Triangoli con due vertici dello stesso colore su circonferenza
Lungo una circonferenza sono segnati tre punti rossi, due punti verdi, due punti gialli, un punto blu. Quanti triangoli si possono ottenere scegliendo due vertici dello stesso colore ed il terzo di un altro colore?
- (A) 27
- (B) 36
- (C) 25
- (D) 30
- (E) 31
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Triangles with two vertices of the same colour on the circumference
Three red dots, two green dots, two yellow dots, and one blue dots are marked along a circumference. How many triangles can be obtained by choosing two vertices of the same color and a third of a different color?
- (A) 27
- (B) 36
- (C) 25
- (D) 30
- (E) 31
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q01
Massimo valore di 3-2x dato (5-4x)(5x-4)=0
Sapendo che (5 −4x)(5x −4) = 0, quale può essere, al massimo, il valore di 3 −2x?
- (A) 7/5
- (B) 1/2
- (C) 5/7
- (D) 3/4
- (E) 4/7
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Maximum value of 3-2x given (5-4x) ((5x-4)=0
Knowing that (5 −4x) ((5x −4) = 0, what can be the maximum value of 3 −2x?
- (A) 7/5
- (B) 1/2
- (C) 5/7
- (D) 3/4
- (E) 4/7
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q02
Quanti numeri secondi tra 40 e 70
Dal momento che 2021 = 43 · 47, prodotto di due numeri primi differenti, possiamo dire che 2021 è un numero secondo. Quanti sono i numeri secondi compresi tra 40 e 70 ?
- (A) 7
- (B) 6
- (C) 11
- (D) 8
- (E) 10
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
How many second numbers between 40 and 70
Since 2021 = 43 · 47, product of two different prime numbers, we can say that 2021 is a second number. How many secondary numbers are between 40 and 70 ?
- (A) 7
- (B) 6
- (C) 11
- (D) 8
- (E) 10
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q03
Ampiezza angolo Y con X=48 e Z triplo di Y
Nel triangolo XY Z l’angolo b X misura 48°e bZ è il triplo di bY . Qual è l’ampiezza di bY ?
- (A) 24°
- (B) 44°
- (C) 33°
- (D) 16°
- (E) 22°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Enlargement of the Y angle with X=48 and Z triple Y
In the triangle XY Z the angle b X measures 48° and bZ is triple bY . What is the width of by ?
- (A) 24°
- (B) 44°
- (C) 33°
- (D) 16°
- (E) 22°
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q04
Quale prodotto di potenze e quadrato di un intero
Quale tra i seguenti è il quadrato di un numero intero?
- (A) 7716 · 149 · 2225
- (B) 7711 · 1416 · 2225
- (C) 7717 · 149 · 2211
- (D) 779 · 1416 · 2213
- (E) 779 · 1412 · 2216
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Which product of powers and squares of an integer
Which of the following is the square of an integer?
- (A) 7716 · 149 · 2225
- (B) 7711 · 1416 · 2225
- (C) 7717 · 149 · 2211
- (D) 779 · 1416 · 2213
- (E) 779 · 1412 · 2216
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q05
Cavalieri e furfanti nelle file dell’ufficio postale
Nell’isola dove vivono solo cavalieri (che dicono sempre il vero) e furfanti (che dicono sempre il falso), l’ufficio postale è piuttosto affollato. Ci sono quattro file agli sportelli: una con 12 persone, una con 11, una con 15 e una con 14 persone. Ognuno dei presenti (tranne i primi due di ciascuna fila) dice questa frase: “tra le persone davanti a me nella mia fila ci sono almeno due furfanti”. Quanti sono in tutto i cavalieri all’ufficio postale?
- (A) 36
- (B) 26
- (C) 44
- (D) non si può stabilire
- (E) 40
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Knights and thieves in the post office files
On an island where only knights (who always tell the truth) and crooks (who always tell the lies) live, the post office is quite crowded. There are four lines at the gates: one with 12 people, one with 11, one with 15 and one with 14 people. Each of the present (except the first two in each row) says this sentence: Among the people in front of me in my row there are at least two thieves. How many knights are there at the post office?
- (A) 36
- (B) 26
- (C) 44
- (D) It is not possible to establish
- (E) 40
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q06
Perimetro triangolo date le tre altezze e lato AB
Le altezze uscenti dai vertici A, B e C del triangolo ABC misurano, rispettivamente, 6 m, 8 m e 4 m. Indicata con ℓ la lunghezza del lato AB, quanto misura il perimetro del triangolo?
- (A) 17 8 ℓ
- (B) 13 6 ℓ
- (C) 25 12ℓ
- (D) 15 7 ℓ
- (E) 32 15ℓ
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Triangle perimeter given the three heights and side AB
The heights from the vertices A, B and C of the triangle ABC shall be 6 m, 8 m and 4 m respectively. Indicated by the length of the AB side, what is the perimeter of the triangle?
- (A) 17 8 ℓ
- (B) 13 6 ℓ
- (C) 25 12ℓ
- (D) 15 7 ℓ
- (E) 32 15ℓ
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q07
Succo di pera rimasto dopo miscele e prelievi
Paola ha preparato una bevanda mescolando 800 ml di succo di pera con 200 ml di succo di banana, ne beve 300 ml e lascia in una brocca la parte rimanente. Francesco mescola la bevanda nella brocca con 200 ml di succo di fragola e ne beve 180 ml. Quanto succo di pera c’è adesso nella brocca?
- (A) 432 ml
- (B) 442 ml
- (C) 425 ml
- (D) 415 ml
- (E) 448 ml
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Pear juice left after mixing and extraction
Paola prepared a drink by mixing 800 ml of pear juice with 200 ml of banana juice, drinking 300 ml and leaving the remainder in a jar. Francesco mixed the drink in the jar with 200 ml of strawberry juice and drank 180 ml. How much pear juice is in the jar now?
- (A) 432 ml
- (B) 442 ml
- (C) 425 ml
- (D) 415 ml
- (E) 448 ml
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q08
Area del triangolo ottenuto prolungando i lati di DEF
L’area del triangolo DEF è di 8 m2. Si prolunga il lato DE di un segmento EE′ = DE; si prolunga il lato EF di un segmento FF ′ = EF; si prolunga il lato FD di un segmento DD′ = 2 FD. Quale sarà l’area di D′E′F ′?
- (A) 88 m2
- (B) 72 m2
- (C) 64 m2
- (D) 80 m2
- (E) 84 m2
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Area of triangle obtained by extending the sides of DEF
The area of the DEF triangle is 8 m2. Extend the DE side of a segment EE′ = DE; extend the EF side of a segment FF ′ = EF; extend the FD side of a segment DD′ = 2 FD. What will be the area of D′E′F ′?
- (A) 88 m2
- (B) 72 m2
- (C) 64 m2
- (D) 80 m2
- (E) 84 m2
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q09
Conteggio parole con lettere A,B,C e vincoli
Emanuele scrive delle parole usando solo le lettere A, B, C. Ciascuna parola deve rispettare queste condizioni: deve contenere almeno una delle lettere A, B, C, ma non tutte e tre; non può contenere più di una volta la B; non può contenere più di una volta la C; non può contenere una sequenza AA (due A di seguito). Quante parole differenti Emanuele potrà scrivere?
- (A) 11
- (B) 10
- (C) 8
- (D) 9
- (E) 13
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Counting words with letters A,B,C and bonds
Emmanuel writes words using only the letters A, B, C. Each word must meet the following conditions: it must contain at least one of the letters A, B, C, but not all three; it must contain no more than one B; it must contain no more than one C; it must not contain a sequence AA (two A’s below). How many different words can Emmanuel write?
- (A) 11
- (B) 10
- (C) 8
- (D) 9
- (E) 13
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q10
Lato CD del trapezio con diagonali perpendicolari
Nel trapezio ABCD, di basi AB e CD, le diagonali AC e BD sono tra loro perpendicolari. I segmenti AB e BD misurano, nell’ordine, 20 m e 17 m; l’area del triangolo ABD è di 102 m2. Quanti metri misura il lato CD?
- (A) 9/5
- (B) 4/3
- (C) 5/4
- (D) 9/8
- (E) 8/5
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
CD side of the trapezoid with perpendicular diagonals
In the ABCD trapezoid, base AB and base CD, the AC and BD diagonals are perpendicular to each other. The segments AB and BD measure, in order, 20 m and 17 m; the area of the triangle ABD is 102 m2. How many feet does the CD side measure?
- (A) 9/5
- (B) 4/3
- (C) 5/4
- (D) 9/8
- (E) 8/5
src_archimede_2021_biennio_tradizionale__Q11
Percorsi su cornice di tabellone 9x7 in 14 mosse
In un tabellone 9×7, una pedina (inizialmente nella casella A) può essere spostata attraversando ad ogni mossa il lato in comune a due caselle confinanti. Federica vuole portarla nella casella B in 14 mosse, senza calpestare il rettangolo centrale 5 × 3 (la pedina deve rimanere sempre sulla cornice avente spessore di 2 caselle). Quanti sono i percorsi possibili? A B
- (A) 98
- (B) 108
- (C) 100
- (D) 112
- (E) 104 2042 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione I Giochi di Archimede - Gara Biennio 2 dicembre 2021 La prova è costituita da 12 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta errata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. Per ognuno dei problemi, occorre trascrivere la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è permesso l’uso di alcun tipo di calcolatrice o di qualsiasi strumento di comunicazione durante la prova. Il tempo che hai a disposizione è di 60 minuti. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME CLASSE data di nascita: indirizzo mail: RISPOSTE AI PROBLEMI: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I Giochi di Archimede 2021 GARA BIENNIO – – CODICE PROVA: 2042
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Tracks on a 9x7 board frame in 14 movements
In a table 9×7, a foot (initially in box A) may be moved across the side common to two adjacent boxes at each move. Federica wants to bring it to box B in 14 moves, without stepping on the central rectangle 5 × 3 (the pedal must always remain on the frame with a thickness of 2 boxes). How many routes are there? A B
- (A) 98
- (B) 108
- (C) 100
- (D) 112
- (E) 104 2042 Italian Mathematical Union Mathematics Olympic Project Ministry of Education The Archimedes Games - Competition biennium 2 December 2021 The test consists of 12 problems. Each question shall be followed by 5 answers indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E). One of these answers is correct, the other four are wrong. Each correct answer is worth 5 points, each wrong answer is worth 0 points. For each answer left blank or unreadable one point will be awarded. For each of the problems, the corresponding letter to the correct answer must be transcribed in the grid below. Cancellations or corrections on the grid are not permitted. No calculator or communication device shall be used during the test. The time you have is 60 minutes. Good work and good fun! COGNOME Class name date of birth: email address: PROBLEMS: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 The Games of Archimedes 2021 GARA BENNIO CODE PROVA: 2042