Indicare la piu grande tra cinque frazioni
Indicare la più grande tra queste frazioni.
- (A) 2018 2011
- (B) 2016 2009
- (C) 2020 2013
- (D) 2019 2012
- (E) 2025 2018
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Include the largest of the five fractions
Indicate the largest of these fractions.
- (A) 2018 2011
- (B) 2016 2009
- (C) 2020 2013
- (D) 2019 2012
- (E) 2025 2018
Answer: B src_archimede_2018_triennio__Q01
Cubetti con almeno una faccia dipinta in cubo 10x10x10
Piero costruisce un cubo incollando 1000 piccoli cubetti tutti uguali (con 10 cubetti lungo ogni spigolo). Dipinge quindi di verde tutte le facce del cubo che ha costruito. Quanti dei cubetti iniziali avranno almeno una faccia colorata di verde?
- (A) 600
- (B) 384
- (C) 504
- (D) 488
- (E) 592
Topic: Geometria solida Metodo: Inclusione-esclusione Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Cubs with at least one face painted in a 10x10x10 cube
Piero builds a cube by gluing 1000 small cubes all equal (with 10 cubes along each stem). So he paints all the faces of the cube he’s built green. How many of the initial cubes will have at least a green face?
- (A) 600
- (B) 384
- (C) 504
- (D) 488
- (E) 592
Answer: D src_archimede_2018_triennio__Q03
Numero somma di quadrati di due multipli di 3
Quale dei seguenti numeri si può ottenere sommando i quadrati di due numeri interi multipli di 3?
- (A) 459
- (B) 363
- (C) 633
- (D) 495
- (E) 549
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Summary of squares of two multiples of 3
Which of the following numbers can be obtained by adding the squares of two integers multiplied by 3?
- (A) 459
- (B) 363
- (C) 633
- (D) 495
- (E) 549
Answer: E src_archimede_2018_triennio__Q04
Minuti d’uso cellulare durante ricarica (40% consumato)
Un cellulare con la batteria del tutto scarica deve rimanere in carica 2 ore per ricaricarsi completamente, se nel frattempo non è in uso. Se invece è utilizzato durante la ricarica, il 40% dell’energia introdotta viene subito consumata e solo la parte restante si accumula nella batteria. Sapendo che, per ricaricare la batteria da zero, sono servite 2 ore e mezza, stabilire per quanti minuti il cellulare è stato utilizzato durante la ricarica (si suppone, che si usi o meno il telefono, che l’energia immagazzinata in un intervallo di tempo sia proporzionale alla sua durata).
- (A) 72
- (B) 90
- (C) 60
- (D) 87
- (E) 75
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*Minutes of cell phone use while charging (40% consumed) *
A fully charged cell phone must remain charged for 2 hours to fully charge if it is not in use in the meantime. On the other hand, if it is used during charging, 40% of the energy introduced is consumed immediately and only the remaining part is stored in the battery. Knowing that it took two and a half hours to charge the battery from zero, it is necessary to determine how many minutes the cell phone was used during the charging (whether or not the phone is used, the energy stored in a time interval is assumed to be proportional to its duration).
- (A) 72
- (B) 90
- (C) 60
- (D) 87
- (E) 75
Answer: E src_archimede_2018_triennio__Q05
Lunghezza A900A901 nella spirale di triangoli rettangoli
Teodoro sta costruendo una sequenza di triangoli rettangoli, disposti come qui a lato. Il primo è il triangolo isoscele A1A2A3, rettangolo in A1, con cateti di 1 cm. Il secondo è A2A3A4, rettangolo in A2, dove A2A4 è ancora di 1 cm. Il terzo è A3A4A5, rettangolo in A3, con A3A5 ancora di 1 cm. La costruzione va avanti così: in ciascun triangolo AnAn+1An+2, rettangolo in An, il cateto AnAn+2 è sempre di 1 cm. Quanti cm misurerà il segmento A900A901 ?
- (A) 60
- (B) 300
- (C) 30
- (D) 45
- (E) 150 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11
Topic: Geometria piana Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Length A900A901 in the spiral of rectangular triangles
Theodore is building a sequence of rectangular triangles, arranged like this on the side. The first is the isosceles triangle A1A2A3, a rectangle in A1, with 1 cm of catheters. The second is A2A3A4, rectangle in A2, where A2A4 is still 1 cm. The third is A3A4A5, rectangle in A3, with A3A5 still 1 cm. The construction goes on as follows: in each triangle AnAn+1An+2, rectangle in An, the catheter AnAn+2 is always 1 cm. How many centimetres will the A900A901 segment measure ?
- (A) 60
- (B) 300
- (C) 30
- (D) 45
- (E) 150 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11
Answer: C src_archimede_2018_triennio__Q06
Numero quesiti raccolta da punteggio Archimede
Per prepararsi ai Giochi di Archimede, Costanza sta cercando di risolvere una raccolta di quesiti tratti dalle gare degli anni passati. Ne lascia in bianco 14 e risponde correttamente a 2/3 dei rimanenti (le altre risposte sono invece sbagliate). Si accorge quindi che, calcolando i punteggi come si fa nei Giochi di Archimede, ha così realizzato un punto in meno di quanto avrebbe ottenuto rispondendo a tutte le domande e sbagliandone precisamente la metà. Circa il numero di quesiti della raccolta, si può concludere che esso è…
- (A) minore di 30
- (B) fra 30 e 33 (inclusi)
- (C) fra 34 e 36 (inclusi)
- (D) fra 37 e 40 (inclusi)
- (E) maggiore di 40
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Number of questions collected from the Archimedes score
To prepare for the Archimedes Games, Constance is trying to solve a collection of questions from previous years’ competitions. He leaves 14 blank and answers correctly to 2/3 of the remaining answers (the other answers are wrong). It is therefore noted that, by calculating the scores as in the Archimedes Games, he has thus achieved one point less than he would have obtained by answering all the questions and mistaking precisely half of them. About the number of queries in the collection, we can conclude that it is…
- (A) less than 30
- (B) between 30 and 33 (included)
- (C) between 34 and 36 (included)
- (D) between 37 and 40 (included)
- (E) More than 40
Answer: D src_archimede_2018_triennio__Q07
Somma cifre di (10^2018+2018)^2
Scrivendo per esteso il numero intero (102018 +2018)2 si utilizzano 4037 cifre. Qual è la somma di tutte queste cifre?
- (A) 36
- (B) 31
- (C) 42
- (D) 51
- (E) 43
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
This is the sum of the amounts of the following items: *
Writing the whole number (102018 + 2018)2 by extension uses 4037 digits. What is the sum of all these numbers?
- (A) 36
- (B) 31
- (C) 42
- (D) 51
- (E) 43
Answer: A src_archimede_2018_triennio__Q08
Rapporto aree esterno/interno di una cornice
Il lato maggiore della cornice di un quadro è 8/5 del minore. La cornice ha lo stesso spessore su tutti e quattro i lati. Nel quadro all’interno della cornice (rappresentato con un rettangolo grigio), il lato maggiore è doppio del lato minore. Qual è il rapporto tra l’area del rettangolo delimitato dal bordo esterno della cornice e l’area del quadro all’interno della cornice?
- (A) 7/3
- (B) 20/9
- (C) 8/5
- (D) 12/5
- (E) 64/25
Topic: Geometria piana Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
External/internal area report of a frame
The larger side of the frame of a painting is 8/5 of the smaller side. The frame is the same thickness on all four sides. In the picture inside the frame (represented with a gray rectangle), the major side is double the minor side. What is the relationship between the area of the rectangle bounded by the outer edge of the frame and the area of the frame within the frame?
- (A) 7/3
- (B) 20/9
- (C) 8/5
- (D) 12/5
- (E) 64/25
Answer: B src_archimede_2018_triennio__Q09
Bomboniere di 3 confetti tra 12 gusti con ripetizione
Un pasticcere ha in negozio confetti di 12 gusti diversi e vuole confezionare bomboniere contenenti ciascuna 3 confetti, non necessariamente di gusti differenti. Quante bomboniere diverse può realizzare al massimo? (due bomboniere sono da considerare uguali se contengono confetti degli stessi gusti e nelle stesse quantità)
- (A) 364
- (B) 320
- (C) 324
- (D) 360
- (E) 348
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
*Candy of 3 confections of 12 flavors with repeating *
A pastry chef has 12 different-tasting confections in store and wants to pack confectionery containing three confections each, not necessarily of different tastes. How many different candy trucks can you make at most? (two confectioners are to be considered equal if they contain confectionery of the same taste and quantity)
- (A) 364
- (B) 320
- (C) 324
- (D) 360
- (E) 348
Answer: A src_archimede_2018_triennio__Q10
Area regione ombreggiata in rettangolo diviso in due quadrati
Nella figura qui a fianco, è rappresentato un rettangolo diviso in due quadrati uguali. Il lato di ciascuno dei due quadrati è pari a 6 cm. Di quanti cm2 è l’area complessiva della regione ombreggiata?
- (A) 33
- (B) 30
- (C) 24
- (D) 27
- (E) 21
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Area region shaded in a rectangle divided into two squares
In the figure right next to this, it’s a rectangle divided into two equal squares. The sides of each of the two squares are equal to 6 cm. How many cm2 is the total area of the shaded region?
- (A) 33
- (B) 30
- (C) 24
- (D) 27
- (E) 21
Answer: C src_archimede_2018_triennio__Q11
Divisore certo di un numero di due cifre ripetuto tre volte
Anna ha riscritto per tre volte di fila un numero intero di due cifre, ottenendo così un numero S di sei cifre. Il numero S è sicuramente divisibile per…
- (A) 1111
- (B) 101
- (C) 11
- (D) 111
- (E) 1001
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Certain divider of a two-digit number repeated three times
Anna rewrote a two-digit integer three times in a row, thus obtaining a six-digit S number. The number S is definitely divisible by…
- (A) 1111
- (B) 101
- (C) 11
- (D) 111
- (E) 1001
Answer: D src_archimede_2018_triennio__Q12
Raggio r di cerchi tangenti con tangenti comuni
La circonferenza β ha centro nel punto B e raggio 40. Le circonferenze α e γ, di centri rispettivamente A e C, hanno lo stesso raggio r e sono entrambe tangenti esternamente a β. I tre centri A, B, C sono allineati. Sapendo che le rette passanti per A e tangenti a β sono tangenti anche a γ, che cosa si può affermare a proposito del raggio r?
- (A) r < 72
- (B) 72 ≤r < 75
- (C) 75 ≤r < 78
- (D) 78 ≤r < 81
- (E) r ≥81
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Rage of tangent circles with common tangents
The circumference β is centered at point B and radius 40. The circumferences α and γ, of centers A and C respectively, have the same radius r and are both tangent externally to β. The three centers A, B, C are aligned. Knowing that lines passing through A and tangents to β are also tangents to γ, what can be said about the radius r?
- (A) r < 72
- (B) 72 ≤r < 75
- (C) 75 ≤r < 78
- (D) 78 ≤r < 81
- (E) r ≥81
Answer: D src_archimede_2018_triennio__Q13
Probabilita sedia vuota tra ragazzo e ragazza
Tre ragazzi e due ragazze debbono sedersi attorno a un tavolo con sei sedie, numerate da 1 a 6. Per decidere il proprio posto, ciascuno dei cinque estrae a sorte uno tra sei foglietti (numerati da 1 a 6). Qual è la probabilità che la sedia che rimane vuota venga a trovarsi tra un ragazzo e una ragazza?
- (A) 2/5
- (B) 1/2
- (C) 3/5
- (D) 1/3
- (E) 3/4
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Probability of empty seat between boy and girl
Three boys and two girls have to sit around a table with six chairs, numbered from 1 to 6. To decide its place, each of the five draws one out of six sheets (numbered 1 to 6) by lot. What’s the probability that the empty chair will be between a boy and a girl?
- (A) 2/5
- (B) 1/2
- (C) 3/5
- (D) 1/3
- (E) 3/4
Answer: C src_archimede_2018_triennio__Q14
Casella del numero 2018 in griglia senza multipli di 11
Giulia scrive i numeri interi positivi in una griglia con 7 colonne, come mostrato in figura. Poich´e ha in antipatia il numero 11, nel suo elenco mancano tutti i multipli di 11. Indichiamo con (m; n) la casella che si trova nella riga numero m (contando dall’alto) e nella colonna numero n (contando da sinistra): ad esempio, la casella (2; 4) contiene il numero 12. In quale casella sarà contenuto il numero 2018?
- (A) (289; 2)
- (B) (263; 1)
- (C) (278; 5)
- (D) (262; 4)
- (E) (288; 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 25 … … … … … … … … … …
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
2018 number box in grid without multiples of 11
Giulia writes positive integers in a grid with 7 columns, as shown in the figure. Since he hates the number 11, his list lacks all the multiples of 11. Let’s use (m;n) to indicate the box in the row number m (counting from the top) and column number n (counting from the left): for example, box (2; 4) contains the number 12. In which box will the 2018 issue be included?
- (A) (289; 2)
- (B) (263; 1)
- (C) (278; 5)
- (D) (262; 4)
- (E) (288; 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 25 … … … … … … … … … …
Answer: B src_archimede_2018_triennio__Q15
Area BCD con mediana e bisettrice in triangolo isoscele
Nel triangolo isoscele ABC, dove AB = AC = 5 cm e BC = 8 cm, la mediana uscente dal vertice B e la bisettrice uscente dal vertice C si intersecano nel punto D. Di quanti cm2 è l’area del triangolo BCD?
- (A) 32 7
- (B) 21 5
- (C) 17 4
- (D) 4
- (E) 14 3
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
BCD area with median and bisetrical triangle isosceles
In the isosceles triangle ABC, where AB = AC = 5 cm and BC = 8 cm, the median coming out of vertex B and the bisette coming out of vertex C intersect at point D. What is the area of the BCD triangle?
- (A) 32 7
- (B) 21 5
- (C) 17 4
- (D) 4
- (E) 14 3
Answer: A src_archimede_2018_triennio__Q16
Quante affermazioni vere su equazione ax^2-bx+a=0
Si consideri l’equazione ax2 −bx + a = 0 nell’incognita x, dove a e b sono numeri reali positivi. Tra le seguenti 5 affermazioni, quante sono quelle vere? • Se b > 2a, ci sono due soluzioni reali distinte. • Se ci sono due soluzioni reali distinte, esse sono positive. • Se una delle soluzioni è 9 volte l’altra, allora b > 3a. • Qualunque siano a e b, non possono esserci due soluzioni intere distinte. • Se ci sono due soluzioni reali, il loro prodotto è 1.
- (A) solo 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) tutte e 5
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
How many true statements on equation ax^2-bx+a=0
Consider the equation ax2 −bx + a = 0 in the unknown x, where a and b are positive real numbers. Of the following five statements, how many are true? • If b > 2a, there are two distinct real solutions. • If there are two distinct real solutions, they are positive. • If one solution is 9 times the other, then b > 3a. • Whatever a and b are, there cannot be two distinct whole solutions. • If there are two real solutions, their product is 1.
- (A) only 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) All five .
Answer: E src_archimede_2018_triennio__Q17
Area quarta regione da P ai punti medi del quadrilatero
Da un punto P all’interno di un quadrilatero convesso, si tracciano i segmenti che lo congiungono ai punti medi dei lati. In questo modo, il quadrilatero viene suddiviso in quattro regioni. Nella figura sono indicate le aree di tre di queste regioni. Qual è l’area della quarta?
- (A) 32
- (B) 30
- (C) 27
- (D) 31
- (E) 29 24 33 ? 22 P
Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Area four region from P to the midpoints of the quadrilateral
From a point P within a convex quadrilateral, the segments connecting it to the midpoints of the sides are plotted. In this way, the quadrilateral is divided into four regions. The figures show the areas of three of these regions. What’s the area of the fourth?
- (A) 32
- (B) 30
- (C) 27
- (D) 31
- (E) 29 24 33 ? 22 P
Answer: D src_archimede_2018_triennio__Q18
parita invariante CCTTCTTCC
Giovanna ha disposto 9 monetine in fila. Alcune mostrano la faccia con la testa, altre quella con la croce, in questa sequenza: CCTTCTTCC. Fa questo gioco: ad ogni mossa, sceglie due monete consecutive e le capovolge entrambe. Giovanna, con alcune mosse di questo tipo, vorrebbe ottenere una fila di monete disposte nella sequenza TCTCTCTCT. Che cosa si può concludere?
- (A) Non ci può riuscire.
- (B) Ci può riuscire con un minimo di 4 mosse.
- (C) Ci può riuscire con un minimo di 6 mosse.
- (D) Ci può riuscire con un minimo di 8 mosse.
- (E) Ci può riuscire con un numero dispari di mosse.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
This is the sum of the values of the derivatives of the derivatives.
Giovanna placed nine coins in a row. Some show the face with the head, others with the cross, in this sequence: CCTTCTTCC. He plays this game: with each move, he picks two consecutive coins and flips both. Joan, with some moves like this, would like to get a row of coins arranged in the TCTCTCT sequence. What can be concluded?
- (A) He can’t do that.
- (B) He can do it with a minimum of four moves.
- (C) He can do it with a minimum of six moves.
- (D) He can do it with a minimum of eight moves.
- (E) He can do it with a odd number of moves.
Answer: A src_archimede_2018_triennio__Q19
Soldatini rimasti dopo eliminazioni ripetute delle posizioni quadrate
Cleopatra sta giocando con una fila formata da n2 soldatini (dove n è un numero intero maggiore di 30). Per prima cosa, Cleopatra toglie dalla fila tutti i soldatini la cui posizione corrisponde a un quadrato (ossia il 1°soldatino, il 4°, il 9°, e così via). Completata questa procedura, Cleopatra forma una nuova fila con i soldatini rimasti e la ripete togliendo ancora tutti i soldatini la cui posizione nella nuova fila corrisponde a un quadrato. La cosa va avanti in questo modo, sempre con la stessa procedura. Quanti soldatini potrebbero essere rimasti quando Cleopatra, dopo aver completato varie volte la suddetta procedura, si stanca e smette di giocare?
- (A) 126
- (B) 132
- (C) 125
- (D) 140
- (E) 120 T2 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca I Giochi di Archimede - Gara Triennio 22 novembre 2018 • La prova è costituita da 20 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono sbagliate. • Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta sbagliata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. • Per ognuno dei problemi, devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l’uso di alcun tipo di calcolatrice o di strumenti di comunicazione. Il tempo che hai a disposizione per svolgere la prova è di 110 minuti. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME CLASSE data di nascita: mail (facoltativa): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Soldiers remaining after repeated elimination of square positions
Cleopatra is playing with a row of n2 soldiers (where n is an integer greater than 30). First, Cleopatra removes from the line all soldiers whose position corresponds to a square (i.e. the 1°soldier, 4°, 9°, and so on). After completing this procedure, Cleopatra forms a new line with the remaining soldiers and repeats it again removing all the soldiers whose position in the new line corresponds to a square. It goes on this way, always with the same procedure. How many soldiers could have remained when Cleopatra, after completing the aforementioned procedure several times, became tired and stopped playing?
- (A) 126
- (B) 132
- (C) 125
- (D) 140
- (E) 120 T2 Italian Mathematical Union PROJECT OLIMPIADES OF MATHEMATICS Ministry of Education, University and Research The Games of Archimedes - Triennio Competition 22 November 2018 • The test consists of 20 problems. Each question shall be followed by 5 answers indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E). One of these answers is correct, the other four are wrong. • Each correct answer is worth 5 points, each wrong answer is worth 0 points. For each answer left blank or unreadable one point will be awarded. • For each problem, you must transcribe the letter corresponding to the answer you think is correct in the grid below. Cancellations or corrections on the grid are not permitted. The use of any kind of calculator or communication tool shall not be permitted. You have 110 minutes to run the test. Good work and good fun! Name of the applicant and date of birth: e-mail (optional): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Answer: B src_archimede_2018_triennio__Q20