Quanti reali x soddisfano 0<=x<=1, 1/x<=1
Per quanti numeri reali x vale la catena di disuguaglianze 0 ≤x ≤1 x ≤1?
- (A) infiniti
- (B) 3
- (C) nessuno
- (D) solo 1
- (E) 2
Topic: Disuguaglianze Metodo: Analisi per casi Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
How many real x satisfy 0<=x<=1, 1/x<=1
For how many real numbers x is the chain of inequalities 0 ≤x ≤1 x ≤1?
- (A) infinitesimal
- (B) 3
- (C) No one
- (D) only 1
- (E) 2
Answer: D src_archimede_2019_biennio__Q01
Ordinare i lati dalle altezze di un triangolo
Nel triangolo DEF, le altezze (uscenti, rispettivamente, dai vertici D, E e F) misurano, nell’ordine, 81, 82 e 79 metri. Indicando con d, e, f le lunghezze, rispettivamente, dei lati EF, FD, DE, quale di queste disuguaglianze è corretta?
- (A) e < d < f
- (B) d < e < f
- (C) f < d < e
- (D) e < f < d
- (E) f < e < d
Topic: Geometria piana Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Ordering the sides from the heights of a triangle
In the DEF triangle, the heights (known, respectively, from the vertices D, E and F) measure, in the order, 81, 82 and 79 meters. Indicating with d, and f, the lengths of the sides EF, FD, DE, respectively, which of these inequalities is correct?
- (A) e < d < f
- (B) d < e < f
- (C) f < d < e
- (D) e < f < d
- (E) f < e < d
Answer: A src_archimede_2019_biennio__Q02
Giorno in cui Barbara deve iniziare per vincere la sfida
La pagina Instagram delle Olimpiadi di Matematica pubblica un problema al giorno. Alberto e Barbara si sfidano a risolvere il maggior numero di problemi nell’arco di 10 settimane, a partire da un lunedì. Barbara sa che Alberto prova a risolvere tutti e soli i problemi dal lunedì al giovedì di ogni settimana (ma non sa se ci riesce o meno). Barbara, invece, è sicura di saper risolvere tutti i problemi, tranne quelli della domenica. Supponendo che Barbara abbia ragione e tenendo conto che ha intenzione di iniziare a lavorare il più tardi possibile, che giorno della settimana è quello in cui deve cominciare per essere sicura della propria vittoria?
- (A) lunedì
- (B) martedì
- (C) mercoledì
- (D) giovedì
- (E) venerdì
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
The day Barbara has to start to win the challenge
The Mathematics Olympics Instagram page publishes a problem every day. Alberto and Barbara challenge themselves to solve the most problems in 10 weeks, starting on a Monday. Barbara knows that Alberto tries to solve all the problems from Monday to Thursday each week (but she doesn’t know if he can or not). Barbara, on the other hand, is confident of solving all problems except Sunday’s. Assuming that Barbara is right and considering that she intends to start working as late as possible, what day of the week is the day she must start to be sure of her victory?
- (A) Monday
- (B) Tuesday
- (C) Wednesday
- (D) Thursday
- (E) Friday
Answer: B src_archimede_2019_biennio__Q03
Coppie di libri di due generi diversi tra 9,7,4
Clara vuole prestare due dei suoi libri al cugino Luca. Possiede 9 libri gialli, 7 libri di viaggi, 4 libri di poesie. In quanti modi può essere scelta la coppia di libri da prestare, tenendo conto che devono essere di due generi diversi?
- (A) 40
- (B) 121
- (C) 118
- (D) 120
- (E) 127
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Pairs of books of two different genres between 9.7.4
Clara wants to lend two of her books to cousin Luca. He owns nine yellow books, seven travel books, four books of poetry. In how many ways can the book pair to be borrowed be chosen, considering that it must be of two different genres?
- (A) 40
- (B) 121
- (C) 118
- (D) 120
- (E) 127
Answer: E src_archimede_2019_biennio__Q04
Ampiezza angolo MON con retta perpendicolare alla bisettrice
In un triangolo LMN gli angoli di vertici L e N hanno ampiezze, rispettivamente, 42°e 80°. Sia r la retta passante per M che è perpendicolare alla bisettrice dell’angolo
LMN e sia O il punto d’intersezione tra r e la retta LN. Qual è l’ampiezza dell’angolo
MON?
- (A) 17°
- (B) 15°
- (C) 18°
- (D) 21°
- (E) 19°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
MON angle width perpendicular to the beam
In an LMN triangle the angles of vertices L and N have angles 42° and 80° respectively. Either r is the straight line passing through M that is perpendicular to the vertices of the angle \ LMN and either O is the point of intersection between r and the straight LN. What is the width of the angle \ MON?
- (A) 17°
- (B) 15°
- (C) 18°
- (D) 21°
- (E) 19°
Answer: E src_archimede_2019_biennio__Q05
Monete di due uomini da due condizioni di scambio
Due uomini possiedono delle monete. Se il primo ne prendesse 2 dal secondo, allora ne avrebbe tante quante ne resterebbero al secondo. Se, invece, il secondo ne prendesse 1 al primo, allora ne avrebbe il triplo di quante ne resterebbero al primo. Quante monete possiedono i due uomini in totale?
- (A) 14
- (B) 16
- (C) 12
- (D) 18
- (E) 13
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Two men’s currency with two terms of exchange
Two men have coins. If the first one takes 2 out of the second, then he’ll have as many as the second one. But if the second takes 1 from the first, then it’s going to have three times as much as the first. How many coins do the two men have in total?
- (A) 14
- (B) 16
- (C) 12
- (D) 18
- (E) 13
Answer: C src_archimede_2019_biennio__Q06
Modi di sedere 5 persone con due coppie adiacenti
Romeo, Giuletta, Elena, Paride, Ulisse si siedono su una panchina. Giulietta vuole stare accanto a Romeo, Elena accanto a Paride. In quanti modi possono disporsi i cinque da sinistra verso destra, in modo da accontentarle?
- (A) 24
- (B) 20
- (C) 18
- (D) 16
- (E) 30
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Sitting modes for 5 people with two couples adjacent
Romeo, Juliet, Elena, Paris, Ulysses are sitting on a bench. Juliet wants to be next to Romeo, Elena next to Paris. How many ways can the five be arranged from left to right, to satisfy them?
- (A) 24
- (B) 20
- (C) 18
- (D) 16
- (E) 30
Answer: A src_archimede_2019_biennio__Q07
Prezzo del maglione se IVA passa dal 22% al 24%
Il prezzo di vendita di un bene si ottiene aumentando l’importo effettivo di una certa percentuale, detta IVA (una tassa, che poi viene versata al fisco). In un negozio, il prezzo di vendita di un maglione è di 61, 00 e, comprensivo di IVA al 22%. Se l’IVA passasse al 24%, quale diventerebbe il prezzo di vendita del maglione?
- (A) 62, 25 e
- (B) 62, 22 e
- (C) 63, 00 e
- (D) 62, 00 e
- (E) 61, 50 e
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Price of sweater if VAT goes from 22% to 24%
The sale price of an asset is obtained by increasing the actual amount of a certain percentage, called VAT (a tax, which is then paid to the tax). In a shop, the selling price of a sweater is 61,00 and, including VAT, at 22%. If VAT went up to 24%, what would be the selling price of the sweater?
- (A) 62, 25 e
- (B) 62, 22 e
- (C) 63, 00 e
- (D) 62, 00 e
- (E) 61, 50 e
Answer: D src_archimede_2019_biennio__Q08
Ampiezza angolo DAE in rettangolo con altezza alla diagonale
Preso un rettangolo ABCD, sia E il punto sulla diagonale BD tale che la retta AE sia perpendicolare a BD. Sapendo che l’angolo
BAC è di 28°, quale sarà l’ampiezza dell’angolo
DAE?
- (A) 24°
- (B) 36°
- (C) 32°
- (D) 28°
- (E) 30°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
DAE angle width in rectangle with height at diagonal
Taking an ABCD rectangle, both E and the point on the BD diagonal such that the AE line is perpendicular to BD. Knowing that the angle \ BAC is 28°, what will be the width of the angle \ DAE?
- (A) 24°
- (B) 36°
- (C) 32°
- (D) 28°
- (E) 30°
Answer: D src_archimede_2019_biennio__Q09
Massimo numero di angoli retti in un ottagono convesso
Un ottagono convesso possiede 8 angoli interni. Quanti di essi, al massimo, possono essere retti?
- (A) 4
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 5
- (E) 1
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Maximum number of right angles in a convex octahedron
A convex octagon has eight interior angles. How many of them, at most, can be right?
- (A) 4
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 5
- (E) 1
Answer: C src_archimede_2019_biennio__Q10
Numero mattonelle compatibile con salti di 2,3,4,5
Caterina sta saltando lungo una fila di mattonelle. Partendo dalla prima, con salti di 2 mattonelle alla volta (ossia, salta sulla 3a, la 5a, la 7a, e così via), arriva sull’ultima; si volta indietro e, con salti di 3 mattonelle alla volta, torna alla prima; si volta ancora e, con salti di 4 mattonelle arriva di nuovo all’ultima mattonella; si volta di nuovo e, con salti di 5 mattonelle torna di nuovo alla prima. Quale tra i seguenti potrebbe essere il numero di mattonelle della fila?
- (A) 121
- (B) 91
- (C) 90
- (D) 60
- (E) 31
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Number of tiles compatible with jumps of 2,3,4,5
Catherine is jumping along a row of bricks. Starting from the first, with jumps of 2 bricks at a time (i.e., jumps on the 3rd, 5th, 7th, and so on), it reaches the last; it turns back and, with jumps of 3 bricks at a time, returns to the first; it turns again and, with jumps of 4 bricks, reaches the last brick again; it turns again and, with jumps of 5 bricks returns again to the first. Which of the following could be the number of bricks in the row?
- (A) 121
- (B) 91
- (C) 90
- (D) 60
- (E) 31
Answer: A src_archimede_2019_biennio__Q11
Valore di x+y da somma di due quadrati nulla
I numeri reali x e y verificano l’uguaglianza (2x −3y)2 + (3x −1)2 = 0. Qual è il valore di x + y?
- (A) 1/3
- (B) 5/9
- (C) 1
- (D) 1/2
- (E) 3/4
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Value of x+y by sum of two squares zero
The real numbers x and y verify the equality (2x −3y) 2 + (3x −1) 2 = 0. What’s the value of x plus y?
- (A) 1/3
- (B) 5/9
- (C) 1
- (D) 1/2
- (E) 3/4
Answer: B src_archimede_2019_biennio__Q12
Probabilita somma 8 con dado normale e dado speciale
Laura possiede due dadi. Uno dei due è un normale dado da gioco, con facce numerate da 1 a 6. L’altro è invece un dado speciale, che possiede due facce con il numero 3, una faccia con il 4 e tre facce con il 6. Lanciando insieme i due dadi, qual è la probabilità che la somma dei due numeri usciti sia uguale a 8?
- (A) 2/9
- (B) 1/6
- (C) 1/9
- (D) 1/12
- (E) 1/8
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Probability sum 8 with normal and special dice
Laura has two dice. One of the two is a normal dice game, with faces numbered from 1 to 6. The other is a special dice instead, which has two faces with the number 3, one face with the number 4 and three faces with the number 6. So if you put the two dice together, what is the probability that the sum of the two numbers that come out is equal to 8?
- (A) 2/9
- (B) 1/6
- (C) 1/9
- (D) 1/12
- (E) 1/8
Answer: B src_archimede_2019_biennio__Q13
Quadrati perfetti multipli di 7 tra 1 e 5000
Quanti multipli di 7, compresi tra 1 e 5000, sono quadrati di numeri interi?
- (A) 10
- (B) 26
- (C) 12
- (D) 102
- (E) 70
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Full squares of 7 between 1 and 5000
How many multiples of 7, including between 1 and 5,000, are squares of integers?
- (A) 10
- (B) 26
- (C) 12
- (D) 102
- (E) 70
Answer: A src_archimede_2019_biennio__Q14
Numero di cavalieri attorno a tavolo di 8 con frasi alterne
Attorno a un tavolo ci sono 8 persone, ciascuna delle quali può essere o un cavaliere o un furfante. Ogni volta che parla un cavaliere, la frase che pronuncia è vera; ogni volta che parla un furfante, la frase che pronuncia è falsa. Uno di loro pronuncia la seguente frase: “alla mia destra siede un cavaliere e alla mia sinistra siede un furfante”. Il vicino di destra di costui dichiara: “alla mia sinistra siede un cavaliere e alla mia destra siede un furfante”. Il vicino di destra di quest’ultimo afferma: “alla mia destra siede un cavaliere e alla mia sinistra siede un furfante”. E così via, le frasi si alternano, fino all’ottava persona, che afferma: “alla mia sinistra siede un cavaliere e alla mia destra siede un furfante”. Si può concludere che, tra le 8 persone presenti, il numero complessivo di cavalieri…
- (A) è possibile che sia 2 oppure 4, ma non 0, 6 o 8
- (B) è possibile che sia 2, 4 o 6, ma non 0 o 8
- (C) è possibile che sia 0, 2 o 4, ma non 6 o 8
- (D) è possibile che sia 0, 2, 4 o anche 6, ma non 8
- (E) è possibile che sia 0 oppure 4, ma non 2, 6 o 8
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Number of knights around table 8 with alternate phrases
Around a table there are eight people, each of whom can be either a knight or a con man. Whenever a knight speaks, the sentence he pronounces is true; whenever a cunning man speaks, the sentence he pronounces is false. One of them pronounces the following sentence: “A knight is seated at my right and a thief at my left”. His right-hand neighbour declares: “To my left is a knight seated, and to my right is a robber seated”. The neighbor on the right of the latter says: “To my right is a knight seated, and to my left is a thief seated”. And so on and so forth, the phrases alternate, until the eighth person, who says: “On my left sits a knight, and on my right sits a thief”. It can be concluded that, among the eight people present, the total number of knights…
- (A) It could be 2 or 4, but not 0, 6 or 8.
- (B) It could be 2, 4 or 6, but not 0 or 8.
- (C) It could be 0, 2 or 4, but not 6 or 8.
- (D) It could be 0, 2, 4 or even 6, but not 8.
- (E) It could be 0 or 4, but not 2, 6 or 8.
Answer: C src_archimede_2019_biennio__Q15
Misura KQ in trapezio rettangolo con angoli uguali
È assegnato un trapezio rettangolo PQRS, con angoli retti in P e in S, dove PQ > RS e PS = RS = 31. Sia K il punto sul lato PS tale che PK = 14. Sapendo che
SKR =
PQR, quale sarà la misura di KQ ?
- (A) 45
- (B) 48
- (C) 52
- (D) 49
- (E) 50 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca I Giochi di Archimede - Gara Biennio 21 novembre 2019 • La prova è costituita da 16 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta. • Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta sbagliata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. • Per ognuno dei problemi, trascrivi IN STAMPATELLO la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni. • ANNERISCI COMPLETAMENTE il tuo mese di nascita, il tuo genere, la tua classe. Scrivi le altre informazioni richieste IN STAMPATELLO vicino alle frecce, con la massima cura e precisione. Non è permesso l’uso di calcolatrici o strumenti di comunicazione. Il tempo a tua disposizione è di 110 minuti. Buon lavoro! NOME → COGNOME → ANNO DI NASCITA → MESE DI NASCITA GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC GIORNO DI NASCITA → GENERE F M CLASSE 1 2 SEZIONE → GRIGLIA DELLE RISPOSTE T2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Measurement of KQ in a rectangular trapezoid with equal angles
A PQRS rectangular trapezoid is assigned, with right angles in P and S, where PQ > RS and PS = RS = 31. Whether K is the point on the PS side such that PK = 14. Knowing that \ SKR = \ PQR, what will be the size of KQ?
- (A) 45
- (B) 48
- (C) 52
- (D) 49
- (E) 50 Italian Mathematical Union Olympic Mathematics Project Ministry of Education, University and Research The Archimedes Games - Race Biennio 21 November 2019 • The test consists of 16 problems. Each question shall be followed by 5 answers indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E). Only one of these answers is correct. • Each correct answer is worth 5 points, each wrong answer is worth 0 points. For each answer left blank or unreadable one point will be awarded. • For each of the problems, type the letter corresponding to the answer you think is correct in the grid below. Cancellations or corrections are not allowed. • Completely list your month of birth, gender, class. Write the other information required in the STANDARD next to the arrows, with the utmost care and precision. The use of calculators or communication tools shall not be permitted. You have 110 minutes. - Good work. Good work. Name → COGNOM → Year of birth → Month of birth GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SEVEN OTT NEW DAY of birth → Gender F M Class 1 2 Section → GROUP of the respondents T2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Answer: E src_archimede_2019_biennio__Q16