Triangolo isoscele, bisettrice e cerchio per punto medio
Luigi ha disegnato sul proprio quaderno un triangolo isoscele ABC in cui i lati uscenti da A sono uguali e, dopo aver tracciato la bisettrice interna all’angolo
ABC che interseca il lato AC in P, si è accorto che la circonferenza per B, P, C passava anche per il punto medio di AB. Si è allora domandato quale fosse il valore dell’angolo
BAC. Qual è la risposta corretta?
- (A) 30°
- (B) 45°
- (C) 60°
- (D) 90°
- (E) 105°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Isosceles triangle, bisector and center circle
Luigi drew on his notebook an isosceles triangle ABC in which the sides emanating from A are equal and, after drawing the inner bisector at the angle \ ABC that intersects the AC side in P, he noticed that the circumference for B, P, C also passed through the middle point of AB. The question then arose as to what the value of the angle \ BAC was. What’s the correct answer?
- (A) 30°
- (B) 45°
- (C) 60°
- (D) 90°
- (E) 105°
Answer: C src_archimede_2019_2livello__Q01
Numeri con 4 divisori e somma divisori 42
Alessandra scrive sul quaderno (di Luigi) tutti i numeri naturali n che hanno entrambe le seguenti proprietà: n ha esattamente 4 divisori positivi (compresi 1 e n stesso), e la somma dei divisori positivi di n fa 42. Quanto vale la somma di tutti i numeri scritti da Alessandra?
- (A) 0
- (B) 12
- (C) 20
- (D) 26
- (E) 42
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Numbers with 4 divisors and sum of divisors 42
Alessandra writes on the notebook (of Louis) all natural numbers n that have both the following properties: n has exactly 4 positive divisors (including 1 and n itself), and the sum of the positive divisors of n is 42. What is the sum of all the numbers written by Alexander?
- (A) 0
- (B) 12
- (C) 20
- (D) 26
- (E) 42
Answer: D src_archimede_2019_2livello__Q02
Calzini in buste, minimo buste per tre paia
Nel cassetto di Alice ci sono 30 calzini di 5 colori: 6 bianchi, 6 gialli, 6 rossi, 6 verdi e 6 azzurri. Il fratellino birichino prende 10 buste nere e inserisce in ogni busta tre calzini (presi dal cassetto) di tre colori diversi. Ora Alice deve andare a Cesenatico e dovrà avere in valigia almeno tre paia di calzini di tre colori diversi (i due calzini di ogni paio devono essere dello stesso colore). Quante buste deve prendere Alice, come minimo, per essere sicura di avere tutti i calzini che le servono?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 5
- (E) 6
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Shoes in packages, minimum packages for three pairs
In Alice’s drawer there are 30 socks of five colors: 6 white, 6 yellow, 6 red, 6 green and 6 blue. The little brother takes 10 black envelopes and inserts in each envelope three socks (taken from the drawer) of three different colors. Now Alice must go to Cesenatico and must have in her suitcase at least three pairs of socks of three different colors (the two socks of each pair must be of the same color). How many envelopes does Alice have to take, at least, to make sure she has all the socks she needs?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 5
- (E) 6
Answer: C src_archimede_2019_2livello__Q03
Sequenza somma 4 consecutivi costante, somma totale
È data una sequenza di 2019 numeri a1, a2, a3, … , a2019. Si sa che scelti qualsiasi 4 termini consecutivi della sequenza, la loro somma è costante. Similmente, presi due numeri consecutivi, la loro differenza in valore assoluto è costante (cioè |a1 −a2| = |a2 −a3| = |a3 −a4| = …). Si sa inoltre che a1 < a2 < a3 e che a2 = 6. Quanto vale la somma di tutti i numeri della sequenza?
- (A) 2019
- (B) 2020
- (C) 4038
- (D) 12114
- (E) I dati non sono sufficienti per determinarlo
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Sequence sum of 4 consecutive constant, sum total
A sequence of 2019 numbers a1, a2, a3 is given… , a2019. You know, if you choose any four consecutive terms in the sequence, their sum is constant. Similarly, taking two consecutive numbers, their difference in absolute value is constant (i.e. a1 −a2 = a2 −a3 = a3 −a4 = …). We also know that a1 < a2 < a3 and that a2 = 6. How much is the sum of all the numbers in the sequence?
- (A) 2019
- (B) 2020
- (C) 4038
- (D) 12114
- (E) The data are not sufficient to determine this.
Answer: D src_archimede_2019_2livello__Q04
Studenti a tavolo rotondo, quattro tipi, somma
Alla Scuola Normale, gli immatricolati di quest’anno nella classe di Scienze sono di quattro tipi: Matematici, Fisici, Chimici e Biologi. A mensa si ritrovano seduti tutti assieme intorno ad un tavolo rotondo; ognuno di essi ha esattamente una persona seduta di fronte a s´e, ed inoltre per ogni studente l’insieme costituito da lui stesso, il suo vicino destro, il suo vicino sinistro e lo studente seduto di fronte comprende tutti e quattro i tipi di allievi. Quanti possono essere gli immatricolati nella classe di Scienze, opportunamente divisi tra i quattro tipi, sapendo che sono tra 30 e 50 (estremi inclusi)? Si dia come risultato la somma di tutte le possibili risposte.
- (A) 40
- (B) 80
- (C) 120
- (D) 200
- (E) 440
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Round table students, four types, sum of*
In the Normal School, this year’s students in the Science class are of four types: Mathematicians, Physicists, Chemists and Biologists. At the dining room they are all sitting together around a round table; each of them has exactly one person sitting in front of him, and furthermore for each student the whole made up of himself, his right neighbour, his left neighbour and the student sitting in front includes all four types of students. How many students can be enrolled in the sciences class, appropriately divided between the four types, knowing that they are between 30 and 50 (extreme included)? The result is the sum of all possible answers.
- (A) 40
- (B) 80
- (C) 120
- (D) 200
- (E) 440
Answer: B src_archimede_2019_2livello__Q05
Calcolatrice +1 e x3, numeri ottenibili senza esplodere
La calcolatrice di Pierino ha un display, che inizialmente mostra il numero 0, e due tasti: il tasto +1 , che aggiunge 1 al numero scritto sul display, e il tasto ×3 , che moltiplica il numero scritto sul display per 3. Se si preme il tasto +1 per due volte consecutive, la calcolatrice esplode. Se il display della calcolatrice tiene al più 5 cifre, quanti sono i numeri che Pierino può ottenere con un’opportuna sequenza di tasti (senza far esplodere la calcolatrice)?
- (A) 2048
- (B) 2187
- (C) 4096
- (D) 6561
- (E) 66666
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Calculator +1 and x3, numbers that can be obtained without exploding
Pierino’s calculator has a display, which initially shows the number 0, and two keys: the +1 key, which adds 1 to the number written on the display, and the ×3 key, which multiplies the number written on the display by 3. If you press the +1 button twice in a row, the calculator explodes. If the display of the calculator holds at most 5 digits, how many numbers can Pierino obtain with an appropriate key sequence (without blowing up the calculator)?
- (A) 2048
- (B) 2187
- (C) 4096
- (D) 6561
- (E) 66666
Answer: A src_archimede_2019_2livello__Q06
Trapezio inscritto, diagonali perpendicolari, rapporto aree
Sia ABCD un trapezio di basi AB e CD inscritto in una circonferenza Γ, tale che le diagonali AC e BD siano perpendicolari. Detto P il punto d’incontro delle diagonali AC e BD, quanto vale il rapporto fra l’area di Γ e la somma delle aree dei triangoli APB e CPD?
- (A) 1
- (B) π/2
- (C) π
- (D) 2π
- (E) I dati non sono sono sufficienti per determinarlo
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Inscribed trapezoid, perpendicular diagonals, area ratio
Either ABCD a trapezoid of bases AB and CD inscribed in a circumference Γ such that the diagonal AC and BD are perpendicular. Given that P is the meeting point of the AC and BD diagonals, what is the ratio of the area of Γ to the sum of the areas of the APB and CPD triangles?
- (A) 1
- (B) π/2
- (C) π
- (D) 2π
- (E) The data are not sufficient to determine this
Answer: C src_archimede_2019_2livello__Q07
Gioco a tre con punteggi, chi è secondo nel turno
Alberto, Barbara e Carlo fanno un gioco. Questo gioco si compone di k turni, al termine di ciascuno dei quali il primo classificato riceve a1 punti, il secondo a2 e il terzo a3, con a1 > a2 > a3 > 0 tutti interi. I punteggi finali di Alberto, Barbara e Carlo sono rispettivamente 22, 9, 9. Sapendo che Barbara ha vinto il primo turno, chi è arrivato secondo nel secondo turno?
- (A) Necessariamente Alberto
- (B) Necessariamente Barbara
- (C) Necessariamente Carlo
- (D) Possono essere arrivati secondi sia Alberto sia Barbara
- (E) Possono essere arrivati secondi sia Carlo sia Barbara
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Three-point play, who’s second in the round
Alberto, Barbara and Carlo are playing a game. This game consists of k rounds, at the end of which the first ranked player receives a1 points, the second a2 and the third a3, with a1 > a2 > a3 > 0 all integers. The final scores of Alberto, Barbara and Carlo are 22, 9, 9 respectively. Knowing Barbara won the first round, who came in second in the second round?
- (A) Not necessarily Alberto
- (B) Barbara Necessarily
- (C) Necessarily Charles
- (D) Both Alberto and Barbara may have come second.
- (E) Both Charles and Barbara may have come in second.
Answer: C src_archimede_2019_2livello__Q08
Equazione tra polinomi, proprietà certa
Marcella, giocando, trova per puro caso due polinomi p(x) e q(x), non costanti e a coefficienti interi, verificanti la relazione: p(q(x + 1)) = p(x3)q(x + 1)5 . Che cosa possiamo affermare con certezza dei due polinomi trovati da Marcella?
- (A) Il coefficiente direttore di p(x)q(x) è positivo
- (B) Il polinomio q(x) non possiede radici intere
- (C) Il grado di q(x) non supera quello di p(x)
- (D) La somma dei coefficienti di p(x) è dispari
- (E) Il grado di p(x)q(x) è multiplo di 8
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Equation between polynomials, certain property
Marcella, playing, finds by chance two polynomials p(x) and q(x), non-constant and integer coefficients, verifying the relationship: p(q(x + 1)) = p(x3)q(x + 1)5. What can we say with certainty about the two polynomials found by Marcella?
- (A) The direct coefficient of p(x) q(x) is positive
- (B) The polynomial q(x) does not have whole roots
- (C) The degree of q(x) does not exceed that of p(x)
- (D) The sum of the coefficients of p(x) is odd
- (E) The degree of p (x) q (x) is multiple of 8.
Answer: E src_archimede_2019_2livello__Q09
Colorazione interi con 6 colori, condizioni
Jacopo ha a disposizione 6 colori (tra cui il bianco) per colorare tutti i numeri interi. Vuole rispettare però queste condizioni: n e n + 5 devono avere lo stesso colore per ogni n intero e inoltre se ab è bianco, allora almeno uno tra a e b deve essere bianco. In quanti modi Jacopo può colorare gli interi?
- (A) 156
- (B) 656
- (C) 3181
- (D) 3906
- (E) 3936
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Full colour with 6 colours, conditions*
Jacopo has 6 colors (including white) available to color all integers. It does, however, want to respect these conditions: n and n + 5 must have the same color for every n integer and also if ab is white, then at least one between a and b must be white. How many ways can Jacopo color the interiors?
- (A) 156
- (B) 656
- (C) 3181
- (D) 3906
- (E) 3936
Answer: E src_archimede_2019_2livello__Q10
Cerchi centrati nei quadrati perfetti, perimetro castello
La pianta di un castello è realizzata in questo modo: si consideri una circonferenza lunga 2019 metri con inscritto un poligono regolare di 2019 vertici. Una volta numerati i vertici del poligono da 1 a 2019 in senso orario si traccino delle circonferenze di lunghezza 2019m centrate in ogni punto numerato con un quadrato perfetto. La pianta del castello consiste nell’unione di tutti i cerchi disegnati. Quanti metri misura il perimetro del castello?
- (A) 2692
- (B) 4038
- (C) 4627
- (D) 29370 2π
- (E) 2019π
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Circles centered in perfect squares, castle perimeter
The plan of a castle is realized in this way: a long circumference of 2019 meters is considered with a regular polygon of 2019 vertices inscribed. Once the vertices of the polygon from 1 to 2019 have been numbered in a clockwise direction, the circumferences of length 2019m centred on each numbered point with a perfect square are traced. The plan of the castle consists of the union of all the circles drawn. How many meters does the perimeter of the castle measure?
- (A) 2692
- (B) 4038
- (C) 4627
- (D) 29370 2π
- (E) 2019π
Answer: B src_archimede_2019_2livello__Q11
Torneo scacchi, accoppiamenti, zeri finali di n
Due scuole si scontrano in un torneo di scacchi a cui ciascuna fa partecipare 75 alunni: vengono organizzate 75 partite in cui far giocare tutti gli studenti uno contro uno (un membro della prima scuola contro uno della seconda) sotto il controllo di un arbitro esterno. Ogni scuola numera i propri studenti da 1 a 75 e l’arbitro impone la regola che due ragazzi non si possono scontrare se la differenza tra i loro numeri è un multiplo di 3. Se n è il numero di possibili accoppiamenti che soddisfano questa regola, con quanti zeri termina n?
- (A) 6
- (B) 12
- (C) 15
- (D) 18
- (E) 21 Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
*Chess tournament, matches, final zeros of n *
Two schools compete in a chess tournament with 75 pupils each: 75 matches are organised in which all pupils play one-on-one (one member of the first school versus one of the second) under the control of an external referee. Each school counts its students from 1 to 75, and the referee sets the rule that two boys cannot clash if the difference between their numbers is a multiple of 3. If n is the number of possible couplings that satisfy this rule, how many zeros does n end with?
- (A) 6
- (B) 12
- (C) 15
- (D) 18
- (E) 21 Problems with a numerical answer 5 points
Answer: D src_archimede_2019_2livello__Q12
Cavalieri e furfanti al tavolo, 3 si sbagliano
Sull’isola dei Cavalieri e dei Furfanti, i Cavalieri dicono la verità tranne quando si sbagliano ed i Furfanti mentono sempre. Durante una riunione, 40 isolani si siedono attorno a un grande tavolo rotondo e ciascuno dice: “Io sono vicino a un Cavaliere e a un Furfante”. Sapendo che 3 Cavalieri presenti si sbagliano, quanti sono i Cavalieri alla riunione?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi, monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 27 Fonte: apri PDF p.4
Knights and thieves at the table, 3 are wrong
On the Island of Knights and Snatchers, the Knights tell the truth except when they’re wrong and the Snatchers always lie. During a meeting, 40 islanders sit around a large round table and each one says, “I’m next to a Knight and a Pigeon”. Knowing that three knights present are wrong, how many knights are in the meeting?
Answer: 27 src_archimede_2019_2livello__Q13
Coppie (x,y) con x+y e xy+1 potenze di 2
Quante sono le coppie ordinate (x,y) di interi positivi minori o uguali a 2019 tali che x + y e xy + 1 siano potenze di 2?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 37 Fonte: apri PDF p.4
Couples (x,y) with x+y and xy+1 powers of 2
How many ordered pairs (x,y) of positive integers less than or equal to 2019 are such that x + y and xy + 1 are powers of 2?
Answer: 37 src_archimede_2019_2livello__Q14
Lampadine in fila, mosse con rapporto primo
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Ci sono 4037 lampadine disposte in fila e numerate da 1 a 4037. Inizialmente ogni lampadina può essere accesa o spenta. Una mossa consiste nello scegliere due lampadine numerate a, b tali che a/b o b/a sia un numero primo e cambiare lo stato di entrambe. Dimostrare che in un numero finito di mosse si possono rendere le lampadine da 1 a 2019 tutte accese qualunque sia la configurazione iniziale.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Teoria dei grafi, monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
*Lamp lamps in a row, moved with first ratio *
There are 4037 lamps arranged in rows and numbered from 1 to 4037. Initially, each light bulb can be switched on or off. One move consists of choosing two bulbs numbered a, b such that a/b or b/a is a prime number and changing the status of both. Demonstrate that in a finite number of moves you can make the bulbs from 1 to 2019 all on whatever the initial configuration is.
src_archimede_2019_2livello__Q15
Triangolo isoscele, circocentro, punti conciclici
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente, tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed è tale che FE sia congruente ad AD. Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una circonferenza.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.6
Isosceles triangle, circus, conic points
Demonstrative Exercise Whether ABC is an isosceles triangle on the basis of BC and whether D and E are points on the sides AB, BC respectively, such that the lines DE and AC are parallel. Also consider the point F on the straight DE which is on the opposite side of D to E and is such that FE is congruent to AD. So O is the circus of the BDE triangle, show that the points O, F, A, D lie on a circumference.
src_archimede_2019_2livello__Q16
Numeri ‘corretti’ autodescrittivi, conteggio cifre massime
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Diciamo che un numero intero positivo con un numero pari di cifre è “corretto” se, leggendo ad alta voce le singole cifre, otteniamo una corretta decrizione del numero stesso. O meglio, se ogni cifra in posizione dispari indica quante volte compare la cifra successiva in tutto il numero. Ad esempio, 1210 è corretto, perch´e ha “un 2, uno 0”, così come 2121, perch´e ha “due 1, due 1”, mentre 1031 non lo è, perch´e dichiara di avere “uno 0, tre 1”, quando ha in realtà due 1. (a) Dimostrare che ci sono più di 2019 numeri corretti. (b) Dimostrare che gli interi corretti sono in numero finito. (c) Trovare il numero di cifre del più grande numero corretto.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita, Induzione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 162 Fonte: apri PDF p.7
*Self-descriptive ‘correct’ numbers, maximum number counting *
Demonstrative Exercise Let’s say a positive integer with an even number of digits is correct if, by reading the individual digits aloud, we get a correct description of the number itself. Or rather, if each odd-positional digit indicates how many times the next digit appears in the whole number. For example, 1210 is correct, because it has un 2, a 0, as well as 2121, because it has dues 1, two 1, whereas 1031 is not, because it says it has un 0, three 1, when it actually has two 1. (a) Demonstrate that there are more than 2019 correct numbers. (b) Demonstrate that the correct integers are finite. (c) Find the number of digits of the largest correct number.
Answer: 162 src_archimede_2019_2livello__Q17