie. A questo punto, Claudia pesca una carta dalla mano di Luca. Qual è la probabilità che ciascuno dei due venga a trovarsi con due carte in mano dello stesso colore (uno con due carte rosse, uno con due carte nere)?
- (A) 3/4
- (B) 1/4
- (C) 1/3
- (D) 1/2
- (E) 1/6
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1 Anche in triennio: apri PDF p.1
Probability of two cards of the same color after trading
Both Luca and Claudia have a red and a black card in their hands. Luke takes a random card from Claudia’s hand and adds it to his own. At this point, Claudia is catching a card from Luca’s hand. What is the probability that each of them will find himself holding two cards of the same color (one with two red cards, one with two black cards)?
- (A) 3/4
- (B) 1/4
- (C) 1/3
- (D) 1/2
- (E) 1/6
Answer: C src_archimede_2018_biennio__Q04
Valore dell’angolo x in figura con angoli dati
Nella figura qui a lato, sono indicate le ampiezze degli angoli di vertici A, B, D, F, G. Gli angoli di vertici C e E hanno la stessa ampiezza, indicata con x. Qual è il valore di tale ampiezza x?
- (A) 41°
- (B) 39°
- (C) 40°
- (D) 37°
- (E) 38° A B C D E F G 60° 47° x 50° x 48° 57°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Value of the angle x in the figure with data angles
In the figure below, the angles of vertices A, B, D, F, G are shown. The angles of vertices C and E have the same width, indicated by x. What’s the value of this x-amplitude?
- (A) 41°
- (B) 39°
- (C) 40°
- (D) 37°
- (E) 38° A B C D E F G 60° 47° x 50° x 48° 57°
Answer: A src_archimede_2018_biennio__Q05
Soldatini tra 2000 e 2500 con resto 1 per 2..7
Cesare possiede un gran numero di soldatini, tra 2000 e 2500. Prova a disporli in fila per 2, per 3, per 4, 5, 6, 7, ma ogni volta ne avanza uno. Se li vuole disporre tutti in varie file della stessa lunghezza (maggiore di 1), quale dovrà essere come minimo tale lunghezza?
- (A) 19
- (B) 23
- (C) 11
- (D) 17
- (E) 13
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Soldiers between 2000 and 2500 with 1 to 2.7 remaining
Caesar has a large number of soldiers, between 2000 and 2500. Try to line them up by two, by three, by four, five, six, seven, but each time one goes up. If you want to arrange them all in different rows of the same length (greater than 1), what should be the minimum length?
- (A) 19
- (B) 23
- (C) 11
- (D) 17
- (E) 13
Answer: C src_archimede_2018_biennio__Q06
Lunghezza A100A101 nella spirale di triangoli rettangoli
Teodoro sta costruendo una sequenza di triangoli rettangoli, disposti come qui a lato. Il primo è il triangolo isoscele A1A2A3, rettangolo in A1, con cateti di 1 cm. Il secondo è A2A3A4, rettangolo in A2, dove A2A4 è ancora di 1 cm. Il terzo è A3A4A5, rettangolo in A3, con A3A5 ancora di 1 cm. La costruzione va avanti così: in ciascun triangolo AnAn+1An+2, rettangolo in An, il cateto AnAn+2 è sempre di 1 cm. Quanti cm misurerà il segmento A100A101 ?
- (A) 20
- (B) 50
- (C) 25
- (D) 10
- (E) 16 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11
Topic: Geometria piana Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Length A100A101 in the spiral of rectangular triangles
Theodore is building a sequence of rectangular triangles, arranged like this on the side. The first is the isosceles triangle A1A2A3, a rectangle in A1, with 1 cm of catheters. The second is A2A3A4, rectangle in A2, where A2A4 is still 1 cm. The third is A3A4A5, rectangle in A3, with A3A5 still 1 cm. The construction goes on as follows: in each triangle AnAn+1An+2, rectangle in An, the catheter AnAn+2 is always 1 cm. How many centimetres will the A100A101 segment measure ?
- (A) 20
- (B) 50
- (C) 25
- (D) 10
- (E) 16 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11
Answer: D src_archimede_2018_biennio__Q07
Probabilita sedia vuota tra due ragazze
Tre ragazze ed un ragazzo debbono sedersi attorno a un tavolo con cinque sedie, numerate da 1 a 5. Per decidere il proprio posto, ciascuno dei quattro estrae a sorte uno tra cinque foglietti (numerati da 1 a 5). Qual è la probabilità che la sedia che rimane vuota venga a trovarsi tra due ragazze?
- (A) 3/5
- (B) 2/5
- (C) 2/3
- (D) 3/4
- (E) 1/2
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Probability of empty chair between two girls
Three girls and a boy have to sit around a table with five chairs, numbered from 1 to 5. To decide their place, each of the four draws one out of five sheets (numbered 1 to 5) by lot. What’s the probability that the empty chair will be between two girls?
- (A) 3/5
- (B) 2/5
- (C) 2/3
- (D) 3/4
- (E) 1/2
Answer: E src_archimede_2018_biennio__Q08
Area del rettangolo esterno di una cornice
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (5,4);
\fill[gray!60] (1,1) rectangle (4,3);
\draw (1,1) rectangle (4,3);
\end{tikzpicture}
\end{document}Il lato maggiore della cornice di un quadro è 5/4 del minore. La cornice ha lo stesso spessore su tutti e quattro i lati. Nel quadro all’interno della cornice (rappresentato con un rettangolo grigio), il lato maggiore misura 32 cm e il lato minore 24. Di quanti cm2 è l’area del rettangolo delimitato dal bordo esterno della cornice?
- (A) 1440
- (B) 1200
- (C) 1280
- (D) 1600
- (E) 1500
Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Area of the outer rectangle of a frame
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (5,4);
\fill[gray!60] (1,1) rectangle (4,3);
\draw (1,1) rectangle (4,3);
\end{tikzpicture}
\end{document}The larger side of the frame of a picture is 5/4 of the smaller side. The frame is the same thickness on all four sides. In the picture inside the frame (represented by a gray rectangle), the upper side measures 32 cm and the lower side 24. How many cm2 is the area of the rectangle bounded by the outer edge of the frame?
- (A) 1440
- (B) 1200
- (C) 1280
- (D) 1600
- (E) 1500
Answer: C src_archimede_2018_biennio__Q09
Minuti d’uso del cellulare durante la ricarica
Un cellulare con la batteria del tutto scarica deve rimanere in carica 2 ore per ricaricarsi completamente, se nel frattempo non è in uso. Se invece è utilizzato durante la ricarica, la metà dell’energia introdotta viene subito consumata e solo la parte restante si accumula nella batteria. Sapendo che, per ricaricare la batteria da zero, sono servite 2 ore e mezza, stabilire per quanti minuti il cellulare è stato utlizzato durante la ricarica (si suppone, che si usi o meno il telefono, che l’energia immagazzinata in un intervallo di tempo sia proporzionale alla sua durata).
- (A) 75
- (B) 60
- (C) 54
- (D) 70
- (E) 72
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minutes of cell phone use during charging
A fully charged cell phone must remain charged for 2 hours to fully charge if it is not in use in the meantime. On the other hand, if it is used during charging, half of the energy introduced is consumed immediately and only the remainder accumulates in the battery. Knowing that it took two and a half hours to charge the battery from zero, it is necessary to determine how many minutes the cell phone was used during the charging (whether or not the phone is used, the energy stored in a time interval is assumed to be proportional to its duration).
- (A) 75
- (B) 60
- (C) 54
- (D) 70
- (E) 72
Answer: B src_archimede_2018_biennio__Q10
Triangoli isosceli interi con lato maggiore 2018
Quanti sono i diversi triangoli isosceli, con tutti i lati di lunghezze intere, aventi un lato di lunghezza 2018 che è maggiore degli altri due?
- (A) 1007
- (B) 1006
- (C) 1010
- (D) 1008
- (E) 1011
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Triangles of isosceles with a major side 2018
How many different isosceles triangles, with all sides of full lengths, have one side of length 2018 that is larger than the other two?
- (A) 1007
- (B) 1006
- (C) 1010
- (D) 1008
- (E) 1011
Answer: D src_archimede_2018_biennio__Q11
Casella del numero 1500 nella griglia senza multipli di 11
Mario scrive i numeri interi positivi in una griglia con 7 colonne, come mostrato in figura. Poich´e ha in antipatia il numero 11, nel suo elenco mancano tutti i multipli di 11. Indichiamo con (m; n) la casella che si trova nella riga numero m (contando dall’alto) e nella colonna numero n (contando da sinistra): ad esempio, la casella (2; 4) contiene il numero 12. In quale casella sarà contenuto il numero 1500?
- (A) (195; 6)
- (B) (215; 2)
- (C) (214; 2)
- (D) (194; 3)
- (E) (193; 6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 25 … … … … … … … … … …
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Box number 1500 in the grid without multiples of 11
Mario writes the positive integers in a grid with 7 columns, as shown in the figure. Since he hates the number 11, his list lacks all the multiples of 11. We indicate with (m;n) the box in the row number m (counting from the top) and column number n (counting from the left): for example, box (2; 4) contains the number 12. What box will contain the number 1500?
- (A) (195; 6)
- (B) (215; 2)
- (C) (214; 2)
- (D) (194; 3)
- (E) (193; 6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 25 … … … … … … … … … …
Answer: A src_archimede_2018_biennio__Q12
invariante parita di teste
Chiara ha disposto 8 monetine in fila. Alcune mostrano la faccia con la testa, altre quella con la croce, in questa sequenza: TTTTTCCC. Fa questo gioco: ad ogni mossa, sceglie due monete consecutive e le capovolge entrambe. Chiara, con alcune mosse di questo tipo, vorrebbe ottenere una fila di monete disposte nella sequenza CCCCCCTT. Che cosa si può concludere?
- (A) Ci può riuscire con un minimo di 3 mosse.
- (B) Ci può riuscire con un minimo di 5 mosse.
- (C) Ci può riuscire con un minimo di 7 mosse.
- (D) Ci può riuscire con un numero pari di mosse.
- (E) Non ci può riuscire.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
invariant pair of heads
Clara has eight coins in a row. Some show the face with the head, others with the cross, in this sequence: TTTTTCCC. He plays this game: with each move, he picks two consecutive coins and flips both. Clearly, with some moves of this kind, you would like to get a row of coins arranged in the CCCCCCTT sequence. What can be concluded?
- (A) He can do it with a minimum of three moves.
- (B) He can do it with a minimum of five moves.
- (C) He can do it with a minimum of seven moves.
- (D) He can do it with an even number of moves.
- (E) He can’t do that.
Answer: E src_archimede_2018_biennio__Q13
Area quarta regione da P ai punti medi del quadrilatero
Da un punto P all’interno di un quadrilatero convesso, si tracciano i segmenti che lo congiungono ai punti medi dei lati. In questo modo, il quadrilatero viene suddiviso in quattro regioni. Nella figura sono indicate le aree di tre di queste regioni. Qual è l’area della quarta?
- (A) 32
- (B) 33
- (C) 29
- (D) 31
- (E) 30 28 ? 23 19 P
Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Area four region from P to the midpoints of the quadrilateral
From a point P within a convex quadrilateral, the segments connecting it to the midpoints of the sides are plotted. In this way, the quadrilateral is divided into four regions. The figures show the areas of three of these regions. What’s the area of the fourth?
- (A) 32
- (B) 33
- (C) 29
- (D) 31
- (E) 30 28 ? 23 19 P
Answer: A src_archimede_2018_biennio__Q14
Modi di disporre 99 monete non adiacenti in tabella 2x100
Michela ha disegnato una tabella rettangolare di dimensioni 2 × 100. Vuole disporre 99 monete, ciascuna in una casella della tabella, in modo che non vi siano coppie di caselle con un lato in comune entrambe occupate da una moneta. In quanti modi diversi Michela potrà collocare le 99 monete?
- (A) 200
- (B) 396
- (C) 402
- (D) 400
- (E) 202
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
How to dispose of 99 non-adjacent coins in Table 2x100
Michela drew a rectangular table of size 2 × 100. He wants to have 99 coins, each in a box in the table, so that there are no pairs of boxes with one side in common that are both occupied by one coin. How many different ways can Michela place the 99 coins?
- (A) 200
- (B) 396
- (C) 402
- (D) 400
- (E) 202
Answer: B src_archimede_2018_biennio__Q15
Area del triangolo BCD con altezza in triangolo isoscele
Nel triangolo isoscele ABC, dove AB = BC = 5 cm e AC = 6 cm, l’altezza uscente dal vertice C cade nel punto D del lato AB. Di quanti cm2 è l’area del triangolo BCD?
- (A) 10 3
- (B) 56 15
- (C) 17 5
- (D) 84 25
- (E) 24 7 T2 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca I Giochi di Archimede - Gara Biennio 22 novembre 2018 • La prova è costituita da 16 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono sbagliate. • Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta sbagliata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. • Per ognuno dei problemi, devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l’uso di alcun tipo di calcolatrice o di strumenti di comunicazione. Il tempo che hai a disposizione per svolgere la prova è di 110 minuti. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME CLASSE data di nascita: mail (facoltativa): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
BCD triangle area with height in isosceles triangle
In the isosceles triangle ABC, where AB = BC = 5 cm and AC = 6 cm, the height exiting the C vertex falls at the point D of the side AB. What is the area of the BCD triangle?
- (A) 10 3
- (B) 56 15
- (C) 17 5
- (D) 84 25
- (E) 24 7 T2 Italian Mathematical Union PROJECT OLIMPIADES OF MATHEMATICS Ministry of Education, University and Research The Games of Archimedes - Competition Biennio 22 November 2018 • The test consists of 16 problems. Each question shall be followed by 5 answers indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E). One of these answers is correct, the other four are wrong. • Each correct answer is worth 5 points, each wrong answer is worth 0 points. For each answer left blank or unreadable one point will be awarded. • For each problem, you must transcribe the letter corresponding to the answer you think is correct in the grid below. Cancellations or corrections on the grid are not permitted. The use of any kind of calculator or communication tool shall not be permitted. You have 110 minutes to run the test. Good work and good fun! Name of the applicant and date of birth: e-mail (optional): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Answer: D src_archimede_2018_biennio__Q16