Ordinare i lati dalle altezze di un triangolo
Nel triangolo DEF, le altezze (uscenti, rispettivamente, dai vertici D, E e F) misurano, nell’ordine, 84, 80 e 81 metri. Indicando con d, e, f le lunghezze, rispettivamente, dei lati EF, FD, DE, quale di queste disuguaglianze è corretta?
- (A) e < f < d
- (B) d < f < e
- (C) d < e < f
- (D) f < e < d
- (E) e < d < f
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Ordering the sides from the heights of a triangle
In the DEF triangle, the heights (known, respectively, from the vertices D, E and F) measure, in the order, 84, 80 and 81 meters. Indicating with d, and f, the lengths of the sides EF, FD, DE respectively, which of these inequalities is correct?
- (A) e < f < d
- (B) d < f < e
- (C) d < e < f
- (D) f < e < d
- (E) e < d < f
Answer: B src_archimede_2019_triennio__Q01
Prezzo del maglione se IVA passa dal 22% al 25%
Il prezzo di vendita di un bene si ottiene aumentando l’importo effettivo di una certa percentuale, detta IVA (una tassa, che poi viene versata al fisco). In un negozio, il prezzo di vendita di un maglione è di 61, 00 e, comprensivo di IVA al 22%. Se l’IVA passasse al 25%, quale diventerebbe il prezzo di vendita del maglione?
- (A) 62, 50 e
- (B) 64, 00 e
- (C) 62, 83 e
- (D) 62, 10 e
- (E) 62, 00 e
Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Price of sweater if VAT goes from 22% to 25%
The sale price of an asset is obtained by increasing the actual amount of a certain percentage, called VAT (a tax, which is then paid to the tax). In a shop, the selling price of a sweater is 61,00 and, including VAT, at 22%. If VAT were to rise to 25%, what would the selling price of the sweater become?
- (A) 62, 50 e
- (B) 64, 00 e
- (C) 62, 83 e
- (D) 62, 10 e
- (E) 62, 00 e
Answer: A src_archimede_2019_triennio__Q02
Numero mattonelle compatibile con salti di 3,4,5,6
Caterina sta saltando lungo una fila di mattonelle. Partendo dalla prima, con salti di 3 mattonelle alla volta (ossia, salta sulla 4a, la 7a, la 10a, e così via), arriva sull’ultima; si volta indietro e, con salti di 4 mattonelle alla volta, torna alla prima; si volta ancora e, con salti di 5 mattonelle arriva di nuovo all’ultima mattonella; si volta di nuovo e, con salti di 6 mattonelle torna di nuovo alla prima. Quale tra i seguenti potrebbe essere il numero di mattonelle della fila?
- (A) 391
- (B) 271
- (C) 301
- (D) 270
- (E) 360
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Number of tiles compatible with jumps of 3,4,5,6
Catherine is jumping along a row of bricks. Starting from the first, with jumps of 3 bricks at a time (i.e., jumps on the 4th, 7th, 10th, and so on), it reaches the last; it turns back and, with jumps of 4 bricks at a time, returns to the first; it turns again and, with jumps of 5 bricks, reaches the last brick again; it turns again and, with jumps of 6 bricks returns again to the first. Which of the following could be the number of bricks in the row?
- (A) 391
- (B) 271
- (C) 301
- (D) 270
- (E) 360
Answer: C src_archimede_2019_triennio__Q03
Monete di due uomini da due condizioni di scambio
Due uomini possiedono delle monete. Se il primo ne prendesse 3 dal secondo, allora ne avrebbe tante quante ne resterebbero al secondo. Se, invece, il secondo ne prendesse 1 al primo, allora ne avrebbe il triplo di quante ne resterebbero al primo. Quante monete possiedono i due uomini in totale?
- (A) 14
- (B) 18
- (C) 12
- (D) 13
- (E) 16
Topic: Algebra Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Two men’s currency with two terms of exchange
Two men have coins. If the first one takes 3 out of the second, then he’ll have as many as the second one would have. But if the second takes 1 from the first, then it’s going to have three times as much as the first. How many coins do the two men have in total?
- (A) 14
- (B) 18
- (C) 12
- (D) 13
- (E) 16
Answer: E src_archimede_2019_triennio__Q04
Valore x+y da somma di due potenze pari nulla
I numeri reali x e y verificano l’uguaglianza (6x −5y)4 + (4y −3)6 = 0. Qual è il valore di x + y?
- (A) 1
- (B) 10/7
- (C) 4/3
- (D) 13/9
- (E) 11/8
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Value x+y of the sum of two powers equal to zero
The real numbers x and y verify the equality (6x −5y) 4 + (4y −3) 6 = 0. What’s the value of x plus y?
- (A) 1
- (B) 10/7
- (C) 4/3
- (D) 13/9
- (E) 11/8
Answer: E src_archimede_2019_triennio__Q05
Stima mcm da prodotto 2160 e MCD dispari
Il prodotto di due numeri naturali è 2160. Il loro Massimo Comune Divisore è dispari e maggiore di 1. Indicando con m il minimo comune multiplo dei due numeri, si ha:
- (A) m < 200
- (B) 200 < m < 400
- (C) 400 < m < 600
- (D) 600 < m < 800
- (E) m > 800
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Estimate of product mcm 2160 and odd MCD
The product of two natural numbers is 2160. Their maximum common divisor is odd and greater than 1. Indicating with m the minimum common multiple of two numbers, we have:
- (A) m < 200
- (B) 200 < m < 400
- (C) 400 < m < 600
- (D) 600 < m < 800
- (E) m > 800
Answer: D src_archimede_2019_triennio__Q06
Lati di poligono regolare contenente triangolo con angolo 54
I tre vertici di un triangolo rettangolo avente un angolo di 54°sono anche vertici di un poligono regolare avente…
- (A) 12 lati
- (B) 25 lati
- (C) 30 lati
- (D) 24 lati
- (E) 16 lati
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Sides of regular polygon containing triangle with angle 54
The three vertices of a right triangle having an angle of 54° are also vertices of a regular polygon having…
- (A) 12 sides
- (B) 25 sides
- (C) 30 sides
- (D) 24 sides
- (E) 16 sides
Answer: C src_archimede_2019_triennio__Q07
Massimo numero di angoli retti in un decagono convesso
Un decagono convesso possiede 10 angoli interni. Quanti di essi, al massimo, possono essere retti?
- (A) 5
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 2
- (E) 6
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of right angles in a convex decagon
A convex decagon has 10 interior corners. How many of them, at most, can be right?
- (A) 5
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 2
- (E) 6
Answer: B src_archimede_2019_triennio__Q08
Quadrati perfetti multipli di 7 tra 1 e 6000
Quanti multipli di 7, compresi tra 1 e 6000, sono quadrati di numeri interi?
- (A) 9
- (B) 20
- (C) 77
- (D) 11
- (E) 122
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Multiple perfect squares of 7 between 1 and 6000
How many multiples of 7, between 1 and 6000, are squares of integers?
- (A) 9
- (B) 20
- (C) 77
- (D) 11
- (E) 122
Answer: D src_archimede_2019_triennio__Q09
Misura DA in quadrilatero ciclico con angolo retto
Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza. Si sa che l’angolo in A è retto e che AB = 24, BC = 20, CD = 15. Qual è la misura di DA?
- (A) 11
- (B) 27
- (C) 10
- (D) 19
- (E) 7
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Measure DA in a cyclic quadrilateral with a right angle
The quadrilateral ABCD is inscribed in a circumference. You know that the angle in A is straight and that AB is 24, BC is 20, CD is 15. What’s the size of DA?
- (A) 11
- (B) 27
- (C) 10
- (D) 19
- (E) 7
Answer: E src_archimede_2019_triennio__Q10
Probabilita somma 10 con dado normale e dado speciale
Marco possiede due dadi. Uno dei due è un normale dado da gioco, con facce numerate da 1 a 6. L’altro è invece un dado speciale, che possiede due facce con il numero 3, una faccia con il 4 e tre facce con il 6. Lanciando insieme i due dadi, qual è la probabilità che la somma dei due numeri usciti sia uguale a 10?
- (A) 2/9
- (B) 1/18
- (C) 1/9
- (D) 1/6
- (E) 1/12
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Probability sum 10 with normal and special dice
Mark has two dice. One of the two is a normal dice game, with faces numbered from 1 to 6. The other is a special dice instead, which has two faces with the number 3, one face with the number 4 and three faces with the number 6. So if you put the two dice together, what’s the probability that the sum of the two numbers that came out is equal to 10?
- (A) 2/9
- (B) 1/18
- (C) 1/9
- (D) 1/6
- (E) 1/12
Answer: C src_archimede_2019_triennio__Q11
Misura KQ in trapezio rettangolo con triangoli simili
È assegnato un trapezio rettangolo PQRS, con angoli retti in P e in S, dove PQ > RS e PS = 2 RS = 62/5. Sia K il punto sul lato PS tale che PK = 8. Sapendo che
SKR =
PQR, quale sarà la misura di KQ ?
- (A) 17
- (B) 13
- (C) 15
- (D) 16
- (E) 20
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Measurement of KQ in a rectangular trapezoid with similar triangles
A PQRS rectangular trapezoid is assigned, with right angles in P and S, where PQ > RS and PS = 2 RS = 62/5. Whether K is the point on the PS side such that PK = 8. Knowing that \ SKR = \ PQR, what will be the size of KQ?
- (A) 17
- (B) 13
- (C) 15
- (D) 16
- (E) 20
Answer: A src_archimede_2019_triennio__Q12
Modi di sedere 6 persone con due coppie adiacenti
Romeo, Giuletta, Elena, Paride, Achille, Ulisse si siedono su una panchina. Giulietta vuole sedere accanto a Romeo ed Elena accanto a Paride. In quanti modi possono disporsi i sei da destra verso sinistra, in modo da accontentarle?
- (A) 720
- (B) 120
- (C) 24
- (D) 96
- (E) 180
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Sitting modes for 6 people with two couples adjacent
Romeo, Juliet, Helena, Paris, Achilles, Ulysses are sitting on a bench. Juliet wants to sit next to Romeo and Elena next to Paris. How many ways can the six be arranged from right to left, to satisfy them?
- (A) 720
- (B) 120
- (C) 24
- (D) 96
- (E) 180
Answer: D src_archimede_2019_triennio__Q13
Insiemi di 2 o 3 hashtag con vincolo condizionale
Ogni post pubblicato sulla pagina Instagram delle Olimpiadi di Matematica deve avere 2 oppure 3 hashtag, scelti tra 10 hashtag prestabiliti. Gli amministratori della pagina rispettano questa regola: se in un post è presente l’hashtag “#ItaMO”, deve esserci anche “#cese2020”(sono due dei 10 hashtag). In quanti modi può essere scelto l’insieme di hashtag da inserire in un post?
- (A) 120
- (B) 93
- (C) 165
- (D) 90
- (E) 129
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Sets of 2 or 3 conditional hashtags
Each post posted on the Instagram page of the Mathematics Olympics must have 2 or 3 hashtags, chosen from among 10 predefined hashtags. Page administrators follow this rule: if a post has the hashtag itamo, there must also be cese2020(they are two of the 10 hashtags). How many ways can you choose the set of hashtags to include in a post?
- (A) 120
- (B) 93
- (C) 165
- (D) 90
- (E) 129
Answer: E src_archimede_2019_triennio__Q14
Numero cavalieri attorno a tavolo di 10 con frasi alterne
Attorno a un tavolo ci sono 10 persone, ciascuna delle quali può essere o un cavaliere o un furfante. Ogni volta che parla un cavaliere, la frase che pronuncia è vera; ogni volta che parla un furfante, la frase che pronuncia è falsa. Uno di loro pronuncia la seguente frase: “alla mia destra siede un cavaliere e alla mia sinistra siede un furfante”. Il vicino di destra di costui dichiara: “alla mia sinistra siede un cavaliere e alla mia destra siede un furfante”. Il vicino di destra di quest’ultimo afferma: “alla mia destra siede un cavaliere e alla mia sinistra siede un furfante”. E così via, le frasi si alternano, fino alla decima persona, che afferma: “alla mia sinistra siede un cavaliere e alla mia destra siede un furfante”. Si può concludere che, tra le 10 persone presenti, il numero complessivo di cavalieri…
- (A) è possibile che sia 0, 2, 4, 6 o anche 8, ma non 10
- (B) è possibile che sia 0, 2 o 4, ma non 6, 8 o 10
- (C) è possibile che sia 0, 2, 4 o anche 6, ma non 8 o 10
- (D) è possibile che sia 2, 4 o 6, ma non 0, 8 o 10
- (E) è sicuramente 5
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Number of knights around table of 10 with alternate phrases
Around a table there are 10 people, each of whom can be either a knight or a con man. Whenever a knight speaks, the sentence he pronounces is true; whenever a cunning man speaks, the sentence he pronounces is false. One of them pronounces the following sentence: on my right sits a knight and on my left sits a con man. His right-hand neighbour declares: “To my left sits a knight, and to my right a robber”. His right-hand neighbor says, “To my right is a knight seated, and to my left is a thief seated”. And so on and so forth, the phrases alternate, until the tenth person, who says: “On my left sits a knight and on my right sits a crook”. It can be concluded that, out of the 10 people present, the total number of knights…
- (A) It could be 0, 2, 4, 6, or even 8, but not 10.
- (B) It could be 0, 2 or 4, but not 6, 8 or 10.
- (C) It could be 0, 2, 4 or even 6, but not 8 or 10.
- (D) It could be 2, 4 or 6, but not 0, 8 or 10.
- (E) It ‘s definitely five .
Answer: B src_archimede_2019_triennio__Q15
Perimetro triangolo A’B’C’ da quadrati su triangolo equilatero
Sui lati del triangolo equilatero ABC, che hanno lunghezza 1, sono costruiti tre quadrati, come in figura. Qual è il perimetro del triangolo A′B′C′ ?
- (A) 3 p 4 + √ 3
- (B) 6
- (C) 3 p 1 + 2 √ 3
- (D) 3 2 √ 3
- (E) 3 2 + 3 4 √ 3 A A′ A′′ B B′ B′′ C C′ C′′
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
A’B’C’ triangle perimeter by squares on an equilateral triangle
On the sides of the equilateral triangle ABC, which have a length of 1, three squares are constructed, as shown in the figure. What is the perimeter of the triangle A′B′C′?
- (A) 3 p 4 + √ 3
- (B) 6
- (C) 3 p 1 + 2 √ 3
- (D) 3 2 √ 3
- (E) 3 2 + 3 4 √ 3 A A′ A′′ B B′ B′′ C C′ C′′
Answer: A src_archimede_2019_triennio__Q16
Probabilita prodotto 24 lanciando 4 dadi
Carla lancia, tutti insieme, 4 dadi da gioco, con facce numerate da 1 a 6 Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia 24?
- (A) 5/162
- (B) 7/324
- (C) 1/36
- (D) 13/324
- (E) 5/144
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Probability of 24 by throwing 4 dice
Carla throws, all together, four dice, with faces numbered from 1 to 6. What is the probability that the product of the four numbers is 24?
- (A) 5/162
- (B) 7/324
- (C) 1/36
- (D) 13/324
- (E) 5/144
Answer: D src_archimede_2019_triennio__Q17
Area del rettangolo che inscrive la figura a cuore
Gli amministratori della pagina Instagram delle Olimpiadi di Matematica si sono accorti che l’icona corrispondente ai “mi piace” ricevuti è a forma di cuore, composta da un quadrato e due semicerchi costruiti su lati consecutivi. La figura è inscrivibile in un rettangolo con i lati paralleli alle diagonali del quadrato, come qui a fianco. Sapendo che il quadrato ha lato 1 cm, quanti cm2 misura l’area del rettangolo?
- (A) 3 √ 2 −2
- (B) 3+ √ 2 2
- (C) 7 8(1 + √ 2)
- (D) 3+2 √ 2 4
- (E) 5 4 + √ 2
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Area of the rectangle inscribed with the figure to the heart
The administrators of the Instagram page of the Mathematics Olympics realized that the icon corresponding to the i like received is heart-shaped, consisting of a square and two semicircles built on consecutive sides. The figure can be inscribed in a rectangle with the sides parallel to the diagonals of the square, as here next to it. Since the square has a side of 1 cm, how many cm2 does the area of the rectangle measure?
- (A) 3 √ 2 −2
- (B) 3+ √ 2 2
- (C) 7 8(1 + √ 2)
- (D) 3+2 √ 2 4
- (E) 5 4 + √ 2
Answer: E src_archimede_2019_triennio__Q18
Affermazione falsa su buchi e sporgenze di un puzzle nxn
Consideriamo un puzzle di forma quadrata, con n pezzi per lato. Ogni pezzo ha 4 lati e su ciascun lato può esserci o un buco o una sporgenza, oppure può essere piatto (quando si trova sul bordo). Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
- (A) Se il numero complessivo di pezzi è multiplo di 21, anche il numero di buchi deve essere multiplo di 21.
- (B) Il numero complessivo di buchi è uguale al numero di sporgenze.
- (C) Se il numero complessivo di pezzi è multiplo di 25, anche il numero di buchi deve essere multiplo di 25.
- (D) Il numero complessivo di sporgenze è multiplo di 4.
- (E) Se il numero complessivo di pezzi è dispari, anche il numero di pezzi che non hanno lati piatti deve essere dispari.
Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
False claim on holes and protrusions of a puzzle nxn
Let’s consider a square-shaped puzzle, with n pieces on each side. Each piece has 4 sides and on each side there can be either a hole or a protrusion, or it can be flat (when it is on the edge). Which of the following is false?
- (A) If the total number of pieces is multiple of 21, then the number of holes must also be multiple of 21.
- (B) The total number of holes is equal to the number of protrusions.
- (C) If the total number of pieces is 25 times, the number of holes must also be 25 times.
- (D) The total number of outbursts is multiple 4.
- (E) If the total number of pieces is odd, the number of pieces that do not have flat sides must also be odd.
Answer: C src_archimede_2019_triennio__Q19
Angolo DFE con quadrilatero FEPO ciclico
Dato un triangolo DEF, ottusangolo in E, sia O il centro della circonferenza ad esso circoscritta. Detto P il punto nel quale la bisettrice uscente da E interseca il lato DF, è noto che il quadrilatero convesso FEPO è inscrivibile in una circonferenza. Sapendo che
EDF = 52°, qual è l’ampiezza dell’angolo
DFE ?
- (A) 24°
- (B) 22°
- (C) 26°
- (D) 30°
- (E) 28° Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca I Giochi di Archimede - Gara Triennio 21 novembre 2019 • La prova è costituita da 20 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta. • Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta sbagliata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. • Per ognuno dei problemi, trascrivi IN STAMPATELLO la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni. • ANNERISCI COMPLETAMENTE il tuo mese di nascita, il tuo genere, la tua classe. Scrivi le altre informazioni richieste IN STAMPATELLO vicino alle frecce, con la massima cura e precisione. Non è permesso l’uso di calcolatrici o strumenti di comunicazione. Il tempo a tua disposizione è di 110 minuti. Buon lavoro! NOME → COGNOME → ANNO DI NASCITA → MESE DI NASCITA GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC GIORNO DI NASCITA → GENERE F M CLASSE 3 4 5 SEZIONE → GRIGLIA DELLE RISPOSTE T2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
DFE angle with cyclic FEPO quadrilateral
Given a DEF triangle, the octahedron in E, is O the center of circumference to it circumscribed. Since P is the point at which the outgoing beam from E intersects the DF side, it is known that the convex quadrilateral FEPO is inscrutable in a circumference. Knowing that \ EDF = 52°, what is the width of the angle \ DFE?
- (A) 24°
- (B) 22°
- (C) 26°
- (D) 30°
- (E) 28° Italian Mathematical Union Olympic Project of Mathematics Ministry of Education, University and Research The Archimedean Games - Triennial Competition 21 November 2019 • The test consists of 20 problems. Each question shall be followed by 5 answers indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E). Only one of these answers is correct. • Each correct answer is worth 5 points, each wrong answer is worth 0 points. For each answer left blank or unreadable one point will be awarded. • For each of the problems, type the letter corresponding to the answer you think is correct in the grid below. Cancellations or corrections are not allowed. • Completely list your month of birth, gender, class. Write the other information required in the STANDARD next to the arrows, with the utmost care and precision. The use of calculators or communication tools shall not be permitted. You have 110 minutes. - Good work. Good work. Name → COGNOM → Year of birth → Month of birth GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SEVEN OTT NEW DAY of birth → Gender F M Class 3 4 5 Section → GROUP of the respondents T2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Answer: A src_archimede_2019_triennio__Q20