Foglio ‘contemporaneo’ tagliato in 2020 parti simili
Se si taglia un foglio A4 precisamente a metà lungo una retta parallela al lato più corto, si creano due fogli che hanno la stessa forma di quello originale, cioè che si ottengono da esso tramite una rotazione e una riduzione di scala. Quest’anno diremo che un foglio rettangolare è “contemporaneo” se, tagliandolo in 2020 parti uguali ottenute con tagli paralleli al suo lato più corto, si ottengono 2020 rettangoli che hanno la stessa forma di quello iniziale. Se il lato corto di un foglio contemporaneo misura 1, quanto è lungo l’altro lato?
- (A) √ 2020
- (B) 20203/2
- (C) 2021 2
- (D) 2020
- (E) Nessuna delle precedenti
Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Contemporary leaf cut in 2020 similar parts
If you cut an A4 sheet precisely in half along a straight line parallel to the shorter side, you create two sheets that have the same shape as the original one, that is, you get from it through a rotation and a reduction in scale. This year we’re going to say that a rectangular sheet is contemporary if, by cutting it in 2020 into equal parts obtained with parallel cuts on its shorter side, you get 2020 rectangles that have the same shape as the original one. If the short side of a contemporary sheet is 1, how long is the other side?
- (A) √ 2020
- (B) 20203/2
- (C) 2021 2
- (D) 2020
- (E) None of the above
Answer: A src_archimede_2020_2livello__Q01
Gioco alla lavagna, affermazione sempre vera
Alberto e Barbara scrivono dei numeri alla lavagna. Parte Alberto e scrive il numero reale x. Poi Barbara scrive il numero 1. I due poi si alternano, e ad ogni turno scrivono un numero. Alberto nel suo turno moltiplica l’ultimo numero scritto per x2 e scrive il risultato. Barbara nel suo turno somma all’ultimo numero scritto x + 1 e scrive il risultato. Si fermano quando sulla lavagna sono scritti 2020 numeri. Quali delle seguenti affermazioni è sempre vera? (A) C’è almeno un numero negativo scritto sulla lavagna (B) Tutti i numeri scritti alla lavagna sono positivi (C) Alberto ha scritto solo numeri positivi (D) Alberto ha scritto solo numeri negativi (E) Barbara ha scritto solo numeri positivi
Topic: Algebra Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
*Game of thrones, always true *
Alberto and Barbara write numbers on the board. Alberto leaves and writes the real number x. Then Barbara writes number one. The two then alternate, and each turn they write a number. Albert in his turn multiplies the last number written for x2 and writes the result. Barbara in her turn sums up the last number written x + 1 and writes the result. They stop when they have 2020 numbers written on the board. Which of the following statements is always true? (A) There is at least one negative number written on the board (B) All numbers written on the board are positive (C) Alberto wrote only positive numbers (D) Alberto wrote only negative numbers (E) Barbara wrote only positive numbers
Answer: E src_archimede_2020_2livello__Q02
Quattro età primi con somma 240, la più giovane
Anna, Bianca, Carla e Diana sono quattro donne di età (in anni) diverse. Le loro età sono numeri primi la cui somma è 240. Sapendo che nessuna di loro ha più di 70 anni, qual è l’età della più giovane?
- (A) 47
- (B) 53
- (C) 57
- (D) 61
- (E) 67
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
*Four first years with a total of 240, the youngest *
Anna, Bianca, Carla, and Diana are four women of different ages. Their ages are prime numbers whose sum is 240. Knowing that none of them are over 70, what is the age of the youngest?
- (A) 47
- (B) 53
- (C) 57
- (D) 61
- (E) 67
Answer: B src_archimede_2020_2livello__Q03
Quadrato, cerchio, intersezioni, lunghezza AY
Lucia, dopo aver disegnato il quadrato ABCD di lato unitario, traccia una circonferenza di centro C e raggio uguale al lato del quadrato. Indica poi con X l’intersezione tra la diagonale AC e la circonferenza, e con Y l’intersezione della retta DX con il lato AB. Quanto vale la lunghezza del segmento AY ?
- (A) √ 2+1 6
- (B) √ 2 −1
- (C) √ 2 3
- (D) 3 + √ 2 8
- (E) √ 2 2
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Square, circle, intersections, length AY
Lucia, after drawing the square ABCD of the unit side, draws a circumference of center C and equal radius to the side of the square. It then indicates with X the intersection between the diagonal AC and the circumference, and with Y the intersection of the straight DX with the side AB. How much is the length of the AY segment ?
- (A) √ 2+1 6
- (B) √ 2 −1
- (C) √ 2 3
- (D) 3 + √ 2 8
- (E) √ 2 2
Answer: B src_archimede_2020_2livello__Q04
Scelta 3 persone a tavolo, né adiacenti né opposte
Attorno a un tavolo rotondo sono sedute, a distanza costante l’una dalla successiva, 32 persone. In quanti modi è possibile scegliere 3 di loro in modo che a coppie non siano n´e adiacenti n´e diametralmente opposte?
- (A) 2246
- (B) 2480
- (C) 3616
- (D) 24128
- (E) Nessuna delle precedenti
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Choose 3 people at the table, neither adjacent nor opposite
Around a round table, 32 people are seated at a constant distance from each other. How many ways can you choose 3 of them so that couples are neither adjacent nor diametrically opposite?
- (A) 2246
- (B) 2480
- (C) 3616
- (D) 24128
- (E) None of the above
Answer: C src_archimede_2020_2livello__Q05
Due nuotatori, valori possibili di vasche di Zanobi
Zanobi e Veronica vanno in piscina assieme e iniziano in contemporanea a nuotare avanti e indietro, a velocità costanti ma diverse, ciascuno nella propria corsia, a partire dallo stesso lato della piscina. Veronica si accorge che, nel momento in cui completa 28 vasche (cioè finisce di percorrere per 28 volte la lunghezza della piscina), Zanobi si trova accanto a lei. Non appena completa 70 vasche, Veronica smette di nuotare ed esce dall’acqua; nello stesso momento, anche Zanobi arriva sul bordo della piscina, smette di nuotare ed esce dall’acqua accanto a Veronica. Zanobi, che è più lento di Veronica, ha fatto m vasche; quanti diversi valori può assumere m?
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 6
- (D) 35
- (E) 69
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Two swimmers, possible values of Zanobi tanks
Zanobi and Veronica go to the pool together and start swimming back and forth at the same time, at constant but different speeds, each in their own lane, starting from the same side of the pool. Veronica notices that, by the time she completes 28 swimming pools (i.e. she finishes 28 times the length of the pool), Zanobi is next to her. As soon as she completes 70 swimming pools, Veronica stops swimming and comes out of the water; at the same time, Zanobi also arrives at the edge of the pool, stops swimming and comes out of the water next to Veronica. Zanobi, who is slower than Veronica, has made m tanks; how many different values can m assume?
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 6
- (D) 35
- (E) 69
Answer: C src_archimede_2020_2livello__Q06
Rettangolo con punti interni conciclici, rapporto AB/BC
Sia ABCD un rettangolo e siano M, N punti interni, rispettivamente, ai lati AB e BC. Supponiamo che MC = CD, MD = MN e che i punti C, D, M, N appartengano a una stessa circonferenza. Quanto vale il rapporto AB/BC?
- (A) 1+ √ 3 2
- (B) √ 2
- (C) 3 2
- (D) √ 3
- (E) 2
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Rectangle with inner conical points, ratio AB/BC
Either ABCD is a rectangle and M and N are internal points, respectively, on the sides AB and BC. Let’s say that MC = CD, MD = MN and the points C, D, M, N belong to the same circumference. How much is the AB/BC ratio?
- (A) 1+ √ 3 2
- (B) √ 2
- (C) 3 2
- (D) √ 3
- (E) 2
Answer: B src_archimede_2020_2livello__Q07
Differenza tra cifre 1 e cifre 0 da 1 a 2020
Aisha scrive su un foglio tutti i numeri da 1 a 2020. Quanto vale la differenza tra il numero di cifre “1” e il numero di cifre “0” che ha scritto?
- (A) 78
- (B) 1010
- (C) 1089
- (D) 2020
- (E) 5005
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Difference between figures 1 and figures 0 from 1 to 2020
Aisha writes on a sheet all the numbers from 1 to 2020. What’s the difference between the number of digits 1 and the number of digits 0 you wrote?
- (A) 78
- (B) 1010
- (C) 1089
- (D) 2020
- (E) 5005
Answer: C src_archimede_2020_2livello__Q08
Sistema lineare con cubi, valore di combinazione
I numeri reali x1, x2, x3, … , x30 verificano le seguenti condizioni: 203x1 + 213x2 + 223x3 + · · + 493x30 = 13 213x1 + 223x2 + 233x3 + · · + 503x30 = 1 223x1 + 233x2 + 243x3 + · · + 513x30 = 19. Quanto vale 21x1 + 22x2 + 23x3 + · · + 50x30?
- (A) Ci sono più valori accettabili
- (B) Il sistema non ha soluzione
- (C) 1065
- (D) 7
- (E) 5
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Linear cube system, combined value
The real numbers x1, x2, x3, … , x30 the following conditions are fulfilled: 203x1 + 213x2 + 223x3 + · · + 493x30 = 13 213x1 + 223x2 + 233x3 + · · · + 503x30 = 1 223x1 + 233x2 + 243x3 + · · · + 513x30 = 19. How much is 21x1 + 22x2 + 23x3 + · · + 50x30?
- (A) More acceptable values
- (B) The system has no solution
- (C) 1065
- (D) 7
- (E) 5
Answer: E src_archimede_2020_2livello__Q09
Gioco con pile di monete, chi perde
Agnese, Beatrice, Claudio e Dario giocano con 53 pile di monete. Comunque prese due pile, queste hanno un numero diverso di monete. Ad ogni turno, un giocatore sceglie una pila e toglie da questa una moneta. Perde chi togliendo una moneta a una pila rende questa pila di altezza uguale a un’altra presente sul tavolo. Una pila può avere 0 monete e due pile con 0 monete sono considerate uguali. Comincia Agnese, poi in ordine giocano Beatrice, Claudio e Dario, dopo di che tocca nuovamente ad Agnese e si procede sempre in questo ordine. Se all’inizio del gioco ci sono 2020 monete in totale e se tutti giocano al meglio, chi perde? (A) Agnese (B) Beatrice (C) Claudio (D) Dario (E) Non è possibile determinarlo con questi dati
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
Playing with stacks of coins, who loses?
Agnese, Beatrice, Claudius and Darius play with 53 piles of coins. Anyway, he took two piles, these have a different number of coins. In each turn, a player picks a stack and removes a coin from it. He loses who by removing a coin from a stack makes this stack equal to another one on the table. A stack can have 0 coins and two stacks with 0 coins are considered equal. Agnese begins, then in order play Beatrice, Claudius and Darius, after which he touches Agnese again and it always proceeds in this order. If at the start of the game there are 2020 coins in total and everyone plays their best, who loses? (A) Agnese (B) Beatrice (C) Claudius (D) Darius (E) It is not possible to determine this with these data
Answer: C src_archimede_2020_2livello__Q10
Bisettrice, cerchio tangente, trovare AB
Sia ABC un triangolo e sia D il piede della bisettrice uscente dal vertice A. Sia ω la circonferenza tangente ad AC in A e passante per D. Sia P la seconda intersezione di ω con la retta BC. Sapendo che AC = 54, AD = 63 e CP = 108, trovare AB.
- (A) 72
- (B) 147 2
- (C) 98
- (D) 99
- (E) 102
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
Bisset, tangent circle, find AB
Both ABC is a triangle and D is the foot of the vertex coming out of the vertex A. Both ω the tangent circumference to AC in A and passing through D. Let P be the second intersection of ω with the BC line. If we know that AC is 54, AD is 63, and CP is 108, we find AB.
- (A) 72
- (B) 147 2
- (C) 98
- (D) 99
- (E) 102
Answer: C src_archimede_2020_2livello__Q11
Massima potenza di 5 che divide combinazione coefficienti
Dato il polinomio (x2 + 5x −19)50 = a0 + a1x + a2x2 + · · + a100x100, si consideri la quantità M = a0 −a1 + 4a2 −9a3 + 16a4 −81a5 + 64a6 −729a7 + · · + 298a98 −398a99 + 2100a100, in cui il coefficiente di a2k è 22k e il coefficiente di a2k+1 è −32k. Qual è la massima potenza di 5 che divide M?
- (A) 50
- (B) 51
- (C) 55
- (D) 550
- (E) 5100 Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
Maximum power of 5 dividing combination coefficients
Given the polynomial (x2 + 5x −19)50 = a0 + a1x + a2x2 + · · + a100x100, consider the quantity M = a0 −a1 + 4a2 −9a3 + 16a4 −81a5 + 64a6 −729a7 + · · · + 298a98 −398a99 + 2100a100, where the coefficient of a2k is 22k and the coefficient of a2k+1 is −32k. What’s the maximum power of 5 dividing M?
- (A) 50
- (B) 51
- (C) 55
- (D) 550
- (E) 5100 Problems with numerical answer 5 points
Answer: D src_archimede_2020_2livello__Q12
Combinazione cassaforte con condizioni divisibilità 11
Lo scassinatore Fabio è alle prese con una cassaforte protetta da una combinazione di 5 cifre, ciascuna fra 1 e 9. Fortunatamente per lui, gli sprovveduti padroni di casa hanno lasciato un foglietto con qualche indicazione: “Siano a, b, c, d ed e, nell’ordine, le cinque cifre della combinazione. Allora sia ae che abe che abde, letti come numeri in base 10, sono divisibili per 11, ma abcde non lo è.” Quanti tentativi dovrà fare al più Fabio per essere sicuro di riuscire ad aprire la cassaforte?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 64 Fonte: apri PDF p.4
Combination of safe with divisibility conditions 11
The burglar Fabio is grappling with a safe guarded by a combination of five digits, each between 1 and 9. Fortunately for him, the poor housewives left a note with some indication: They are a, b, c, d and e, in order, the five digits of the combination. So both ae and abe and abde, read as numbers in base 10, are divisible by 11, but abcde is not. How many attempts will Fabio have to make to be sure he can open the safe?
Answer: 64 src_archimede_2020_2livello__Q13
Polinomi con p(x)^2=p(x^2)+alpha p(x), conteggio
Quanti sono i polinomi p(x) a coefficienti reali, di grado compreso fra 1 e 2020 (estremi inclusi), per cui esiste un numero reale α tale che l’equazione p(x)2 = p x2
- αp(x) sia verificata per ogni numero reale x?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4040 Fonte: apri PDF p.4
*Polynomials with p(x) ^2=p(x^2) + alpha p(x), counting *
How many polynomials are p(x) with real coefficients, of degree between 1 and 2020 (extremes included), for which there exists a real number α such that the equation p(x) 2 = p x2 + αp(x) is verified for each real number x?
Answer: 4040 src_archimede_2020_2livello__Q14
Divisori di un quadrato perfetto, massimo numero
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO (a) Supponiamo che n = k2 sia un quadrato perfetto. Dimostrare che il numero di divisori positivi di n strettamente minori di k è uguale al numero di divisori di n strettamente maggiori di k. (b) Supponiamo che n = k2 sia un quadrato perfetto. Dimostrare che n ha al massimo 2k −1 divisori positivi. (c) Trovare tutti gli interi positivi k tali che k2 abbia esattamente 2k −1 divisori positivi.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: corrispondenza, congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
*Full square dividers, maximum number *
Demonstrative Exercise (a) Suppose n = k2 is a perfect square. Show that the number of positive divisors of n strictly less than k is equal to the number of n strictly greater than k divisors. (b) Suppose n = k2 is a perfect square. Prove that n has a maximum of 2k −1 positive divisors. (c) Find all positive integers k such that k2 has exactly 2k −1 positive divisors.
src_archimede_2020_2livello__Q15
Segmenti tra centri quadretti, colorazione minima
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Su un enorme foglio a quadretti, Marco considera un rettangolo lungo 2020 quadretti e alto 2. A questo punto vuole unire con 20202 segmenti ciascuno dei 2020 centri dei quadretti nella fila inferiore del rettangolo a ciascuno dei centri dei quadretti della fila superiore. Inoltre, vuole che se due di questi segmenti si intersecano (eventualmente anche solo in un estremo) siano tracciati con penne di colore diverso. (a) Dimostrare che è impossibile soddisfare le richieste di Marco se si hanno solo penne di 4038 colori diversi. (b) Dimostrare che è invece possibile tracciare i segmenti secondo le richieste di Marco utilizzando 4039 colori.
Topic: Combinatoria Metodo: parita, Teoria dei grafi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.6
segments between square centers, minimum colour
On a huge square sheet, Marco considers a rectangle with a length of 2020 squares and height 2. At this point it wants to combine with 20202 segments each of the 2020 square centers in the lower row of the rectangle to each of the square centers of the upper row. In addition, he wants that if two of these segments intersect (possibly only at one end) they are plotted with different-colored pens. (a) Demonstrate that it is impossible to satisfy Marco’s requests if you have only 4038 different coloured pens. (b) Demonstrate that it is possible to draw the segments according to Marco’s requests using 4039 colours.
src_archimede_2020_2livello__Q16
Triangolo scaleno, cerchi, simmetrico, allineamenti
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABC un triangolo scaleno con BC > CA > AB. Siano ω e γ le circonferenze passanti per A di centro, rispettivamente, B e C. Esse intersecano il segmento BC in M e N, rispettivamente. Costruiamo Z come il simmetrico di A rispetto al punto medio di MN. (a) Chiamata P l’intersezione di ZM con AC, mostrare che CPM è isoscele. (b) Detta X l’intersezione di ZM con ω distinta da M, mostrare che BX e AC sono parallele. (c) Detta Y l’intersezione di ZN con γ distinta da N, mostrare che A, X e Y sono allineati.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Scalene triangle, circles, symmetrical, alignments
Whether ABC is a slope triangle with BC > CA > AB. The circumferences passing through A of the centre are ω and γ, respectively, B and C. They intersect the BC segment in M and N, respectively. We construct Z as the symmetrical of A with respect to the mean point of MN. (a) Called P the intersection of ZM with AC, showing that CPM is isosceles. (b) This X is the intersection of ZM with ω distinct from M, showing that BX and AC are parallel. (c) This Y is the intersection of ZN with γ distinct from N, showing that A, X and Y are aligned.