Numeri di 6 cifre palindromi divisibili per 33
Quanti sono i numeri di 6 cifre divisibili per 33 che siano palindromi, cioè che rimangano uguali se letti da destra verso sinistra?
- (A) 30
- (B) 33
- (C) 300
- (D) 333
- (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
6 digit palindrome numbers divisible by 33
How many numbers of 6 digits divisible by 33 are palindromes, that is, they stay the same if read from right to left?
- (A) 30
- (B) 33
- (C) 300
- (D) 333
- (E) None of the above.
Answer: C src_archimede_2021_2livello__Q01
Triangolo con AC=AM mediana, lunghezza AC
Di un triangolo di vertici A, B, C sappiamo che AB = 5, BC = 4 e AC = AM, dove M è il punto medio del lato BC. Quanto vale la lunghezza del lato AC?
- (A) 4
- (B) √ 17
- (C) 3 √ 2
- (D) 2 √ 5
- (E) √ 21
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Triangle with median AC=AM, length AC
From a triangle of vertices A, B, C we know that AB = 5, BC = 4 and AC = AM, where M is the middle point of the side BC. How much is the length of the AC side?
- (A) 4
- (B) √ 17
- (C) 3 √ 2
- (D) 2 √ 5
- (E) √ 21
Answer: B src_archimede_2021_2livello__Q02
Somma cifre di 2021+(10^2021+21)^2
Quanto vale la somma delle cifre del numero 2021 + (102021 + 21)2?
- (A) 21
- (B) 30
- (C) 37
- (D) 42
- (E) Un numero maggiore di 100.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
This is the sum of the amounts reported in the report.
What is the sum of the digits of the number 2021 + (102021 + 21)2?
- (A) 21
- (B) 30
- (C) 37
- (D) 42
- (E) A number greater than 100.
Answer: D src_archimede_2021_2livello__Q03
Equazione con radici, valori distinti di c
Siano a, b, c interi, ciascuno compreso fra 1 e 2021 (estremi inclusi), che soddisfano l’equazione √a + √ b = q a + c √ b. Quanti sono i possibili valori distinti di c?
- (A) 130
- (B) 132
- (C) 133
- (D) 1936
- (E) 2025
Topic: Algebra Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Equation with roots, distinct values of c
They shall be integers a, b, c, each between 1 and 2021 (extremes included), satisfying the √a + √ b = q a + c √ b equation. What are the possible distinct values of c?
- (A) 130
- (B) 132
- (C) 133
- (D) 1936
- (E) 2025
Answer: A src_archimede_2021_2livello__Q04
Polinomio con p(α)=β e p(β)=α, somma α+β
Nello studiare il polinomio p(x) = x2 + 2x −6, Enrica ha scoperto due numeri reali distinti α e β tali che p(α) = β e p(β) = α. Quanto vale α + β?
- (A) −3
- (B) −2 √ 2
- (C) 0
- (D) 2
- (E) 6
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Polynomial with p(α) =β and p(β) =α, sum of α+β
In studying the polynomial p(x) = x2 + 2x −6, Enrica discovered two distinct real numbers α and β such that p(α) = β and p(β) = α. How much is α + β?
- (A) −3
- (B) −2 √ 2
- (C) 0
- (D) 2
- (E) 6
Answer: A src_archimede_2021_2livello__Q05
Furfanti e cavalieri numerati, valori possibili furfanti
I partecipanti a un convegno di furfanti (che mentono sempre) e cavalieri (che dicono sempre la verità) sono numerati da 1 a 2021. Ciascuno di essi dichiara: “si possono formare almeno i terne di partecipanti di cui io faccia parte e che contengano esattamente due cavalieri”, dove i è il numero assegnato alla persona che parla. Quanti sono i valori possibili per il numero di furfanti presenti al convegno?
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 2021
- (E) 2022
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Numbered horses and horsemen, possible values of horses
Participants in a gathering of thieves (who always lie) and knights (who always tell the truth) are numbered from 1 to 2021. Each of them states: At least the groups of participants of which I am a member and which contain exactly two knights can be formed, where i is the number assigned to the person speaking. What are the possible values for the number of thieves at the convention?
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 4
- (D) 2021
- (E) 2022
Answer: B src_archimede_2021_2livello__Q06
Triangolo rettangolo, bisettrice, rapporto (AB/BC)^2
Sia ABC un triangolo rettangolo in B. Sia H il piede dell’altezza uscente da B e sia D l’intersezione fra la bisettrice dell’angolo in A e il lato BC. Supponiamo che HD sia perpendicolare a BC. Quanto vale ( AB BC )2?
- (A) √ 5 2
- (B) √ 5−1 2
- (C) √ 5
- (D) √ 5+1 2
- (E) Una tale configurazione non si può realizzare.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*Rectangle, bisector, ratio (AB/BC) ^2 *
Let ABC be a right triangle in B. Both H is the foot of height from B and D is the intersection between the angle of the angle in A and the side of BC. Let’s say HD is perpendicular to BC. How much is (AB BC) 2?
- (A) √ 5 2
- (B) √ 5−1 2
- (C) √ 5
- (D) √ 5+1 2
- (E) Such a configuration cannot be achieved.
Answer: B src_archimede_2021_2livello__Q07
Striscia di 8 caselle, operazioni, combinazioni ottenibili
Il piccolo Boole ha disegnato una striscia di 8 caselle, in ognuna delle quali può essere scritto uno 0 o un 1. Inizialmente ogni casella contiene uno 0. Ad ogni mossa, Boole compie una delle seguenti operazioni: (a) sostituisce ogni 0 con un 1 e ogni 1 con uno 0; (b) sceglie tre caselle consecutive e solo in queste sostituisce ogni 0 con un 1 e viceversa. Quante diverse combinazioni di 0 e 1 può ottenere Boole?
- (A) 25
- (B) 26
- (C) 27
- (D) 28 −2
- (E) 28
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Stripe of 8 boxes, operations, combinations obtained
Little Boole has drawn a strip of eight boxes, each of which can be written as either a 0 or a 1. Initially each box contains a 0. For each move, Boole performs one of the following operations: (a) replace each 0 with a 1 and each 1 with a 0; (b) choose three consecutive boxes and only in these boxes replace each 0 with a 1 and vice versa. How many different combinations of 0 and 1 can Boole get?
- (A) 25
- (B) 26
- (C) 27
- (D) 28 −2
- (E) 28
Answer: C src_archimede_2021_2livello__Q08
Equazione con parte frazionaria, secondo valore di floor
Per ogni reale non negativo x, definiamo ⌊x⌋come la parte intera di x, ovvero il più grande intero minore o uguale di x, e {x} = x −⌊x⌋come la parte frazionaria di x. Sia p una soluzione reale positiva non intera dell’equazione {z⌊z⌋} = 2021{z}. Qual è il secondo più piccolo valore possibile di ⌊p⌋?
- (A) 2021
- (B) 2022
- (C) 3033
- (D) 4042
- (E) 4043
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Equation with fractional part, according to floor value
For every non-negative real x, we define x as the whole of x, or the largest integer less or equal to x, and {x} = x −x as the fractional part of x. Whether p is a positive real non-entire solution of the {zz} = 2021{z}. What is the second smallest possible value of p?
- (A) 2021
- (B) 2022
- (C) 3033
- (D) 4042
- (E) 4043
Answer: E src_archimede_2021_2livello__Q09
Terne con 2^a+2^b+2^c divisore di 8^a+8^b+8^c
Determinare il numero di terne ordinate (a,b,c) di interi non negativi tali che ciascuno dei numeri 2a, 2b, 2c sia minore di 10000 e che il numero 2a + 2b + 2c sia un divisore di 8a + 8b + 8c.
- (A) 14
- (B) 50
- (C) 53
- (D) 72
- (E) 86
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Terms with 2^a+2^b+2^c divider of 8^a+8^b+8^c
Determine the number of ordered tern (a,b,c) of non-negative integers such that each of the numbers 2a, 2b, 2c is less than 10000 and that the number 2a + 2b + 2c is a divisor of 8a + 8b + 8c.
- (A) 14
- (B) 50
- (C) 53
- (D) 72
- (E) 86
Answer: E src_archimede_2021_2livello__Q10
Triangolo equilatero, punto con angolo 60°, area minima
Sia ABC un triangolo equilatero di lato unitario e sia P un punto dalla parte opposta della retta AB rispetto al punto C, tale che l’angolo
APB misuri 60°. Supponiamo che la bisettrice dell’angolo
APB intersechi i segmenti AB e AC nei punti X e Y , rispettivamente. Qual è il minimo valore possibile per l’area del triangolo AXY ?
- (A) 1 3 √ 3
- (B) 1 2 √ 3
- (C) √ 3 12
- (D) √ 3 8
- (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche, Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
*Equilateral triangle, point with angle 60°, minimum area *
Either ABC is an equilateral triangle on the unit side and either P is a point on the opposite side of the straight AB relative to the point C, such that the angle \ APB measures 60°. Suppose that the angular bisector \ APB intersects the segments AB and AC at points X and Y, respectively. What is the minimum possible value for the area of the AXY triangle ?
- (A) 1 3 √ 3
- (B) 1 2 √ 3
- (C) √ 3 12
- (D) √ 3 8
- (E) None of the above.
Answer: A src_archimede_2021_2livello__Q11
Sestuple con somma di cubi 168, resto modulo 6
Sia N il numero di sestuple ordinate di interi (a,b,c,d,e,f) tali che a3+b3+c3+d3+e3+f3 = 168 e −2021202120219 < abcdef < 2021202120219, dove abcdef è il prodotto dei sei interi. Quale dei seguenti è il resto di N nella divisione per 6?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) 4 Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Sfruttamento della simmetria Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Six-fold with sum of 168 cubes, remaining form 6
Both N the number of ordered six-times of integers (a,b,c,d,e,f) such that a3+b3+c3+d3+e3+f3 = 168 and −2021202120219 < abcdef < 2021202120219, where abcdef is the product of the six integers. Which of the following is the remainder of N in division by 6?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) 4 Problems with numerical answer 5 points
Answer: C src_archimede_2021_2livello__Q12
Numeri con proprietà speculare, conteggio fino a 3 cifre
Il numero 144 è molto particolare in quanto gode della proprietà speculare: non solo è vero che 144 = 122 (ossia è un quadrato perfetto), ma è vero anche che 441 = 212, cioè invertendo l’ordine delle sue cifre si ottiene precisamente il quadrato del numero ottenuto invertendo le cifre della sua radice quadrata. Anche il numero 100 ha la proprietà speculare, così come il numero 1, mentre il numero 49 no. Quanti sono i numeri interi positivi con al più 3 cifre che godono della proprietà speculare?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 12 Fonte: apri PDF p.2
Numbers with specular properties, counting up to 3 digits
The number 144 is very particular in that it enjoys the specular property: not only is it true that 144 = 122 (i.e. it is a perfect square), but it is also true that 441 = 212, that is, by inverting the order of its digits you get precisely the square of the number obtained by inverting the digits of its square root. The number 100 also has the property of speculation, as does the number 1, whereas the number 49 does not. How many positive integers with a maximum of three digits have the speculative property?
Answer: 12 src_archimede_2021_2livello__Q13
Cavalletta su griglia, valori possibili di n
Una cavalletta si muove sul piano e dal punto di coordinate (x,y) può saltare a sua scelta o su (x + y,y) o su (x,x + y). È partita da un punto di coordinate (n,9) con n intero positivo, ma non ricorda il valore di n. Sa solo che dopo un certo numero di mosse è arrivata in (2021, 2050). Quanti sono i possibili valori di n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro, congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.2
Grided cabbage, possible values of n
A slide moves on the plane and from the coordinate point (x,y) it can jump at its choice either over (x + y,y) or over (x,x + y). Started from a coordinate point (n.9) with positive integer n, but does not recall the value of n. He just knows that after a number of moves it came in (2021, 2050). What are the possible values of n?
Answer: 3 src_archimede_2021_2livello__Q14
Rettangolo, proiezioni, ciclicità e quadrato
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABCD un rettangolo e sia E un punto arbitrario, diverso da C, sul lato DC. Sia H la proiezione di E sulla diagonale AC e sia K la proiezione di C sulla semiretta AE. (a) Dimostrare che K giace sulla circonferenza circoscritta ad ABCD e che il quadrilatero CKEH è ciclico, cioè inscrivibile in una circonferenza. (b) Dimostrare che
CKB +
CKH = 90°. (c) Dimostrare che K, H, B sono allineati se e solo se ABCD è un quadrato.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
Rectangle, projections, cycles and squares
DEMOSTRATIVE EXERCISE Whether ABCD is a rectangle and whether E is an arbitrary point other than C on the DC side. Both H the projection of E on the AC diagonal and K the projection of C on the AE semicircle. (a) Demonstrate that K lies on the circumference circumscribed at ABCD and that the quadrilateral CKEH is cyclic, i.e. inscrutable in a circumference. (b) Show that \ CKB + \ CKH = 90°. (c) Demonstrate that K, H, B are aligned if and only if ABCD is a square.
src_archimede_2021_2livello__Q15
Successione con parte frazionaria, interruzione e razionalità
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Ambra costruisce una sequenza di numeri, a partire da numero reale positivo x0, nel seguente modo: dato l’n–esimo termine xn, il termine successivo è xn+1 = n 1 − 1 xn o , dove {α} rappresenta la parte frazionaria di α, cioè la differenza fra α e il massimo numero intero minore o uguale di α. Non appena Ambra ottiene un termine uguale a 0, interrompe la sequenza. (a) Dimostrare che se il numero di partenza x0 è della forma p q, dove p e q sono interi positivi, prima o poi la sequenza si interrompe. (b) Dimostrare che, se la sequenza si interrompe, allora il punto di partenza x0 era della forma p q, dove p e q sono interi positivi.
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Succession by fraction, interruption and rationality
DIMOSTRATIVE EXERCISE Ambra constructs a sequence of numbers, starting from a positive real number x0, as follows: given the first term xn, the next term is xn+1 = n 1 − 1 xn or , where {α} represents the fractional part of α, that is, the difference between α and the maximum integer less than or equal to α. As soon as Ambra gets a term equal to 0, it interrupts the sequence. (a) Demonstrate that if the starting number x0 is of the form p q, where p and q are positive integers, sooner or later the sequence stops. (b) Show that if the sequence is interrupted, then the starting point x0 was of the form p q, where p and q are positive integers.
src_archimede_2021_2livello__Q16
Griglia a spirale, forzieri raggiungibili, numero finito
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO … Una mappa del tesoro è costituita dalla cartina di un’isola (infinitamente estesa in tutte le direzioni) a cui è sovrapposta una griglia quadrata. Le caselle della griglia sono numerate a spirale come in figura. I pirati hanno nascosto il loro tesoro suddividendolo in forzieri che hanno seppellito in alcune delle caselle, quelle “numerate con quegli n che racchiudono in s´e le indicazioni per raggiungerle dalla casella 1”. Con questa frase i pirati intendono dire quanto segue: scrivendo il numero n in base dieci, chiamiamo a1, … , ak le sue cifre, lette da sinistra verso destra; nella casella n c’è un forziere con parte del tesoro se (e solo se) la si può raggiungere partendo dalla casella 1 ed effettuando a1 passi in una certa direzione (Nord, Sud, Ovest o Est), a2 passi in una certa direzione (eventualmente la stessa di prima), … e infine ak passi in una delle 4 direzioni. Per esempio: nella casella 12 c’è un forziere, perch´e partendo da 1 e facendo 1 passo verso Nord e 2 passi verso Est si arriva proprio in 12. Nella casella 1, invece, non c’è alcun forziere, perch´e in qualunque direzione si faccia un passo partendo da 1, si finisce in una casella diversa dalla 1. Dimostrare che c’è solamente un numero finito di caselle in cui è seppellito un forziere.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
Spiral grid, forcing to be reached, finite number
It ‘s a demonstration exercise … A treasure map consists of a map of an island (infinitely extended in all directions) to which a square grid is overlaid. The grid boxes are numbered in a spiral as shown in the figure. The pirates have hidden their treasure by dividing it into forcibles who have buried it in some of the boxes, those numbered with the n containing the directions to reach them from box 1. By this phrase, pirates mean the following: by writing the number n in base ten, we call it a1, … , with its digits, read from left to right; in box n, there is a forcer with part of the treasure if (and only if) it can be reached starting from box 1 and taking steps in a certain direction (North, South, West or East), a2 steps in a certain direction (possibly the same as before)… And finally, we move in one of the four directions. For example, in box 12 there’s a forcer, because starting from 1 and taking 1 step north and 2 steps east you get right into 12. In box 1, on the other hand, there’s no forcing, because in any direction you take a step from 1, you end up in a box other than 1. Demonstrate that there are only a finite number of boxes in which a forcer is buried.